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2025年菁优高考物理压轴训练11
一．选择题（共10小题）
1．（2024•成华区校级模拟）如图所示，在一椭圆的两焦点 、 和短轴上的一个端点 ，固定有三个
电荷量相等的点电荷，其中 、 处的电荷带正电， 处的电荷带负电， 为椭圆中心， 、 是椭圆
上关于 点对称的两个点。取无穷远处电势为零。下列说法中正确的是
A． 、 两点的电势不相同
B． 、 两点的电场强度相同
C．一质子从靠近 点处沿直线到 点再到 点，电势能一直增大
D．一电子从靠近 点处沿直线到 点再到 点，电势能先减小后增大
2．（2024•滨州三模）如图所示，长方形 所在平面有匀强电场， 、 分别为 边、 边中点，
已知 边长为 、 边长为 。将电子从 点移动到 点，电场力做功为 ；将电子从 点
移动到 点，电场力做功为 ，不计所有粒子重力，下列说法正确的是
A．长方形 的四个顶点中， 点的电势最高
B．匀强电场的电场强度大小为
C．沿 连线方向，电势降低最快
D．从 点沿 方向发射动能为 的电子，在以后的运动过程中该电子最小动能为
3．（2024•重庆）沿空间某直线建立 轴，该直线上的静电场方向沿 轴，某点电势的 随位置 变化的
图像如图所示，一电荷量为 带负电的试探电荷，经过 点时动能为 ，速度沿 轴正方向，若该电
荷仅受电场力，则其将
1A．不能通过 点 B．在 点两侧往复运动
C．能通过 点 D．在 点两侧往复运动
4．（2024•汕头二模）利用静电纺丝技术制备纳米纤维材料是近年来材料领域的重要技术。如图所示，
初始时无电场，喷嘴处的球形液滴保持静止；随着高压电场逐渐增强，液滴带上正电荷且由球形变为圆
锥形（即“泰勒锥” ；当电压增至某个临界值时（假设此后电压保持不变），液滴从尖端喷出，在非
匀强电场的作用下向下方运动， 、 为直线路径上的两点。以下说法正确的是
A．喷嘴处的球形液滴在无电场的情况下只受重力
B．液滴从 到 的过程做匀加速直线运动
C．液滴从 到 的过程电场力做负功
D．液滴向下做螺旋运动时电势能减小
5．（2024•门头沟区一模）图甲是电场中的一条电场线， 、 是电场线上的两点。电子仅在电场力作
用下从 点运动到 点，其运动的 图像如图乙所示。 、 点电场强度分别为 和 ，电子在
2、 点电势能分别为 和 。下列说法正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．（2024•北京）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于 、 两点， 、 是 连线上的两点，
且 。下列说法正确的是
A． 点电场强度比 点电场强度大
B． 点电势与 点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍， 点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍， 、 两点间电势差不变
7．（2024•梅州一模）如图，新风系统除尘由机械除尘和静电除尘两部分构成，其中静电除尘是通过电
离空气后使空气中的粉尘微粒带电，从而被电极吸附的空气净化技术。如图虚线为一带电粉尘（不计重
力）在静电除尘管道内的运动轨迹，实线为电场线（未标方向），下列判定正确的是
3A．带电粉尘带正电
B．带电粉尘在除尘管道内做匀变速曲线运动
C．带电粉尘在 点的加速度小于在 点的加速度
D．带电粉尘在 点的电势能大于在 点的电势能
8．（2024•天心区校级模拟）如图所示，绝缘水平光滑杆上套有一质量为 的带正电的小环，电荷量为
，小环与绝缘弹簧相连，弹簧另一端固定于杆正上方的 点。杆所在的空间存在着沿杆方向的匀强电
场，杆上 、 两点间的电势差为 ，其中 ，小环以向右的速度 经过 点，并能通
过 点。已知在 、 两点处，弹簧对小环的弹力大小相等， ， ， 、 之
间的距离为 ， 点位于 点的正下方。在小环从 点运动到 点的过程中
A．小环加速度最大值为
B．小环经过 点时的速度最大
C．小环经过 点时的速度大小为
D．小环在 、 两点时，弹性势能相等，动能也相等
9．（2024•罗湖区校级模拟）如图所示，粗糙水平面所在空间有水平向右的匀强电场，电场强度为 。
一质量为 ，带电荷量为 的物块自 点以初动能 向右运动。已知物块与地面间的动摩擦因
数为 ，重力加速度为 ，且 ，设 点的电势为零，规定水平向右为正方向，则物块的动能
、电势能 与物块运动的位移 关系图像可能正确的是
4A． B．
C． D．
10．（2024•丰台区二模）如图所示，让 、 和 的混合物由静止开始从 点经同一加速电场加
速，然后穿过同一偏转电场。下列说法正确的是
A．进入偏转电场时三种粒子具有相同的速度
B．进入偏转电场时三种粒子具有相同的动能
C．三种粒子从不同位置沿不同方向离开偏转电场
D．三种粒子从相同位置沿相同方向离开偏转电场
二．多选题（共5小题）
11．（2024•鼓楼区校级三模）某款伸展运动传感器的原理图如图所示，它由一电极和可伸缩柱极体组成，
可在非接触状态下实现力一电转换。电极通过电阻接地处理，当带负电的柱极体靠近电极时，从地面引
出的电荷在电极上产生。当复合柱极体拉伸时，弹性体和柱极体粒子发生形变，改变了电极上的感应电
荷量，并通过电阻器产生电流（电子移动方向如图中箭头所示）。下列说法正确的是
5A．在拉伸复合柱极体的过程中，电流自左向右流经电阻
B．在拉伸复合柱极体的过程中，柱极体内电荷相互作用的电势能减小
C．在拉伸复合柱极体的过程中，电极上的电势将升高
D．周期性拉伸复合柱极体，将有交变电流流经电阻
12．（2024•贵州模拟）如图（a），水平放置长为 的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强
度大小为 ，其方向随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽略不计。质量为 、电荷量
为 的带电粒子任意时刻沿金属板中心线 射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知
粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期 相同，不计粒子重力，则
A．金属板间距离的最小值为
B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于
D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
13．（2024•衡水模拟）科学家在研究电荷分布的对称性的时候，巧妙地借助了我国传统文化中的“阴阳
太极图”，以获得更多的启示和灵感，如图所示的三维坐标系。太极图呈圆形位于 平面内， 轴过
圆心 ，在 轴两侧对称分布各有一个大半圆和小半圆， 、 各是小半圆的圆心，现在 、 上分
别放置一个等电量的负点电荷和正点电荷，在 轴的正向有一个定点 ，在圆的边缘有一个位置 ，则
下列说法正确的是
6A．若将正试探电荷 由 点沿 轴移动到 点，则 的电势能始终不变
B．若将正试探电荷 由 点沿“阴阳”边界经 移动到 点，则 的电势能增加
C．若将负试探电荷 沿虚线由 移到 ，则电场力一直对电荷做正功
D．若将负试探电荷沿 轴由 向 轴正向移动，则电荷克服电场力做负功
14．（2024•南充模拟）如图，竖直放置的立方体 中心有一粒子源，粒子源可以水平向各个方向
发射不同速度的带正电的粒子，粒子比荷为 。立方体处在竖直向下的匀强电场中，场强
大小 ，立方体边长 ，除上下底面外，其余四个侧面均为荧光屏（包括边缘）。不
考虑粒子源的尺寸大小、粒子重力以及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上后被荧光屏吸收，不考虑
荧光屏吸收粒子后的电势变化。则
A．粒子射出后，在电场中运动的加速度大小
B．粒子射出后，在电场中向上偏转做类平抛运动
C．粒子从射出到打到荧光屏上运动的最长时间
D．不能打到荧光屏上的粒子，发射时的速度范围为
15．（2024•浙江模拟）电偶极子由两个点电荷 和 组成，它们之间的距离为 很小），总质量为
。如图所示，空间中某区域内存在一电场，其分布为 。先令一电偶极子朝着 方向，并使其
7中点位于 处，再静止释放。下列说法正确的是
A． 的单位是
B．电偶极子受到的合力
C．电偶极子静止释放后的运动可看作简谐运动的一部分
D．电偶极子的电势能
三．填空题（共5小题）
16．（2024•福建）如图，圆心为 点、半径为 的圆周上有 、 、 、 、 、 、 、 八个等
分点， 点固定有一带电量为 的点电荷，其余各点均固定有带电量为 的点电荷。已知静电
力常量为 ，则 点的电场强度大小为 。 、 分别为 、 的中点，则 点的电势
（填“大于”“等于”或“小于” 点的电势；将一带电量为 的点电荷从 点沿图中 弧
线移动到 点，电场力对该点电荷所做的总功 （填“大于零”“等于零”或“小于零” 。
17．（2024•鼓楼区校级二模）“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心 ，玻璃泡内
壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场可视为位于 点处点电
荷形成的电场，如图所示。 、 、 、 、 为同一平面上的5个点， 是一段以 为圆心的圆弧，
8为 的中点。 、 两点场强大小分别为 、 ， 、 、 、 四点电势分别为 、 、 、 ，
则 ； ， 。（填“大于”“等于”或“小于”
18．（2023•浦东新区二模）某空间的 轴上只存在沿此轴方向的静电场， 轴上各点电势分布如图。一
带电量为 的粒子只在电场力作用下由 轴上某点无初速释放，若粒子沿 轴运动过程中的总能量恒为
零，则粒子的活动区间是 ；运动过程中的最大动能为 。
19．（2023•鼓楼区校级模拟）相隔很远、均匀带电 、 的大平板在靠近平板处的匀强电场电场线如
图 所示，电场强度大小均为 。将两板靠近，根据一直线上电场的叠加，得到电场线如图 所示，则此
时两板间的电场强度为 ，两板相互吸引力的大小为 。
20．（2022•虹口区二模）雷雨天，在避雷针附近产生电场，其等势面的分布如虚线所示。 、 、 三
点中，场强最大的位置是 。一带电量为 的点电荷 ，由 运动到 ，则其电势能的变化
△ 。
9四．解答题（共5小题）
21．（2024•大兴区校级模拟）类比法是研究物理问题的常用方法。
（1）如图甲所示为一个电荷量为 的点电荷形成的电场，静电力常量为 ，有一电荷量为 的试探电
荷放入场中，与场源电荷相距为 。根据电场强度的定义式，推导：试探电荷 所在处的电场强度 的表
达式。
（2）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场外，还有引力场，物体之间的万有引力就是通过引力场
发生作用的。忽略地球自转影响，地球表面附近的引力场也叫重力场。已知地球质量为 ，半径为 ，
引力常量为 。请类比电场强度的定义方法，定义距离地球球心为 处的引力场强度，并说明两种
场的共同点。
（3）微观世界的运动和宏观运动往往遵循相同的规律，根据玻尔的氢原子模型，电子的运动可以看成是
经典力学描述下的轨道运动，如图乙。原子中的电子在原子核的库仑引力作用下，绕静止的原子核做匀
速圆周运动。这与天体运动规律相似，天体运动轨道能量为动能和势能之和。已知氢原子核（即质子）
电荷量为 ，核外电子质量为 ，带电量为 ，电子绕核运动的轨道半径为 ，静电力常量为 。若规
定离核无限远处的电势能为零，电子在轨道半径为 处的电势能为 ，求电子绕原子核运动的系
统总能量 （包含电子的动能与电势能）。
22．（2024•河北）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内
绕 点做圆周运动。图中 、 为圆周上的两点， 点为最低点， 点与 点等高。当小球运动到 点
时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为 ，质量为 ， 、 两点间的电势差为 ，
10重力加速度大小为 ，求：
（1）电场强度 的大小。
（2）小球在 、 两点的速度大小。
23．（2024•东城区二模）如图所示，在真空中 、 两个完全相同的带正电小球（可视为质点）分别用
长为 的轻细线系住，另一端悬挂在 点，电荷量 。 为 、 连线中垂线，当 、 静
止时， 。已知静电力常量为 ，求：
（1）轻细线拉力的大小 ；
（2） 点电场强度的大小 和方向；
（3）若把电荷量为 的正试探电荷从 点移到 点，克服电场力做了 的
功，求 、 两点间的电势差 。
24．（2024•长春一模）一种测定电子比荷的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极 发出的电子经阳极
与阴极 之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板 、
间的区域，若两极板 、 间无电压，电子将打在荧光屏上的 点，若在两极板间施加电压 ，则离开
极板区域的电子将打在荧光屏上的 点；若在极板间再施加一个方向垂直于纸面、磁感应强度为 的匀
强磁场，则电子在荧光屏上产生的光点又回到 点。该装置中 、 极板的长度为 ，间距为 ，极板
11区的中点 到荧光屏中点 的距离为 ， 点到 点的距离为 。
（1）判断所加磁场的方向；
（2）求电子经高压加速后的速度大小 ；
（3）求电子的比荷 。
25．（2024•安徽二模）如图甲，竖直面内有一小球发射装置，左侧有光滑绝缘圆弧形轨道 ， 与
圆心 等高， 处于坐标原点， 轴左侧有一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度的大小
。现将带正电绝缘小球从 点由静止释放进入轨道，一段时间后小球从 点离开并进入 轴
右侧， 轴右侧与直线 （平行于 轴）中间范围内有周期性变化的水平方向电场，规定向右为正方向，
交变电场周期 ，变化规律如图乙。已知圆弧形轨道半径 ，小球质量 ，电荷量
， ，重力加速度 ， ，不计空气阻力的影响及带电小球产
生的电场。求：
（1）小球在 点时的速度；
（2）若小球在 时刻经过 点，在 时刻到达电场边界 ，且速度方向恰与直线 平行，
的大小及直线 到 轴的距离；
（3）基于（2）中直线 到 轴的距离，小球在不同时刻进入交变电场再次经过 轴时的坐标范围。
122025年菁优高考物理压轴训练11
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•成华区校级模拟）如图所示，在一椭圆的两焦点 、 和短轴上的一个端点 ，固定有三个
电荷量相等的点电荷，其中 、 处的电荷带正电， 处的电荷带负电， 为椭圆中心， 、 是椭圆
上关于 点对称的两个点。取无穷远处电势为零。下列说法中正确的是
A． 、 两点的电势不相同
B． 、 两点的电场强度相同
C．一质子从靠近 点处沿直线到 点再到 点，电势能一直增大
D．一电子从靠近 点处沿直线到 点再到 点，电势能先减小后增大
【答案】
【考点】电场力做功与电势能变化的关系；电场强度的叠加；点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电
场
【专题】分析综合能力；定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；应用题
【分析】根据点电荷电场线的分布特点和等势面与电场线的关系分析 、 两点电势和电场强度的关系；
根据带电粒子运动过程中电场力做功分析电势能的变化。
【解答】解： 、根据 、 两点关于 点对称， 、 两点电荷电性相同，电荷量相等， 、 两
点到 点的距离相等，根据点电荷的电场线的分布情况及电场的叠加原理、等势面与电场线的关系，可
知 、 两点的电势相同，电场强度大小相等，方向不同，故 错误；
、根据电场的叠加可知， 点到 点的合场强应沿 向下，质子从 点到 点，电场力做负功，电
势能增大， 到 的过程中，电场力也做负功，电势能继续增大，故 正确；
、电子从 点到 点，电场力做正功，电势能减小， 到 的过程中，电场力也做正功，电势能继续
减小，故 错误。
故选： 。
【点评】本题主要考查电场力做功和电场叠加问题，根据场强叠加原则分析场强大小和电势高低。
2．（2024•滨州三模）如图所示，长方形 所在平面有匀强电场， 、 分别为 边、 边中点，
13已知 边长为 、 边长为 。将电子从 点移动到 点，电场力做功为 ；将电子从 点
移动到 点，电场力做功为 ，不计所有粒子重力，下列说法正确的是
A．长方形 的四个顶点中， 点的电势最高
B．匀强电场的电场强度大小为
C．沿 连线方向，电势降低最快
D．从 点沿 方向发射动能为 的电子，在以后的运动过程中该电子最小动能为
【答案】
【考点】电场力做功与电势能变化的关系；匀强电场中电势差与电场强度的关系
【专题】合成分解法；带电粒子在电场中的运动专题；比较思想；分析综合能力
【分析】根据电势差定义式 求出 、 间以及 、 间的电势差，取 点电势为零，得到 点电
势。因 为 边中点，则有 ，从而求得 、 两点的电势。根据各点电势确定等势面，结
合等势面与电场线垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，分析电场线方向，判断电势高低；根据公式
求匀强电场的电场强度大小；沿电场线方向电势降低最快；从 点沿 方向发射动能为 的
电子，该电子在电场中做类斜抛运动，则当电子沿电场线方向上的分速度为零时，电子的动能最小，结
合运动的分解法求该电子最小动能。
【解答】解： 、由于电子带负电，根据电势差定义式 可知，将电子从 点移动到 点，
电场力做功为 ，则有
将电子从 点移动到 点，电场力做功为 ，则有
14取 点电势为零，则
由于 为 边中点。则有
结合
解得： ，
则 ， 为一条等势线。根据等势面与电场线垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，可知电场线沿
方向，如下图所示。
可知，沿 方向电势降低最快， 点的电势最高，故 错误；
、匀强电场大小为
，故 错误；
、从 点沿 方向发射动能为 的电子，则该电子在电场中做类斜抛运动，则当电子沿电场线方
向上的分速度为零时，电子的动能最小，此时电子的速度为
由于发射动能为
则最小动能为 ，故 正确。
故选： 。
【点评】本题的关键要电势差的定义式，记住“在匀强电场中每前进相同的距离电势的降落相等”，以
及“线段中点的电势等于两端电势的平均值”这两个结论，并能灵活运用。
3．（2024•重庆）沿空间某直线建立 轴，该直线上的静电场方向沿 轴，某点电势的 随位置 变化的
15图像如图所示，一电荷量为 带负电的试探电荷，经过 点时动能为 ，速度沿 轴正方向，若该电
荷仅受电场力，则其将
A．不能通过 点 B．在 点两侧往复运动
C．能通过 点 D．在 点两侧往复运动
【答案】
【考点】 图像的理解与应用；从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】信息给予题；定性思想；推理法；电场力与电势的性质专题；理解能力
【分析】在 图像中，图像的斜率表示 电场强度的大小，斜率为零场强为零；斜率的正、负表示场
强的方向，负电荷所受电场力与场强方向相反，结合动能定理和试探电荷的运动速度分析其运动状态，
然后作答。
【解答】解：在 图像中，图像的斜率表示 电场强度的大小，因此在 处，场强为零。
假设试探电荷能到达 ，电场力做功
根据动能定理
代入数据解得 ，假设成立，故 错误；
当 ，场强方向沿 轴正方向，试探电荷所受电场力沿 轴负方向，试探电荷做减速运动至速
度为零，再向左做加速运动，重新回到 处时，动能为 ，速度方向沿 轴负方向；
在 范围，场强方向沿 轴负方向，电场力方向沿 轴正方向，试探电荷做减速运动；
设动能减为零时的电势为 ，根据动能定理
16解得
因此，试探电荷还未运动到 处，速度减速至零；
当试探电荷减速至零后，试探电荷又向右做加速运动，再次到达 处速度达到最大，在 区域，试探
做减速运动至速度为零，再向左先做加速运动，后做减速运动至零，即试探电荷在 点两侧往复运动，
故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题主要考查了 图像的斜率的含义，电场力做功公式以及动能定理；知道负电荷所受电
场力的方向与场强方向相反。
4．（2024•汕头二模）利用静电纺丝技术制备纳米纤维材料是近年来材料领域的重要技术。如图所示，
初始时无电场，喷嘴处的球形液滴保持静止；随着高压电场逐渐增强，液滴带上正电荷且由球形变为圆
锥形（即“泰勒锥” ；当电压增至某个临界值时（假设此后电压保持不变），液滴从尖端喷出，在非
匀强电场的作用下向下方运动， 、 为直线路径上的两点。以下说法正确的是
A．喷嘴处的球形液滴在无电场的情况下只受重力
B．液滴从 到 的过程做匀加速直线运动
C．液滴从 到 的过程电场力做负功
D．液滴向下做螺旋运动时电势能减小
【答案】
17【考点】电场力做功与电势能变化的关系；从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】比较思想；带电粒子在电场中的运动专题；推理能力；推理法
【分析】喷嘴处的球形液滴在无电场的情况下受重力和喷嘴的引力；液滴从 到 的过程，电场力是变
化的，做的是非匀加速直线运动；根据电场力方向与位移方向的关系判断电场力做功正负，从而判断出
电势能变化情况。
【解答】解： 、喷嘴处的球形液滴在无电场的情况下受重力和喷嘴的引力两个力作用，故 错误；
、液滴在非匀强电场中运动，所受电场力是变力，则合力是变化的，加速度是变化的，所以液滴从
到 的过程做变加速直线运动，故 错误；
、液滴带正电，从 到 的过程中受到的电场力方向竖直向下，与位移方向相同，则电场力做正功，
故 错误；
、液滴向下做螺旋运动时，电场力做正功，电势能减小，故 正确。
故选： 。
【点评】本题考查带电粒子在电场力作用下的运动，要明确液滴的受力情况，能根据电场力方向与位移
方向的关系判断电场力做功情况。
5．（2024•门头沟区一模）图甲是电场中的一条电场线， 、 是电场线上的两点。电子仅在电场力作
用下从 点运动到 点，其运动的 图像如图乙所示。 、 点电场强度分别为 和 ，电子在
、 点电势能分别为 和 。下列说法正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】
【考点】电场强度与电场力的关系和计算；电场线的定义及基本特征；电场力做功与电势能变化的关系
【专题】分析综合能力；定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题
【分析】根据 图像分析加速度，从而分析电场力和场强的变化，根据电场力做功分析二者的电势能
18大小关系。
【解答】解：根据 图像的变化特点可知，从 点运动到 点电荷做加速度减小的加速运动，负电荷
在 、 两点的加速度大小关系为
负电荷仅受电场力的作用，则 ， ，解得：
根据动能定理可知电场力对电子做了正功，电势能减小，则有 ，故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查电场大小与电势大小的判断方法，注意电场力做功与电势能变化的关系。
6．（2024•北京）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于 、 两点， 、 是 连线上的两点，
且 。下列说法正确的是
A． 点电场强度比 点电场强度大
B． 点电势与 点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍， 点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍， 、 两点间电势差不变
【答案】
【考点】电场强度的叠加；根据电场线的疏密判断场强大小；等量异种电荷的电势分布；非匀强电场中
电势差大小的比较
【专题】定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；推理能力
【分析】 根据等量异种点电荷的电场线分布规律分析 、 两点的场强大小关系；
根据电场线上的电势高低规律进行分析判断；
根据点电荷的场强公式和电场强度的叠加知识导出电场强度表达式，结合表达式进行定量分析，又
根据公式 做定性的分析。
【解答】解： 由等量异种点电荷的电场线分布特点知， 、 两点电场强度大小相等，故 错误；
19根据沿电场线方向电势越来越低的知识可知， 点电势高于 点电势，故 错误；
根据点电荷的场强公式，结合电场叠加得 点电场强度 ，若仅将两点电荷的电荷
量均变为原来的2倍，则 点电场强度大小也变为原来的2倍，同理 点电场强度大小也变为原来的2倍，
间的平均电场强度变大，而 间距不变，由 ，故 、 两点间电势差变大，故 正确，
错误。
故选： 。
【点评】考查电场强度、电势、电场叠加、电势差等问题，会根据题意进行准确分析和判断。
7．（2024•梅州一模）如图，新风系统除尘由机械除尘和静电除尘两部分构成，其中静电除尘是通过电
离空气后使空气中的粉尘微粒带电，从而被电极吸附的空气净化技术。如图虚线为一带电粉尘（不计重
力）在静电除尘管道内的运动轨迹，实线为电场线（未标方向），下列判定正确的是
A．带电粉尘带正电
B．带电粉尘在除尘管道内做匀变速曲线运动
C．带电粉尘在 点的加速度小于在 点的加速度
D．带电粉尘在 点的电势能大于在 点的电势能
【答案】
【考点】电场线的定义及基本特征；电场力做功与电势能变化的关系；从能量转化与守恒的角度解决电
场中的问题
【专题】定性思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；分析综合能力
【分析】根据物体做曲线运动的条件及带电粒子所受电场力与场强方向的关系作答；
电场线的疏密反映电场强度的大小，结合牛顿第二定律作答；
根据电场力做功与电势能变化的关系以及动能定理作答。
【解答】解： 、带电粉尘向正极板弯曲，说明带电粉尘受正极板的吸引力，所以粉尘带负电，故 错
20误；
、管道内的电场不是匀强电场，带电粉尘在除尘管道内所受合为为变力作用，做变加速曲线运动，故
错误；
、电场线的疏密表示场强强弱，由题图可知： ，带电粉尘在 点所受电场力小于在 点所受电
场力，所以电粉尘在 点的加速度小于在 点的加速度，故 正确；
、带电粉尘由 到 所受电场力指向轨迹的凹侧，并沿着电场线的切线方向指向左下方，电场力的方向
与由 到 的速度方向始终成钝角，所以带电粉尘从 点到 点电场力做负功，电势能增加， 点的电势
能小于 点的电势能，故 错误。
故选： 。
【点评】本题考查了电场力做功与电势能变化、场强大小的判断以及粒子做曲线运动的条件，涉及的知
识点较多，需要仔细分析。
8．（2024•天心区校级模拟）如图所示，绝缘水平光滑杆上套有一质量为 的带正电的小环，电荷量为
，小环与绝缘弹簧相连，弹簧另一端固定于杆正上方的 点。杆所在的空间存在着沿杆方向的匀强电
场，杆上 、 两点间的电势差为 ，其中 ，小环以向右的速度 经过 点，并能通
过 点。已知在 、 两点处，弹簧对小环的弹力大小相等， ， ， 、 之
间的距离为 ， 点位于 点的正下方。在小环从 点运动到 点的过程中
A．小环加速度最大值为
B．小环经过 点时的速度最大
C．小环经过 点时的速度大小为
D．小环在 、 两点时，弹性势能相等，动能也相等
【答案】
【考点】从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；推理论证能力
21【分析】 ．根据匀强电场的电场强度与电势差关系可以求解场强大小，进一步对小环受力分析，根据
牛顿第二定律可以判断小环加速度最大；
．根据运动过程受力以及牛顿第二定律可以判断小环经过 点时的速度是否最大；
．小环从 到 的过程中，根据动能定理可以求解出小环经过 点时的速度，进而判断正误。
【解答】解： ．匀强电场的场强大小为
解得
当小环刚越过 点右侧时，弹簧的弹力的水平分力和电场力都向右，所以合加速度必定大于 ，故
错误；
．小环在 、 之间运动的过程中，在 点的加速度向右，不是速度最大的位置，故 错误；
．小环从 到 的过程中，根据动能定理得
解得
小环从 到 的过程中，电场力做功，小环在 、 两点动能不相等，故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】掌握好能量变化的关系，弄清楚能量的去向是解答本题的关键，在 、 两点处，弹簧对小环
的弹力大小相等，则弹性势能相等。
9．（2024•罗湖区校级模拟）如图所示，粗糙水平面所在空间有水平向右的匀强电场，电场强度为 。
一质量为 ，带电荷量为 的物块自 点以初动能 向右运动。已知物块与地面间的动摩擦因
数为 ，重力加速度为 ，且 ，设 点的电势为零，规定水平向右为正方向，则物块的动能
、电势能 与物块运动的位移 关系图像可能正确的是
22A． B．
C． D．
【答案】
【考点】从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；分析综合能力
【分析】 ．明确物块的运动情况，根据动能定理求解；
根据电场力的做功情况判断电势能的变化情况。
【解答】解： ．当物块向右运动时，根据动能定理，有
解得
当物块减速为0时，因为 ，所以物块会向左加速，根据动能定理有
解得
故 正确， 错误；
．物体先向右减速，再向左加速，而物体电场力方向向左，所以电场力先做负功，再做正功，故电势
能 先增大后减小，故 错误。
故选： 。
23【点评】本题主要是考查带电物体在电场中的运动，关键是弄清楚物块的受力情况和运动情况，掌握电
场力做功和电势能的关系。
10．（2024•丰台区二模）如图所示，让 、 和 的混合物由静止开始从 点经同一加速电场加
速，然后穿过同一偏转电场。下列说法正确的是
A．进入偏转电场时三种粒子具有相同的速度
B．进入偏转电场时三种粒子具有相同的动能
C．三种粒子从不同位置沿不同方向离开偏转电场
D．三种粒子从相同位置沿相同方向离开偏转电场
【答案】
【考点】从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；推理能力
【分析】 根据动能定理结合各粒子的比荷等进行具体分析解答；
根据动能定理和类平抛运动的基本规律列式求解。
【解答】解： 设粒子的质量为 ，电荷量为 ，加速电场电压为 ，偏转电场电压为 ，偏转电场
板长为 ，板间距离为 ；粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得
可得
可知 、 进入偏转电场时具有相同的动能， 进入偏转电场时的动能最大； 、 进入
偏转电场时具有相同的速度， 进入偏转电场时的速度最大，故 错误；
粒子经过偏转电场过程做类平抛运动，根据类平抛运动规律则有
24联立可得
粒子离开偏转电场时速度方向与水平方向的夹角满足
可知粒子经过偏转电场的偏转位移与粒子的电荷量和质量均无关，则 、 和 进入偏转经过加
速电场和偏转电场的轨迹相同，三种粒子从相同位置沿相同方向离开偏转电场，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】考查带电粒子在电场中的加速和偏转的问题，会根据题意列式进行准确的解答。
二．多选题（共5小题）
11．（2024•鼓楼区校级三模）某款伸展运动传感器的原理图如图所示，它由一电极和可伸缩柱极体组成，
可在非接触状态下实现力一电转换。电极通过电阻接地处理，当带负电的柱极体靠近电极时，从地面引
出的电荷在电极上产生。当复合柱极体拉伸时，弹性体和柱极体粒子发生形变，改变了电极上的感应电
荷量，并通过电阻器产生电流（电子移动方向如图中箭头所示）。下列说法正确的是
A．在拉伸复合柱极体的过程中，电流自左向右流经电阻
B．在拉伸复合柱极体的过程中，柱极体内电荷相互作用的电势能减小
C．在拉伸复合柱极体的过程中，电极上的电势将升高
D．周期性拉伸复合柱极体，将有交变电流流经电阻
【答案】
【考点】电容器的动态分析 不变）——板间距离变化
【专题】定性思想；归纳法；电容器专题；理解能力
25【分析】根据电流的方向判断 ；根据电场力做正功，电势能减小判断 ；根据电流方向从高电势流向
低电势判断 ；根据交变电流的定义判断 。
【解答】解： ．由题图中电荷移动方向是自左向右通过电阻，我们规定电流方向为正电荷定向运动的
方向，所以电流自右向左流经电阻 ，故 错误；
．在拉伸复合柱极体的过程中，柱极体内电荷距离增大，电场力对电荷做正功，所以相互作用的电势
能减小，故 正确；
．电流方向与电子定向运动的方向相反，根据电流方向是从高电势流向低电势这一原理可知，在拉伸
复合柱极体的过程中，电极上的电势降低，故 错误；
．周期性拉伸复合柱极体，则电流将往返通过电阻 ，故将有交变电流流经电阻 ，故 正确。
故选： 。
【点评】知道电流方向是正电荷定向移动方向，与负电荷定向移动方向相反是解题的基础。
12．（2024•贵州模拟）如图（a），水平放置长为 的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强
度大小为 ，其方向随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽略不计。质量为 、电荷量
为 的带电粒子任意时刻沿金属板中心线 射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知
粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期 相同，不计粒子重力，则
A．金属板间距离的最小值为
B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于
D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
【答案】
【考点】带电粒子在周期性变化的电场中偏转
26【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；推理论证能力
【分析】根据对称性以及位移—时间公式可求出竖直方向的位移从而得到两极板间的最小值；根据运动
学公式，以及对运动的分析，可得到粒子到达竖直挡板时的速率的要求。
【解答】解： ．在 、1、 时刻进入电场的粒子在电场中的竖直位移最大，粒子在电
场中运动的时间为 ，则竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，由对称性，则沿竖直方向受到电场
力的作用，做初速度为零的匀加速运动，所以竖直方向的位移为
金属板间距离的最小值为
故 正确， 错误；
．粒子出离电场时的水平速度均为
在竖直方向上， 时刻进入电场的粒子，根据 图像可知，粒子先加速时间为 ，然后再减速
时间，在 时刻速度减为零；然后再反向加速 时间，再反向减速 时间，即在 时
刻出离电场时竖直速度再次减为零，粒子出离电场后做匀速直线运动，则达到竖直挡板时的速率等于
，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】学生在解决本题时，应注意对于变化的电场问题，要根据电场的周期性变化找到粒子在不同电
场情况下的运动情况。
13．（2024•衡水模拟）科学家在研究电荷分布的对称性的时候，巧妙地借助了我国传统文化中的“阴阳
太极图”，以获得更多的启示和灵感，如图所示的三维坐标系。太极图呈圆形位于 平面内， 轴过
圆心 ，在 轴两侧对称分布各有一个大半圆和小半圆， 、 各是小半圆的圆心，现在 、 上分
别放置一个等电量的负点电荷和正点电荷，在 轴的正向有一个定点 ，在圆的边缘有一个位置 ，则
下列说法正确的是
27A．若将正试探电荷 由 点沿 轴移动到 点，则 的电势能始终不变
B．若将正试探电荷 由 点沿“阴阳”边界经 移动到 点，则 的电势能增加
C．若将负试探电荷 沿虚线由 移到 ，则电场力一直对电荷做正功
D．若将负试探电荷沿 轴由 向 轴正向移动，则电荷克服电场力做负功
【答案】
【考点】电场力做功与电势能变化的关系
【专题】比较思想；图析法；电场力与电势的性质专题；理解能力
【分析】电场力做功可量度电势能的变化，电场力做正功时，电势能减小，电场力做负功时，电势能增
大。根据电场力做功情况分析电势能变化情况。
【解答】解： 、由题图可知， 轴在等量异种点电荷连线的中垂线上，该中垂线是一条等势线，所以
将正试探电荷 由 点沿 轴移动到 点，则 的电势能始终不变，故 正确；
、试探正电荷 由 点沿“阴阳”边界经 移动到 点，可以分成两部分看，第一部分是从 到 ，
这个过程 位置的负点电荷对 不做功， 位置的正电荷对 做负功， 的电势能增加；第二部分是从
到 ，此过程 位置的正电荷对 不做功， 位置的负电荷对 做负功，电势能仍然在增加，所以，
的电势能一直在增加，故 正确；
、将负试探电荷 沿虚线由 移到 ，电势降低，电场力一直对电荷做负功，故 错误；
、将负试探电荷沿 轴由 向 轴正向移动，则电场力与移动路径一直垂直，电场力不做功，故 错
误。
故选： 。
【点评】本题考查了电场力做功、电势能变化等知识点，要掌握等量异种电荷电场线、等势面的分布情
况，尤其要知道等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线。
14．（2024•南充模拟）如图，竖直放置的立方体 中心有一粒子源，粒子源可以水平向各个方向
发射不同速度的带正电的粒子，粒子比荷为 。立方体处在竖直向下的匀强电场中，场强
大小 ，立方体边长 ，除上下底面外，其余四个侧面均为荧光屏（包括边缘）。不
考虑粒子源的尺寸大小、粒子重力以及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上后被荧光屏吸收，不考虑
28荧光屏吸收粒子后的电势变化。则
A．粒子射出后，在电场中运动的加速度大小
B．粒子射出后，在电场中向上偏转做类平抛运动
C．粒子从射出到打到荧光屏上运动的最长时间
D．不能打到荧光屏上的粒子，发射时的速度范围为
【答案】
【考点】从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；分析综合能力
【分析】根据牛顿第二定律求粒子打出后的加速度；
正粒子受电场力与电场线方向相同，做类平抛运动；
时间由沿电场方向的位移决定，从而可以确定最长时间打在下底边缘上；
由几何关系得，当水平位移小于 时。粒子将打不到荧光屏。
【解答】解： 、对带正电的粒子受力分析，根据牛顿第二定律：
代入解得： ，故 正确；
、粒子带正电，电场力方向与电场强度方向相同，均为竖直向下，与初速度方向垂直，故粒子射出后，
在电场中向下偏转做类平抛运动，故 错误；
、粒子从射出到打到荧光屏上运动的时间最长时，粒子恰好打在荧光屏下边缘，满足：
解得： ，故 错误；
、当粒子恰好打在荧光屏上，由几何关系可知：
而水平方向满足：
29解得打在荧光屏上的最小速度： ，故 正确。
故选： 。
【点评】本题考查的是粒子源可以向水平各方向均匀地发射带正电粒子，在电场中运动偏转问题，本题
的难点在于水平位移和竖直位移，试题难度一般。
15．（2024•浙江模拟）电偶极子由两个点电荷 和 组成，它们之间的距离为 很小），总质量为
。如图所示，空间中某区域内存在一电场，其分布为 。先令一电偶极子朝着 方向，并使其
中点位于 处，再静止释放。下列说法正确的是
A． 的单位是
B．电偶极子受到的合力
C．电偶极子静止释放后的运动可看作简谐运动的一部分
D．电偶极子的电势能
【答案】
【考点】牛顿第二定律的简单应用；电场强度的定义、单位和方向；电势能的概念和计算
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；推理论证能力
【分析】根据电场强度的单位分析；根据力的合成法则 计算；根据受力方向与运动方向的关系分析；根
据电场力做功等于电势能的变化量分析。
【解答】解： ．由电场强度的单位是 ，由于 ，则 的单位是
，故 正确；
．电偶极子受到的合力
30，故 正确；
．电偶极子所受合力方向沿 轴正方向，静止释放后一直向 轴正方向运动，合力方向与位移方向同向，
所以电偶极子不会做简谐运动，故 错误；
．两个电荷放在一起电势能为零，相当于把其中一个移开了距离 ，电场力做的功 就是变化的电势
能，若是匀强电场，电偶极子的电势能为： ，而实际不是匀强电场，故电偶极
子的电势能不等于 ，故 错误。
故选： 。
【点评】掌握电场力做功与电势能的关系，知道电偶极子的受力方向是解题的基础。
三．填空题（共5小题）
16．（2024•福建）如图，圆心为 点、半径为 的圆周上有 、 、 、 、 、 、 、 八个等
分点， 点固定有一带电量为 的点电荷，其余各点均固定有带电量为 的点电荷。已知静电
力常量为 ，则 点的电场强度大小为 。 、 分别为 、 的中点，则 点的电势
（填“大于”“等于”或“小于” 点的电势；将一带电量为 的点电荷从 点沿图中 弧
线移动到 点，电场力对该点电荷所做的总功 （填“大于零”“等于零”或“小于零” 。
【答案】 ，大于，大于零。
【考点】电场力做功与电势能变化的关系
【专题】推理法；电场力与电势的性质专题；定量思想；推理论证能力
【分析】根据对称性排除相应电荷对 电场强的干扰，然后分析不具备对称性的点电荷对 的场强，结
31合场强的叠加原理，电场中电势高低的判断方法以及电场力做功的知识进行分析解答。
【解答】解：由于对称性，直径 、 上面三个电荷与下面三个电荷对 点的场强之和为0，对 、
两点电势的影响相同，因此只需考虑 点和 点两个电荷即可。根据点电荷场强公式和场强叠加原理，
点场强为 ； 点更靠近 点的 ， 点 更靠近 点的 ，则 点电势大于 点；将
从 点移到 点，电场力做功 。
故答案为： ，大于，大于零。
【点评】考查点电荷的场强和电场叠加知识，会根据电荷分布判断电势高低以及电场力对电荷做功的问
题。
17．（2024•鼓楼区校级二模）“场离子显微镜”的金属钨针尖处于球形真空玻璃泡的球心 ，玻璃泡内
壁有一层均匀导电膜：在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场可视为位于 点处点电
荷形成的电场，如图所示。 、 、 、 、 为同一平面上的5个点， 是一段以 为圆心的圆弧，
为 的中点。 、 两点场强大小分别为 、 ， 、 、 、 四点电势分别为 、 、 、 ，
则 小于 ； ， 。（填“大于”“等于”或“小于”
【答案】小于；等于；小于。
【考点】通过电场线的方向判断电势的高低；带电体周围的电势分布；等势面及其与电场线的关系；非
匀强电场中电势差大小的比较
【专题】定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；分析综合能力
【分析】由于沿电场线电势降低，从而可判断电势大小；
利用电场的电势分布情况，可判断电势大小；
根据公式 ，结合微元思想可判断电势情况。
【解答】解：由于沿着电场线方向电势逐渐降低，可知
32由题知，在钨针和导电膜间加上高电压后，玻璃泡上半部分的电场可视为位于 点处点电荷形成的电场，
则根据点电荷形成的电场的电势分布可知
且越靠近 场强越强，则 部分的场强均大于 部分的场强，则根据 ，结合微元法可定性判别
出
而
则
故答案为：小于；等于；小于。
【点评】学生在解答本题时，应注意电势的性质，掌握基本的电场分布情况。
18．（2023•浦东新区二模）某空间的 轴上只存在沿此轴方向的静电场， 轴上各点电势分布如图。一
带电量为 的粒子只在电场力作用下由 轴上某点无初速释放，若粒子沿 轴运动过程中的总能量恒为
零，则粒子的活动区间是 ；运动过程中的最大动能为 。
【答案】 ；
【考点】电场力做功与电势能变化的关系；匀强电场中电势差与电场强度的关系
【专题】推理能力；推理法；定量思想；带电粒子在电场中的运动专题
【分析】 图象的斜率代表电场强度，根据粒子受力情况分析运动情况，根据能量守恒定律分析最大
动能。
【解答】解：粒子沿 轴运动过程中的总能量恒为零，则粒子是在 或 处释放，由于 图象的斜率
33代表电场强度，则可知 的电场强度沿 轴正方向， 的电场强度沿 轴负方向，释放时小球受电场
力指向 点，所以粒子的活动区间是 ；粒子带负电，当电势最小时，动能最大，则最大动能为
故答案为： ；
【点评】本题考查了静电场的相关问题，考查知识点针对性强，难度较大，考查了学生掌握知识与应用
知识的能力，注意理解 图象。
19．（2023•鼓楼区校级模拟）相隔很远、均匀带电 、 的大平板在靠近平板处的匀强电场电场线如
图 所示，电场强度大小均为 。将两板靠近，根据一直线上电场的叠加，得到电场线如图 所示，则此
时两板间的电场强度为 ，两板相互吸引力的大小为 。
【考点】电场线
【专题】定性思想；推理法；电场力与电势的性质专题；推理能力
【分析】根据电场叠加原理以及 解答。
【解答】解：两无限大带电平行板间的场强原来是 ，将两板靠近时，相当于一个平行板电容器，两极
板之间相当于匀强电场，根据电场叠加原理，两板靠近时两板间的电场场强为 。
两板相互吸引的电场力大小为： ，
故答案为： ； 。
【点评】记住电场线的特点：电场线从正电荷出发，到负电荷终止；或从无穷远出发到无穷远终止，注
意两极间的电量没有变，是解题的关键．
20．（2022•虹口区二模）雷雨天，在避雷针附近产生电场，其等势面的分布如虚线所示。 、 、 三
点中，场强最大的位置是 点 。一带电量为 的点电荷 ，由 运动到 ，则其电势能
34的变化△ 。
【答案】 点，
【考点】电场强度与电场力；电场线；电势能与电场力做功
【专题】定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；推理能力
【分析】由等势面越稀疏的位置电场强度小判断场强大小，由 求解电势能变化。
【解答】解：等势线越密集的地方场强越大， 、 、 三点中，场强最大的位置是 点。
由 运 动 到 ， 则 其 电 势 能 的 变 化
故答案为： 点，
【点评】本题考查静电力，学生需深刻理解电场强度与电势的关系。
四．解答题（共5小题）
21．（2024•大兴区校级模拟）类比法是研究物理问题的常用方法。
（1）如图甲所示为一个电荷量为 的点电荷形成的电场，静电力常量为 ，有一电荷量为 的试探电
荷放入场中，与场源电荷相距为 。根据电场强度的定义式，推导：试探电荷 所在处的电场强度 的表
达式。
（2）场是物理学中重要的概念，除了电场和磁场外，还有引力场，物体之间的万有引力就是通过引力场
发生作用的。忽略地球自转影响，地球表面附近的引力场也叫重力场。已知地球质量为 ，半径为 ，
引力常量为 。请类比电场强度的定义方法，定义距离地球球心为 处的引力场强度，并说明两种
场的共同点。
（3）微观世界的运动和宏观运动往往遵循相同的规律，根据玻尔的氢原子模型，电子的运动可以看成是
经典力学描述下的轨道运动，如图乙。原子中的电子在原子核的库仑引力作用下，绕静止的原子核做匀
35速圆周运动。这与天体运动规律相似，天体运动轨道能量为动能和势能之和。已知氢原子核（即质子）
电荷量为 ，核外电子质量为 ，带电量为 ，电子绕核运动的轨道半径为 ，静电力常量为 。若规
定离核无限远处的电势能为零，电子在轨道半径为 处的电势能为 ，求电子绕原子核运动的系
统总能量 （包含电子的动能与电势能）。
【答案】（1） 处的电场强度 的大小为 ；
（2）引力场强度为 ；
两种场的共同点：①都是一种看不见的特殊物质；
②场强都是既有大小又有方向的矢量；
③两种场力做功都与路径无关，可以 引入“势”的概念；
④力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；
⑤都可以借助电场线（引力场线）、等势面（等高线）来形象描述场。；
（3）电子绕原子核运动的轨道能量为 ，电子向距离原子核远的高轨道跃迁时其能量变大。
【考点】点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场；电场力做功的计算及其特点；电场力做功与电势
能变化的关系
【专题】定量思想；推理法；电场力与电势的性质专题；电荷守恒定律与库仑定律专题；分析综合能力
【分析】（1）根据电场强度的定义式，求 处的电场强度 的大小；
（2）类比电场强度的定义方法，求引力场强度；
（3）根据库仑引力提供向心力、动能定义，求电子绕原子核运动的轨道动能，再求电子绕原子核运动的
轨道能量
【解答】解：（1）根据库仑定律和场强的定义式有
36解得
（2）根据万有引力定律
则距离地球球心为 处的引力场强度为
两种场的共同点：①都是一种看不见的特殊物质；
②场强都是既有大小又有方向的矢量；
③两种场力做功都与路径无关，可以 引入“势”的概念；
④力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；
⑤都可以借助电场线（引力场线）、等势面（等高线）来形象描述场。
（3）根据
则动能为
电子绕原子核运动的轨道能量为
电子向距离原子核远的高轨道跃迁时 增大，动能减小，电势能增加，电子绕原子核运动的轨道能量
增加。
答：（1） 处的电场强度 的大小 ；
（2）引力场强度 ；
两种场的共同点：①都是一种看不见的特殊物质；
②场强都是既有大小又有方向的矢量；
③两种场力做功都与路径无关，可以 引入“势”的概念；
④力做功的过程，都伴随着一种势能的变化；
⑤都可以借助电场线（引力场线）、等势面（等高线）来形象描述场。；
（3）电子绕原子核运动的轨道能量为 ，电子向距离原子核远的高轨道跃迁时其能量变大。
【点评】本题考查学生对电场强度的定义式、类比法、库仑引力提供向心力、动能定义的掌握，考点丰
富，难度中等。
3722．（2024•河北）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内
绕 点做圆周运动。图中 、 为圆周上的两点， 点为最低点， 点与 点等高。当小球运动到 点
时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为 ，质量为 ， 、 两点间的电势差为 ，
重力加速度大小为 ，求：
（1）电场强度 的大小。
（2）小球在 、 两点的速度大小。
【答案】（1）电场强度 的大小为 。
（2）小球在 点的速度大小 ， 点的速度大小为 。
【考点】绳球类模型及其临界条件；匀强电场中电势差与电场强度的关系
【专题】定量思想；推理法；动能定理的应用专题；推理能力
【分析】（1）根据匀强电场的电场强度的表达式计算；
（2）根据牛顿第二定律和动能定理列式求解两个速度大小。
【解答】解：（1）由题意， 、 两点间的电势差为 ，沿电场线方向的距离为 ，根据匀强电场强度
公式有
（2）设 点速度大小为 ， 的速度大小为 ，小球运动到 点位置，根据牛顿第二定律有
， 解 得 ， 小 球 从 运 动 的 过 程 ， 根 据 动 能 定 理 有
，解得 。
38答：（1）电场强度 的大小为 。
（2）小球在 点的速度大小 ， 点的速度大小为 。
【点评】考查动能定理和牛顿第二定律的应用，会根据题意进行准确分析和解答。
23．（2024•东城区二模）如图所示，在真空中 、 两个完全相同的带正电小球（可视为质点）分别用
长为 的轻细线系住，另一端悬挂在 点，电荷量 。 为 、 连线中垂线，当 、 静
止时， 。已知静电力常量为 ，求：
（1）轻细线拉力的大小 ；
（2） 点电场强度的大小 和方向；
（3）若把电荷量为 的正试探电荷从 点移到 点，克服电场力做了 的
功，求 、 两点间的电势差 。
【答案】（1）轻细线拉力的大小 为 ；
（2） 点电场强度的大小 为 ，方向竖直向上；
（3） 、 两点间的电势差 为 。
【考点】共点力的平衡问题及求解；电势差的概念、单位和物理意义；匀强电场中电势差与电场强度的
关系；库仑定律的表达式及其简单应用
【专题】定量思想；电场力与电势的性质专题；推理法；分析综合能力
【分析】（1）对小球 进行正确受力分析，根据平衡条件列式求解库仑力；
（2）根据点电荷的场强表达式，通过矢量合成法则 点电场强度的大小和方向；
39（3）依据 即可求解 、 两点间的电势差。
【解答】解：（1）根据库仑定律得： 、 间的库仑力
根据平衡条件得：
（2）由点电荷的场强公式知
点的场强 ，方向竖直向上
（3）根据电势差和电场力做功关系得： 、
答：（1）轻细线拉力的大小 为 ；
（2） 点电场强度的大小 为 ，方向竖直向上；
（3） 、 两点间的电势差 为 。
【点评】本题主要考查了 库仑定律的相关应用，熟悉物体的受力分析，结合库仑定律即可完成解答。
24．（2024•长春一模）一种测定电子比荷的实验装置如图所示。真空玻璃管内阴极 发出的电子经阳极
与阴极 之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板 、
间的区域，若两极板 、 间无电压，电子将打在荧光屏上的 点，若在两极板间施加电压 ，则离开
极板区域的电子将打在荧光屏上的 点；若在极板间再施加一个方向垂直于纸面、磁感应强度为 的匀
强磁场，则电子在荧光屏上产生的光点又回到 点。该装置中 、 极板的长度为 ，间距为 ，极板
区的中点 到荧光屏中点 的距离为 ， 点到 点的距离为 。
（1）判断所加磁场的方向；
（2）求电子经高压加速后的速度大小 ；
（3）求电子的比荷 。
40【答案】答：（1）磁场方向垂直于纸面向外；
（2）电子经高压加速后的速度大小 为 ；
（3）电子的比荷 为 。
【考点】从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在复合场中的运动专题；推理能力
【分析】（1）对电子受力分析，可知电子受到电场力和洛伦兹力平衡，电场力方向竖直向下，则洛伦兹
力竖直向上，结合左手定则即可判断出磁场方向。
（2）电子受到电场力和洛伦兹力平衡，电场力的大小为 ，洛伦兹力的大小为 ，即可求解电子经高
压加速后的速度大小 。
（3）没有加磁场时，电子进入平行板电容器极板间做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式可推导
出垂直于极板方向的位移，电子离开极板区域后做匀速直线运动，水平方向的速度等于电子刚进入极板
间的初速度，求出匀速直线运动的时间，即可求出 点离开 点的距离。加上磁场 后，荧光屏上的光
点重新回到 点，说明电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，洛伦兹力竖直向
上，故根据左手定则可求出磁场的方向，并能得到电子进入极板时的速度大小 ，联立可求出比荷。
【解答】解：（1）加上磁场 后，荧光屏上的光点重新回到 点，可知电子受到电场力和洛伦兹力平衡，
电场力方向竖直向下，则洛伦兹力竖直向上，故根据左手定则可得出磁场方向垂直于纸面向外。
（2）电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有
又有
联立解得，电子射入偏转电场的速度
（3）电子在极板区域运行的时间
41在电场中的偏转位移
电子离开极板区域时，沿垂直极板方向的末速度
设电子离开极板区域后，电子到达光屏 点所需的时间为 ，则有
电子离开电场后在垂直极板方向的位移
点离开 点的距离等于电子在垂直极板方向的总位移
联立解得
答：（1）磁场方向垂直于纸面向外；
（2）电子经高压加速后的速度大小 为 ；
（3）电子的比荷 为 。
【点评】本题是带电粒子在电场、复合场中运动的问题，类平抛运动根据运动的分解法研究，电子在复
合场中，是速度选择器的原理，难度适中。
25．（2024•安徽二模）如图甲，竖直面内有一小球发射装置，左侧有光滑绝缘圆弧形轨道 ， 与
圆心 等高， 处于坐标原点， 轴左侧有一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度的大小
。现将带正电绝缘小球从 点由静止释放进入轨道，一段时间后小球从 点离开并进入 轴
右侧， 轴右侧与直线 （平行于 轴）中间范围内有周期性变化的水平方向电场，规定向右为正方向，
交变电场周期 ，变化规律如图乙。已知圆弧形轨道半径 ，小球质量 ，电荷量
， ，重力加速度 ， ，不计空气阻力的影响及带电小球产
42生的电场。求：
（1）小球在 点时的速度；
（2）若小球在 时刻经过 点，在 时刻到达电场边界 ，且速度方向恰与直线 平行，
的大小及直线 到 轴的距离；
（3）基于（2）中直线 到 轴的距离，小球在不同时刻进入交变电场再次经过 轴时的坐标范围。
【考点】动能定理的简单应用；从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【专题】定量思想；推理法；带电粒子在电场中的运动专题；分析综合能力
【分析】（1）根据矢量合成的特点得出小球的受力，结合动能定理得出小球的速度；
（2）根据小球在不同方向上的运动特点，结合运动学公式得出场强的大小和对应的距离；
（3）理解小球的运动特点，结合运动学公式得出小球在不同时刻进入交变电场再次经过 轴时的坐标范
围。
【解答】解：（1）小球在 轴左侧，根据矢量合成的特点可得：
解得：
方向与水平方向成 向下，根据动能定理，小球 到 运动过程
解得：
方向为与水平方向成 。
（2）小球到达直线 时速度方向恰与 平行，即水平速度恰减到0，根据电场的周期性
解得：
根据牛顿第二定律可得：
43解得：
根据速度—位移关系式
解得：
（3）小球在 轴右侧竖直方向做竖直上抛运动，小球再次经过 轴的运动时间相同
恰经过一个周期， 时刻进入电场，小球在一个周期内水平方向先减速运动再加速，此过程小球水平
方向平均速度最小，离 点最近
联立解得：
因为
小球在电场内经过 轴， 时刻进入电场，小球在一个周期内水平方向先加速运动
解得：
且
恰加速运动至 所在直线，小球出电场后做匀速运动
解得：
则
此过程小球水平方向平均速度最大，离 点最远，综上，小球经过 轴时的坐标范围为
答：（1）小球在 点时的速度为 ，方向为与水平方向成 ；
44（2）若小球在 时刻经过 点，在 时刻到达电场边界 ，且速度方向恰与直线 平行，
的大小为 ，直线 到 轴的距离为 ；
（3）基于（2）中直线 到 轴的距离，小球在不同时刻进入交变电场再次经过 轴时的坐标范围为
。
【点评】本题主要考查了带电物体在电场中的运动，熟悉物体的受力分析，理解图像的物理意义，结合
牛顿第二定律和运动学公式即可完成解答。
45考点卡片
1．共点力的平衡问题及求解
【知识点的认识】
1.共点力
（1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作
用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。
（2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。
2.共点力平衡的条件
（1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。
（2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
3.对共点力平衡条件的理解及应用
合外力等于0，即F合 ＝0→正交分解法 ，其中F
x合
和F
y合
分别表示物体在x轴和y轴上所受的合
力。
4.平衡条件的推论
（1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
（2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
（3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力
的合力等大、反向。
5.解答共点力平衡问题的三种常用方法
466.平衡中的临界、极值问题
a.临界问题
（1）问题特点：
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论
证、求解。
b.极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）分析方法：
①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求
极值。
②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定
最大值或最小值。
7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
（1）“活结”与“死结”模型
①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但
实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这
47两段绳夹角的平分线。
②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
（2）“活杆”与“死杆”模型
①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，
否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，
水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮
后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力
的方向不沿杆的方向。
【命题方向】
例1：在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根
轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一质量为m的重物。当滑轮和重物都静
止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为 ，乙图中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四
幅图中滑轮受到木杆 P 的弹力的大小依次为 F 、F θ、F 、F ，则以下判断正确的是（ ）
A B C D
A.F ＝F ＝F ＝F
A B C D
B.F ＞F ＝F ＞F
D A B C
C.F ＝F ＝F ＞F
A C D B
48D.F ＞F ＝F ＞F
C A B D
分析：对滑轮受力分析，受两个绳子的拉力和杆的弹力；滑轮一直保持静止，合力为零，故杆的弹力与
两个绳子的拉力的合力等值、反向、共线。
解答：由于两个绳子的拉力大小等于重物的重力，大小不变，即四个选项中绳子的拉力是大小相等的，
根据平行四边形定则知两个力的夹角越小，则合力越大，即滑轮两边绳子的夹角越小，绳子拉力的合力
越大，故丁图中绳子拉力合力最大，则杆的弹力最大，丙图中夹角最大，绳子拉力合力最小，则杆的弹
力最小，甲图和乙图中的夹角相同，则绳子拉力合力相等，则杆的弹力相等，所以甲、乙、丙、丁四幅
图中滑轮受到木杆P的弹力的大小顺序为：F ＞F ＝F ＞F ，故B正确，ACD错误。
D A B C
故选：B。
本题考查的是力的合成与平衡条件在实际问题中的应用，要注意杆的弹力可以沿着杆的方向也可以不沿
着杆方向，结合平衡条件分析是关键。
例2：如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为 45°，日光灯保
持水平，所受重力为G。则（ ）
A.两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B.两绳的拉力和重力不是共点力
C.两绳的拉力大小均为 G
D.两绳的拉力大小均为
分析：两绳的拉力和重力是共点力，根据合力为零分析AB选项；根据对称性可知，左右两绳的拉力大小
相等，分析日光灯的受力情况，由平衡条件求解绳子的拉力大小。
解答：B．对日光灯受力分析如图：
两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，故B错误；
A．由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力 G等大反向，故A
49正确；
CD．由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成 45°角，则由力的平行四边形定则可知：G＝
，F ＝F ，解得：F ＝F ＝ ，故C正确，D错误。
1 2 1 2
故选：AC。
点评：本题主要是考查了共点力的平衡，解答本题的关键是：确定研究对象、进行受力分析、进行力的
合成，利用平衡条件建立方程进行解答。
例3：如图，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。
现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（ ）
A.mg
B. mg
C. mg
D. mg
分析：根据物体的受力平衡，依据几何关系求解即可。
解答：依题得，要想CD水平，则各绳都要紧绷，根据几何关系可知，AC与水平方向的夹角为60°，结
点C受力平衡，则受力分析如图所示
因此CD的拉力为 T＝mg•tan30°
D点受CD绳子拉力大小等于T，方向向左。要使CD水平，则D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，
则CD绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F 以及另一分力F 。
1 2
由几何关系可知，当F 与BD垂直时，F 最小，F 的大小即为拉力大小，因此有
2 2 2
F ＝T•sin60°＝ mg
2min
50故ABD错误，C正确。
故选：C。
点评：本题考查的是物体的受力平衡，解题的关键是当F 与BD垂直时，F 最小，F 的大小即为拉力大
2 2 2
小。
例4：如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M 的物体，
1
∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方
向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M 的物体（都处于静止状态），求：
2
（1）细绳AC的张力F 与细绳EG的张力F 之比；
TAC TEG
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力。
分析：（1）根据力的分解及几何关系解答。
（2）图甲中对滑轮受力分析，运用合成法求解细绳AC段的张力F 与轻杆BC对C端的支持力；
AC
（3）乙图中，以C点为研究对象，根据平衡条件求解细绳EG段的张力F 以及轻杆HG对G端的支持力。
2
解答：下图（a）和下图（b）中的两个物体M 、M 都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体
1 2
相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图（a）和右
图（b）所示，根据平衡规律可求解。
（1）上图（a）中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M 的物体，物体处于平衡状态，轻绳 AC段的拉力
1
F ＝F ＝M g；
TAC CD 1
上图（b）中由于F sin30°＝M g
TEG 2
得F ＝2M g
EG 2
所以F ：F ＝M ：2M 。
TAC TEG 1 2
51（2）上图（a）中，根据F ＝F ＝M g且夹角为120°
AC CD 1
故F ＝F ＝M g，方向与水平方向成30°，指向斜右上方。
NC AC 1
（3）上图（b）中，根据平衡方程有F ＝ ＝ M g，方向水平向右。
NG 2
答：（1）轻绳AC段的张力F 与细绳EG的张力F 之比为 ；
AC EG
（2）轻杆BC对C端的支持力为M g，指向斜右上方；
1
（3）轻杆HG对G端的支持力大小为 M g 方向水平向右。
2
点评：本题首先要抓住定滑轮两端绳子的特点，其次要根据平衡条件，以C、G点为研究对象，按力平衡
问题的一般步骤求解。
【解题思路点拨】
1.在分析问题时，注意“静止”和“v＝0”不是一回事，v＝0， 。
2.解答共点力平衡问题的一般步骤
（1）选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统
整体还是系统中的某一个物体（整体法或隔离法）。
（2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。
（3）对研究对象所受的力进行处理，对三力平衡问题，一般根据平衡条件画出力合成时的平行四边形。
对四力或四力以上的平衡问题，一般建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行分解。
（4）建立平衡方程，对于四力或四力以上的平衡问题，用正交分解法列出方程组。
3.临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的
临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，
即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
2．牛顿第二定律的简单应用
【知识点的认识】
牛顿第二定律的表达式是F＝ma，已知物体的受力和质量，可以计算物体的加速度；已知物体的质量和
加速度，可以计算物体的合外力；已知物体的合外力和加速度，可以计算物体的质量。
52【命题方向】
一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速度大小为 g，g为重力加速度。人对电梯底部的压力
为（ ）
A、 B、2mg C、mg D、
分析：对人受力分析，受重力和电梯的支持力，加速度向上，根据牛顿第二定律列式求解即可。
解答：对人受力分析，受重力和电梯的支持力，加速度向上，根据牛顿第二定律
N﹣mg＝ma
故N＝mg+ma＝ mg
根据牛顿第三定律，人对电梯的压力等于电梯对人的支持力，故人对电梯的压力等于 mg；
故选：A。
点评：本题关键对人受力分析，然后根据牛顿第二定律列式求解。
【解题方法点拨】
在应用牛顿第二定律解决简单问题时，要先明确物体的受力情况，然后列出牛顿第二定律的表达式，再
根据需要求出相关物理量。
3．绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，
如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型
如图所示。
532.模型分析
【命题方向】
如图所示，质量为M的支座上有一水平细轴．轴上套有一长为L的细绳，绳的另一端栓一质量为m的小
54球，让球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球运动到最高点时，支座恰好离开地面，则此时小球的线速
度是多少？
分析：当小球运动到最高点时，支座恰好离开地面，由此说明此时支座和球的重力全部作为了小球的向
心力，再根据向心力的公式可以求得小球的线速度．
解答：对支座M，由牛顿运动定律，得：T﹣Mg＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
对小球m，由牛顿第二定律，有：T+mg＝m ﹣﹣﹣②
联立 ①②式可解得：v＝ ．
答：小球的线速度是 ．
点评：物体做圆周运动需要向心力，找到向心力的来源，本题就能解决了，比较简单．
【解题思路点拨】
对于竖直平面内的圆周运动，一般题目都会给出关键词“恰好”，当物体恰好过圆周运动最高点时，物
体自身的重力完全充当向心力，mg＝m ，从而可以求出最高点的速度v＝ 。
4．动能定理的简单应用
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合 ＝ΔE
k
＝E
k末
﹣E
k初
3.本考点针对简单情况下用动能定理来解题的情况。
【命题方向】
如图所示，质量m＝10kg的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因数 ＝0.2，g＝10m/s2，今用F
μ
55＝50N的水平恒力作用于物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，作用时间t＝6s后撤去F，求：
（1）物体在前6s运动的过程中的加速度；
（2）物体在前6s运动的位移
（3）物体从开始运动直到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功。
分析：（1）对物体受力分析知，物体做匀加速运动，由牛顿第二定律就可求出加速度；
（2）用匀变速直线运动的位移公式即可求得位移的大小；
（3）对全程用动能定理，可以求得摩擦力的功。
解答：（1）对物体受力分析，由牛顿第二定律得
F﹣ mg＝ma，
解得μ a＝3m/s2，
（2）由位移公式得 X＝ at2＝ ×3×62m＝54m。
（3）对全程用动能定理得
FX﹣W＝0
f
W＝FX＝50×54J＝2700J。
f
答：（1）物体在前6s运动的过程中的加速度是3m/s2；
（2）物体在前6s运动的位移是54m；
（3）物体从开始运动直到最终静止的过程中克服摩擦力所做的功为2700J。
点评：分析清楚物体的运动过程，直接应用牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律求解即可，求摩擦力
的功的时候对全程应用动能定理比较简单。
【解题思路点拨】
1．应用动能定理的一般步骤
（1）选取研究对象，明确并分析运动过程。
（2）分析受力及各力做功的情况
①受哪些力？
②每个力是否做功？
③在哪段位移哪段过程中做功？
④做正功还是负功？
⑤做多少功？求出代数和。
（3）明确过程始末状态的动能E 及E 。
k1 k2
56（4）列方程W总 ＝E
k2
﹣E
k1
，必要时注意分析题目潜在的条件，补充方程进行求解。
注意：
①在研究某一物体受到力的持续作用而发生状态改变时，如涉及位移和速度而不涉及时间时应首先考虑
应用动能定理，而后考虑牛顿定律、运动学公式，如涉及加速度时，先考虑牛顿第二定律。
②用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草
图，以便更准确地理解物理过程和各物理量的关系。有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计
算外力做功时更应引起注意。
5．库仑定律的表达式及其简单应用
【知识点的认识】
1．内容：在真空中两个静止的点电荷间的作用力跟它们的电量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方
成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k ，式中k表示静电力常量，k＝9.0×109N•m2/C2．
3．适用条件：真空中的静止点电荷．
【命题方向】
题型一：对库仑定律的理解
例1：真空中有两个静止的点电荷，它们之间静电力的大小为F．如果保持这两个点电荷之间的距离不变，
而将它们的电荷量都变为原来的3倍，那么它们之间的静电力的大小变为（ ）
A.3F B. C. D.9F
分析：本题比较简单，直接利用库仑定律进行计算讨论即可．
解：距离改变之前： ①
当电荷量都变为原来的3倍时： ②
联立①②可得：F ＝9F，故ABC错误，D正确．
1
故选：D．
点评：库仑定律应用时涉及的物理量较多，因此理清各个物理量之间的关系，可以和万有引力定律进行
类比学习．
题型二：库仑定律与力学的综合问题
57例2：在一绝缘支架上，固定着一个带正电的小球 A，A又通过一长为10cm的绝缘细绳连着另一个带负
电的小球B，B的质量为0.1kg，电荷量为 ×10﹣6C，如图所示，将小球B缓缓拉离竖直位置，当绳与竖
直方向的夹角为60°时，将其由静止释放，小球B将在竖直面内做圆周运动．已知释放瞬间绳刚好张紧，
但无张力．g取10m/s2．求
（1）小球A的带电荷量；
（2）释放瞬间小球B的加速度大小；
（3）小球B运动到最低点时绳的拉力．
分析：（1）释放小球瞬间，对小球进行受力分析，由库仑定律与力的合成与分解可以求出小球A的电荷
量．
（2）对小球受力分析，由牛顿第二定律可以求出小球的加速度．
（3）由动能定理求出小球到达最低点时的速度，然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力．
解：（1）小球B刚释放瞬间，速度为零，
沿绳子方向上，小球受到的合力为零，
则mgcos60°＝k ，
代入数值，求得q ＝5×10﹣6C；
A
（2）小球所受合力方向与绳子垂直，
由牛顿第二定律得：mgsin ＝ma， ；
（3）释放后小球B做圆周θ运动，两球的相对距离不变，库仑力不做功，
从释放小球到小球到达最低点的过程中，由动能定理得：mg（L﹣Lcos60°）＝ mv2﹣0，
小球在最低点，由牛顿第二定律得：F +k ﹣mg＝ ，
T
解得：F ＝ mg＝1.5N；
T
答：（1）小球A的带电荷量为5×10﹣6C；
（2）释放瞬间小球B的加速度大小为5 m/s2；
（3）小球B运动到最低点时绳的拉力为1.5N．
点评：释放小球瞬间，沿绳子方向小球受力平衡，小球所受合力沿与绳子垂直的方向．
58【解题方法点拨】
1．库仑定律适用条件
（1）库仑定律只适用于真空中的静止点电荷，但在要求不很精确的情况下，空气中的点电荷的相互作用
也可以应用库仑定律．
（2）当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看做点电荷．但不能根据公式错误地推论：
当r→0时，F→∞．其实在这样的条件下，两个带电体已经不能再看做点电荷了．
（3）对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离．
（4）对两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布．
2．应用库仑定律需要注意的几个问题
（1）库仑定律的适用条件是真空中的静止点电荷．点电荷是一种理想化模型，当带电体间的距离远远大
于带电体的自身大小时，可以视其为点电荷而适用库仑定律，否则不能适用．
（2）库仑定律的应用方法：
库仑定律严格地说只适用于真空中，在要求不很精确的情况下，空气可近似当作真空来处理．注意库仑
力是矢量，计算库仑力可以直接运用公式，将电荷量的绝对值代入公式，根据同种电荷相斥，异种电荷
相吸来判断作用力F是引力还是斥力；也可将电荷量带正、负号一起运算，根据结果的正负，来判断作
用力是引力还是斥力．
（3）三个点电荷的平衡问题：
要使三个自由电荷组成的系统处于平衡状态，每个电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反，也
可以说另外两个点电荷在该电荷处的合场强应为零．
3．分析带电体力学问题的方法与纯力学问题的分析方法一样，要学会把电学问题力学化．分析方法是：
（1）确定研究对象．如果有几个带电体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”；
（2）对研究对象进行受力分析，多了个电场力（F＝k ）．
（3）列平衡方程（F合 ＝0或F
x
＝0，F
y
＝0）或牛顿第二定律方程．
6．电场强度的定义、单位和方向
59【知识点的认识】
1.单场强度的定义：试探电荷所受电场力与所带电荷量之比叫作电场强度。
2.表达式：E＝ 。
3.标矢性：矢量，方向与放在该处的正电荷受力方向一致。
4.意义：描述电场的性质的物理量，取决于电场本身。
5.单位：牛每库，符号N/C。
【命题方向】
电场中有一点P，下列说法中正确的是（ ）
A、若放在P点的电荷的电荷量减半，则P点的场强减半
B、若P点没有试探电荷，则P点场强为零
C、P点的场强方向为放在该点的负电荷的受力方向
D、P点的场强大小和方向与放入的试探电荷无关
分析：场强反映电场本身的强弱和方向，由电场本身决定，与放入电场中试探电荷无关．场强方向是放
在该点的正电荷的受力方向．
解答：A、场强反映电场本身的强弱和方向，由电场本身决定，将放在P点的电荷的电荷量减半，P点的
场强不变。故A错误。
B、场强是由电场本身决定的，与试探电荷无关，若P点没有试探电荷，P点场强不变，不为零。故B错
误。
C、场强方向是放在该点的正电荷的受力方向，与放在该点的负电荷的受力方向相反。故C错误。
D、场强是描述电场本身性质的物理量，与放入电场的试探电荷无关。故D正确。
故选：D。
点评：本题考查场强的物理意义和方向，抓住场强反映电场本身特性的物理量，方向与正电荷所受的静
电力方向相同是关键．
【解题思路点拨】
E＝ 中的E是利用比值法定义的物理量。E的大小、方向是由电场本身决定的，是客观存在的，与放不
放试探电荷，以及放入的试探电荷的正负、电荷量多少均无关。既不能认为 E与F成正比，也不能认为E
与q成反比。
7．点电荷与均匀带电球体（球壳）周围的电场
【知识点的认识】
601.点电荷是最简单的场源电荷，一个电荷量为Q的点电荷，在与之相距r处的电场强度为E＝
2.推导如下：如果以Q为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。Q为场源电荷电量。
3．方向：若Q是正电荷，Q和该点的连线指向该点；若Q是负电荷，Q和该点的连线值向Q。
3．使用范围：仅使用于真空中点电荷产生的电场。
4.点单荷电场的特点：
根据上式可知，如果以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面，则球面上各点的电场强度大小相等。当
Q为正电荷时，电场强度E的方向沿半径向外（图甲 ）﹔当Q为负电荷时，电场强度E的方向沿半径向
内（图乙）。
即点电荷的电场是以电荷为球心向四周发散或由四周指向球心的。
5.带电球体（球壳）与点电荷等效：在一个比较大的带电体不能看作点电荷的情况下，当计算它的电场时，
可以把它分成若干小块，只要每个小块足够小，就可以看成点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法
计算整个带电体的电场。可以证明，一个半径为 R的均匀带电球体（或球壳）在球的外部产生的电场，
与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同（如下图），即
E＝
61式中的r是球心到该点的距离（ r＞R ），Q为整个球体所带的电荷量。
【命题方向】
一点电荷Q＝2.0×10﹣8C，在距此点电荷30cm处，该电荷产生的电场的强度是多大？
分析：知道点电荷的电荷量，知道离点电荷的距离，由点电荷的场强公式可以直接求得结果．
解答：由点电荷的场强公式E＝k 可知，
E＝k ＝9.0×109× ＝2000N/C，
所以电荷产生的电场的强度是2000N/C．
点评：本题是点电荷的场强公式的直接应用，掌握住公式就很简单了．
【解题思路点拨】
1.公式E＝ 又叫作电场强度的决定式，场源电荷（可视为点电荷）的电荷量 Q确定后，距离场源电
荷一定距离的场强就确定了。
2.一个均匀带电球体（或球壳）在球外某点产生的电场与一个位于球心，电荷量相字的点电荷在该点产生
的电场相同。要注意只局限于球外。
3.常见的错误之一是认为以点电荷为球心的球面上各处电场强度相等。错误的原因在于忽略了电场强度的
矢量性。准确的说法是以点电荷为球心的球面上各处电场强度大小相等，方向不同。
4.电场强度三个计算式的比较
表达式比较
E＝
E＝k
E＝
62公式意义 电场强度定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中E与U关系式
适用条件 一切电场 ①真空 ②点电荷 匀强电场
比较决定因素 由电场本身决定，与q 由场源电荷Q和场源电荷到该 由电场本身决定，d是场中两点
无关 点的距离r共同决定 间沿场强方向的距离
相同点 矢量，单位：1N/C＝1V/m
8．电场强度的叠加
【知识点的认识】
电场强度的叠加原理
多个电荷在电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这种关系叫电场
强度的叠加．电场强度的叠加遵循平行四边形定则．
在求解电场强度问题时，应分清所叙述的场强是合场强还是分场强，若求分场强，要注意选择适当的公
式进行计算；若求合场强时，应先求出分场强，然后再根据平行四边形定则求解．
【命题方向】
图中a、b是两个点电荷，它们的电量分别为Q 、Q ，MN是ab连线的中垂线，P是中垂线上的一点．下
1 2
列哪种情况能使P点场强方向指向MN的左侧？（ ）
A、Q 、Q 都是正电荷，且Q ＜Q
1 2 1 2
B、Q 是正电荷，Q 是负电荷，且Q ＞|Q |
1 2 1 2
C、Q 是负电荷，Q 是正电荷，且|Q |＜Q
1 2 1 2
D、Q 、Q 都是负电荷，且|Q |＞|Q |
1 2 1 2
分析：利用在该点正电荷所受电场力方向为电场强度方向来确定各自电场强度方向．然后两点电荷在同
一点的场强是由各自电场强度矢量叠加而成的．
解答：A、当两点电荷均为正电荷时，若电荷量相等，则它们在P点的电场强度方向沿MN背离N方向。
当Q ＜Q 时，则b点电荷在p点的电场强度比a点强，所以电场强度合成后，方向偏左。当 Q ＞Q 时，
1 2 1 2
则b点电荷在p点的电场强度比a点弱，所以电场强度合成后，方向偏右。故A正确；
B、当Q 是正电荷，Q 是负电荷时，b点电荷在p点的电场强度方向沿bP连线背离b点，而a点电荷在p
1 2
点的电场强度方向沿aP连线指向b点，则合电场强度方向偏右。不论电量大小关系，仍偏右。故B错误；
63C、当Q 是负电荷，Q 是正电荷时，b点电荷在p点的电场强度方向沿bP连线指向b点，而a点电荷在p
1 2
点的电场强度方向沿aP连线背离a点，则合电场强度方向偏左。不论它们的电量大小关系，仍偏左。故
C正确；
D、当Q 、Q 是负电荷时，b点电荷在p点的电场强度方向沿bP连线指向b点，而a点电荷在p点的电场
1 2
强度方向沿aP连线指向a点，由于|Q |＞|Q |，则合电场强度方向偏左。故D正确；
1 2
故选：ACD。
点评：正点电荷在某点的电场强度方向是这两点的连线且背离正电荷，而负点电荷在某点的电场强度方
向是这两点的连线且指向负电荷．
【解题思路点拨】
电场强度叠加问题的本质就是矢量运算法则，先确定每一个电荷在该点单独产生的电场强度，再利用平
行四边形定则或三角形定则求解合场强。
9．电场强度与电场力的关系和计算
【知识点的认识】
根据电场强度的定义式E＝ 可以得到电场强度与电场力的关系为
F＝qE。
【命题方向】
如图，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝BC，在A处固定一电荷量为+Q的点电荷。当在C处放一电
荷量为q的点电荷时，它所受到的电场力大小为F，移去C处电荷，在B处放电荷量为2q的点电荷，其
所受电场力大小为（ ）
A、4F B、8F C、 D、
分析：首先确定电荷量为2q的点电荷在B处所受的电场力方向与F方向的关系，再根据库仑定律得到F
与AB的关系，即可求出2q的点电荷所受电场力。
解答：根据同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引，分析可知电荷量为2q的点电荷在B处所受的电场力
方向与F方向相同；
设AB＝r，则有BC＝r。
64则有：F＝k
故电荷量为2q的点电荷在B处所受电场力为：F ＝k ＝8F，故B正确，ACD错误。
B
故选：B。
点评：本题关键是根据库仑定律研究两电荷在两点所受的电场力大小和方向关系，注意 B、C两点的电场
强度方向相同。
【解题方法点拨】
既可以利用E＝ 计算某一点的电场强度也可以利用它的变形F＝qE求解电荷在某一点受到的电场力。
10．电场线的定义及基本特征
【知识点的认识】
1．定义：为了形象描述电场中各点电场强度的强弱及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切
线方向都跟该点的场强方向一致，曲线的疏密程度表示电场的强弱．
2．特点：
（1）电场线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远）；
（2）电场线互不相交；
（3）电场线和等势面在相交处互相垂直；
（4）沿着电场线的方向电势降低；
（5）电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密．
3．几种典型的电场线．
注意：电场中某点场强的大小和方向与该点放不放电荷以及所放电荷的大小和电性无关，由电场本身决
65定．
4．等量同种电荷和等量异种电荷的电场
（1）等量同种电荷的电场如图2甲所示
①两点电荷连线中点O处的场强为零，此处无电场线．
②两点电荷连线中点O附近电场线非常稀疏，但场强不为零．
③从两点电荷连线中点O沿中垂面（线）到无限远，电场线先变密后变疏，即场强先变大后变小．
④两点电荷连线中垂线上各点的场强方向和中垂线平行．
⑤关于O点对称的两点A与A′、B与B′的场强等大、反向．
（2）等量异种电荷的电场如图2乙所示．
①两点电荷连线上各点的场强方向从正电荷指向负电荷，沿电场线方向场强先变小再变大．
②两点电荷连线的中垂面（线）上，电场线的方向均相同，即场强方向相同，且与中垂面（线）垂直．
③关于O点对称的两点A与A′、B与B′的场强等大同向．
【命题方向】
本考点主要考查电场线的定义与特点
下列关于电场的论述，正确的是（ ）
A、电场线方向就是正检验电荷的运动方向
B、电场线是直线的地方是匀强电场
C、只要初速度为零，正电荷必将在电场中沿电场线方向运动
D、画有电场线的地方有电场，未画电场线的地方不一定无电场
分析：电场线是为了形象地描述电场而假想的线，电场线的方向起于正电荷，终止于负电荷，电场线上
某点的切线方向表示电场强度的方向，电场线的疏密表示电场的强弱．
解答：A、电场线的方向与正电荷的运动方向不一定相同。故A错误。
B、匀强电场的电场线是间距相等的平行直线，电场线是直线的地方不一定是匀强电场。故B错误。
C、若电场线是曲线，初速度为零的正电荷不一定沿电场线方向运动。故C错误。
D、电场线为了形象地描述电场而假想的线，画电场线的地方有电场，未画电场线的地方可能也有电场。
66故D正确。
故选：D。
点评：解决本题的关键知道电场线的性质，知道电场线是为了形象地描述电场而假想的线．
【解题方法点拨】
1．电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹的关系：
根据电场线的定义，一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下
三个条件时，
两者才会重合：
（1）电场线为直线；
（2）电荷初速度为零，或速度方向与电场线平行；
（3）电荷仅受电场力或所受其他力合力的方向与电场线平行．
2．关于电场线的问题往往与带电粒子的运动联系起来进行考查，解答这类问题应抓住以下几个关键：
（1）分析清楚粒子的运动情况，特别是速度和加速度如何变化；
（2）根据力和运动的关系，确定粒子所受电场力的大小方向如何变化；
（3）根据电场力与场强的关系，确定场强的大小、方向如何变化，从而确定电场线的分布规律．
（4）熟悉几种常见电场的电场线分布特点．
11．根据电场线的疏密判断场强大小
【知识点的认识】
可以通过电场线定性的分析电场强度的大小：
在同一电场中，电场线越密集，电场强度越大；电场线越稀疏，电场强度越小。
【命题方向】
如图是某区域的电场线图．A、B是电场中的两个点，E 和E 分别表示A、B两点电场强度的大小，
A B
F 、F 分别表示同一个点电荷在A、B两点所受到的电场力的大小．下面说法中正确的是（ ）
A B
A、E ＞E B、E ＜E C、F ＞F D、F ＜F
A B A B A B A B
分析：电场线是从正电荷或者无穷远发出，到负电荷或无穷远处为止，电场线密的地方电场的强度大，
电场线疏的地方电场的强度小．
解答：A、根据图象很容易发现，在电场的A点的电场线较密，所以，在A点的电场的强度要比B点的
电场的强度大，即E ＞E ，所以A正确，B错误；
A B
67C、由于E ＞E ，并且是同一个电荷，电荷的电荷量大小相同，由F＝qE可知，电荷在A点时受到的电
A B
场力要在B点时受到的电场力大，即F ＞F ，所以C正确，D错误；
A B
故选：AC。
点评：本题就是考查学生基础知识的掌握，加强基础知识的学习，掌握住电场线的特点，即可解决本题．
【解题思路点拨】
同一电场中可以通过电场线的疏密定性的判断电场强度的大小，进而可以分析运动学的情况，因为可以
通过F＝qE分析电场力的大小，再通过F＝ma分析加速度的大小。所以可以说同一电场中，电场线密集
的地方电场力大，电荷的加速度也大。
12．电场力做功的计算及其特点
【知识点的认识】
1.静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与
电荷经过的路径无关。
2.静电力做功的公式：W＝qEl，其中l为电荷沿电场线移动的位移。
【命题方向】
如图所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B两点相距l，连线AB与电场强度方向的夹角为 。将一
电荷量为q的正电荷分别沿直线AB、折线ACB、曲线ADB从A点移动到B点，静电力各做了多θ少功？
分析：静电力做功与路径无关，根据电场力做功的计算公式进行解答。
解答：电场力做功与路径无关，所以将一电荷量为q的正电荷分别沿直线AB、折线ACB、曲线ADB从
A点移动到B点，静电力做功均为：
W＝qElcos 。
答：静电力θ做功均为qElcos 。
点评：本题主要是考查电场θ力做功的计算，关键是弄清楚电场力做功与路径无关。
【解题思路点拨】
静电力做功的特点
（1）静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似。
（2）静电力做功的特点不受物理条件限制不管静电力是否变化，是否是勾强电场，是直线运动还是曲线
运动，静电力做功的特点均不变
6813．电势能的概念和计算
【知识点的认识】
1.定义：电荷在电场中具有的与位置有关的能量即在电场中具有的势能叫电势能，用E 表示。
p
2.相对性
电荷在电场中具有的电势能与电势能零点的选取有关。电势能零点的选取是任意的，习惯上取无限远处
或大地为电势能零点。无限远处作为电势能零点与大地作为电势能零点是相同的。
3.大小
电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能点时静电力所做的功。
4.零势能位置
电场中规定的电势能为0的位置，通常把电荷离场源电荷无穷远处或大地表面的电势能规定为0。
5.系统性
电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。
6.标矢性
标量，但有正负。其正负表示大小，正值表示比电荷放在电势能零点时多多少，负值表示比放在电势能
零点时少多少。
【命题方向】
下列说法中正确的是（ ）
A、在场强较小处，电荷在该处的电势能也较小
B、电荷在场强为零处的电势能也为零
C、在选定为零电势的位置处，任何电荷的电势能必为零
D、在场强相等的各点，电荷的电势能必相等
分析：电荷的电势能公式E ＝q ，而电场强度与电势无关．在场强相等的各点，电势不一定相等，电势
P
能不一定相等． φ
解答：A、根据电荷的电势能公式E ＝q ，而电场强度与电势无关，所以场强小的地方，电荷在该处的
P
电势能不一定小，故A错误。 φ
B、电荷在场强为零处，因为电势的零点是人为选取的，电势不一定为零，故电荷的电势能也不一定为零，
故B错误。
C、在选定为零电势的位置处，根据E ＝q ，知任何电荷的电势能必为零，故C正确。
P
D、在场强相等的各点，电荷的电势不一定φ相等，则电荷的电势能不一定相等，故D错误。
故选：C。
点评：本题比较简单，基础性强，考查的知识点比较全面；要加强理解电势和电场强度关系，电势能和
电势关系．
69【解题思路点拨】
（1）电势能E 是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中
P
某点的电势能。
（2）电势能是相对的，其大小与选定的参考位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考位置，也就
是零势能位置。
（3）电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考位置的电势能，电势能为负
值表示电势能小于参考位置的电势能。
14．电场力做功与电势能变化的关系
【知识点的认识】
1．静电力做功的特点：静电力做功与路径无关，或者说：电荷在电场中沿一闭合路径移动，静电力做功
为零。
2．电势能概念：电荷在电场中具有势能，叫电势能。电荷在某点的电势能，等于把电荷从该点移动到零
势能位置时，静电力做的功，用E 表示。
P
3．静电力做功与电势能变化的关系：
①静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。
②关系式：W ＝E ﹣E 。
AB PA PB
4．单位：J（宏观能量）和eV（微观能量），它们间的换算关系为：1eV＝1.6×10﹣19J。
（5）特点：
①系统性：由电荷和所在电场共有；
②相对性：与所选取的零点位置有关，通常取大地或无穷远处为电势能的零点位置；
③标量性：只有大小，没有方向，其正负的物理含义是：若E ＞0，则电势能比在参考位置时大，若E
P P
＜0，则电势能比在参考位置时小。
理解与注意：学习电势能时，可以通过与重力势能类比来理解相关概念，上面列举的各项概念几乎是所
有势能都有的，只是具体环境不同而已。
【命题方向】
a和b为电场中的两个点，如果把q＝﹣2×10﹣8C的负电荷从a点移动到b点，电场力对该电荷做了4×10﹣
7J的正功，则该电荷的电势能（ ）
A、增加了4×10﹣7J
B、增加了2×10﹣8J
C、减少了4×10﹣7J
D、减少了8×10﹣15J
70分析：电荷在电场力作用下做功，导致电势能变化．所以根据电场力做功的正负可确定电势能增加与减
少．
解答：根据电场力做功与电势能改变的惯性可知，电场力对该电荷做了4×10﹣7J的正功，则该电荷的电势
能减少了4×10﹣7J．所以选项C正确。
故选：C。
点评：该题考查电场力做功与电势能的惯性．电荷的电势能增加还是减少是由电场力做功的正负决定．
就像重力做功与重力势能一样．
【解题方法点拨】
1.静电力做功与电势能变化的关系
（1）W ＝E ﹣E 。
AB PA PB
静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加。
（2）正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小。
2.电势能大小的比较方法
（1）做功判断法：
电场力做正功时电势能减小；电场力做负功时电势能增大。（对正、负电荷都适用）。
（2）依据电势高低判断：
正电荷在电势高处具有的电势能大，负电荷在电势低处具有的电势能大。
15．通过电场线的方向判断电势的高低
【知识点的认识】
1.结论：沿电场线方向，电势降低。
2.推导：如下图，一个带电荷量为q的正电荷仅在电场力的作用下由A点运动到B点。设A、B两点的电
势分别为 、
A B
φ φ
从A到B，根据电场力做功与电势能变化的关系
W ＝E ﹣E
AB PA PB
又根据电场力做正功，且E ＝q ，所以有
P
W
AB
＝q
A
﹣q
B
＝q（
A
﹣
B
）φ＞0
所以 Aφ＞
B
，φ即沿电场φ线方φ向，电势降低。可以证明在这一结论在任何电场中都适用。
φ φ
【命题方向】
71关于电势的高低，下列说法正确的是（ ）
A、沿电场线方向电势逐渐降低
B、电势降低的方向一定是电场线的方向
C、正电荷在只受电场力作用下，一定向电势低的地方运动
D、负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放，一定向电势高的地方运动
分析：根据推论：沿电场线方向电势逐渐降低；电势降低最快的方向才是电场强度的方向；正电荷只在
电场力作用下从A移到B，电荷不一定从高电势处向低电势处运动，还取决于电荷的初速度；负电荷在
只受电场力的作用下，由静止释放，一定向电势高的地方运动．
解答：A、电场力做功W ＝U q＝Eqd，不妨设沿着电场线方向移动正电荷，则电场力做正功，所以
AB AB
U ＞0，所以 ＞ ，所以沿着电场线方向电势逐渐降低。故A正确。
AB A B
B、沿着电场线φ方向φ移动电势降低，但是电势降低的方向不一定是电场线的方向，电势降低最快的方向是
场强的方向，故B错误。
C、正电荷只在电场力作用下从一点移到另一点，电荷不一定从高电势处向低电势处运动，还取决于电荷
的初速度。故C错误。
D、根据电场力做功的表达式W ＝U q＝Eqd，负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放，电场力做
AB AB
正功，W ＞0，q＜0，则U ＜0，所以 ＜ ，即向电势高的地方运动。故D正确。
AB AB A B
故选：AD。 φ φ
点评：电场线的疏密表示电场强度的相对大小，电场线的方向反映电势的高低，则电场强度与电势没有
直接关系．顺着电场线方向，电势逐渐降低，但场强不一定减小．
【解题思路点拨】
1.一个误区：沿电场线方向电势逐渐降低，但是电势降低的方向并不一定是电场线的方向。在所有电势降
低的方向中，沿电场线方向降低的最快。
2.电势高低的判断方法总结：
（1）电场线法：沿电场线方向，电势逐渐降低。
（2）场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。
（3）公式法：由 ＝ 进行分析，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电
φ
势能越小，所在位置的电势越高。
16．带电体周围的电势分布
【知识点的认识】
本考点旨在针对一般带电体周围的电势分布问题。
72【命题方向】
三等长绝缘棒AB、BC、CA连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同种电荷，测得图中P、Q两点（均
为相应正三角形的中心）的电势分别为U 和U ，若撤去AC棒，则P、Q两点的电势分别为（ ）
P Q
A、 U ， U + U
P Q P
B、 U ，U ﹣ U
P Q P
C、 U ， U + U
P Q P
D、 U ， U
P Q
分析：利用细棒相对中点对称，得出各棒对各点的电势，再由取走AC棒后，因三棒是绝缘体，电荷分布
不变，即可求解．
解答：每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，三根棒的总电量、分布情况都
相同。
①三棒对p点的电势贡献都相同（可设为 ）；
1
②AB棒、BC棒对Q点的电势贡献相同（φ可设为
2
）；
③AC棒对P、Q两点的贡献相同（也为 1 ）。 φ
所以，取走AC前，3 1 ＝U p φ
2 2 + 1 ＝U Q φ
取φ走φAC后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，所以
U ′＝2 ＝ U
P 1 p
φ
U ′＝2 ＝U ﹣ U
Q 2 Q p
故ACD错φ误，B正确；
故选：B。
点评：考查棒电荷分布均匀，利用几何的对称性，确定与电势的关系是解题的突破口，注意取走其中一
73个棒后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变．
【解题思路点拨】
电势是标量，电势的叠加遵循代数相加法则，如果A、B两个点电荷在空间中C点产生的电势分别为
、 ，那么C点的电势 ＝ + 。
A B A B
φ17．等φ量异种电荷的电势分φ布 φ φ
【知识点的认识】
等量异种电荷的电势分布如下图（用等势面表示）：
1.等势面的特点：
（1）关于中垂面对称的闭合曲面，也关于两源电荷连线对称。
（2）中垂面是电势为0的等势面，正电荷一侧各点电势大于0，负电荷一侧各点电势小于0。
2.两电荷连线上各点的电势情况如下：
（1）连线上从正电荷到负电荷电势一直降低
（2）关于中点对称的点，电势互为相反数
（3）离正电荷越近电势越高，离负电荷越近电势越低
（4）越靠近源电荷时等差等势面越密集
3.总结：
（1）中点电势为0，是左右两侧电势的正负分界点
74（2）关于连线对称的点电势相等，关于中点、中垂面对称的点电势互为相反数（可同为0）
【命题方向】
如图所示，A、B是两个等量异种点电荷，C、D是A、B连线的中垂A、线上且与连线距离相等的两点，
则（ ）
B、在A、B连线的中垂线上，从C到D，各点电势都相等，场强都相同
C、在A、B连线的中垂线上，从C到D，场强先增大后减小，电势先升高后降低
D、在A、B连线的中垂线上，从C到D，场强先增大后减小，各点的电势都相等
分析：在A、B连线上，从A到B，场强先减小后增大，电势逐渐升高，根据等量的异种电荷的电场的分
布的规律，在中垂线上，电场方向始终垂直中垂线且指向负电荷，并且中垂线上的电势都为零，由此可
以分析电场力和电势能的变化．
解答：A、在中垂线上，电场方向始终垂直中垂线且指向负电荷，但是电场强度的大小不同，在正中间的
电场强度最大，向两边逐渐的减小，所以A错误；
B、在A、B连线的中垂线上，从C到D，场强先增大后减小，但是垂线上的所有点的电势都为零，所以
B错误，C正确；
D、从正电荷到负电荷，电势是逐渐升高的，所以从 A到B，电势逐渐升高，离电荷越近，电荷的场强越
大，所以从A到B，场强先减小后增大，所以D正确。
故选：CD。
点评：本题要求学生了解等量异种电荷的电场线及电场特点，并能判断电场的变化．
【解题思路点拨】
电势是标量，电势的叠加遵循代数相加法则，如果A、B两个点电荷在空间中C点产生的电势分别为
、 ，那么C点的电势 ＝ + 。
A B A B
φ18．电φ势差的概念、单位和φ物理φ意义φ及用定义式计算
【知识点的认识】
1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差，电势差也叫作电压。
2.表达式：设电场中A点的电视为 ，B点的电势为 ，则AB电点之间的电势差可以表示为
A B
U AB ＝ A ﹣ B φ φ
BA两点φ之间φ的电势差为
U ＝ ﹣
BA B A
所以UφAB ＝φ﹣U
BA
3.电势差的单位
伏特，符号：V
754.电势差的正负
电势差是标量，但有正、负。电势差的正、负表示两点电势的高低。所以电场中各点间的电势差可依次
用代数法相加。
5.特点：电场中两点之间的电势差取决于电场本身，与电势零点的选取无关
6.物理意义：反映电荷在电场中移动时电场力做功本领大小的物理量
【命题方向】
关于电势差U 和电势 、 的理解正确的是（ ）
AB A B
A、U
AB
表示B点相对Aφ点的φ电势差，即U
AB
＝
B
﹣
A
B、U AB 和U BA 是不同的，它们有关系：U AB ＝﹣φU BAφ
C、 、 都可能有正负，所以电势是矢量
A B
D、φ零电势φ点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无限远处为零电势
分析：U ＝ ﹣ ＝﹣U ，电势是标量，通常选大地或无穷远作为零电势．
AB A B BA
解答：A、U AφB 表示φA点相对B点的电势差，即U AB ＝ A ﹣ B ，A错误；
B、U
AB
和U
BA
是不同的，它们有关系：U
AB
＝﹣U
BA
，φB正确φ；
C、电势虽有正负之分，但电势是标量，C错误；
D、零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地和无限远处为零电势，D正确；
故选：BD。
点评：记忆电势的有关知识时，可以把它类比为高度去理解，电势差对应高度差，某点的电势对应某点
的高度．
【解题思路点拨】
根据电势差的定义可知，电势差的正负代表两点之间电势的大小，如果 U ＞0，则 ＞ ；如果U ＜
AB A B AB
0，则 ＜ 。 φ φ
A B
19．等φ势面φ及其与电场线的关系
【知识点的认识】
1．定义：电场中电势相等的点组成的面（平面或曲面）叫做等势面．
2．特点：
①等势面与电场线一定处处正交（垂直）；
②在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功；
③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面；
④任意两个电势不相同的等势面既不会相交，也不会相切；
⑤等差等势面越密的地方电场线越密．
76【命题方向】
电场中某个面上所有点的电势都相等，但电场强度都不同，这个面可能是（ ）
A．等量同种电荷的中垂面
B．等量异种电荷的中垂面
C．以孤立点电荷为球心的某一球面
D．匀强电场中的某一等势面
分析：在电场中电场线的切向方向表示电场的方向，电场线的疏密表示电场的强弱，等势面与电场线相
互垂直．
解：A、等量同种电荷的中垂面是个等势面，但电场强度相等且都为零，故A错误；
B、等量异种电荷的中垂面是个等势面，但以两电荷连线为对称线的中垂面上的电场强度都相等，故 B错
误；
C、以孤立点电荷为球心的某一球面上的所有点的电势都相等，但电场强度都不同，故C正确；
D、匀强电场中的某一等势面上的电场强度都相等，故D错误；
故选：C．
点评：本题考查对电场线的认识，由电场线我们应能找出电场的方向、场强的大小及电势的高低．
【解题思路点拨】
1.等势面的特点
（1）在等势面上任意两点间移动电荷时静电力不做功。
（2）同一电场空间两等势面不相交
（3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面
（4）在电场线密集的地方，等差等势面密集在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。
（5）等势面是虚拟的，是为描绘电场的性质而假想的面。
2.等势面的应用
（1）由等势面可以判断电场中各点电势的高低。
（2）由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。
（3）由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。
（4）由等差等势面的疏密，可以定性地比较其中两点电场强度的大小
3.等势面与电场线
（1）已知等势面时，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。
（2）已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电
势高低。
7720．匀强电场中电势差与电场强度的关系
【知识点的认识】
一、电势差与电场强度的关系式
1．关系式：U＝Ed或者E＝ 。
2．适用条件：只有在匀强电场中才有这个关系。
3．注意：式中d是指沿电场方向两点间的距离。
4．方向关系：场强的方向就是电势降低最快的方向。由于电场线跟等势面垂直，只有沿电场线方向，单
位长度上的电势差才最大，也就是说电势降落最快的方向为电场强度的方向。但电势降落的方向不一定
是电场强度方向。
二、对公式U＝Ed的理解
1．从变形公式E＝ 可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向电势差越大，表明电势降落的越快，
因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势
降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。
2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离。
3．对于非匀强电场，用公式E＝ 可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可
以断定，等差等势面越密的地方电场强度也越大。
现在举例来说明公式E＝ 在非匀强电场中的应用。如图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且
＝ ，由电场线的疏密程度可以看出E ＜E ＜E ，所以AB间的平均场强比BC间的小，即 ＜ ，
A B C AB BC
又因为U ＝ • ，U ＝ • ，所以U ＜U 。
AB AB BC BC AB BC
三、电场强度与电势差的比较
物理 电势差U 电场强度E
量
定义 （1）电场中任意两点的电势之差，U ＝ ﹣ 放入电场中某一点的电荷受到的静电力跟它的
AB A B
电荷量的比值
（2）电荷在电场中两点间移动时，静电力所做的功
φ φ
跟电荷量的比值
定义
式
U＝ E＝
意义 描述了电场的能的性质 描述了电场的力的性质
大小 数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，静电 数值上等于单位电荷受到的力
78力所做的功
方向 标量，无方向 规定为正电荷在该点所受静电力的方向
联系 在匀强电场中有U＝Ed
【命题方向】
如图，在光滑绝缘的水平面上，有一静止在A点质量为m＝1×10﹣3kg、带正电q＝10﹣3C的小球，现加一
水平方向的匀强电场使小球由 A点运动到B点，已知A、B两点间距离为L＝0.1m，电势差为U ＝
AB
20V．
（1）判断匀强电场的场强方向；
（2）求电场强度的大小；
（3）求小球到达B点时的速率．
分析：（1）带正电的小球加一水平方向的匀强电场使小球从静止由A点运动到B点，根据运动情况判断
匀强电场的场强方向；
（2）根据电势差与电场强度的关系求解电场强度的大小
（3）根据动能定理求解小球到达B点时的速率
解答：（1）带正电的小球加一水平方向的匀强电场使小球从静止由A点运动到B点，所以匀强电场的场
强方向为由A指向B．
（2）根据电势差与电场强度的关系得：
U ＝Ed＝0.1E＝20V
AB
所以E＝200V/m
（3）根据动能定理研究小球由A点运动到B点，
qU＝
v＝2 m/s
答：（1）匀强电场的场强方向为由A指向B．
（2）电场强度的大小是200V/m；
（3）小球到达B点时的速率是2 m/s．
点评：理解和掌握电场中各个物理量之间的关系，在具体题目中能熟练的应用．
【解题方法点拨】
79U＝Ed关系的应用：
公式U＝Ed中d是沿场强方向的两点间的距离或两等势面间的距离，而U是这两点间的电势差。这一定
量关系只适用于匀强电场，变形后E＝ ，用它可求匀强电场的场强，也可定性分析非匀强电场。
21．非匀强电场中电势差大小的比较和应用
【知识点的认识】
1.电势差与电场强度的关系式E＝ 适用于匀强电场中电场强度的计算，在非匀强电场中可以用E＝ 定
性的分析问题。
2.由E＝ 可以得出结论：在等差等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、
b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故U ＜U 。
ab bc
【命题方向】
如图为某一电场的电场线和等势面分布，图中实线表示电场线，虚线表示等势面，过 a、c两点的等势面
电势分别为 ＝5V， ＝3V那么a、c连线的中点b的电势 为（ ）
a c b
φ φ φ
A、 ＝4 B、V ＞4V C、 ＜4V D、上述情况都有可能
b b b
分析φ：由图看出，abφ段电场线比bc段φ电场线密，ab段场强较大，根据公式U＝Ed定性分析a、b间与
b、c间电势差的大小，再求解中点b的电势 ．
b
φ
80解答：由图看出，ab段电场线比bc段电场线密，ab段场强较大，根据公式U＝Ed可知，a、b间电势差
U 大于b、c间电势差U ，即 ﹣ ＞ ﹣ ，得到 ＜ ＝4V。
ab bc a b b c b
φ φ φ φ φ
故选：C。
点评：本题的关键是运用匀强电场中场强与电势差的公式定性分析电势差的大小．常规题．
【解题思路点拨】
计算电场强度应注意的问题
（1）在选取公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式
的适用条件。
（2）应用公式U＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研
究的两点的距离应当是沿电场强度方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿电场强度方
向上的距离，则应通过数学知识转化为沿电场强度方向上的距离。
22． -x图像的理解与应用
【知φ识点的认识】
1.图像的意义：反映电势随位置变化的图像、
2.图像的内容：纵坐标直接判定电视高低
3.图像的斜率：斜率表示场强
（1）斜率的大小表示该点场强的大小
（2）斜率的正负可以确定电场强度的方向
4.电视连续变化的拐点切线斜率为0时，表示该点电场强度为0
5.据此判断电势能时，一是结合粒子电性看电势高低，二是由W＝qU判定。
【命题方向】
空间某一静电场的电势 在x轴上分布如图所示，x轴上两点B、C点电场强度在x方向上的分量分别是
E 、E ，下列说法中正φ确的有（ ）
Bx Cx
A、E 的大小大于E 的大小
Bx Cx
81B、E 的方向沿x轴正方向
Bx
C、电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大
D、负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
分析：本题的入手点在于如何判断E 和E 的大小，由图象可知在x轴上各点的电场强度在x方向的分
Bx Cx
量不相同，如果在x方向上取极小的一段，可以把此段看作是匀强电场，用匀强电场的处理方法思考，
从而得到结论，此方法为微元法。
解答：在B点和C点附近分别取很小的一段d，由图象，B点段对应的电势差大于C点段对应的电势差，
看作匀强电场有 ，可见E ＞E ，A项正确；
Bx Cx
同理可知O点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C项错误；
沿电场方向电势降低，在O点左侧，E 的方向沿x轴负方向，在O点右侧，E 的方向沿x轴正方向，
Bx Cx
所以B项错误，D项正确。
故选：AD。
点评：本题需要对电场力的性质和能的性质由较为全面的理解，并要求学生能灵活应用微分法；故此题
的难度较高。
【解题思路点拨】
与运动学图像类似，解决图像类问题的一般步骤为：
1.确定图像的含义，明确两个坐标轴的代表的物理量
2.从图中直接读出关键点的物理量
3.分析图像斜率、面积等的物理意义
4.结合公式分析其他的物理量。
23．电容器的动态分析（U不变）——板间距离变化
【知识点的认识】
1.对于电容器的动态分析问题，要首先区分是电压不变还是电荷量不变：始终与电源连接时电压不变，与
电源断开时是电荷量不变。
2.分析思路如图
823.具体的步骤如下：
（1）根据C＝ 分析电容的变化。
（2）根据C＝ 分析电荷量的变化。
（3）根据E＝ 分析电场强度变化。
（4）根据 ＝Ed分析某点电势的变化。
（5）根据φE
p
＝q 分析电势能的变化。
φ
【命题方向】
如图所示，平行板电容器经开关S与电池连接，A板下方a处有一带电荷量非常小的点电荷。S是闭合的，
表示a点的电势，F表示点电荷受到的电场力。现将电容器的B板向下稍微移动，使两板间的距离增大，
a
φ则（ ）
A、 不变 B、 变小 C、F变小 D、F变大
a a
分析φ：电容器与电源φ相连，则可知电容器两端的电压不变；由极板的移动可知 d的变化，由U＝Ed可知
板间场强E的变化，再由U＝Ed可知Aa间的电势差的变化，即可得出aB间电势差的变化及a点电势的
变化。
解答：因电容器与电源始终相连，故两板间的电势差不变，B板下移，则板间距离d增大，则板间电场强
度E减小，由F＝Eq可知电荷所受电场力变小，故C正确；
则上板与a间的电势差减小，而总电势差不变，故a与B间的电势差增大，而B接地，故a点的电势增大，
故A、B均错；
故选：C。
点评：电容器的动态分析中首先应注意是否与电源相连，再根据电容的变化进行判断；对于本题应注意
（1）因下极间接地，故aB间的电势差大小即为a点的电势；（2）因aB间的距离发生变化，不能直接由
U＝Ed进行判断，我们是先求得Aa间的电势差再求aB的间电势差。
【解题思路点拨】
83分析电容器相关物理量的变化时，要注意抓住不变量。电容器充电后保持与电源相连，即使电容器的电
容变化，两极板间的电压不变。若充电后与电源断开且未放电，即使电容器的电容变化，两极板的电荷
量不变。
24．带电粒子在周期性变化的电场中偏转
【知识点的认识】
本考点旨在针对带电粒子在周期性变化的电场中的偏转问题。
【命题方向】
在金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压U ，其周期是T．现有电子以
o
平行于金属板的速度v 从两板中央射入（如图甲）。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，
0
求：
（1）若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小。
（2）若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少多长？
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，电子应从哪一时刻射入，两板间距至少多大？
分析：（1）电子在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，在此过程中只有电场力做功，根据动能定理即
可解除电子飞出时的速度。
（2）若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，说明电子在竖直方向前半周期做匀加速直线运动
后半周期做匀减速直线运动，到电子飞出电场最少用时为T；
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，要满足两个条件，第一竖直方向的位移为零，第二竖直方向
的速度为零；则电子竖直方向只能先加速到某一速度v 再减速到零，然后反方向加速度到v 再减速到零。
y y
解答：（1）电子飞出过程中只有电场力做功，根据动能定理得：
e ＝ mv2﹣
解得：v＝
（2）若电子恰能平行于金属板飞出，说明电子在竖直方向前半周期做匀加速直线运动，后半周期做匀减
84速直线运动，到电子飞出电场最少用时为T；则电子水平方向做匀速直线运动：L＝v T
0
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，要满足两个条件，第一竖直方向的位移为零，第二竖直方向
的速度为零；则电子竖直方向只能先加速到某一速度v 再减速到零，然后反方向加速到v 再减速到零。
y y
由于电子穿过电场的时间为T，所以竖直方向每段加速、减速的时间只能为 ，即电子竖直方向只能先加
速 时间到达某一速度v 再减速 时间速度减小到零，然后反方向加速 时间到达某一速度v ，再减速
y y
时间速度减小到零，电子回到原高度。
根据以上描述电子可以从t时刻进入：t＝ + （k＝0，1，2，3…）
设两板间距至为d，
而电子加速 时间的竖直位移为：h＝ （ ）2
而电子减速 时间的竖直位移也为：h
所以电子在竖直方向的最大位移为：y＝2h＝h+ （ ）2 ①
而：y≤ ②
由①②解得：d≥＝
所以d的最小值：d＝
答：（1）若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为
。
（2）若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少v T
0
（3）若电子恰能从两板中央平行于板飞出，电子可以从t时刻进入：t＝ + （k＝0，1，2，3…），
85两板间距至少 。
点评：带电粒子进入偏转电场中运动，水平方向不受力做匀速直线运动，竖直方向初速度为零的匀加速
直线运动且具有周期性变化；要用好变化的正确性。
【解题思路点拨】
带电粒子在交变电场中的运动时，要分析清楚不同阶段粒子的受力情况，根据牛顿第二定律，去分析粒
子的运动情况，必要时可以画出粒子的F﹣t图和v﹣t图进行分析。
25．从能量转化与守恒的角度解决电场中的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对需要从能量转化与守恒的角度解决的电场问题，可能涉及到功能关系、动能定理、能量
守恒、机械能守恒定律、电场力做功与电势能的变化等情况。
【命题方向】
图所示，轨道由粗糙斜面AB、DF与半径为R的光滑圆弧BCD组成，斜面的动摩擦因数为0.5，斜面与
水平面间的夹角60°，∠BOD＝120°，虚线BM左侧、DN右侧分布等大反向匀强电场E，带电量为﹣q
（q＞0）的物块从A点以 的初速度沿斜面向下运动，物块质量为m，物块可视为质点。AB长度为
2R，电场强度大小为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A、物块到B点时的速度为
B、物块在最低点的最大压力为3mg
C、物块最终在圆弧BCD做往返运动
D、物块在斜面运动的总路程为3R
分析：从A到B的过程，根据动能定理，可以得到B点时的速度；从B到C用动能定理，可以得到C点
86的速度，结合竖直面的圆周运动规律和牛顿第三定律，可以计算 C点的压力；根据对物块在斜面的受力
分析，可以判断其会停在斜面上还是会在圆弧内圆周运动；根据全过程动能定理可以判断其总路程。
解答：A、对物块在左侧斜面上释放时进行受力分析，可以得到如图：
在垂直于斜面的方向上：mgcos60°+qEsin60°＝N，此时摩擦力为滑动摩擦力，故：f＝ N，解得N＝
2mg， μ
在 物 块 从 A 到 B 的 过 程 中 ， 对 物 块 应 用 动 能 定 理 ：
，解得： ，故A正确；
B、在物块从B到C的过程中，对物块应用动能定理： ，在C点，支
持力和重力的合力提供向心力： ，解得： 由牛顿第三定律可知此时物块在最低点的支
持力与压力相等，故B错误；
CD、物块从 B 到右侧的过程，设到某点速度减为 0，在右侧斜面的位移为 x，则在该过程中：
，解得：x＝R，此时摩擦力反向，之后：mgsin60°＝
qEcos60°，摩擦力减为0，物块刚好可以在斜面上静止，总路程s＝2R+x，解得：s＝3R；故C错误、D正
确。
故选：AD。
点评：本题考查涉及电场力的功能关系问题，注意当速度减为 0时，摩擦力可以突变，方向大小皆可变。
在计算物块对地面压力时，根据圆周运动规律得到支持力后，要写结合牛顿第三定律得到压力。
87【解题思路点拨】
电场中的功能关系如下：
1.合力做功等于物体动能的变化量，即W合 ＝ΔE
k
，这里的W合 指合外力做的功。
2.静电力做功决定带电体电势能的变化量，即 W ＝E ﹣E ＝﹣ΔE 。这与重力做功和重力势能变化之
AB PA PB P
间的关系类似。
3.只有静电力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即 E
P1
+E机1 ＝E
P2
+E机2 。这与只有重力做功时，
物体的机械能守恒类似。
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