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阶段性检测 4.3（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数 ， 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交于线段 ，若截面 将三棱柱分成了
体积相等的两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（ 2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺
人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，
现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，
则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、
最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的交点为 .则下列结论正确的是（ ）
A．最小正周期为B． 的最大值为2
C． 在区间 上单调递增
D． 为偶函数
10．在棱长为6的正方体 中， ， ，则（ ）
A．平面 截正方体所得截面为梯形
B．四面体 的外接球的表面积为
C．从点 出发沿正方体的表面到达点 的最短路径长为
D．若直线 与平面 交于点 ，则
11．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中的常数项为 .
14．已知 是椭圆 的左，右焦点， 上两点 满足 ，则 的离心率为 ．
15．不等式 对 都成立，则实数 的取值范围是 ．
16．若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点
仍停留在下底面的概率是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
18．已知数列 满足
(1)若 ，求数列 的通项 ；
(2)记 为数列 的前 项之和，若 ，求 的取值范围.
19．已知函数 ．(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，恒有 成立，求实数 的取值范围．
20．如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ， ，
平面 .
(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由.
21．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改
变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从
不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取
了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买
不喜欢网上买菜 合计
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)是否有 的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2) 社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从 ， 两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.
如果周一选择 平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率 ；如果周一选择 平台买菜，那么周二选择
入平台买菜的概率为 ，求张无忌周二选择 平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从 社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为 事件“
”的概率为 ，求使 取得最大值的 的值.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事
休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点 满足
.(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的
垂线，交 于 两点，求 面积的最小值.
