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阶段性检测 4.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，根据交集运算求解.
【详解】根据题意，得 ，
所以 ，
故选：A.
2．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两
倍”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充要条件定义结合不等式的性质判断即可.
【详解】设甲､乙､丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得 .若丙的年龄大于乙的年龄，则 ，
则 ，因为 ，所以 未必成立.
若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则 ，则 ，即 ，所以丙的年龄大于
乙的年龄.
故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.
故选：B.
3．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ， ，则 外接圆的半径为
（ ）.
A． B． C． D．3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】先求得 ，利用正弦定理求得 外接圆的半径.
【详解】因为 为锐角，所以 .
设 外接圆的半径为 ，
因为 ，所以 .
故选：A
4．已知函数 在区间 上的大致图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性和符号分析判断.
【详解】因为 ，所以 为奇函数，
对于选项A：因为 为奇函数，则 为偶函数，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为 为奇函数，则 为偶函数，不合题意，故B错误；
对于选项D：当 时， ，可得 ，
则 ，
所以当 时， 恒成立，不合题意，故D错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
5．已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，若已知 ，那么 的值为
（ ）
A．322 B．295 C．293 D．270
【答案】A
【分析】由递推公式分析可知数列 的前 项是首项为 ，公比为 的等比数列，从第 项开始是首项
为 ，公差为 的等差数列，根据等比数列和等差数列求和公式可求出结果.
【详解】∵ ，由 可知，数列 的前 项是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 为奇数， 为奇数，所以从第 项开始是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
故选：A
6．已知长方体 ，其中 ， ， 为底面 上的动点， 于
且 ，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定 是 与平面 所成的角，不妨设 ，求出 ，利用 求
得 的最小值，再由 得 的最大值．
【详解】 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 点轨迹是对角线 的中垂面与底面 的交线，为一条线段．
由 平面 知 是 与平面 所成的角，
不妨设 ，
则 ， ， 得 ， ． ，即
的最大值为 ，
故选：D．
7．已知定义在 上的奇函数 满足： 的图象是连续不断的且 为偶函数.若
有 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵ 为偶函数，
∴ 且 的图象关于 对称，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ 为奇函数，∴ 的图象关于 对称，
∴ 为周期函数， ，
∵ 有 ，∴ 在 上单调性递减，
∴由 的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
故选：D.
8．已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题干条件得到 ，构造 ，求导得到其单调性，从而得到
最小值，求出答案.
【详解】 的定义域为 ，根据对数函数的图象和性质可知，
当 时， ，当 时， ，
所以 时得 ，
，当 时， ， 单调递增，
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
由 解得 ，则
当 时， ， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时， ，即 的最小值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．复数 的虚部为
C．若 ， 互为共轭复数，则 D．若复数 为纯虚数，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的运算、虚部的定义与共轭复数的概念、纯虚数的概念分别判断即可.
【详解】对A，因为 ，A正确；
对B，复数 的虚部为1，B不正确；
对C，令 ， ， ， ，所以 ，故C正确；
对D，若复数 为纯虚数，则 ，且 ，即 ，故D正确．
故选：ACD
10．已知实数 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，得到 ，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.
【详解】由不等式 ，可得 且 ，即 ，
对于A中，由 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，根据不等式的性质，可得 ，所以B正确；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
因为 ，所以等号不成立，即 1，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，则 ，所以 ，所
以D错误.
故选：ABC.
11．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线AE与BC所成的角为 B．
C．平面 平面CDE D．直线AE与平面BDE所成的角为
【答案】ABC
【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可；
对于B，只需证明 平面ACE即可；
对于C，需证 平面CDE与 平面CDE；
对于D，先证 平面BEDF，故 即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可.
【详解】因为 ，所以 （或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即异面直线AE与BC所成的角为 ，A正确；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，
根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且 平面ABCD，
所以 ，又 ， ，OE， 平面ACE，
所以 平面ACE，又 平面ACE，所以 ，B正确；
由对称性可知 ， ，所以四边形AFCE为平行四边形，
所以 ，又 平面CDE， 平面CDE，所以 平面CDE，
同理 平面CDE，又 ，AF， 平面ABF，
所以平面 平面CDE，C正确；
由 ， ，得 ，在正方形ABCD中， ，
又 ，所以 平面BEDF，
所以 即为直线AE与平面BDE所成的角，
设该八面体的棱长为2，则 ，
所以 ，所以 ，D错误.
故选：ABC.
12．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
【答案】ABD
【分析】令 ，可得 ，得出函数 的单调性及 ，进而判定A、B正
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】确；由 ，得到 ，设 ，利用导数求得函数 为单调
递增函数，且 ，可判定D正确.
【详解】令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，可得 ，
由 ，即 ，可得 ，所以A正确；
又由 ，即 ，可得 ，所以B正确；
因为 ，可得 ，可得 ，
设 ，可得 ，
所以函数 为单调递增函数，又因为 ，
所以 ，所以 在 上是增函数，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】知识方法：构造法求解 与 共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数 和 满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，
再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
常见类型：（1） 型；（2） 型；（3） 为常数 型.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．函数 的图像在点 处的切线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求导得 ，再由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，
即函数在点 处的切线的斜率为 .
故答案为：
14．已知平面向量 不共线，若 ，则当 的夹角为 时， 的值是
.
【答案】2
【分析】根据平面向量夹角公式列式可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
，
，
整理得 ，得 （负值已舍去）.
故答案为： .
15．已知 的定义域为 ,且 是奇函数,当 时, ,.函数
,则方程 的所有的根之和为 .
【答案】5
【分析】根据 是奇函数,可知 关于 对称,根据 解析式可知, 关于 对称,根据解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】析式及对称性在同一坐标系下画出两函数图象,判断交点个数及位置,即可得出方程根之和.
【详解】解:由题知 是奇函数,
则有: ,
关于 对称,且 ,
当 时, ,
,
恒过 ,且 关于 对称,
方程 的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,
根据 对称性及解析式画出图象如下:
由图像可知 , 有5个交点,其中一个交点横坐标为1,
另外四个,两两分别关于 对称,
故五个交点横坐标和为 ,
即所有根之和5.
故答案为:5
16．已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，点 到直线 的距
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：
由圆 的标准方程为 可知圆心 ，半径为 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义可知 ，
圆外一点到圆上点的距离满足 ，即 ；
所以 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立；
即 的最小值为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求角A；
(2)若 的面积为1，求 的最小值.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出 ，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】（1）由已知 ， ，
由正弦定理 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 .
（2）由题 ，得 ，
又 （ 时取“=”）
所以，
即 的最小值是 ， 时取等号.
18．已知数列 的各项均为正数，其前n项和记为 ，且 其中λ为常
数．
(1)若数列 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求数列 的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用赋值法，结合等差数列的性质进行求解即可；
（2）根据数列的奇数项和偶数项的性质，结合裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）在 中，令 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求得 ，同理可得 ，
∵数列 为等差数列，∴ ，∴ ∴ ，∴公差 ，
∴ ；
（2）由 ①，得 ②
② ①得 ，又 ，∴ ．
∴数列 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差均为λ，且λ=2，
又∵ ，∴ ， ，
∴
．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形， 平面 ，
．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF的长为4； ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）证明出 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向
量，计算出 ，证明出BG与平面DCE不平行；
（2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体
积.
【详解】（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，
所以 ， ，
又 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 （ 且 ），则 ，所以 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
化简得 ，解得 或 （舍去）；故 ．
此时梯形ABEF的面积 ，故 ．
20．某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其
中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，
每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两
场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成 则第5场比赛定胜负．已
知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 ，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，高
二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；
（2）由题可知高三年级获得积分的 的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.
【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为 ，
则
（2）根据题意得高三年级获得积分的 的取值可为0，3，6
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的分布列为
0 3 6
21．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为 ，设 ， ，联立椭圆方程结合韦达定理可得
的关系，再由易知向量线性关系转化 ，计算即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以
，
所以 是定值 .
22．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 ， 恒成立，求a的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用几何意义求出切线斜率，代入点斜式即可求解切线方程；
（2）把恒成立问题转化为求 的最小值问题，求导，分类讨论研究函数的单调性，求
解函数的最值即可.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
所以则切线的斜率为 .又 ，
所以函数 在点 处的切线方程是 ，即 .
（2） ，即 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时，因为 ，则 ， ，则 ，
故 在 上是增函数，则 ，所以当 时，不等式显然成立；
当 时， ，令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 .
当 时， ，从而有 ，此时不等式恒成立；
当 时， ，令 ，则 ，
故 在 上是增函数，即 在 上是增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，
故存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ， 为减函数且 ，
所以 与 恒成立矛盾.
综上所述，a的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
