文档内容
专题03 相交线与平行线压轴训练60题
一、单选题
1．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（ ）
A．α+β−2γ=180° B．β−α=γ
C．α+β+γ=360° D．β+γ−α=180°
【答案】D
【分析】本题考查平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关
键 ．
过E向左作射线EF∥AB，把∠β分成∠FEA和∠FED，然后根据平行线的性质即可
得到解答 ．
【详解】过E向左作射线EF∥AB，
则∠FEA=∠EAB=α，
∴∠FED=∠AED−∠FEA=β−α
∵AB∥CD，
∴FE∥CD，
∴∠D+∠FED=180°，
∴β+γ−α=180°．
故选：D．
2．如图，AB∥CD 、PG平分∠EPF,∠A+∠AHP=180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④
∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则∠BEP−∠DFP
=2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：
两直线平行，内错角相等．
由∠A+∠AHP=180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，
再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=∠HPG+∠PHG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠GPH=∠HPG，
∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP−∠FDG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH−∠FDG=∠A+∠FPG+∠PHG−∠EPG
=∠A+∠PHG，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°，故④正确；
∵∠BEP−∠DFP
=∠EPH−∠FPH
=(EPG+∠GPH)−∠FPH
=∠FPG+∠GPH−∠FPH
=∠GPH+∠GPH
=2∠GPH，
∠BEP−∠DFP
∴ =2为定值，故④正确．
∠GPH
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
3．如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则
∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．
A．262° B．152° C．208° D．236°
【答案】C
【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得
∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得
答案．
【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，
∵ ∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，
∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F−28°，
又∵∠2=∠A+∠C，
∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∵∠2+∠3=180°
∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的
外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
4．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③
∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°．其中能说明纸条两边平行的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行
线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确；
∵∠3=∠4，
∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确；
∵∠4+∠5=180°，
∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），
故④正确．∴有3个．
故选：C．
5．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是( )
A．∠B=∠3 B．∠1=∠4
C．∠1=∠B D．∠B+∠2=180°
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一判断即可，熟练掌握平行
线的判定方法是解题的关键．
【详解】A、因为∠B=∠3，所以AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题
意；
B、因为∠1=∠4，所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
C、因为∠1=∠B，所以BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出
AB∥EF，符合题意，
D、因为∠B+∠2=180，所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题
意；
故答案为：C．
6．如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；
（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所
截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，
应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进
而确定这两个角的位置关系．
7．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝
∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得
∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相
等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm
得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠ADE；③
DE⊥AC；④BE=AD，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用平移的性质可得AD//BE，BE=AD即可判断①④的正确性，由
AB//DE，即可判断③的正确性，再根据平行线的性质即可判断②的正确性 ．
【详解】解：∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，
∴AD//BE，AB//DE，故①正确
∴∠B+∠BAD=180°，∠ADE+∠BAD=180°
∴∠B=∠ADE，故②正确
∵∠BAC=90°，AB//DE
∴DE⊥AC，故③正确
∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，
∴BE=AD，故④正确
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方
向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每
一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等，合理的运用性质是解答此题的关键．
9．如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=46°，则∠H为(
)
A．22° B．23° C．24° D．25°
【答案】B
【分析】过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∵EQ∥AB∥CD，
∴∠QEB+∠ABE=180°，∠QED+∠EDC=180°，
∴
∠BED=∠QED−∠QEB=(180°−∠EDC)−(180°−∠ABE)=∠ABE−∠EDC，
同理∵AB∥CD∥HI，
∴∠IHD+∠CDH=180°，∠IHB+∠ABH=180°，
∴
∠BHD=∠IHB−∠IHD=(180°−∠ABH)−(180°−∠CDH)=∠CDH−∠ABH，
∵∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，
1 1
∴∠FBA= ∠ABE，∠GDC= ∠EDC，
2 2
∴∠BHD=∠CDH−∠ABH
=(180°−∠GDC)−(180°−∠FBA)
=∠FBA−∠GDC
1
= (∠ABE−∠EDC)
21
= ∠BED
2
1
= ×46°
2
=23°．
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的
性质解答．
1
10．如图，AB∥CD，∠1= ∠ABF，CE平分∠DCF，设∠ABE=∠1，∠E=∠2，
3
∠F=∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）
A．∠1+2∠2+∠3=360° B．2∠2+∠3−∠1=360°
C．∠1+2∠2−∠3=90° D．3∠1+∠2+∠3=360°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知
识点．
过点E作EH∥AB，过点F作FI∥CD，根据题意得∠ABF=3∠1，
∠DCF=2∠ECD，根据平行线的性质得AB∥EH∥CD，AB∥FI∥CD，可得
∠ABE=∠BEH=∠1，∠ECD=∠CEH，∠ABF+∠BFI=180°，
∠DCF+∠CFI=180°，即可得
∠ABE+∠ECD=∠BEH+∠CEH=∠BEC=∠2，∠ABF+∠BFI+∠DCF+∠CFI=180°+180°=360°，则∠1+∠ECD=∠2，
3∠1+∠3+2∠DCE=360°，得∠ECD=∠2−∠1，即可得
3∠1+∠3+2(∠2−∠1)=360°，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，过点E作EH∥AB，过点F作FI∥CD，
1
∵∠1= ∠ABF，CE平分∠DCF，∠ABE=∠1，
3
∴∠ABF=3∠1，∠DCF=2∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，AB∥FI∥CD，
∴∠ABE=∠BEH=∠1，∠ECD=∠CEH，
∠ABF+∠BFI=180°，∠DCF+∠CFI=180°，
∴∠ABE+∠ECD=∠BEH+∠CEH=∠BEC=∠2，
∠ABF+∠BFI+∠DCF+∠CFI=180°+180°=360°，
即∠1+∠ECD=∠2，3∠1+∠3+2∠DCE=360°，
∴∠ECD=∠2−∠1，
∴3∠1+∠3+2(∠2−∠1)=360°
∴3∠1+∠3+2∠2−2∠1=360°
∴∠1+2∠2+∠3=360°
故选A．
11．如图，点E在DA延长线上，CE，AB交于点F，且∠BCE=∠AEF，∠B=∠D，
∠EFA比∠FCD的余角小30°，P为线段DC上一动点，Q为PD上一点，且满足
∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①DE∥BC；②AB∥CD；
③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=15°．其中结论正确的序号是
（ ）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】由∠BCE=∠AEF，根据内错角相等，两直线平行，可判断结论①；由
DE∥BC可得出∠B=∠EAF，结合∠B=∠D可得出∠EAF=∠D，根据“同位
角相等，两直线平行”可判断结论②；由AB∥CD可得出∠AFQ=∠FQP，结合
∠FQP=∠QFP可得出∠AFQ=∠QFP，可判断结论③；由AB∥CD可得出
∠EFA=∠FCD，结合∠EFA比∠FCD的余角小30°可求出∠EFA的度数，再由
∠B=∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E，可判断结论④；根据角平分
1 1 1
线的定义可得出∠MFP= ∠EFA+ ∠AFP以及∠QFP= ∠AFP，将其代入
2 2 2
∠QFM=∠MFP−∠QFP可求出∠QFM的度数，可判断结论⑤．综上即可得出结
论．
【详解】解：∵∠BCE=∠AEF，
∴DE∥BC，故结论①正确；
∴∠B=∠EAF，
∵∠B=∠D，
∴∠EAF=∠D，
∴AB∥CD，故结论②正确；
∴∠AFQ=∠FQP，
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠AFQ=∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，故结论③正确；
∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠FCD，
∵∠EFA比∠FCD的余角小30°，
∴90°−∠FCD−30°=∠FCD，∴∠FCD=30°，
∴∠EFA=∠FCD=30°，
∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，
∴∠B+∠E=180°−∠EFA=180°−30°=150°，故结论④不正确；
∵FM为∠EFP的平分线，
1 1 1
∴∠MFP= ∠EFP= ∠EFA+ ∠AFP，
2 2 2
∵FQ平分∠AFP，
1
∴∠QFP= ∠AFP，
2
1 1 1 1
∴∠QFM=∠MFP−∠QFP= ∠EFA+ ∠AFP− ∠AFP= ∠EFA=15°，
2 2 2 2
故结论⑤正确；
综上所述，正确的结论有①②③⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内
角和定理等知识点．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力
传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，
∠BAG=150°，∠AGC=80°，则∠≝¿的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】过点F作FM∥CD，则AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出
∠MFA、∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠≝¿．
【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠≝+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
∴∠MFA=180°−∠BAG=180°−150°=30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA=∠AGC=80°．
∴∠EFM=∠EFA−∠MFA=80°−30°=50°．
∴∠≝=180°−∠EFM=180°−50°=130°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是
解题关键．
13．如图，已知AB∥CD，E，F是直线AB上方两点，连接AE，CE，AF，CF，已知
1
AF平分∠BAE，且∠ECF= ∠ECD．若∠E=15°，∠ECD=75°，求∠F的度
3
数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过E作EM∥AB，
1
过F作FN∥AB，由∠ECF= ∠ECD，可得∠FCD=50°，由EM∥AB，可得
3
∠MEC=∠ECD=75°，∠EAB=∠MEA=60°，由FN∥AB可得∠FAB=∠NFA=30°，∠NFC=∠FCD=50°，最后根据
∠AFC=∠NFC−∠NFA求解即可．
【详解】解：如图，过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
1
∵∠ECF= ∠ECD，∠ECD=75°，
3
1
∴∠ECF= ×75°=25°，
3
∴∠FCD=∠ECD−∠ECF=50°，
∵EM∥AB，
∴∠MEA=∠EAB，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MEC=∠ECD=75°，
∵∠AEC=15°，
∴∠EAB=∠MEA=∠MEC−∠AEC=75°−15°=60°，
∵AF平分∠BAE，
1
∴∠FAB= ∠EAB=30°，
2
∵FN∥AB，
∴∠FAB=∠NFA=30°，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠NFC=∠FCD=50°，
∴∠AFC=∠NFC−∠NFA=50°−30°=20°，
故选：C．
14．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，
∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）A．280° B．285° C．290° D．295°
【答案】B
【分析】首先根据对顶角相等得到∠β=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形
DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可
得到答案．
【详解】解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的
关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
15．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC
＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）A．20° B．25° C．35° D．50°
【答案】A
【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得
∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得
出∠CDE的度数．
【详解】解：由题意得，AB∥DE，
如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=180°-125°=55°，
∴∠DCF=75°-55°=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行
线的性质求解．
16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=8，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等
知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接BI，证明BI平
分∠ABC，则∠ABI=∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI=∠BID，推出
∠CBI=∠BID，得出BD=DI，同理可得CE=EI，△DIE的周长
=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=8，即可得出结果．【详解】解: 连接BI，如图所示
∵ AI ∠BAC CI ∠ACB
平分 ， 平分 ，
∴ BI平分∠ABC，
∴ ∠ABI=∠CBI，
由平移得AB∥DI，
∴ ∠ABI=∠BID，
∴ ∠CBI=∠BID，
∴DB=DI，
同理可得CE=EI；
∴ △DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=8，
即图中阴影部分的周长为8；
故选A
17．如图，MN∥PQ，AB平分∠MAC，CD平分∠PDB，若2∠C−∠B=60°，则
∠MAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】过点B作BE∥MN，过点C作CF∥PQ，根据平行线的性质，和角平分线
3
的定义，结合2∠ACD−∠ABD=60°进行转化，得出 ∠MAC=60°，即可得出
2
答案．
【详解】解：过点B作BE∥MN，过点C作CF∥PQ，
∵MN∥PQ，
∴MN∥BE∥CF∥PQ，∴∠MAB=∠ABE，∠MAC=∠ACF，∠EBD=∠BDP，
∵AB平分∠MAC，CD平分∠PDB，
1 1
∴∠MAB=∠BAC= ∠MAC，∠PDC=∠CDB= ∠PDB，
2 2
∴∠MAB=∠BAC=∠ABE，∠PDC=∠CDF=∠DCF，
∵2∠ACD−∠ABD=60°，
∴2(∠ACF+∠DCF)−(∠ABE+∠DBE)=60°，
1
∴2∠MAC+2∠PDC− ∠MAC−∠PDB=60°，
2
3
∴ ∠MAC+2∠PDC−2∠PDC=60°，
2
3
∴ ∠MAC=60°，
2
∴∠MAC=40°，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握两直线平行内错角相等．
18．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于
F，EG∥BC,CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分
1
∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB= ∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的
2
结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，
熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明
∠ADC+∠ACD=90°,∠GCD+∠BCD=90°，即可判断结论③；根据角平分线
1
的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=180°− (∠ABC+∠ACB)=135°，即
2
可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA,∠ACD=∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A=90°,CG⊥EG,EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD=90°,CG⊥BC，即∠BCG= 90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GCD，故结论③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
1 1
∴∠FBC= ∠ABC,∠FCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠BFC=180°− (∠ABC+∠ACB)=135°，
2
∴∠DFB=180°−∠BFC=45°，
1
∴∠DFB= ∠A，故结论④正确；
2
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故结论⑤正确；
若CA平分∠BCG，而∠BCG=90°=∠EGC，
∴∠ECG=∠ACB=45°，与题干条件不相符，故结论②错误．
故选：C．19．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长
线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点
G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】B
【分析】设∠HFC＝∠HCF＝x°，在△FHC中可得到∠FHC=180°-2x°，可得到
∠FHB=2x°，然后根据角平分线性质可得到∠EFH=60°+2x°，然后计算出∠BFH从而得
到∠AFB，在计算∠AFE即可．
【详解】解：设∠HFC＝∠HCF＝x°，
∴∠FHC=180°-∠HFC+∠HCF=180°-2x°，
∴∠FHB=180°-∠FHC= 2x°，
∵FG平分∠EFH，∠CFG＝30°，
∴∠EFH=2（∠CFG+∠HFC）＝60°+2x°，
∴∠BFH=180°-∠EFH=120°-2x°
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC +∠DCB=180°，
∴AD∥CB，
∴∠AFB＝∠FBH，
在△FBH中，∠FBH=180°-∠BFH -∠FHB=60°，
∴∠AFB＝∠FBH=60°，
∴∠AFE=180°-∠AFB＝120°
故选：B【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质应用，结合三角形内角和计算角度是解题
的关键．
20．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，
△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则
∠BFC的大小是（ ）
A．125° B．120° C．110° D．105°
【答案】C
【分析】设∠C′=α，∠B'=β，由全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠C'=α，
∠ABE=∠B'=β，∠BAE=∠B' AE=35°，利用外角的性质得到∠C′DB=35°+α，
∠CEB'=35°+β，利用平行线的性质得出∠ABC=∠C′DB=35°+α，
∠ACB=∠CEB′=35°+β，再利用三角形内角和定理求出结果．
【详解】解：设∠C′=α，∠B'=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B'=β，∠BAE=∠B' AE=35°，
∴∠C′DB=∠BAC′+∠AC′D=35°+α，∠CEB'=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和
“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
21．如图1，是一盏LED台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座AB，BC，灯杆CD
和灯头DE组成．已知BC⊥AB，灯头DE始终平行桌面．已知∠CDE=120°，连结3
CE，BE，若∠DEC= ∠EBA，∠DCE=2∠CEB，则∠BCE的度数是（ ）
4
A．120° B．126° C．130° D．135°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本
题的关键． 延长EC和AB相交于点F，设∠DEC=3x,∠EBA=4x，根据
∠CDE+∠DCE+∠DEC=180°列方程求出x的值，再求出∠F=∠DEC=36°，
然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】如图，延长EC和AB相交于点F，
3
∵∠DEC= ∠EBA，
4
∴设∠DEC=3x,∠EBA=4x，
∵DE∥AB，
∴∠DEB=∠EBA=4x，
∴∠CEB=∠DEB−∠DEC=x，
∴∠DCE=2∠CEB=2x，
∵∠CDE+∠DCE+∠DEC=180°，
∴120°+2x+3x=180°，
∴x=12°，
∴∠DEC=3x=36°．
∵DE∥AB，
∴∠F=∠DEC=36°．∵BC⊥AB，
∴∠CBF=90°，
∴∠BCE=36°+90°=126°．
故选B．
22．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=a°，则下列
1
结论：①∠BOE= (180−a)°；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④
2
∠POB=2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线
的性质定理是解题的关键．
由AB∥CD可得∠ABO=∠BOD=a°，由OE平分∠BOC可得
1
∠BOE= (180−a)°可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合
2
角平分线的定义可判定③；先说明∠ABO=4∠DOF，而∠ABO=∠POB不一定成
立即可判定④．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ABO=a°，
∴∠ABO=∠BOD=a°，∠BOC+∠BOD=180°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE= (180−a)°，即①正确；
2
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE,
∵OF⊥OE，OP⊥CD，∴∠BOE+∠BOF=90°，∠EOC+∠EOP=90°，∠EOC+∠DOF=90°，
∴∠POE=∠DOF,∠POE=∠BOF，即③正确；
∴∠BOF=∠DOF
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD，
∴∠ABO=4∠DOF，
而题目中不能得到∠ABO=∠POB，故④错误．
故选：B．
二、填空题
23．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG=10,MC=2,MG=4，则图中阴影部
分的面积为 平方单位．
【答案】36
【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的
面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
【详解】根据平移的性质得S ABCD=S EFGH，
梯形 梯形
∵DC = HG = 10，MC= 2，MG = 4，
∴DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，
∴S = S ABCD-S EFMD
阴影 梯形 梯形
=S EFGH-S EFMD
梯形 梯形
=S HGMD
梯形
1
= (DM+HG)·MG
2
1
= ×(8+10)×4
2= 36．
故答案为：36．
【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不
变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形
EFMD的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
24．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，
CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点
3
N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M= ∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为
2
．
【答案】45°/45度
【分析】设∠N=∠BGM=2x，∠MHD= y，根据角平分线的定义可得
∠AGH=90°−x，过点M作MF∥AB，过点H作HE∥GN，根据平行线的性质可
得∠GMF=∠BGM=2x，∠HMF=∠MHD= y，从而可得∠GMH=2x+ y，根
据角的和差可得∠HGN= y−x，再根据平行线的性质可得
∠MHE=∠N=2x,∠GHE=∠HGN= y−x，从而可得∠DHG=x+2y，然后根
据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，从而可得x+ y的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设∠N=∠BGM=2x，∠MHD= y，
∴∠AGM=180°−∠BGM=180°−2x，
∵GH是∠AGM的平分线，
1
∴∠AGH= ∠AGM=90°−x，
2
如图，过点M作MF∥AB，过点H作HE∥GN，∴∠GMF=∠BGM=2x
，
∵AB∥CD，
∴CD∥MF，
∴∠HMF=∠MHD= y，
∴∠GMH=∠GMF+∠HMF=2x+ y，
3
∵∠GMH= ∠N+∠HGN，
2
3
∴∠HGN=∠GMH− ∠N= y−x，
2
∵HE∥GN，
∴∠MHE=∠N=2x,∠GHE=∠HGN= y−x，
∴∠MHG=∠MHE+∠GHE=x+ y，
∴∠DHG=∠MHD+∠MHG=x+2y，
又∵AB∥CD，
∴∠AGH=∠DHG，即90°−x=x+2y，
整理得：x+ y=45°，
∴∠MHG=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练
掌握平行线的性质是解题关键．
2 2
25．如图，AB∥CD，∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，DQ，BQ分别平分
3 3
∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DBQ满足的数量关系为： ．3
【答案】∠DQB+ ∠DFB=180°
4
【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，
解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是
解题的关键．
根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等
分别推出四个角∠DFT,∠TFB,∠DQK,∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义
和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．
【详解】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB
∵AB∥CD
∴ CD∥FT∥QK∥AB
∴∠DFT=∠CDF,∠TFB=∠ABF,∠DQK=∠GDQ,∠KQB=∠QBH
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF
∠DQB=∠DQK+∠KQB=∠GDQ+∠QBH
2 2
∵∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE
3 3
2 2 2
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF= ∠CDE+ ∠ABE= (∠CDE+∠ABE)
3 3 3
3
∴ ∠DFB=∠CDE+∠ABE
2
∵ DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE
1 1 1
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH= ∠GDE+ ∠HBE= (∠GDE+∠HBE)
2 2 2
∵∠GDE+∠CDE=180°,∠HBE+∠ABE=180°
1
∴∠DQB= (180°−∠CDE+180°−∠ABE)
2
1
∴∠DQB=180°− (∠CDE+∠ABE)
21 3
∴∠DQB=180°− × ∠DFB
2 2
3
∴∠DQB+ ∠DFB=180°
4
3
故答案为：∠DQB+ ∠DFB=180°
4
26．如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，
BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使
∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
( 1 )
【答案】 45− x °
4
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得∠ABN=180°−x°，再结合角平
分线的定义，三角形的外角的性质可证明∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，即可
得到∠ABC的度数．
【详解】解：∵AM∥BN，∠A=x°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=180°−x°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABC=∠CBP，∠DBP=∠DBN，
∵∠ACB=∠ABD，∠ACB=∠ADB+∠DBC，∠ABD=∠ABC+∠DBC，
∴∠ABC=∠ADB，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠PBD=∠DBN，
1 ( 1 )
∴∠ABC= ∠ABC= 45− x °，
4 4( 1 )
故答案为： 45− x °．
4
27．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，
把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，
∠CDB的度数为 ．
【答案】65°或120°
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情
况，ED∥AB和ED∥BC，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分
类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：∠CDB=∠EDB，
设∠EDB=∠CDB=x(x>0)，
∵∠A=60°,∠ABC=70°，
∴∠C=50°，
由题意，分以下两种情况：
如图，当ED∥AB时，
∵∠EDA=∠A=60°，
∴∠ADB=∠EDB−∠EDA=x−60°，
∵∠ADB+∠CDB=180°，∴x−60+x=180，
解得x=120，
即∠CDB=120°；
如图，当ED∥BC时，
∴∠EDA=∠C=50°，
∵∠CDB+∠EDB+∠EDA=180°，
∴x+x+50=180，
解得x=65，
即∠CDB=65°，
综上，∠CDB的大小为65°或120°．
故答案为：65°或120°．
28．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，D为AB上一点，将△BCD沿CD
折叠后，且CE∥AB，则∠ACD的度数是 °．
【答案】25
【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得∠BCD=∠CDB，再由三角形的内角和
定理求出∠BCD，利用角的和差即可求出∠ACD．
【详解】∵△BCD折叠后得到△ECD，
∴∠ECD=∠BCD，∵CE∥AB，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠BCD=∠CDB，
又∵∠B=50°，
180°−50
∴∠BCD= =65°，
2
∴∠ACD=90°−65°=25°，
故答案为：25．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的
性质是解题的关键．
29．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一
书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民
间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情
形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE=124°，∠E=28°，则∠BAE的度数为
．
【答案】96°/96度
【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点E作EF∥CD，由平行线的
性质求∠FEC=180°−∠DCE=56°，继而得到∠FEA=∠FEC+∠AEC=84°，
根据平行公理的推论得EF∥AB，最后根据两直线平行，同旁内角互补得
∠BAE=180°−∠FEA．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：过点E作EF∥CD，
∴∠FEC+∠DCE=180°，
∵∠DCE=124°，∠AEC=28°，
∴∠FEC=180°−∠DCE=180°−124°=56°，
∴∠FEA=∠FEC+∠AEC=56°+28°=84°，
∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∴∠BAE=180°−∠FEA=180°−84°=96°．
∴∠BAE的度数为96°．
故答案为：96°．
1 1
30．如图：AB//CD，AE⊥CE，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，则
3 3
∠AFC= ．
【答案】60°
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，垂直的定义，方程的思想求解即可．
【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF= y，∠EAB=3x，∠ECD=3 y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+3x+∠ACE+3 y=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°−(3x+3 y)，∠FAC+∠FCA=180°−(2x+2y)
∴∠AEC=180°−(∠CAE+∠ACE)
=180°−[180°−(3x+3 y)]
=3x+3 y
=3(x+ y)，
∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)
=180°−[180°−(2x+2y)]
=2x+2y=2(x+ y)，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
2 2
∴∠AFC= ∠AEC= ×90°=60°．
3 3
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，方程的思想，熟练应用平行线的性
质，科学引入未知数是解题的关键．
31．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1
米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积 ．
【答案】1421平方米
【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩
余部分即为种植花草的面积．
【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，
可以得到下图：
所以种植花草的面积=(50−1)(30−1)=1421m2，
故答案为1421平方米．
【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键．
32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：
①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论
有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出
∠BOC的度数，再根据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性
质可得出∠BOE的度数，可判断①是否正确．根据OF⊥OE，由∠BOE的度数计算出
∠BOF的度数，根据两直线平行，内错角相等的性质，得到∠BOD的度数，可计算出
∠3的度数，可得出结论②是否正确，由②中的结论可判断③是否正确．根据平行线
的性质，可得到∠OPB=90°，可计算出∠POB的度数，可得出④结论是否正确．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ABO＝40°
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°
∵OE平分∠BOC
1 1
∴∠B0E＝ ∠BOC＝
×140°
＝70°
2 2
故结论①正确
∵OF⊥OE，∠B0E＝70°
∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°
∵AB∥CD，∠ABO＝40°
∴∠BOD＝∠ABO＝40°
∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20°
∴∠BOF＝∠DOF
∴OF平分∠BOD
故结论②正确由②的结论可得
∴∠1＝∠2＝20°
故结论③正确
∵OP⊥CD
∴∠OPB＝90°
∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50°
∵2∠3＝2×20°＝40°
∴∠POB≠2∠3
故结论④错误
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线性质的应用，合理应用平行线的性质是
解决本题关键．
33．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠，使点C落在长方形的内部点E处，若
FH平分∠BFE，MH⊥FH，∠CGF=40°，则GF与HM的位置关系是 ．
【答案】GF∥HM
【分析】本题考查了平行线的判定，折叠的性质，角平分线定义的应用，根据长方形
的性质和直角三角形的性质可求∠CFG，根据折叠求出∠CFG=∠EFG，根据平角
的定义可求∠MFE，再根据角平分线定义求出∠HFE=∠HFM，再根据直角三角
形的性质可求∠HMF的度数，进而得∠CFG=∠HMF，再根据平行线的判定即可
求解．
【详解】解：因为四边形ABCD是长方形，
所以∠C=90°，
因为∠CGF=40°，
所以∠CFG=50°，
根据折叠可得∠CFG=∠EFG=50°，所以∠MFE=180°−∠CFG−∠EFG=80°，
因为FH平分∠BFE，
所以∠HFE=∠HFM=40°，
因为MH⊥FH，
所以∠HMF=50°，
所以∠CFG=∠HMF，
所以GF∥HM，
故答案为：GF∥HM．
34．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数为
．
【答案】50°/50度
【分析】由折叠的性质得：∠C′=∠C=90°,∠CDE=∠C′DE．先求出∠C′DE的
度数，可得∠C′DA的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：∠C′=∠C=90°,∠CDE=∠C′DE．
∵∠1=70°，
∴∠CDE=180°−∠1=110°，
∴∠C′DE=∠C′DA+∠1=110°，
∴∠C′DA=110°−70°=40°，
∴∠2=90°−∠C′DA=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌
握图形折叠的性质是解决本题的关键．
35．如图，AB∥CD， 3∠ABF=2∠ABE，3∠CDF=2∠CDE，则∠E:∠F= ．【答案】3:2
【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性
质．过点F作l ∥CD，过点E作l ∥CD， 由平行线的性质可知
1 2
∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF，∠BED=∠3+∠4=∠CDE+∠ABE，由
3∠ABF=2∠ABE，3∠CDF=2∠CDE和等量代换可得到∠BFD和∠BED的数
量关系，继而即可求解．
【详解】解：过点F作l ∥CD，过点E作l ∥CD，
1 1
∵AB∥CD，
∴l ∥AB∥CD，l ∥AB∥CD，
1 2
∴∠1=∠CDF，∠2=∠ABF，
∴∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF．
∵l ∥AB∥CD，
2
∴∠3=∠CDE，∠4=∠ABE，
∴∠BED=∠3+∠4=∠CDE+∠ABE，
∵3∠ABF=2∠ABE，3∠CDF=2∠CDE，
2 2
∴∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，
3 3
2 2
∴ ∠BFD=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF= (∠ABE＋∠CDE)= ∠BED，
3 3
即∠BED:∠BFD=3:2．
故答案为：3:2．
36．如图，△ABC和△≝¿是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平
移得到△≝¿的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积
为 cm2．【答案】26
【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据S −S =S ，
△ABC △GEC △≝¿−S ¿
△GEC
即S =S ，利用梯形面积公式即可得到答案．
阴影 梯形ABEG
【详解】解：由平移可得△ABC≌△≝¿，
∴S =S ，
△ABC △≝¿¿
∴S −S =S ，即S =S ，
△ABC △GEC △≝¿−S ¿ 阴影 梯形ABEG
△GEC
1
S = BE(≥+AB)，
梯形ABEG 2
1
= ×4×(8+8−3)，
2
=26(cm2 )．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握平移的基本性质是关键．
37．如图，AD//BC，点P是射线BC上一动点，且不与点B重合．AM、AN分别平分
∠BAP、∠DAP，∠B=α，∠BAM=β，在点P运动的过程中，当
1
∠BAN=∠BMA时， α+2β= ．
2
【答案】90°
【分析】根据平行线的性质可得∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°，由角平分线的定义
可得∠DAM=∠BAN，进一步可得α+4β=180°，从而可得结论．
【详解】解：∵AD//BC∴∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°
∵AM平分∠BAP，
1
∴∠BAM=∠MAP= ∠BAP，
2
∵AN平分∠DAP，
1
∴∠DAN=∠NAP= ∠DAP，
2
∵∠BAN=∠BMA
∴∠DAM=∠BAN
∵∠BAM=∠BAN−∠MAN，∠DAN=∠DAM−∠MAN
∴∠BAM=∠DAN
1
∴∠BAM= ∠BAD
4
∵∠B=α，∠BAM=β
1
∴∠BAM= ∠BAD=β
4
∴∠BAD=4β
∴α+4β=180°
1
∴ α+2β=90°
2
故答案为：90°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解答
此题的关键．
38．在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长
方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为
S，当S=4（cm2）时，平移的时间为 ．
4 14
【答案】 s或 s
3 3
【分析】先用时间表示已知面积的长方形形的长和宽，并以面积作为相等关系解关于
时间x的方程即可．【详解】解：长方形GAEH沿水平方向向右移动过程中，设HE与AD相交于点M，设
平移时间为x秒，
如图1，
图1
则AF=1.5x，GH=2，
所以2×1.5x=4，
4
解得：x= ，
3
如图2，
则BG=6−(1.5x−3)=9−1.5x，GH=2，
所以2(9−1.5x)=4，
14
解得：x= ，
3
4 14
综上所述，当S=4（cm2）时，平移的时间为 s或 s．
3 3
4 14
故答案为： s或 s．
3 3
【点睛】此题主要考查了长方形的性质以及一元一次方程的有关动点问题，解决本题
的关键是能用代数式表示出平移后重叠部分的宽．
39．如图AB//DE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点
P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ ．【答案】92°
【分析】延长AB交PD与点M，过点C作CN//AB，根据角平分线可设∠ABF＝
∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，根据平行线的性质可得∠AMD＝∠EDP＝y，再根据
三角形的外角性质可得y－x＝44°，根据平行线的性质可得∠NCD＝180°－2y，∠NCB
＝2x，最后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB即可求得答案．
【详解】解：如图，延长AB交PD与点M，过点C作CN//AB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵AB//DE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵AB//DE，CN//AB，
∴CN//DE，∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CN//AB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2(y－x)
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线
的定义，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
40．把一块含60°角的直角三角尺EFG（其中∠EFG=90°，∠EGF=60°）按如图所示
的方式摆放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1=2∠2，则∠1的度数为
．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则
∠AFG与∠EGD的数量关系为 ．
【答案】 80° ∠AFG−∠EGD=60°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键．
（1）根据平行线的性质可知∠1=∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD=180°，可
求出结果；
（2）依据AB∥CD，可知∠AFG=∠FGD，再根据∠AFG=60°+∠EGD，即可
求出结果．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠1=2∠2，
∴∠2+60°+2∠2=180°，
解得∠2=40°，
∴∠1=2∠2=80°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AFG=∠FGD，
即∠AFG=60°+∠EGD，
整理得∠AFG−∠EGD=60°，
故答案为：80°，∠AFG−∠EGD=60°．
41．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西
部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员
遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东
30°方向上，且∠BOC=50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD=
°．
【答案】110
【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的
概念是解题的关键．
如图：过点O作OF⊥AB交AB延长线于F，过点C作CH⊥AB交AB延长线于H，
依题意得BE⊥AB，∠EBO=30°，∠BOC=50°，CD∥AB，则
BE∥OF∥CH，由此得∠BOF=∠EBO=30°，∠HCO=∠FOC，CH⊥CD，
进而得∠HCO=∠FOC=20°，据此可得∠OCD的度数．
【详解】解：如图所示：过点O作OF⊥AB交AB延长线于F，过点C作CH⊥AB
交AB延长线于H，依题意得：BE⊥AB，∠EBO=30°，∠BOC=50°，CD∥AB，
∴BE∥OF∥CH，
∴∠BOF=∠EBO=30°，∠HCO=∠FOC，CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，∠FOC=∠BOC−∠BOF=50°−30°=20°，
∴∠HCO=∠FOC=20°，
∴∠OCD=∠HCO+∠HCD=20°+90°=110°．
故答案为：110．
42．如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若m//n，则∠1+∠2= °．
【答案】180°
【分析】根据六边形ABCDEF的各角都相等，可得六边形ABCDEF的对边平行；延长
DC，交直线n于点G，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：连接DF，延长DC，交直线n于点G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴每个内角为：（6-2）×180°÷6=120°，
∴∠E+∠EDC+∠EFA=360°，
∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，
∴∠FDC+∠DFA=180°，
∴AF∥DC，
∴∠2=∠3，
又∵m∥n，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠4=∠1，
∴∠1+∠2=180°，
故答案为：180．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角以及平行线的判定与性质，得出AF∥DC是
本题的关键．
三、解答题
43．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF,∠DAC=120°,∠ACF=20°，求
∠FEC的度数．
【答案】20°
【分析】根据AD∥BC，∠DAC+∠ACB=180°，再由∠DAC=120°，得出
∠ACB=60°，由∠ACF=20°，得∠BCF的度数，根据CE平分∠BCF，得
∠BCE=∠ECF，因为EF∥AD，AD∥BC，则EF∥BC，∠FEC=∠BCE，
即可得出∠FEC=20°．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB=180°，∵∠DAC=120°，
∴∠ACB=180°−∠DAC=60°，
∵∠ACF=20°，
∴∠BCF=∠ACB−∠ACF=40°，
∵CE平分∠BCF，
1
∴∠BCE= ∠BCF=20°，
2
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCE=20°.
【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，利用平行线的性质和角平
分线的定义求角度是解题的关键．
44．课题学习：平行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图
形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”
的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非
基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题：
例题：如图1．已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、
∠D之间的关系．
解：过点E作EF∥AB．
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠≝¿，
∵∠BED=∠BEF+∠≝¿，
∴∠BED=∠B+∠D．
【学以致用】
(1)如图1，当∠B=30°，∠D=35°时，∠BED=_______；(2)①如图2，已知AB∥CD，若∠A=135°，∠C=130°，求出∠AEC的度数．
②如图3，在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数．
【答案】(1)65°
(2)①∠AEC=95°；②∠AFC=132.5°．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线．
（1）根据∠BED=∠B+∠D，计算即可；
（2）①过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角
平分线的定义求出∠BAF，∠DCF的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题可知∠BED=∠B+∠D，
∵∠B=30°，∠D=35°，
∴∠BED=30°+35°=65°；
故答案为：65°．
（2）①过点E作EF∥AB，如图：
∵EF∥AB AB∥CD
， ，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
又∵∠A=135°，∠C=130°，
∴∠AEF=180°−135°=45°，
∠CEF=180°−130°=50°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=45°+50°=95°．
②∵∠BAE=135°，AF平分∠BAE，
1 1
∴∠BAF= ∠BAE= ×135°=67.5°，
2 2
∵∠DCE=130°，CF平分∠DCE，
1
∴∠DCF= ∠DCE=65°，
2
由（1）可知：∠AFC=∠BAF+∠FCD=67.5°+65°=132.5°．
45．综合与探究
问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动
点（与点A不重合），BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，
D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60°时，∠CBD=∠A．请说明理由．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表
示∠CBD为____________________．
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．
他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，
∠APB和∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
(4)点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB=∠ABD时，请直接写出
1
2∠ABC+ ∠A的结果．
2
【答案】(1)见解析
180°−∠A
(2)∠CBD=
2
(3)∠APB=2∠ADB
(4)90°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算：
（1）根据平行线的性质可得∠ABN=180°−∠A=120°，再根据角平分线的定义可
1 1
得∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠PBN，即可求证；
2 2
1 1
（2）根据角平分线的定义可得∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠PBN，再根据平行
2 2
线的性质可得∠ABN=180°−∠A，即可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠PBN=2∠NBD，再根据平行线的性质可得
∠PBN=∠APB,∠NBD=∠ADB，即可；
（4）根据平行线的性质可得∠ACB=∠CBN，从而得到∠CBN=∠ABD，进而得
到∠ABC=∠DBN，再根据角平分线的定义可得2∠ABC=∠ABN，然后根据平行
线的性质可得∠A+∠ABN=180°，即可求解．
【详解】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°−∠A=120°．
∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠PBN，
2 2
1 1 1
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN=60°，
2 2 2
∴∠CBD=∠A．
（2）解：∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠PBN，
2 2
1 1 1
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN，
2 2 2
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=180°−∠A，
180°−∠A
∴∠CBD= ；
2
（3）解：∠APB=2∠ADB，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB,∠NBD=∠ADB，
∴∠APB=2∠ADB．
（4）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴2∠ABC=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
1 1 1
∴2∠ABC+ ∠A= (∠A+∠ABN)= ×180°=90°．
2 2 2
46．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、
∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出
∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外
角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的
∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点
不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或
∠CPD=∠a−∠β，理由见解析
【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得
∠APC=110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出
∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），
根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推
理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
47．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的
数量关系即可．
【详解】（1）解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
48．（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF//AB．请直接写出∠B，
∠D，∠BED之间的数量关系： ；
（2）应用与拓展：如图②，直线AB//CD．若∠B=23°，∠G=35°，∠D=25°，
借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；
（3）方法与实践：如图③，直线AB//CD．若∠E=∠B=60°，∠F=85°，则
∠D= 度．
【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；（2）83°；（3）25
【分析】（1）利用猪脚模型，进行计算即可解答；
（2）过点G作GH∥AB，利用猪脚模型可得：∠BEG=∠B+∠EGH，
∠GFD=∠D+∠FGH，从而可得∠BEG+∠GFD=∠B+∠D+∠EGF，然后
进行计算即可解答；
（3）设AB与EF相交于点M，先利用三角形内角和定理可得∠BMF=35°，从而利
用对顶角相等可得∠AME=∠BMF=35°，然后利用猪脚模型可得：
∠E=∠AME+∠D，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵EF∥AB，
∴∠B=∠1，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠D，
∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D，
故答案为：∠BED=∠B+∠D；
（2）过点G作GH∥AB，∠BEG=∠B+∠EGH
由（1）可得： ，
∵AB∥CD，
∴CH∥CD，
由（1）可得：∠GFD=∠D+∠FGH，
∵∠B=23°，∠EGF=35°，∠D=25°，
∴∠BEG+∠GFD=∠B+∠EGH+∠D+∠FGH
=∠B+∠D+∠EGF
=23°+35°+25°
=83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）设AB与EF相交于点M，
∵∠B=60° ∠F=85°
， ，
∴∠BMF=180°−∠B−∠F=35°，
∴∠AME=∠BMF=35°，
由（1）得：∠E=∠AME+∠D，
∵∠E=60°，
∴∠D=∠E−∠AME=60°−35°=25°，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
49．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD
分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29°
【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角
1
平分线的定义可以证明∠CBD＝ ∠ABN，即可求出结果；
2
（2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以
∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
【详解】（1）∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
故答案为：116°；58°；
（2）不变，∠APB=2∠ADB，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行
线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．
50．如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，
将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C′，D′，将四边形ABFE沿直
线EF折叠，点A，B的对应点为A′，B′，设∠EFB=α(0<α<90°)．
(1)若C′、D′在直线AD的上方，当α=50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明
(3)在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的
度数
【答案】(1)40°
(2)EF⊥GH，理由见解析过程
(3)∠CHG=90°−a 或180°−α
【分析】（1）由折叠的性质可得：∠BFB′=2∠EFB=100°，
1
∠CHG= ∠CHC′ ，由平行线的性质可得∠CHC′=∠B′FH=80°，即可求解；
2
（2）由平行线的性质可求∠PFH=∠CHG=40°，可求∠EFP=90°，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解．
1
【详解】（1）解：由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=100°，∠CHG= ∠CHC′ ，
2∴∠B′FH=180°−100°=80°，
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC′=∠B′FH=80°，
1
∴∠CHG= ∠CHC′=40°；
2
（2）解：猜想：EF⊥GH，理由如下：
如图，过点F作FP∥HG交AD于点P，
∴∠PFH=∠CHG=40°，
∵∠EFB=50°，
∴∠EFP=180°−40°−50°=90°，
即EF⊥FP．
又∵FP∥HG，
∴EF⊥GH；
（3）解：如图，当C′、D′在直线AD的上方时，
1
由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠CHG= ∠CHC′ ，
2
∴∠B′FH=180°−2a．
∵C′H∥B′F，
∴∠CHC′=∠B′FH=180°−2a，
1
∴∠CHG= ∠CHC′=90°−α；
2如图，当C′、D′在直线AD的下方时，
1
由折叠得：∠BFB′=2∠EFB=2α，∠DGH= ∠DGD′
2
∵AD∥BC，
∴∠BFB′=∠FPG=2α，∠DGH+∠CHG=180°，
∵C′H∥B′F，C′H∥D′G，
∴D′G∥B′F，
∴∠DGD′=∠FPG=2α．
1
∴∠DGH= ∠DGD′=α，
2
∴∠CHG=180°−a，
综上所述：∠CHG=90°−a 或180°−α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用
分类讨论思想解决问题是解题的关键．
51．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一
个动点．
(1)若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
(2)若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角
板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数．(3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点
∠GEN
G 在线段CD上，连接EG，且有∠CEG=∠CEM，求 的值是否变化？ 如
∠BDF
果不变，求出比值；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)∠C=∠1+∠2
(2)∠BDF=60°
(3)不变，2
【分析】（1）过C作CD∥PQ，则PQ∥CD∥MN，依据平行线的性质，即可得
出∠ACB=∠1+∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，再根据对顶角相等即
可得出结论；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，得到∠GEN=180°−2x，再根据（1）中的结论可得
∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF=90°−x，
据此可得结论．
【详解】（1）解：∠ACB=∠1+∠2，理由如下：
如图所示，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2，
∴∠ACB=∠1+∠2；
（2）解：∵∠MEC=∠AEN，∠AEN=∠A，
∴∠MEC=∠A=30°，
由（1）可知：∠C=∠PDC+∠MEC，
又∵∠C=90°，
∴∠PDC=∠C−∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；∠GEN
（3）解： 的值不变；理由如下：
∠BDF
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°−2x=2(90°−x)，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，
∴∠BDF=90°−x，
∠GEN 2(90°−x)
∴ = =2．
∠BDF 90°−x
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，平行公理
的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行
求解．
52．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角
板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，
当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；
(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是
∠AOC的平分线；
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)见解析
(3)∠NOC−∠AOM=30°，理由见解析
1
【分析】（1）由∠BOC=180°−∠AOC求出∠BOC的度数，∠BOM= ∠BOC
2
取出∠BOM的值，根据∠BON=∠NOM−∠BOM计算求解即可；
（2）对顶角相等可知∠AOP=∠BON=60°，由∠POC=∠AOC−∠AOP求
∠POC的值，进而结论得证；（3）由题意知∠AON=120°−∠NOC，∠AON=90°−∠AOM，则
120°−∠NOC=90°−∠AOM，整理可得∠NOC,∠AOM的关系．
【详解】（1）解：∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°−120°=60°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=30°，
又∵∠NOM=90°，
∴∠BON=90°−30°=60°，
∴∠BON的值为60°．
（2）解：∵∠AOP=∠BON=60°，
∴∠POC=∠AOC−∠AOP=60°，
1
∴∠AOP=∠POC= ∠AOC，
2
∴射线OP是∠AOC的平分线．
（3）解：∠NOC−∠AOM=30°．
理由如下：∵∠AOC=120°，
∴∠AON=120°−∠NOC，
∵∠MON=90°，
∴∠AON=90°−∠AOM，
∴120°−∠NOC=90°−∠AOM，
∴∠NOC−∠AOM=30°．
【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在
于找出角度的数量关系．
53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度
的取值范围是 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE
是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，
∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD＝AB+DC，证明见解析；（3）3
【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE
＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即
可．
（2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出
AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
{
AD=DE
)
∠ADC=∠EDB ，
DC=DB
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB//CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
{∠AEB=∠FEC
)
∠BAE=∠F ，
BE=CE
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB//CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
{
∠BAE=∠G
)
∠AEB=∠GEC ，
BE=CE
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，
三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．54．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A=120°，∠C=130°，求∠APC的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作
∠PEG=∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若
∠APC=20°，∠PAB=150°，求∠PEH的度数，不用写出计算过程．
【答案】（1）110°；（2）∠APC=∠A−∠C，理由见解析；（3）65°
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠A+∠APQ=180°，
根据∠A=120°，求出∠APQ=180°−∠A=60°，根据PQ∥CD，得出
∠CPQ=180−∠C=50°最后求出结果即可；
（2）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠A=∠APQ，根据平行公理得出
PQ∥CD，求出∠C=∠CPQ，根据∠APC=∠APQ−∠CPQ，即可得出
∠APC=∠A−∠C；
（3）根据∠APC=20°，∠PAB=150°，得出∠AQP=∠PAB−∠APC=130°，
根据平行线的性质得出∠BEF=∠AQP=130°，设∠PEF=∠PEG=x，则
∠PEB=∠BEF−∠PEF=130°−x，
∠BEG=∠PEG−∠PEB=x−(130°−x)=2x−130°，根据角平分线定义得出
1
∠BEH= ∠BEG=x−65°，根据
2
∠PEH=∠PEB+∠BEH=130°−x+x−65°=65°即可得出结果．
【详解】解：（1）如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ=180°，
∵∠A=120°，
∴∠APQ=180°−∠A=60°，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∵∠C=130°，
∴∠CPQ=180−∠C=50°
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=60°+50°=110°；
（2）结论：∠APC=∠A−∠C；理由如下：
如图2，过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
又∵∠APC=∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC=∠A−∠C；
（3）∵∠APC=20°，∠PAB=150°，
∴∠AQP=∠PAB−∠APC=130°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF=∠AQP=130°，设∠PEF=∠PEG=x，
∴∠PEB=∠BEF−∠PEF=130°−x，
∴∠BEG=∠PEG−∠PEB=x−(130°−x)=2x−130°，
∵EH平分∠BEG，
1
∴∠BEH= ∠BEG=x−65°，
2
∴∠PEH=∠PEB+∠BEH=130°−x+x−65°=65°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，角平
分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合．
55．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右
侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
(1)如图1，求证：∠EPG=∠BEP+∠PGD：
(2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，
1
∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°，求∠BEP的度数；
2
(3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，
则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)40°
(3)∠EPG+2∠EHG=180°，理由见解析
【分析】（1）过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，由平行线的性质即可得出结论；
（2）连接EG，由已知条件可得∠PGE=110°-∠BEP，结合（1）的结论可得
1
∠EPG=∠BEP+30°，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠PEG=60°- ∠BEP，再利
2用三角形的内角和定理可求解∠BEP的度数；
（3）过点P作PM∥AB，过点H作HQ∥AB，则PM∥AB∥CD∥HQ，根据EF平分
∠PEA，可设∠AEF=∠PEF=α，根据GN平分∠PGD，可设∠PGN=∠DGN=β，利用平
行线的性质，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系．
【详解】（1）证明：如图，过点P作PH∥AB，
∵PH∥AB，
∴∠BEP=∠HPE，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠DGP=∠HPG，
∵∠HPG+∠HPE=∠EPG，
∴∠EPG=∠DGP+∠BEP，
1
（2）解：∵∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°，
2
∴∠EFD=60°，
由（1）可得∠EPG=∠BEP+30°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF=180°，
∴∠BEF=120°，
∵EG平分∠PEF，
∴∠FEG=∠GEP，
1
∴∠PEG=60°- ∠BEP，
2
∵∠EPG+∠PEG+∠PEG=180°1
∴∠BEP+30°+∠PEG+60°- ∠BEP=180°，
2
∵∠BEP+∠PGE=110°，
∴∠PGE=110°-∠BEP，
1
∴∠BEP+30°+110°-∠BEP +60°- ∠BEP=180°，
2
∴∠BEP=40°；
（3）解：如图，过点P作PM∥AB，过点H作HQ∥AB，
∵EF平分∠PEA，
∴可设∠AEF=∠PEF=α，
∵GN平分∠PGD，
∴可设∠PGN=∠DGN=β，
∵PM∥AB，
∴∠EPM=180°-2α，
∵AB∥CD，HQ∥AB，
∴HQ∥CD，
∴∠MHQ=∠DGN=β，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴PM∥CD，
∴∠MPG=∠PGD=2β，
∴∠EPG=∠MPG+∠MPG=180°-2α+2β，
∵HQ∥AB，
∴∠AEH=∠EHQ，
∴α=∠EHG+∠NHQ=∠EHG+β，
∴∠EHG=α-β，
∴2∠EHG=2α-2β，∴∠EPG+2∠EHG=180°-2α+2β+2α-2β=180°．
【点睛】本题考查的是平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，
作平行线，利用平行线的性质求解是解题的关键．
56．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连
接EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．
（Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由；
（Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，试探究∠F与∠H的数量关系，
请说明理由．
【答案】（Ⅰ）AD与EF平行；理由见解析；（Ⅱ）∠F=∠H，理由见解析．
【分析】（Ⅰ）AD与EF平行， 根据补角的性质可得∠CEG=∠ADC，再由同位角
相等，两直线平行即可得AD//EF；
（Ⅱ）∠F=∠H，由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD．由平行线的性质可得
∠CAD=∠AGF，∠BAD=∠F．由此可得∠AGF=∠F．根据内错角相等，两直
线平行可得HD//AC．由两直线平行，同位角相等可得∠H=∠AGF，由此即可证
得∠H=∠F．
【详解】（Ⅰ）AD与EF平行，理由如下：
∵∠BDA+∠CEG=180°，∠BDA+∠ADC=180°，
∴∠CEG=∠ADC（同角的补角相等）．
∴AD//EF（同位角相等，两直线平行）．
（Ⅱ）∠F=∠H，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD//EF，
∴∠CAD=∠AGF（两直线平行，内错角相等），∠BAD=∠F（两直线平行，同
位角相等）．
∴∠AGF=∠F（等量代换）．∵∠EDH=∠C，
∴HD//AC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠H=∠AGF（两直线平行，同位角相等）．
∴∠H=∠F（等量代换）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，补角的性质，角平分线的性质，熟练掌握
平行线的判定和性质是解题的关键．
57．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点, ∠1=∠2
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分
线交于点N，求∠N的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若
∠GQH
3∠FEN=4∠HFM，则 = ．
∠MPN
【答案】(1)见解析
(2)45°
1
(3)
4
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识．
（1）由平行线的性质得∠1=∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
∠GQH 1
（3）由3∠FEN=4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得 = ．
∠MFN 4
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，∴EF∥GH；
（2）解：如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE=∠4，∠6=∠7，
设∠4=x,∠7= y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK=∠5=∠4=x,∠6=∠8=∠7= y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD=180°−(∠4+∠5)=180°−2x,
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM=90°，
∴180°−2x+2y=90°，
∴x−y=45°，
∴∠ENF=∠ENK−∠6=x−y=45°，
∠GQH 1
（3）解： = ，
∠MPN 4
∵3∠FEN=4∠HFM，即3x=4×2y,
8
∴x= y
38
∴x−y= y−y=45°，
3
∴y=27°，x=72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH=∠EGQ=180°−90°−72°=18°，
又∵∠MPN=∠FEN=x=72°，
∠GQH 1
∴ = ．
∠MPN 4
1
故答案为： ．
4
58．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知
∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，
NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数．
【答案】(1)90°
(2)96°
(3)50°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助
线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及
角平分线的定义，求得∠MGN=32°+α，∠MPN=64°−α，即可得到
∠MGN+∠MPN=96°；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND= y，利用平行线
1
的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°− y−2x，
2
∠MGN=x+ y，再根据2∠MEN+∠MGN=105°，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过G作GH∥AB，
∵ AB∥CD
，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，
∵ MG⊥NG，
∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；
（2）解：如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，
∵ GK∥AB AB∥CD
， ，
∴ GK∥CD，
∴ ∠KGN=∠GND=α，
∵ GK∥AB，∠BMG=32°，
∴ ∠MGK=∠BMG=32°，∵ MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴ ∠GMP=∠BMG=32°，
∴ ∠BMP=64°，
∵ PQ∥AB，
∴ ∠MPQ=∠BMP=64°，
∵ ND平分∠GNP，
∴ ∠DNP=∠GND=α，
∵ AB∥CD，
∴ PQ∥CD，
∴ ∠QPN=∠DNP=α，
∴ ∠MGN=32°+α，∠MPN=64°−α，
∴ ∠MGN+∠MPN=32°+α+64°−α=96°；
（3）解：如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND= y，
∵ AB，FG M MF ∠AME
交于 ， 平分 ，
∴ ∠FME=∠FMA=∠BMG=x，
∴ ∠AME=2x，
∵ GK∥AB，
∴ ∠MGK=∠BMG=x，
∵ ET∥AB，
∴ ∠TEM=∠EMA=2x，
∵ GK∥AB∥CD，
∴ ∠KGN=∠GND= y，
∴ ∠MGN=x+ y，
∵ ∠CND=180°，NE平分∠CNG，1 1
∴ ∠CNG=180°−y，∠CNE= ∠CNG=90°− y，
2 2
∵ ET∥AB∥CD，
1
∴ ∠TEN=∠CNE=90°− y，
2
1
∴ ∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°− y−2x，∠MGN=x+ y，
2
∵ 2∠MEN+∠MGN=105°，
1
∴ 2(90°− y−2x)+x+ y=105°，
2
∴ x=25°，
∴ ∠AME=2x=50°．
59．在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,3)，C(4,0)，且满足
|a+b)+(a−b+6) 2=0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若DB∥AC，∠BAC=a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求
∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存
在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(−3,0)，B(3,3)
1
(2)45°+ α
2
(3)存在满足条件的点P，其坐标为(0,5)或(0,−2)或(−10,0)或(4,0)
【分析】（1）根据非负数的性质得a+b=0，a−b+6=0，解方程即可得出a和b的值，
从而得出答案；1
（2）过点M作MN∥DB，交y轴于点N，根据角平分线的定义得∠MAC= a，
2
∠BDM=45°，再利用平行线的性质可得答案；
（3）连接OB，利用两种方法表示△AOB的面积，可得点F的坐标，再分点P在y轴
或x轴上两种情形，分别表示△ABP的面积，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵|a+b)+(a−b+6) 2=0，
∴a+b=0，a−b+6=0，
∴a=−3，b=3，
∴A(−3,0)，B(3,3)；
（2）解：过点M作MN∥DB，交y轴于点N，如图所示：
∴∠DMN=∠BDM
，
∵DB∥AC，
∴MN∥AC，
∴∠AMN=∠MAC，
∵DB∥AC，∠DOC=90°，
∴∠BDO=90°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC=a，
1
∴ ∠MAC= a，∠BDM=45°，
2
1
∴ ∠AMN= a，∠DMN=45°，
2
1
∴ ∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+ a；
2
（3）解：存在．
理由如下：连接OB，如图所示：设F(0,t)，
∵S +S =S ，
△AOF △BOF △AOB
1 1 1 3
∴ ×3t+ t×3= ×3×3，解得t= ，
2 2 2 2
( 3)
∴F点坐标为 0, ，
2
∵A(−3,0)，B(3,3)，C(4,0)，
1 21
∴S = ×7×3= ，
△ABC 2 2
当P点在y轴上时，设P(0,y)，
∵S =S +S ，
△ABP △APF △BPF
1 | 3) 1 | 3) 21
∴ × y− ×3+ × y− ×3= ，解得y=5或y=−2，
2 2 2 2 2
∴此时P点坐标为(0,5)或(0,−2)；
1 21
当P点在x轴上时，设P(x,0)，则 ×|x+3)×3= ，解得x=−10或x=4，
2 2
∴此时P点坐标为(−10,0)或(4,0)，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(0,5)或(0,−2)或(−10,0)或(4,0)．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和
差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键．
60．综合与探究
【感知】如图①，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数．
小乐想到了以下方法：
解：如图①，过点P作PM∥AB，所以∠EPM=∠AEP=40°．
因为AB∥CD，所以PM∥CD．
所以∠FPM+∠PFD=180°．
因为∠PFD=130°，所以∠FPM=180°−130°=50°．所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=40°+50°=90°．
【迁移】（1）如图②，已知AB∥CD，∠ABP=130°，∠CDP=160°，则
∠BPD=______°；
【探究】（2）如图③，已知AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=106°，求∠EPF
的度数；
【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，∠AEP的平分线与∠PFC的平分线
交于点G，求∠EGF的度数．
【答案】（1）70；（2）56°；（3）28°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握
平行线的判定与性质．
（1）过点P作PH∥AB，由平行线的性质可得∠ABP+∠BPH=180°，
∠CDP+∠DPH=180°，则可得∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°，进而可求解．
（2）过点P作PM∥AB，由平行线的性质得∠MPE=∠AEP=50°，
∠MPF=∠PFC=106°，然后根据∠EPF=∠MPF−∠MPE即可求解；
1 1
（3）由角平分线的定义得∠AEG= ∠AEP=25°，∠GFC= ∠PFC=53°，过
2 2
点G作GM∥AB，由平行线的性质得∠MGE=∠AEG=25°，
∠MGF=∠GFC=53°，据此解得求得∠EGF的度数．
【详解】解：（1）∠BPD=70°，理由如下：
过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD
，
∴PH∥CD，
∴∠ABP+∠BPH=180°，∠CDP+∠DPH=180°，
∴∠ABP+∠BPH+∠CDP+∠DPH=360°，即：∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°，
∵∠ABP=130°，∠CDP=160°，
∴∠ABP=360°−(∠ABP+∠BPD）=360°−(130°+160°）=70°，
故答案为：70；
（2）如图2，过点P作PM∥AB，
所以∠MPE=∠AEP=50°
因为AB∥CD，所以PM∥CD．
所以∠MPF=∠PFC=106°．
所以∠EPF=∠MPF−∠MPE=106°−50°=56°．
（3）因为EG是∠AEP的平分线，FG是∠PFC的平分线，
1 1
所以∠AEG= ∠AEP=25°，∠GFC= ∠PFC=53°．
2 2
如图3，过点G作GM∥AB，
所以∠MGE=∠AEG=25°．
因为AB∥CD，
所以GM∥CD．
所以∠MGF=∠GFC=53°．
所以∠EGF=∠MGF−∠MGE=53°−25°=28°．
