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微专题：等差数列的判定与证明
【考点梳理】
等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数 n都有a －a 等于同一个常数；②等差中项法：证
n＋1 n
明对任意正整数n都有2a ＝a ＋a ；③通项公式法：得出a ＝pn＋q(p，q是常数)；④前n项和公式法：得出
n＋1 n n＋2 n
S＝An2＋Bn(A，B是常数).
n
【典例剖析】
典例1．已知数列 满足 .
(1)求证： 是等差数列；
(2)若 ，求 的通项公式.
典例2．数列 满足 ， ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 ，并证明： ．
典例3．已知数列 中， ， ，且满足 ．
(1)设 ，证明： 是等差数列；
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【巩固训练】
4．已知数列 满足 ，且 ．
（1）求数列 的前三项 ， ， ．
（2）是否存在一个实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（3）求数列 的通项公式．
5．数列 满足 ， .
(1)求 ， ；
(2)证明 是等差数列，并求 的通项公式.
6．已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求证： ．
7．已知正项数列 ，其前n项和 满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
(2)数列 中是否存在连续三项 ， ， ，使得 ， ， 构成等差数列？请说明理由.
8．已知数列{an}满足(an －1)(an－1)＝3(an－an )，a＝2，令bn＝ .
＋1 ＋1 1
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．已知数列 ， 满足 ， ， .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
10．数列 满足 ，已知 ．
（1）求 ， ；
（2）若 ，则是否存在实数t，使 为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
11．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ．
（1）求证： 为等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
12．已知数列 满足： ， ，且 ， .
（1）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
13．已知数列 满足 ， ， ．
(1)设 ， ，求证：数列 为等差数列；
(2)求证： ， ．
14．已知数列 满足 ，其中 .
（1）求证 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，若 对任意的 恒成立，求p的最小值.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．已知数列 的首项为3，且 ．
(1)证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
16．记 为数列{ }的前 项和，已知
(1)证明：{ }是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最小值.
17．记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列.
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 可构成三角形的三边，求 的取值范围.
18．记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
19．已知数列 中， ，设数列 满足：
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式
（3）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）将原递推关系式变形即可证明；
（2）先求得 ，再用累加法即可求解.
(1)
由题 ，即 ，
是公差为4的等差数列.
(2)
，累加可得
，当 时 也满足上式
.
2．（1）证明见解析；（2） ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，得到 ，即可证明结论成立；
（2）根据（1）的结论，先求出 ，再由等差数列的求和公式，得到 ，根据放缩法，化
，再由裂项求和，即可得出结论成立.
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，化简得 ，
即 ，
故数列 是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知 ，
第 5 页所以 ， ．
因此
．
【点睛】
本题主要考查证明数列是等差数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.
3．(1)证明见详解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的定义可证得数列 是等差数列；
（2）求出数列 的通项公式，可求得数列 的通项公式，可得出 ，再利用等比数列的求和公式可
求得 .
(1)
证明： ，
，所以， ，即 ，
又
所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列；
(2)
由（1）可得： ，所以 ，
整理可得 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ①
②
①－②得 ．
第 6 页．
4．（1） ， ， ；（2）存在， ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）赋值法，可求出数列的前三项；（2）不妨先假设存在这样的实数 ，根据等差数列定义去计算，如果能算
出来，则存在这样的实数，否则不存在；（3）利用上一问得到的递推关系容易得出答案.
【详解】
（1）由题意知 ，∴ ．
同理可得 ， ．
（2）假设存在实数 满足题意，则 必是与 无关的常数，
而 ，∴ ．
∴存在实数 ，使得数列 为等差数列，且 ．
（3）由（2）知数列 是等差数列，其首项为2，公差为1，
则 ，
∴ ．
5．(1) ，
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据数列的递推式，分别令n=1,n=2，可求得结果；
（2）根据 可得 ，然后证明 等于常数，继而求得数列 的通项公
式.
(1)
由 ， ，
， ,
第 7 页， ;
(2)
证明：由已知得，
∵
，
又∵ ，
∴ 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ ，
解得：
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知得 ， ，两式相除整理得 ，从而可证得结论，
（2）由（1）可得 ，再利用累乘法求 ，从而 ，然后
利用放缩法可证得结论
（1）因为 ，所以 ，所以 ，两式相除，得 ，整理为
，再整理得， ．所以数列 为以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）因为 ，所以 ，由（1）知， ，故 ，所以
．所以
．又因为 ，所
第 8 页以 ．
7．(1)证明见解析， ；
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据给定递推公式，结合“当 时， ”建立 与 的关系即可推理作答.
（2）由（1）求出 ，利用反证法导出矛盾，推理作答.
(1)
依题意，正项数列 中， ，即 ，当 时， ，即 ，
整理得 ，又 ，因此，数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 ，因为 是正项数列，即 ，
所以 .
(2)
不存在，
当 时， ，又 ，即 ，都有 ，
则 ，
假设存在满足要求的连续三项 ，使得 构成等差数列，
则 ，即 ，
两边同时平方，得 ，即 ，
整理得： ，即 ，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列 中不存在满足要求的连续三项.
8．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）要证明{bn}是等差数列，即证明 － 等于一个常数即可.
（2）由（1）知bn＝ n＋ ，又因为bn＝ ，即可求出{an}的通项公式.
(1)
证明：∵(an －1)(an－1)＝3(an－an )
＋1 ＋1
第 9 页－ ＝ ＝ ，
∴bn －bn＝ ，∴{bn}是以首项为b＝ ＝ ＝1，公差为 的等差数列．
＋1 1
(2)
由(1)及b＝ ＝ ＝1，知bn＝ n＋ ，∴an－1＝ ，∴an＝ .
1
9．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 来证得数列 为等差数列；
（2）利用并项求和法求得 .
(1)
依题意 ， ，
两边除以 得 ，即 ，
所以数列 是首项 ，公差为 的等差数列.
所以 .
(2)
，
所以
.
10．（1） ； ；（2）存在； ．
【解析】
【分析】
（1）代入 ， 进入 ，结合 ，即得解；
（2）利用等差数列定义，要使 为等差数列，则 为常数，分析即得解
【详解】
（1）当 时， ．
第 10 页当 时， ，
∴ ．
∴ ，解得 ．
（2）当 时，
．
要使 为等差数列，则 为常数，即 ，
即存在 ，使 为等差数列．
11．（1）证明见解析；（2） ( )．
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，得 ，当 时， ，整理得
，根据数列 的各项均为正数，可得 ，从而证明 为等差数列；
（2）根据 ，分 为奇数和偶数两种情况讨论，结合奇偶并项即可求解.
【详解】
（1）证明：当 时， ，又数列 各项均为正数，则 ，
当 时， ，
则 ，
化简得 ，即 ，
∵数列 各项均为正数， ，
∴数列 为首项是 ，公差为 的等差数列，∴ ；
（2）解：由（1）可知： ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
，
第 11 页综上所述， ( )．
12．（1） ， ， ， ， （2）
【解析】
【分析】
（1）分别令n= 1,2,3,能得到 ， ， ， 的值，分n为奇数偶数求出数列的通项公式；
（2）由 知，利用错位相减法求数列的和即可.
【详解】
（1） ， ，且 ，
则 ，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
当 为奇数时， ， ；
当 为偶数时， ， .
即有 （ ）；
（2）由于 为奇数，则 ，
由于 为偶数，则 .
因此， .
，
，
两式相减得 ，
第 12 页，
化简可得， .
【点睛】
本题考查数列的求值、求解通项公式的方法和用错位相减法求解通项公式的方法，解题时要认真审题,仔细解答,注
意公式的灵活运用，属于中档题.
13．(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由 整理得 ，进而得 ，由等差数列定义得证；
（2）先求出 ，进而得到 ， ，按照裂项相消求和求出
即可得证.
(1)
由 得 ，
，即 ，又 ，故数列 是以4为首项，2为公差的等差数列；
(2)
由（1）知： ，化简得 ，故
，
.
14．（1）证明见解析， ；（2）最小值为1.
【解析】
【分析】
（1）根据 ，可得 ，从而可得 ，即可
得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列 的通项公式；
（2） ，即 ，设
第 13 页，利用作差法证明数列 单调递减，从而可得出答案.
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列.
，∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
即 对任意的 恒成立，
而 ，
设 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴数列 单调递减，
∴当 时， ，∴ .
∴p的最小值为1.
15．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)
第 14 页因为 ，所 ，
则 ，所以数列 是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴ ，即 ；
(2)
，
则 ；
综上， ， .
16．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用 与 的关系结合等差数列的定义即可证明；
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出 ，从而得到 ，再结合基本不等式求解即可.
（1）由已知 ①∴ ②由①-②，得
即 ∴ ， 且 ∴ 是以2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得 ， ∵ ， ， 成等比数列，∴ 即 ，解得
∴ ∴ 当且仅当 ，
即 时， 的最小值为
17．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列定义和 可得答案；
（2）由 可构成三角形的三边可得 ，利用又 ，根据 的范围可得答案.
（1）（1）因为 是公差为 的等差数列， 时， ，即
，所以 ，又 ，所以 ，所以 是等差数列.
第 15 页（2）因为 可构成三角形的三边，所以 ，即 ，又 ，且
，所以 .
18．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得 ,消积得到项
的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】
（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
第 16 页由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
第 17 页,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】
（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进而替换相除消项得到
相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜
想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
19．（1）证明见解析， ；（2） ；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得 ，可得 可得答案；
（2）由（1）得 ，
两式相减可得答案；
（3）由（1）（2）得 ，分 、 、 求和可得答案.
【详解】
（1）证明
由已知得 ，
所以 ， ，
第 18 页又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
，所以 .
（2）由（1）得 ①，
②，
①-②得 ，所以 .
（3）由（1）（2）得 ，
当 时， ，
.
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，
，
【点睛】
本题考查了球数列的通项公式、求数列和的问题，解题的关键点是求出 ，考查了学生分析问题、解决问
题的能力，以及分类讨论的思想.
第 19 页第 20 页
