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阶段性检测 4.2（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知复数 ， ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．不等式“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继
续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓
印，扎染，壁挂，的纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．则甲、乙、丙、丁这4名学生至
少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．360种 B．480种 C．720种 D．1080种
6．（ 2023·江西景德镇·统考三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，
它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中
国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助
滑道可以看成一个线段 和一段圆弧 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧 所在圆的方程为，若某运动员在起跳点 以倾斜角为 且与圆 相切的直线方向起跳，起跳后的
飞行轨迹是一个对称轴在 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（ 2023·湖南永州·统考一模）若数列 的前 项和为 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方体 中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：
① ；
②异面直线 与 所成角的取值范围为 ；
③有且仅有一个点P，使得 平面 ；
④三棱锥 的体积是定值．
其中真命题的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，若 ，且
，则抛物线 的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．数据 的第25百分位数是1
B．若事件 的概率满足 且 ，则 相互独立
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．若随机变量 ，则
11．已知三棱柱 的六个顶点都在球O的球面上， .若点O到三棱柱
的所有面的距离都相等，则（ ）
A． 平面
B．
C．平面 截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为12．已知函数 的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，则C的离心率为 .
14．若直线 与曲线 相切，则 ．
15．在平面直角坐标系中，圆 和 外切形成一个8字形状，若
， 为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则 的最大值为
．
16．已知函数 ，若从集合 中随机选取一个元素 ，则函数
恰有7个零点的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．设等差数列 前 项和 ， ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 .
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是矩形， 分别是 的中点，平面 经过点 与棱 交于点 ．
(1)试用所学知识确定 在棱 上的位置；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
19．从条件① ；② 中任选一个，补充在下面问题中，
并加以解答.在 中：内角 的对边分别为 ，______.
(1)求角 的大小；
(2)设 为边 的中点，求 的最大值.
20．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性并求极值.(2)设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，求实
数 的取值范围.
21．某校组织“青春心向党，喜迎二十大”主题知识竞赛，每题答对得3分，答错得1分，已知小明答对
每道题的概率是 ，且每次回答问题是相互独立的.
(1)记小明答3题累计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若小明连续答题获得的分数的平均值大于2分，即可获得优秀奖.现有答 和 道题两种选择，要想
获奖概率最大，小明应该如何选择？请说明理由.
22．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，
且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
