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阶段性检测 4.3（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数 ， 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算即可求解.
【详解】因为 ， 是复数 的共轭复数，所以 ，
则 ，
∴
故选：A.
2．设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.
【详解】全集 ，集合 ，
或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
则 ．
故选：B．
3．已知向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出“ 与 的夹角为锐角”时的充要条件，再由充分条件、必要条件的定义即可判断求解.
【详解】若 与 的夹角为锐角，则 且 与 不共线，
所以 ，解得 且 ，
所以“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B．
4．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两角和与差的正弦公式变形得 ，然后结合正弦函数性质及 的范围求得
，代入后再利用两角和的正弦公式计算．
【详解】∵ ,∴ ，∴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
∴ 或 ，
又 ，∴ ，
，
故选：C．
5．已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交于线段 ，若截面 将三棱柱分成了
体积相等的两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由线面平行性质可知 ，结合棱台和棱柱体积公式可求得 ，由相似关系可求得结果.
【详解】 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ；
设 的面积为 ， 的面积为 ，三棱柱 的高为 ，
三棱台 的体积 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又三棱柱 的体积 ，
，解得： （舍）或 ，
∽ ， ，即 .
故选：A.
6．（ 2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘
画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺
人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，
现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，
则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为 ；楠木纱灯、花梨木纱灯为 ；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为
．先求仅 相邻的种数，把 看作一个元素，分三种情况讨论： 排在首尾； 排在五个位
置中第二、第四位； 排在第三个位置，同理得仅 相邻，仅 相邻的情况，进而得出概率.
【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为 ；楠木纱灯、花梨木纱灯为 ；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为
．
先求仅 相邻的种数，把 看作一个元素，
当 排在首尾时，不同的排法有 种；
当 排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有 种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 排在第三个位置时，不同的排法有 种，
故仅 相邻共有 种排法，
同理得仅 相邻，仅 相邻的情况，也都有 种排法，
所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为 ．
故选：A.
7．在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意圆 的标准方程为 ，如图 ，
又 ，所以 ，又由圆心到直线的距离可求出 的最小值，
进而求解.
【详解】如下图所示：
由题意圆 的标准方程为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，
所以 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，所以不妨设 ，
则 ，
又因为 在 单调递增，所以当且仅当 即 ，即当且仅当直线 垂直已知直线
时，
有最大值 .
故选：A.
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建函数 ，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意 .
【详解】由题意可得 ， ， ，
设 ， ，则 ，
故当 时， ， 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减；
因为 ， ， ，且 ，
可得 ， ，所以 .
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、
最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的交点为 .则下列结论正确的是（ ）
A．最小正周期为
B． 的最大值为2
C． 在区间 上单调递增
D． 为偶函数
【答案】BC
【分析】A选项，根据图象得到 ，A错误；B选项，先根据最小正周期求出 ，代入特殊点坐标，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求出 ， ，得到B正确；C选项，代入检验得到 在区间 上单调递增；D选项，求
出 ，利用函数奇偶性定义判断.
【详解】A选项，设 的最小正周期为 ，
由图象可知 ，解得 ，A错误；
B选项，因为 ，所以 ，解得 ，
故 ，
将 代入解析式得 ，
因为 ，所以解得 ，
因为函数经过点 ，所以 ，故 ，
的最大值为2，B正确；
C选项， ，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，故 在区间 上单调递增，C正确；
D选项， ，由于 与 不一定相等，故不是偶函数，D错误.
故选：BC
10．在棱长为6的正方体 中， ， ，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．平面 截正方体所得截面为梯形
B．四面体 的外接球的表面积为
C．从点 出发沿正方体的表面到达点 的最短路径长为
D．若直线 与平面 交于点 ，则
【答案】BCD
【分析】对于A，通过找公共点的方式，把平面 与正方体的交线作出，即可.对于B，四面体 的
外接球以 为直径，即可求出表面积.对于C，把左侧面与后侧面的展开图，即可.对于D，结合选项A，
记平面 与直线 ， 的交点，进行相似比计算即可.
【详解】对于选项A，如图1所示，CE在底面内延长与DA的延长线相交，该点在截面内，连接该点与F
点，与 相交于H点，与 的延长线交于一点，该点在后侧面内，再次连接该点与C点交 于G点，
连接 ,则该截面形状为五边形，故A错误；
对于选项B，四面体 的外接球以 为直径，即 ，则表面积
，故B正确；
对于选项C，因该几何体为正方体，点 到点 的最短路径，考察的是侧面展开图的问题，可以右侧面与
上底面展开，是两个正方形合一起，可以是下底面与左侧面展开，也是两个正方形合一起，只能是左侧面
与后侧面的展开图，为一个正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路径最短如图2所示，
，故C正确；
对于选项D，结合选项A，记平面 与直线 ， 的交点分别为 ， ，如图3所示，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故D正确.
故选：BCD.
11．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据 为奇函数可求出 判断A，再由 为奇函数， 为偶函数求出
可得周期，据此可判断B，根据函数 的周期可求 的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得
，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
12．已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
【答案】ABD
【分析】对于A：根据数列单调性的定义分析判断；对于B：根据 整理即可；对于C：根
据数列的单调性分析判断；对于D：根据题意分析可得 ，结合累加法分析求解.
【详解】对于选项A：因为 ，即 ，
所以数列 为递增数列，可得 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 ，
两边平方整理得 ，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项C：因为数列 为递增数列且 ，则 为递减数列，
所以 为递减数列，不存在最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ，整理得 ，
两边平方得 ，即 ，
可得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】化简变形后，利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】 ，
其中 的展开式中 的项为:
.
故答案为： .
14．已知 是椭圆 的左，右焦点， 上两点 满足 ，
则 的离心率为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出 的边长，利用余弦定理求 ，在
中再由余弦定理即可求出离心率.
【详解】如图，
因为 ，所以可设 ，
又 ，所以 ，
由椭圆定义， ，即 ，
又 ，即B点为短轴端点，
所以在 中，
，
又在 中， ，
解得 或 （舍去）.
故答案为：
15．不等式 对 都成立，则实数 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】将不等式等价变形为 ，构造函数 ，进而问题转化成 ，构造
，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】由 可得 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
因为 ， ，则 ，
则 ，可得 ，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，
由 可得 ，故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增,
所以 ，得 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题将不等式 变形为 是解题的关键，这样就
可以构造函数利用单调性求解.
16．若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点
仍停留在下底面的概率是 .
【答案】
【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件 “第 次运
动后这个点停留在下底面”，则 “第 次运动后这个点停留在上底面”， ；同时每次
运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得到递推关系 ，然后构造数列求通项即可.
【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件 “第 次运
动后这个点停留在下底面”，则 “第 次运动后这个点停留在上底面”，
设 ，则 ，
由题意知， ，
则由全概率公式可得， ，
则 ，
即 ，两边同减去 可得， ，
又已知 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 ，
故当 时， .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边可得 ，结合勾股定理化简可得 ，得解；
（2）由（1） ，代入 消去 ，利用函数单调性求解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得，
，即 ，
因为 ，所以 ，
，解得 ，
即 ，又 ，
.
（2）由（1）， ，
， ，
由三角形三边关系可得 ，代入化简可得 ，
，
令 ， ， ，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的取值范围是 .
18．已知数列 满足
(1)若 ，求数列 的通项 ；
(2)记 为数列 的前 项之和，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）应用 ,结合累加法可得通项 ；
（2）应用等差数列求和后,再应用裂项相消求和结合已知不等式求解即可.
【详解】（1）当 , ①,
②,
① ②可得 ,左右同时乘以 可以得出:
,即得
当 时,
应用累加法可得:
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
当 时, ,
,且 ,
（2）由（1） ,
,
,
若 ，则 ,
或 .
19．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，恒有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）求导得到 ，根据 ，由 ，
求解；
（2）将 时，恒有 成立，转化为 对任意 恒成立，
令 ，利用导数法求解.
【详解】（1）解： ，
当 时， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
故 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2）因为当 时，恒有 成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，
当 时， 在 上单调递减，
，满足题意，
当 时， 在 上单调递增，当 时， ，
当 时， 在 上单调递增， ，
故 .
【点睛】方法点睛：对于 恒成立问题，法一；令 ，由 求解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】法二转化为 恒成立，由 求解.
20．如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ， ，
平面 .
(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接 ,根据题意证得 和 ，利用线面垂直的判定定理，证得
平面 ，进而证得 ；
（2）取 中点 ，连接 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，假设点 存在，设点 ，求
得平面 和 的一个法向量 和 ，结合向量的夹角公式，列出方程，
求得 ，即可求解.
【详解】（1）证明:如图所示，连接 ,
因为 为棱台，所以 四点共面，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：取 中点 ，连接 ，
因为底面 是菱形，且 ，所以 是正三角形，所以 ，即 ，
由于 平面 ，以 为原点，分别以 为 轴、 轴和 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ，
可得
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 .
又由平面 的法向量为 ，
所以 ，解得
由于二面角 为锐角，则点 在线段 上，所以 ，即
故 上存在点 ，当 时，二面角 的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改
变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从
不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取
了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买
不喜欢网上买菜 合计
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)是否有 的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2) 社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从 ， 两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.
如果周一选择 平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率 ；如果周一选择 平台买菜，那么周二选择
入平台买菜的概率为 ，求张无忌周二选择 平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从 社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为 事件“
”的概率为 ，求使 取得最大值的 的值.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)有
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，计算 ，即可得到结果；
（2）根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由二项分布的概率计算公式得到 的表达式，然后计算，即可得到结果.
【详解】（1）假设 ： 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由题意可得， ，
则假设不成立，
所以有 的把握认为 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）记事件 ：张无忌周一选择 平台买菜；事件 ：张无忌周二选择 平台买菜，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 ，
因此，张无忌周二选择 平台买菜的概率为 .
（3）由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数 服从二项分布，
且喜欢上网买菜的频率为 ，则 ，
且 ， ，
设
， ，
若 ，即 ，即 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，即 ，即 ，解得 或 ，所以当 时，
最大，故 的值为 .
22．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事
休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点 满足
.
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的
垂线，交 于 两点，求 面积的最小值.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）移项平方可化简方程，注意变量的范围；
（2）设 ，直线 方程是 ，由垂直得直线 方程为 ，由直线与圆
相切得 ，直线 方程是 与曲线 方程联立，消去 后得关于 的二次方程，由此方
程有两个正根据得 或 ，由韦达定理得 ，计算出弦长 ，求出原点到直线 的距
离，计算出三角形面积后，设 ，换元后应用基本不等式得最小值．
【详解】（1）
，由 得
．
所以曲线 的方程是 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ，直线 方程是 ，则直线 方程为 ，即 ,
直线 与已知圆相切，所以 ，则 ，
由 得， ，
由题意 （∵ ），
， ，∴ 或 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
∴ ，
由 或 得 ，设 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，
∴ ，即 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中三角形面积最值问题，一般设交点坐标为 ，直线
方程为 ，由直线满足的其它性质得出 关系，直线方程与圆锥曲线方程联立后消元，应用韦达
定理得 （或 ），由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求出三角形的高，从而
求得三角形的面积，并化表达式为一元函数，然后利用函数的知识，基本不等式或导数求得最值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
