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专题03 相交线与平行线压轴训练60题
一、单选题
1．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（ ）
A．α+β−2γ=180° B．β−α=γ
C．α+β+γ=360° D．β+γ−α=180°
2．如图，AB∥CD 、PG平分∠EPF,∠A+∠AHP=180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④
∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则
∠BEP−∠DFP
=2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则
∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．A．262° B．152° C．208° D．236°
4．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③
∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°．其中能说明纸条两边平行的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是( )
A．∠B=∠3 B．∠1=∠4
C．∠1=∠B D．∠B+∠2=180°
6．如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；
（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B=∠ADE；③
DE⊥AC；④BE=AD，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=46°，则∠H为(
)
A．22° B．23° C．24° D．25°
1
10．如图，AB∥CD，∠1= ∠ABF，CE平分∠DCF，设∠ABE=∠1，∠E=∠2，
3
∠F=∠3，则∠1、∠2、∠3的数量关系是（ ）
A．∠1+2∠2+∠3=360° B．2∠2+∠3−∠1=360°
C．∠1+2∠2−∠3=90° D．3∠1+∠2+∠3=360°
11．如图，点E在DA延长线上，CE，AB交于点F，且∠BCE=∠AEF，∠B=∠D，
∠EFA比∠FCD的余角小30°，P为线段DC上一动点，Q为PD上一点，且满足
∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①DE∥BC；②AB∥CD；
③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=15°．其中结论正确的序号是
（ ）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
12．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力
传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，
∠BAG=150°，∠AGC=80°，则∠≝¿的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
13．如图，已知AB∥CD，E，F是直线AB上方两点，连接AE，CE，AF，CF，已知
1
AF平分∠BAE，且∠ECF= ∠ECD．若∠E=15°，∠ECD=75°，求∠F的度
3
数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
14．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，
∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）A．280° B．285° C．290° D．295°
15．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC
＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．50°
16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=8，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，
将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
17．如图，MN∥PQ，AB平分∠MAC，CD平分∠PDB，若2∠C−∠B=60°，则
∠MAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
18．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于
F，EG∥BC,CG⊥EG于点G，则下列结论①∠CEG=2∠DCA；②CA平分1
∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB= ∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的
2
结论有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长
线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点
G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
20．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，
△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则
∠BFC的大小是（ ）
A．125° B．120° C．110° D．105°
21．如图1，是一盏LED台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座AB，BC，灯杆CD
和灯头DE组成．已知BC⊥AB，灯头DE始终平行桌面．已知∠CDE=120°，连结3
CE，BE，若∠DEC= ∠EBA，∠DCE=2∠CEB，则∠BCE的度数是（ ）
4
A．120° B．126° C．130° D．135°
22．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=a°，则下列
1
结论：①∠BOE= (180−a)°；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④
2
∠POB=2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
23．将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG=10,MC=2,MG=4，则图中阴影部
分的面积为 平方单位．
24．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，
CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点
3
N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M= ∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为
2．
2 2
25．如图，AB∥CD，∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，DQ，BQ分别平分
3 3
∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DBQ满足的数量关系为： ．
26．如图，已知AM∥BN，∠A=x°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，
BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D，当点P运动到使
∠ACB=∠ABD时，∠ADB的度数为 （用含有x的代数式表示）
27．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，
把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，
∠CDB的度数为 ．28．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，D为AB上一点，将△BCD沿CD
折叠后，且CE∥AB，则∠ACD的度数是 °．
29．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一
书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民
间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情
形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE=124°，∠E=28°，则∠BAE的度数为
．
1 1
30．如图：AB//CD，AE⊥CE，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，则
3 3
∠AFC= ．
31．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1
米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积 ．32．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：
①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论
有 ．（填序号）
33．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠，使点C落在长方形的内部点E处，若
FH平分∠BFE，MH⊥FH，∠CGF=40°，则GF与HM的位置关系是 ．
34．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数为
．
35．如图，AB∥CD， 3∠ABF=2∠ABE，3∠CDF=2∠CDE，则∠E:∠F= ．36．如图，△ABC和△≝¿是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平
移得到△≝¿的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积
为 cm2．
37．如图，AD//BC，点P是射线BC上一动点，且不与点B重合．AM、AN分别平分
∠BAP、∠DAP，∠B=α，∠BAM=β，在点P运动的过程中，当
1
∠BAN=∠BMA时， α+2β= ．
2
38．在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长
方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为
S，当S=4（cm2）时，平移的时间为 ．
39．如图AB//DE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点
P，若∠BPD＝44°，则∠C＝ ．40．把一块含60°角的直角三角尺EFG（其中∠EFG=90°，∠EGF=60°）按如图所示
的方式摆放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1=2∠2，则∠1的度数为
．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则
∠AFG与∠EGD的数量关系为 ．
41．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西
部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员
遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东
30°方向上，且∠BOC=50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD=
°．42．如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若m//n，则∠1+∠2= °．
三、解答题
43．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF,∠DAC=120°,∠ACF=20°，求
∠FEC的度数．
44．课题学习：平行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图
形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非
基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题：
例题：如图1．已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、
∠D之间的关系．
解：过点E作EF∥AB．
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠≝¿，
∵∠BED=∠BEF+∠≝¿，
∴∠BED=∠B+∠D．
【学以致用】
(1)如图1，当∠B=30°，∠D=35°时，∠BED=_______；
(2)①如图2，已知AB∥CD，若∠A=135°，∠C=130°，求出∠AEC的度数．
②如图3，在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数．
45．综合与探究
问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量
关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动
点（与点A不重合），BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当∠A=60°时，∠CBD=∠A．请说明理由．
(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表
示∠CBD为____________________．
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．
他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，
∠APB和∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
(4)点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB=∠ABD时，请直接写出
1
2∠ABC+ ∠A的结果．
2
46．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、
∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出
∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外
角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的
∠APC的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点
不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
47．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
48．（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF//AB．请直接写出∠B，
∠D，∠BED之间的数量关系： ；
（2）应用与拓展：如图②，直线AB//CD．若∠B=23°，∠G=35°，∠D=25°，
借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；
（3）方法与实践：如图③，直线AB//CD．若∠E=∠B=60°，∠F=85°，则
∠D= 度．
49．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，
请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
50．如图，有一张长方形纸条ABCD，AD∥BC，在线段DE，CF上分别取点G，H，
将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C，D的对应点为C′，D′，将四边形ABFE沿直
线EF折叠，点A，B的对应点为A′，B′，设∠EFB=α(0<α<90°)．
(1)若C′、D′在直线AD的上方，当α=50°且满足C′H∥B′F时，求∠CHG的度数．
(2)在（1）的条件下，猜想直线EF和GH的位置关系，并证明
(3)在点G，H运动的过程中，若C′H∥B′F，请直接用含有α的式子表示∠CHG的
度数
51．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
(1)若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
(2)若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角
板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数．
(3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点
∠GEN
G 在线段CD上，连接EG，且有∠CEG=∠CEM，求 的值是否变化？ 如
∠BDF
果不变，求出比值；如果变化，请说明理由．
52．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角
板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，
当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；
(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是
∠AOC的平分线；
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的
数量关系，并说明理由．
53．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度
的取值范围是 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC的中点，若AE
是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，
∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
54．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，∠A=120°，∠C=130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作
∠PEG=∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若
∠APC=20°，∠PAB=150°，求∠PEH的度数，不用写出计算过程．
55．AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右
侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
(1)如图1，求证：∠EPG=∠BEP+∠PGD：
(2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，
1
∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°，求∠BEP的度数；
2
(3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，
则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由．
56．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连
接EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．（Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由；
（Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，试探究∠F与∠H的数量关系，
请说明理由．
57．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点, ∠1=∠2
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分
线交于点N，求∠N的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若
∠GQH
3∠FEN=4∠HFM，则 = ．
∠MPN
58．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、
NG．(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知
∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数；
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，
NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数．
59．在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,3)，C(4,0)，且满足
，线段 交 轴于点 ，点 是 轴正半轴上的一点．
|a+b)+(a−b+6) 2=0 AB y F D y
(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若DB∥AC，∠BAC=a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求
∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存
在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
60．综合与探究【感知】如图①，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数．
小乐想到了以下方法：
解：如图①，过点P作PM∥AB，所以∠EPM=∠AEP=40°．
因为AB∥CD，所以PM∥CD．
所以∠FPM+∠PFD=180°．
因为∠PFD=130°，所以∠FPM=180°−130°=50°．
所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=40°+50°=90°．
【迁移】（1）如图②，已知AB∥CD，∠ABP=130°，∠CDP=160°，则
∠BPD=______°；
【探究】（2）如图③，已知AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=106°，求∠EPF
的度数；
【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，∠AEP的平分线与∠PFC的平分线
交于点G，求∠EGF的度数．
