文档内容
微专题：函数的周期性
【考点梳理】
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝
f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期.
2. 函数周期性的几个常用结论
(1)周期函数的定义域必定至少一端是无界的.
(2)T是f(x)的周期，则nT(n∈N*)也是f(x)的周期.
(3)若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
(4)以下等式中任何一个可推得2a为f(x)的周期(a＞0)：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝；③f(x＋a)＝－；④f(x
＋a)＝.
【题型归纳】
题型一：由周期性求函数的解析式
1．设 是定义在R上的周期为 的偶函数，已知 时， ，则x ， 时，f（x）的解析式为f
2 ∈[-2 0]
（x） （ ）
=
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x 当x [-1，0)时，f(x)=- -2x+3，则当x [1,2)时，f(x)的最大值为
（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
3．已知函数 满足 ，当 时，有 ，则当x∈（-3，-2）时， 等于（ ）
A． B． C． D．
题型二：由函数的周期性求函数值
4．已知 是定义在R上的奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 是以2为周期的函数，且 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．7
题型三：函数周期性的应用
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时， ，则函数
的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知 是定义在 上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时， ，
则下列结论错误的是（ ）
A． 是以4为周期的周期函数
B．
C．函数 有3个零点
D．当 时，
9．函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
【双基达标】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知函数 的图象关于直线 对称，函数 关于点 对称，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． 的周期为2 D．
11．已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，且 ， ，则
（ ）．
A．2021 B．1 C．0 D．
13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函
数定义在 上，其解析式为 若函数 是定义在实数集
上的偶函数，且对任意x都有 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．函数 对任意 ，都有 的图形关于 对称，且 则
（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世
界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则称 为高斯函
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数．例如 ， ，已知函数 ，现有以下四个对函数 的命题：
① 是偶函数 ② 是周期函数
③ 的值域为［0，1］ ④当 时，
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
17．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
18．偶函数 关于点 中心对称，且当 时， ，则
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
19．已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
20．已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则方程 在区间
上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
21．已知函数 的图象关于直线 对称，且对 有 .当 时，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.则下列说法不正确的是（ ）
A． 的周期 B． 的最大值为4C． D． 为偶函数
22．定义域为 的偶函数 ，满足 ．设 ，若 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．2021 D．2022
23．已知定义在 上的函数 ，对任意的 ，都有 ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 是以2为周期的偶函数 B． 是以2为周期的奇函数
C． 是以4为周期的偶函数 D． 是以4为周期的奇函数
24．设 ，又记 ， ， ，2，3， ，则 （ ）
A． B． C． D．
25．若定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 的值等于( )
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．定义在R上的函数 满足 ，且函数 为奇函数．当 时，
，则 （ ）
A．－2 B．2 C．3 D．
27．函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． D．
28．设 为定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则
A． B． C． D．
30．已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
31．已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．已知函数 ， ， ， ，…，依此类推，
A． B． C．0 D．
33．已知 是定义在 上的函数，满足 ，当 时， ，
则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．从出生之日起，人的体力､情绪､智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲
线)：
体力､情绪､智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周
期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（ ）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
二、多选题
35．已知 是定义在 上的奇函数， 的图象关于 对称，当 时， ，则下列判断正确
的是（ ）
A． 的周期为4 B． 的值域为
C． 是偶函数 D．
36．函数 的定义域为R，且 与 都为奇函数，则
A． 为奇函数 B． 为周期函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
37．已知 在定义在 上的奇函数，满足 ，当 时， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C． ，
D．方程 在 的各根之和为-6
38．（多选）已知 为奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 的图象关于 对称
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．
D．
三、填空题
39．已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的
值为______________.
40．设 是定义在 上周期为4的偶函数，且当 时， ，则函数 在 上的解析式
为__________.
41．已知 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，则 ________．
42．定义在 上函数 满足 ， 且 在 上是增函数，给出下列
几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于 对称；
③ 在 上是增函数；
④ ．
其中正确命题的序号是______．
43．已知函数 是周期函数，10是 的一个周期，且 ，则 ________.
44．已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时，
，则 的值为___________.
四、解答题
45．已知函数 的最小值正周期是 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的x的集合．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．函数 满足 ，求 ．
47．若函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，求
的值.
48．定义在R上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时， ．
（1）当 时，求 的解析式．
（2）画出函数 在 上的函数简图．
（3）当 时，求x的取值范围．
49．已知函数
（1）作出 在 上的图像；
（2）若 ，判断 是否为周期函数？如果是，求出最小正周期.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合 时， ，可得答案．
【详解】
解： 是定义在 上的周期为 的偶函数， 时， ，
∵ 时， R 2
∴
， ，
此时 ，
时，
， ，
此时 ，
综上可得： 时，
故选： ．
【点睛】
C
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
2．B
【解析】
首先设 ，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设 ， ，
，
，
，
， 在区间 单调递减，函数的最大值是 .
故选：B
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量 设在这个区
间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数 的解析式.
3．C
【解析】
令 ，则 ，根据 时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f
第 10 页（x），即可求得f（x）解析式．
【详解】
令 ，则 ，
∵当 时，有 ，
∴f（x+2）＝2x+2，
∵f（x+2）＝f（x），
∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生
的计算能力，属于基础题．
4．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的性质化简可得 是以4为周期的函数，即可求出.
【详解】
因为 是定义在 上的奇函数，故可得 ，
又 为偶函数，故可得 ，
则 ，故 以4为周期，
故 .
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
由抽象函数关系式可求得 周期为 ，从而得到 ，结合函数奇偶性和解析式可求得结果.
【详解】
由 ，可得函数 的周期为 ，
，又 为偶函数，
，
当 时， ，
.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
第 11 页除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.
【详解】
因为函数 是周期为2的周期函数，所以 为 的周期，即
所以 .
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
作出函数 与 的图象，由图象观察即可求解
【详解】
由 ，得 ，
知周期 ，
令 ，得 .
作出函数 与 的图象如图所示.
由函数的图象知， 有两个零点.
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
根据函数对称性和奇偶性，可得 的周期，即可判断A的正误，根据 解析式及周期，代入数据，可判断
B的正误；分别作出 和 的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，
可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
因为 ，且 为偶函数，
所以
，
故 的周期为4，故A正确．
由 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故B错误；
第 12 页令 ，可得 ，
作函数 和 的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当 时， ，则 ，故D正确．
故选：B．
9．A
【解析】
【分析】
根据奇函数和偶函数的定义可推导得到 ，进而得到 ，可知B错误；由
推导得到 ，知A正确；由已知关系式无法推导得到 ，知CD错
误.
【详解】
是奇函数， ；
是偶函数， ，
， ，
， ，
是周期为 的周期函数，B错误；
， ， 是偶函数，A正确；
， ，无法得到 ，C错误；
， 无法得到 ，D错误.
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
由函数 的图象关于直线 对称，得到 ；由函数 关于点 对称，得
第 13 页到 ，证明出 的最小正周期为4.判断C、D错误；利用周期性和 得到
，可以判断B正确；不能确定 是否正确.
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 .
用x代换上式中的2x，即可得到 ，所以 关于直线 对称.
函数 关于点 对称，所以 ，即 所以 关于点
对称.
对于 ，令x取x+1，可得： .
对于 ，令x取x+2，可得： .
所以 ，令x取-x，可得： ，
所以 ，令x取x+2，可得： ，即 的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于 ，令x取x-3，可得： .
因为 的最小正周期为4，所以 ，
所以 ，即 .故B正确.
对于A：由 ，可得 为对称轴，所以不能确定 是否成立.故A错误.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
根据 可得 ， ，则 ，将 代入解析式，
即可求解.
【详解】
因为 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
第 14 页所以 ，
故选：C
12．C
【解析】
【分析】
分别令 ，令 得到 ，进而推得函数 是周期函数求解．
【详解】
令 ，则 ，
故 ，
故 ，（ 舍）
令 ，则 ，
故 ．
∴ ，
即 ，
故 的周期为4，即 是周期函数．
∴ ．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】
由 ，得 ，则
，所以 的周期为 ，
因为函数 是定义在实数集上的偶函数， 所以 ，
为无理数，所以 ，
，
所以 .
故选：D.
14．B
【解析】
第 15 页【分析】
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到 ，计算得到答案.
【详解】
函数周期为 ， ，
的图形关于 对称，故 关于 对称， .
故 .
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
将 表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.
【详解】
由于 ，所以 ，
由此画出函数图像如下图所示，
由图可知， 是非奇非偶函数，是周期为 的周期函数，且值域为 ，当 时， .
故选项②④正确
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.
16．A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出．
第 16 页【详解】
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得，
，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故选：A．
17．B
【解析】
【分析】
推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
18．B
【解析】
【分析】
偶函数 关于点 对称，则 是周期为4的函数，计算出 、 ，再利用周期可得
．
【详解】
偶函数 关于点 对称，则 ， ，
令 ，则 ，
故 ，
是周期为4的函数，
第 17 页， ，
又 ，
，
，
．
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
由 为奇函数， 为偶函数，可求得 的周期为4，
故 ，代入解析式即得解
【详解】
为奇函数, ，
偶函数， ，
，即 ，
．
令 ，则 ，
， ．
故函数 周期为4
故选：B
20．A
【解析】
【分析】
令 ，由已知可得函数 与 的图象在区间 上关于直线 对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，
又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
第 18 页由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程 在区间 上所有解的和为 ，
故选：A.
21．C
【解析】
【分析】
根据函数 的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.
【详解】
解： 函数 的图象关于直线 对称，
函数 的图象关于直线 对称，
对 有 ， 函数 的图象关于 中心对称，
，即 ，
又 ，即 ， ，
，即 ， ，
的周期 ，选项A正确； 为偶函数，选项D正确；
当 时， ， ，
当 时， ， ，即 ， 当 时， ，
又函数 的图象关于直线 对称， 在一个周期 上， ，
在 上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
由题可得 ，结合条件可得函数 周期为4，进而可得 ，即得.
【详解】
∵ ，
第 19 页∴ ，又 为偶函数，
∴ ，即 ，
∴ ，又 是定义域为R偶函数，
∴ ，
∴ 周期为4，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
23．D
【解析】
【分析】
由 可得 ，结合 可得出 ，再由
即可求出 的周期，再由 ，即可求出 为奇函数.
【详解】
即 ①，
在①中将 变换为 ，则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ②，
在②将 变换为 ，所以 ，所以 ，
所以 的周期为 .
因为 ，所以 ，
所以 为奇函数.
故选：D.
24．D
【解析】
【分析】
根据题意计算可知，数列 是一个周期为 的周期数列，即可解出．
【详解】
根据题意， ，则 ， ，
，则 ，故 ，
故选： ．
25．D
【解析】
第 20 页【分析】
根据f(x)是偶函数以及 求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和 即可将自变量的
范围转化到[1，2]之间.
【详解】
∵函数 是偶函数，
∴ ，
又∵ ，
，
，
，
∴函数 的周期为4，
∴ .
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出 的值.
【详解】
由 可得，函数 关于 对称，函数 为奇函数，所以 ，所以
函数 关于 对称，则有 ，即 ，又 ，
， 的周期为4.
.
故选：D.
27．B
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】
因为 是奇函数，
∴ ，
∵ 是偶函数，
∴ ，即 ，
第 21 页，
则 ，即周期为8；
另一方面 ，
∴ ，即 是偶函数.
故选：B.
28．B
【解析】
先利用奇偶性和周期性求出 和 ，即得结果.
【详解】
解： 是定义在 上的奇函数， ，满足 ，
，又 ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.
29．C
【解析】
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，
，从而 ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的
自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
30．A
【解析】
【分析】
先分析出 时 的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算 的值，由此求解出结果.
【详解】
当 时，因为 ，所以 ，所以 是周期为 的函数，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
第 22 页结论点睛：周期性常用的几个结论如下：
（1） 对 时，若 或 （ ）恒成立，则 是 的一个周期；
（2） 对 时，若 或 或 （ ）恒成立，则
是 的一个周期；
（3）若 为偶函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数；
（4）若 为奇函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数.
31．B
【解析】
【分析】
根据 是定义在 上的偶函数，得到 ，同时结合条件 为偶函数，可得到函数的周期 ，
从而 ，代入即可求值.
【详解】
因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，
又 为定义在 上的为偶函数，所以 ，
所以 ，所以函数的周期 ，
所以 .
故选：B.
32．A
【解析】
【分析】
利用三角函数求导法则求出 观察所求的结果，归纳其中的规律，发现其周期性，即可得出答
案.
【详解】
依次类推可得出 .
【点睛】
本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数
周期性解决本题.
33．B
【解析】
【分析】
根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在 时的最小值即可.
【详解】
第 23 页因为 ，所以 是周期为2的周期函数，
因为 ，所以 ，所以 为奇函数，
所以只需考虑区间 内的最小值即可.
当 时， ，所以 ，且 ，
而由于 为奇函数，所以在 时， ，
又因为 为奇函数，所以 ， ，
因为 的周期为2，所以 ，
所以 ，
所以 即为 在 的最小值，从而也是 在 上的最小值.
故选：B．
34．A
【解析】
【分析】
由题知体力的周期为 ，情绪的周期为 ，智力的周期为 ，进而根据周期性求解即可得答案.
【详解】
解：由图中数据可知体力的周期为 ，情绪的周期为 ，智力的周期为 .
从同学甲出生到今日的天数为5850，
故对于体力，有 ，处于高潮期，体力充沛；
对于情绪，有 ，处于低潮期，心情烦躁；
对于智力，有 ，处于高潮期，思维敏捷；
故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷.
故选：A
35．ACD
【解析】
【分析】
由奇函数的性质和对称性首先得出 ，然后可得 ，函数为周期为4的周期函数，判断
A，由图象变换可判断C，由周期性判断D，由奇偶性、对称性、周期性求得值域，判断B．
【详解】
是奇函数， ，又 的图象关于直线 对称，所以 ，所以
，从而 ，
所以 是周期函数，4是它的一个周期，
的图象是由 的图象向左平移1个单位得到的，因此 的图象关于 轴对称，它是偶函数，
，
第 24 页时， ， ， ， 时， ，再由对称性，周期性可
得 的值域是 ，
综上ACD正确，B错误．
故选：ACD．
36．ABC
【解析】
【分析】
利用 与 都为奇函数，可知 是以2为周期的函数.从而得到结果.
【详解】
由 与 都为奇函数知函数 的图象关于点 ， 对称，
所以 ， ，
所以 ，即
所以 是以2为周期的函数.又 与 都为奇函数，
所以 ， 均为奇函数.
故选ABC.
【点睛】
本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.
37．ACD
【解析】
【分析】
由题意可得 是以4为周期的周期函数，再由 ，可判断选项A; 当 时,求出 可判断选
项B；根据题意可得出 从而可判断性选项C；作出 的示意图，由图象的对称性数形结合可判断选
项D.
【详解】
由 在定义在 上的奇函数，则
由 ，所以 ，即
则 ，即 是以4为周期的周期函数.
由题意 ，所以
又 ，则 ，所以
所以 ，故选项A正确.
选项B. 当 时， 故选项B不正确.
第 25 页选项C.
所以
当 时， 均为增函数，则 为增函数.
所以 在 上为增函数，
又 为奇函数，且
所以 在 单调递增，所以 ，由
所以 ，所以必存在 ，使得 ，故选项C正确.
选项D. 因为 为偶函数，根据题意先作出 在 上的示意图，
然后由对称性作出 在 上的图象，如图所示.
根据对称性可知方程 在 的各根之和为 ，故选项D正确.
故选：ACD
38．ABD
【解析】
【分析】
，所以 的图象关于 对称．故选项B正确；
周期为4，所以 的图象关于 对称，故选项A正确；
，故选项D正确，选项C不正确.
【详解】
因为 为奇函数，所以
即 ，所以 的图象关于 对称．
故选项B正确，
由 可得 ，
由 可得 ，
第 26 页所以 ，可得 ，
所以 ，所以 周期为4，
所以 的图象关于 对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
39．0
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期可求解 ，再由奇函数即可得
解.
【详解】
由题意，得 ，
∵ 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周期为4，
∴
又∵ ，
∴
故答案为：0
40． ， .
【解析】
【分析】
设 ，则 ，则有 ，由函数的解析式可得 的表达式，结合函数的奇偶性与周
期性可得 ，即可求出结果.
【详解】
解：根据题意，设 ，则 ，则有 ，
当 时， ，
则 ，
又 为周期为4的偶函数，
所以 ， ，
则有 ， ；
第 27 页故答案为： ， .
41．
【解析】
【分析】
利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】
．
故答案为： .
42．①②④
【解析】
【分析】
令 替换 即可得出 的周期为4；计算 ，再令 得出 为奇函数，用 替换 可得
的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出 在 的单调性；根据 和 ，即可得出
.
【详解】
由 ，可得 ，
所以函数 的周期为4，所以①正确；
由 ，可得 ，解得 ，
在令 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以函数 为奇函数，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于 对称，所以②正确；
因为 在 上是增函数，
又由 ，所以函数 关于直线 对称，
所以函数 在 为减函数，所以③错误；
由 ，可知 ，
因为 ，所以 ，所以④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.
43．
【解析】
直接利用函数的周期性可得 ，从而可得答案．
第 28 页【详解】
因为10是函数 的周期，
所以 ．
故答案为： ．
44．
【解析】
【分析】
推导出当 时， ，利用函数 的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】
当 时， ，
又因为函数 是定义在 上的偶函数，
则 ，
，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起
考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形
式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变
量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性
和单调性求解.
45．（1） ；（2）最大值为 ，此时 .
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得 ，再由 即可求解.
（2）由（1）知， ，令 ， 即可求解.
【详解】
（1）
第 29 页．
由题设，函数 的最小正周期是 ，可得 ，所以 ；
（2）由（1）知， ．
当 ，即 时， 取得最大值1，
所以函数 的最大值为 ．
46．5
【解析】
【分析】
令 ，可得 为奇函数，则根据三角函数的周期性和奇函数的性质可求.
【详解】
设 ，显然 ，故 为奇函数．
又因为 ，
．
47．
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义，可知 ，再由 ，得出函数 的周期为 ，结合条件并运用函
数的周期性和奇偶性，即可求出结果.
【详解】
解：∵ 是奇函数，∴ ，
又∵ ，∴函数 的周期为 ，
由于 时， ，
第 30 页∴
.
48．（1） ；（2）图见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据 是偶函数，求得 时，函数 的解析式，再由函数 的同期性可求得 时，
函数 的解析式，从而可得答案．
（2）由（1）得 ，根据正弦函数的图像可得出函数 在 上的函数简图.
（3）先求得 时，满足不等式的 的范围，再根据函数的周期求得x的取值范围．
【详解】
解：（1）若 ，则 ．
因为 是偶函数，所以 ．
若 ，则 ，
因为 是最小正周期为 的周期函数，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）得 ．
若 ，则 ．因为 是偶函数，所以 ．
所以 ， ，
所以函数 在 上的函数简图，如下图所示：
（3） ，可得 ，函数周期为 ，因此x的取值范围是 ．
49．（1）图象答案见解析；（2）是，最小正周期 .
【解析】
【分析】
(1)先对函数式化简整理，在区间 上分段讨论 并作出图象而得解；
(2)利用周期函数的意义并借助正余弦函数的最小正周期判断作答.
【详解】
第 31 页(1) ，即 时，
，
，即 时， ，
所以 ，
时， ， 时， ， 在 上的图像如图：
(2) ， 是周期函数，
因正弦函数 和余弦 都是周期函数，最小正周期为 ，
则 时， ，
， ，
时， ，
， ，
即 ， ，
所以 是周期函数，最小正周期为 .
第 32 页第 33 页
