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专题 02 二次函数图象和性质与系数的问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题...........................................................................1
题型二、二次函数中含参数的图像和性质..............................................................................................................3
题型三、二次函数图像与各项系数符号问题..........................................................................................................8
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数 的图象经过点P，若点P的横坐标为 ，则
一次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出
是解题的关键．先求出 ， ，再求出 ，最后判断一次函数图象即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知， ， ，
当 时， ，
∴ 的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知一次函数 的图象如图所示，则二次函数
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出 ，再判断二
次函数的图象特征，进而求解．
【详解】解：由一次函数的图象可得： ，
∴二次函数 图象的对称轴 ，在 轴的右侧，与 轴的交点在正半轴，符合题意的只
有A，
故选：A．
3．（2024九年级·全国·竞赛）一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像如图
所示，则二次函数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和一次函数图像，二次函数的性质，观察图像可知： ， ， ，
得出二次函数 的图像开口向上，对称轴 ，与y轴的交点在y轴的负半轴，即可得
出答案．
【详解】解：观察图像可知： ， ， ，∴二次函数 的图像开口向上，对称轴 ，与y轴的交点在y轴的负半轴，
故选：B．
4．（2023·山东东营·二模）二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数 （
）与反比例函数 （ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由二次函数的图象可得： ， ， ，可得一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得： ， ， ，
∴一次函数 的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次
函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
题型二、二次函数中含参数的图像和性质
5.在平面直角坐标系中，拋物线 经过点 ， ．则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，抛物线的对称轴为直线B．若 且 ，则 的取值范围为 或
C．若 ，则抛物线的开口向下
D．若 ，点 在该拋物线上， 且 ，则有
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
若 ，把点 代入 ，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶
点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再根据二次函数的图象，即可求解；
若 ，把点 代入 可得 ，再由 ，可得 ， ，从而
得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，然后根据 ，可得
，再根据 ，可得 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：当 时，点 ，
把点 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；选项A说法正确，不符合题意；
令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，m的取值范围为 或 ；选项B说法正确，不符合题意；
若 ，
把点 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，
∴ ．选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
6.已知二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数图象的顶点坐标为
B．当 时， 的值随 的增大而增大
C．当 ， 时， 的取值范围是
D．当 时， 的最大值为8，则 或
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数
的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当 时， ，顶点坐标是 ，故原说法
错误，不符合题意；
B、当 时， ，当 时， 的值随 的增大而增大，但前提条件没有说
，故原说法错误，不符合题意；
C、当 时， ，当 时， ，解得 ，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线 ．
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，
∴ ；
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，∴ ．
∴当 时， 的最大值为8，则 或 ，正确，符合题意；
故选：D．
7.二次函数 ，有下列结论：
①该函数图象过定点 ；
②当 时，函数图象与 轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在 轴的右侧；
④当 时，点 ， 是曲线上两点，若 ， ，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为
，即可判断①，将 代入并计算 即可判断
②，计算抛物线的对称轴并根据 即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定 、 的位置，
再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解： ，
当 时， ，
该函数图象过定点 ，故①正确；
当 时， ，
，
函数图象与 轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为： ，
，
，
当 时，对称轴在 轴左侧，当 时，对称轴在 轴右侧，故③错误；
，
，， ，
， 在对称轴左侧， ， 在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧， 随 增大而减小，在对称轴右侧， 随 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
此时， ，
，
，
，故④错误，
故选：B．
8.已知二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，则下列
结论正确的是（ ）
①当 时， 随 的增大而减小；
②若图象经过点 ，则 ；
③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
④若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【详解】解：①：∵二次函数 为非零常数， ，
，
又∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，
，
若图象经过点 ，则 ，
得 ，，
∴ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴若 ， 是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则 ，
故③正确；
④若图象上两点 ， 对一切正数n，总有 ， ，
∴该函数与x轴的两个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
题型三、二次函数图像与各项系数符号问题
9.如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线 ，且过点 ，有以下结论：①
；② ；③ （m为任意实数）；④若方程 的
两根为 ， ，且 ，则 ，⑤ ，其中说法正确的有 ．
【答案】②③④⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐
标轴交点的关系等知识．根据抛物线开口方向、对称轴、与 轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知 时，
，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，则 ，
∴ ，所以⑤正确；
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线对称轴是直线 ，且过点 ，
抛物线过点 ，
时， ，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 有最小值，
（ 为任意实数），
则 ，所以③正确；
方程 的两根为 ， ，且 ，
抛物线与直线 有两个交点 ， ，
由图象可知 ，所以④正确．
故答案为：②③④⑤．
10.如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结论正确的是 ．（填写序
号）
① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤ 为任意实数，则 ，
⑥若 ，且 ，则 ．
【答案】①③⑥【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定
①②⑤，根据 时 的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥．
【详解】解： 抛物线开口向上，则 ，
抛物线 与 轴交于点 和点 ，
对称轴为直线 ，
则 ，
，即 ，故②不正确；
抛物线开口向上，
∴ ，
，
抛物线与 轴的交点在负半轴，则 ，
，故①正确；
抛物线 过点 ，
又
，即 ，故③正确；
抛物线 与 轴交于点 和点 ，
当 时，由图象可得 或 ，故④不正确；
对称轴为直线 ， ，
当 时，抛物线有最小值 ，
当 为任意实数，则 ，
即 ，故⑤不正确；
若 ，且 ，
∴ ，
，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑥正确．
综上，正确的有①③⑥．故答案为：①③⑥．
11.二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，抛物线与
y轴交点在 和 之间（不与 重合）．下列结论：① ；② ；③ ；
④当 时， ；⑤a的取值范围为 ．其中正确结论有 （填序号）
【答案】③④⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定
抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和
二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即
，对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点位置：抛物线与 轴交于 ．根据抛物线的开
口方向、与 轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与 轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为
直线 ，即可判断③；由抛物线与 轴有两个交点，且对称轴为直线 ，即可判断④．由抛物线与y
轴交点在 和 之间（不与 重合）．判断⑤；
【详解】解：∵二次函数 的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在 和 之间（不与 重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：则图象过点 ，抛物线开口向下
把 代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点 ，对称轴为直线
∴抛物线与 轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当 时，
故④正确的；
把 代入 ，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
故答案为：③④⑤．
12.二次函数 的图象如图所示．下列结论：① ；② ；③若 为任意
实数，则有 ；④ ；⑤若 且 ，则 ．其中正确结
论有【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得 与 的关系，以及熟练掌握二
次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断 的大小，根据抛物线与 轴的交点判断 的大小，根据对称轴和抛物线与 轴的
交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．
【详解】解：图象的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴在 轴右边，
可得： ， ，故①正确；
根据对称轴为直线 ，抛物线与 轴的交点在 的左边，
可得：抛物线与 轴的另一个交点在 和 之间，
当 时， ，故②正确；
当 时，函数具有最大值为 ，
，即 ，故③错误；
根据 ，可得 ，由②得 ，故④正确；
∵ ，
∴ ，
令 ，
则： 在二次函数 上，
，
关于对称轴直线 对称，
根据中点公式可得 ，
，故⑤错误；
故答案为：①②④．一、单选题
1．如图是二次函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称轴是直线 ，可得 ，即 ，即可判断A；根据抛物线开口判断 ，
然后根据对称轴判断 ，抛物线交y轴于正半轴， ，可判断B；由图象知：当 时，
，可判断C；由图可知 时 ，可判断D．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
【详解】解： 抛物线开口向下，
；
∵
∴
抛物线的对称轴为直线 ，
∵
，
∴ ，故选项A正确；
∴ ，
∵ ，
∴抛物线交y轴于正半轴得： ；
∵ ，故选项B错误；
∴由图象知：当 时， ，
，
∴ ，故选项C错误；
∴由图可知， 时 ，
，故选项D错误．
故选：A．
∴
2．如图，二次函数 的图象与 轴交于 两点，则下列说法正确的是（ ）A． B．点 的坐标为
C．函数的最小值为 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与 轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的 的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即
可解决问题．
【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故 ，说法错误，不符合题意；
B．图象与 轴交于 ，关于 对称，所以 ，说法正确，符合题意；
C．由抛物线的解析式可知对称轴 ，故当 时，取得最大值 ，说法错误，不
符合题意；
D．当 时， 随 的增大而增大，说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数，且 ）的自变量 与函数
的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 24 8 0 3 15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限
C．当 时， 的值随 的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数
法求出二次函数的解析式，根据 即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点 在第四象限，
增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误．
【详解】解：将点 和 和 代入二次函数
得： ，解得 ，
则二次函数的解析式为 ．
A、因为 ，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意；
B、顶点 在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意；
C、当 时 随 增大而增大，则此项错误，不符合题意；
D、图象的对称轴是直线 ，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
4．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，
一次函数朝向和与 轴的交点位置即可判断 、 的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点
是解题的关键．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．二次函数 的部分图象如图所示，已知图象过点 ，对称轴为直线 ，下列
结论：① ；② ；③ ；④当 时，y的值随x值的增大而增大；⑤
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想．
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当 时，函数值为0，
即有 ，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在 时取得最大值，对任意的实数m，其
函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴ ，
∴ ，故①错误；
当 时，函数值为0，即有 ，
∵ ，
∴ ，即 ，故③正确；
观察图象知，当 时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在 时取得最大值 ，
∴对任意的实数m，都有 ，
即 ，故⑤错误；
故选：B．
6．（2025·福建泉州·模拟预测）抛物线 图象上有三点 ， ，
．其中 ， ， ，以下说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．若 ， 、 、 三点在对称轴的同一侧
C．当 ，存在
D．当 ，总有
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是
解题的关键．
根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误．【详解】A．抛物线为 ，故对称轴为 ，故A错误；
B．抛物线开口向下（ ），对称轴为 ．左侧（ ）函数递增，右侧（ ）函数递减．若
，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如， 在左侧， 、 在右侧，此时 最大，
最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误；
C． 当 时，存在 ．例如： ，取 ， ， ，计算得 ，
， ，满足 ，故C正确；
D． 当 时，并非总有 ．例如： ，取 ， ， ，计算得 ，
， ，此时 ，不符合题意，故D错误．
综上，正确答案为C．
二、填空题
7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象
一定不经过第 象限．
【答案】二
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到
， ，据此可得一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
8．如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线 ．（1）a的值为 ．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为
．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识，
掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键．
(1)将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式 计算即可；
(2)代入 ，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【详解】（1） ．
函数图象的对称轴为直线 ，
，
．
（2）由（1）知， ，
二次函数的解析式为 ，
抛物线向下平移3个单位长度后经过原点，
平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线 （m是常数且 ）， 是 轴上一点，将
点 向右平移4个单位长度得到点 ．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当 时，将该抛物线向上平移 个单位长度后与线段 没有交点，则 的取值范围是
．
【答案】 2 或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答．
（2）先整理得该抛物线的函数表达式为 ，则当 ，即当 时，该抛物线与
线段 没有交点．再运用数形结合思想得当 时，该抛物线与线段 没有交点，据此进行作答即可．
【详解】解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线 ．故答案为：2；
（2）如图，
当 时，
该抛物线的函数表达式为 ，
则抛物线的顶点坐标为 ，
当 ，即当 时，该抛物线与线段 没有交点，
∵ 是y轴上一点，将点A向右平移 4个单位长度得到点B，
∴ ，
∴把 代入 ，
得 ，
解得 ，
当 时，该抛物线与线段 没有交点．
综上，当 或 时，该抛物线与线段 没有交点．
故答案为： 或 ．
10．如图所示，二次函数 的图象开口向上，图象经过点 和 且与 轴交于负半轴．
给出四个结论：① ，② ；③ ；④ ；其中正确的结论的序号是
．
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用
二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点 在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，结论①正确；②由二次
函数图象的开口方向、对称轴在 轴右侧以及与 轴交于负半轴，可得出 ，进而可得出
，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及 ，可得出 ，进而可得出
，结论③正确；④由二次函数 的图象经过点 和 ，利用二次函数图象上
点的坐标特征可得出 ， ，进而可得出 ，结论④正确．综上，此题得解．
【详解】解：①点 在二次函数图象上，
∴ ，结论①正确；
②∵二次函数 的图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，
，
，
∴ ，结论②错误；
③
∴ ，
∴ ，结论③正确；
④二次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，
∴ ，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
11．已知抛物线L： 下列结论：①抛物线L的对称轴为直线 ；②抛物线L必过
点 和点 ；③当 时，y的值随x值的增大而增大；④当 时，已知 ， 是
抛物线上的两点，则 ；⑤当 时，对于任意的实数m，不等式 恒成立．其
中结论正确的有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；
根据二次函数性质计算当 和 时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大
小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ，故①正确；
当 时， ；当 时， ，
则抛物线L必过点 和点 ，故②正确；
抛物线L的对称轴为直线 ，则当 时，y的值随x值的增大而增大；当 时，y的值随x值的增大而减小，故③错误；
当 时，已知 ， 是抛物线上的两点，
点 到对称轴 距离为3，点 到对称轴 距离为2，
，故④正确；
当 时， ；当 时， ，
抛物线L的对称轴为直线 ， ，
不等式 恒成立，故⑤错误；
故答案为：①②④．
12．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：
①
②若点 均在二次函数图象上，则
③
④对于任意实数m，总有
其中正确的结论是：
【答案】②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出 的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，
离对称轴越近的点y值越小；③代入 以及 之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据
及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
∵ 与 对应的函数值都为1，∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴点 离对称轴更近，
∴ ，故②正确；
∵ 时， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵④ ， ，
即证 ，
变形可得 ，即 ，
∵ ，
∴故原式不成立，故④不正确，
故答案为： ②③．
三、解答题
13．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系中， ， 在二次函数 的图象上．
(1)当 时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若 ，求 的取值范围．
(3)若 ，且当 时， 有最小值 ，求 的值．
【答案】(1)该函数图象的顶点坐标
(2)
(3) 的值是 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据 的值，得到 在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标；
（2）根据点坐标，表示出 ，代入到 ，得到结果；
（3）根据题意，得到解析式 ，结合题意，求得 值即可．
【详解】（1）解： ，
∴ 在二次函数图象上，，
该函数图象的顶点坐标 ；
（2）解：∵ ， 在二次函数 的图象上
∴ ， ，
，
∴
，
（3）解： ，
，
，
，
该函数图象的对称轴为直线 ，
当 时，该函数在 处取到最小值，
，
解得 ，符合题意，
当 时，该函数在 处取到最小值，
，
解得 ，不合题意舍去，
当 时，该函数在 处取到最小值，
，
解得 不合题意舍去 ，
综上所述， 的值是 或 ．
14．（2025·浙江湖州·一模）已知二次函数 （a是常数且 ）．
(1)若 ，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过 和 两点，求 的值．
(2)若该函数图象经过点 ，当 时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【答案】(1)① ， ；②
(2) 或8
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．（1）①将 代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；
②先求出二次函数的对称轴为直线 ，再根据点 和 关于该函数的对称轴对称，由此即可得；
（2）先将点 代入求出二次函数的解析式为 ，再分两种情况：① 和② ，利用
二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：①当 时， ，即 ，
将二次函数的解析式化成顶点式为 ，
则该函数图象的顶点坐标为 ．
②二次函数 的对称轴为直线 ，
∵该函数图象经过 和 两点，
∴点 和 关于该函数的对称轴对称，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵函数 图象经过点 ，
∴ ，
∴ 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，其对称轴为直线 ，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即为 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
则分以下两种情况：
由①当 时，则在 内，当 时， 的值最大，
∴ ，
解得 ，符合题设；②当 时，则在 内，当 时， 的值最大，
∴ ，
解得 或 （不符合题设，舍去）；
综上， 的值为 或8．
