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微专题：函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
【考点梳理】
1. 函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数
0
关系式为 H ＝ r sin( ωt ＋ φ ) ＋ h .
2. 三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 描述简
谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ
3、研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的性质时，一般将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解
题. 与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析.
4、 三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象，匀速圆周运动是比较典型的一个. 解决这类问题时，首先
寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有
关问题.
【题型归纳】
题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
1．已知函数 ，先把函数 的图象向左平移 个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原
来的 ，得到函数 的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 是奇函数，最大值是2
D．函数 的最小正周期为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2．已知函数 ，给出下列结论，正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 图像关于 对称
D．函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移1个单位得到
3．已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 图象的一条对称轴；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
题型二：三角函数的应用
4．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径 米，
总高约 米，匀速旋转一周时间为 分钟，配有 个球形全透视 度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因
素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交
流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差 分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之
和的最大值约为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4
圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系 ，则
有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．经科学研究证实，自出生之日起，人的情绪节律、体力节律、智力节律分别以28天、23天、33天进行周期变
化，变化曲线为 ．每种节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三种节律周期的半数为
临界日．临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置）．若小凌在生日前一
天想通过三种节律对第322天时的身体状态进行预测，现得到的四个判断中错误的是（ ）
A．智力节律处于低潮期
B．情绪与体力节律均处于临界日
C．记情绪、体力曲线分别为 ， ，则
D．人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和参考意义
【双基达标】
7．若函数 与 在 上的图象没有交点，其中 ，则 的取值范围是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
8．已知某简谐振动的振动方程是 ，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为
．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（ ）
A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz
9．如图，点 为边长为 的正六边形 （中心为坐标原点O， 轴）与函数
的图象的三个交点，函数 的图象与FG相切于点Q，且 与 轴交于
点 ，函数 的图象与 轴交于点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象向右平移 个单位长度后关于点O对称
C．函数 的图象关于直线 对称
D．
10．为了测量灯塔 的高度，第一次在 点测得 ，然后向前走了20米到达点 处测得 ，
点 ､ ､ 在同一直线上，则灯塔 高度为（ ）米
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．10 B． C． D．
11．正方形 的边长为1，点 在边 上，点 在边 上， ．动点 从 出发沿直线向
运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 第一次碰到 时， 与正方形的边碰撞的
次数为
A．4 B．3 C．8 D．6
12．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮
时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位： ）记录表
6： 21：
时刻 0：00 3：00 9：00 12：00 15：00 18：00 24：00
00 00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数 ，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距
离）为 ，安全条例规定至少要有 的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午 点之后按规定驶入
港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时 的速度减小， 小时卸完，则其在港口最多能停放
（ ）A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
13．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与
噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线 （其中 ， ，
）的振幅为1，周期为 ，初相为 ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
14．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 处作
圆弧的切线，两条切线交于 点，测得如下数据： （其中 ）.根据测
量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
15．已知矩形 中， .设点 关于 的对称点为 ， 与 交于点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
16．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 为奇函
数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，且直线 是其中
一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上单调递增
C．点 是函数 图象的一个对称中心
D．将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度，
可得到 的图象
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移 个单位长度
后得到 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴为直线
D．函数 的单调递增区间为
19．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P
到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝ ，A＝3 B．ω＝ ，A＝3
C．ω＝ ，A＝5 D．ω＝ ，A＝5
20．某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，
能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（
）
（参考数据： ）
A．50 B．38 C．27 D．15
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴
圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，
AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
22．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
，小于 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且
图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过 小时才可以
驾车，则 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A．5 B．6 C．7 D．8
23．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四个结论：① ；② 在 上有两个零点；③ 的图象关于直线 对称；④ 在区
间 上单调递减，其中所有正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
24．函数 部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．若把 的图象平移 个单位可得到 的图象，则
B． ， 恒成立
C．对任意 ， ， ， ，
D．若 ， 则 的最小值为
25．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个
回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400
天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第 天时太阳直射点的纬度值为 ，
该科研小组通过对数据的整理和分析.得到 与 近似满足 .则每1200年中，要使这
1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A．290 B．291 C．292 D．293
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
26．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 和M 的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡
1 2
位置的位移s(cm)和s(cm)分别由下列两式确定：
1 2
s＝5sin ，s＝5cos ．
1 2
则在时间t＝ 时，s 与s 的大小关系是（ ）
1 2
A．s＞s B．s＜s
1 2 1 2
C．s＝s D．不能确定
1 2
27．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到
20 时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天
开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位： ）与时间t（单位： ）近似满足关系式
，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6
28．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩
天轮，则第7分钟时他距地面大约为（ ）
A．75米 B．85米 C．100米 D．110米
29．将函数 的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，
则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的最小正周期是
C．函数 在 单调递减
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．函数 在 的最小值是-3
30．某市一年12个月的月平均气温 与月份 的关系可近似地用函数 （ ）来
表示，已知该市6月份的平均气温最高，为 ，12月份的平均气温最低，为 ，则该市8月份的平均气温为
（ ）
A． B． C． D．
31．已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上
摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A．95米 B．100米 C．105米 D．110米
二、多选题
32．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离
地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转
分钟，当 时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，则
C．若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值为30
D． ， ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
33．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．函数f(x)在 上单调递减
C．函数g(x)＝ cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（ ，0）中心对称
34．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 和60～90 .心脏跳动时，血压在增加或减小.血压
的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 为标准值.
记某人的血压满足函数式 ，其中 为血压（ ），t为时间（ ），其函数图像如图所
示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．收缩压为120
C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次
35．声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 .音有
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数 及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度
越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只
是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是
结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（ ）
A．函数 不具有奇偶性
B．函数 在区间 上单调递增
C．若某声音甲的对应函数近似为 ，则声音甲的响度一定比纯音 响度
小
D．若某声音乙的对应函数近似为 ，则声音乙一定比纯音 更低沉
三、填空题
36．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和
最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第
一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
37．已知函数 的部分图象如图所示.将函数 的图象向右平移 个
单位，得到 的图象，则下列有关 与 的描述正确的有___________（填序号）.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司① ；
②方程 所有根的和为 ；
③函数 与函数 图象关于 对称.
38．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期
性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时
刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头
某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型 来近似以地描述这些数据，则函数 ________．
39．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在
涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记
录表．
6： 21：
时刻 0：00 3：00 9：00 12：00 15：00 18：00 24：00
00 00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间 的函数关系，则这个函数关系式是
________．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中阴影部分），圆
的半径为1米， ， 是圆的直径， ， 在弦 上， ， 在弦 上，圆心 是矩形 的中心.若
米， ， ，则“杠铃形图案”面积的最小值为______平方米.
41．如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数
，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注： ）．
四、解答题
42．已知函数 ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间 上的值域．
43．用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定： ．
以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在 上的图象，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动时（即 时）的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复运动多少次？
44．一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当水轮上点P从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图
所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
45．如图，在扇形POQ中，半径 ，圆心角 ，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其
中CD在半径OQ上，记 ．
（1）当 时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
46．如图，在直径为1的圆 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 ．
（1）将十字形的面积表示成 的函数；
（2）求十字形的最大面积．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先根据题意求出 的解析式，然后利用三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】
，则把函数 的图象向左平移 个单位，可得 ，
再把图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，可得 ，
所以 ，
对于A，由 ，得 ，所以 的图象的对称轴为直线 ，则
的图象关于直线 对称，所以A正确，
对于B，由 ，得 ，因为 在 上不单调，所以 在区间 上不
单调递增，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 为奇函数，且最大值为2，所以C正确，
对于D， 的最小正周期为 ，所以D正确，
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
化简函数的解析式为 ，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，
即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以A错误；
因为 ，可得 ，
根据正弦函数的图象与性质，可得函数 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上是减函数，所以B正确；
由函数 ，令 ，解得 ，
第 17 页当 时，可得 ，所以函数 的对称中心为 ，所以C不正确；
由函数 的图像向右平移 个单位， ，
再向下平移1个单位得到 ，所以D不正确.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.
【详解】
对于①， 的最小正周期为 ，故①正确；
对于②， ，所以②不正确；
对于③，把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度得到 ，所以③不
正确.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
角速度为 ，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】
因为角速度为 ，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
第 18 页，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即他们所在的高度之和的最大值约为 ，
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
确定A的值，根据函数的周期可计算 ，利用点 代入解析式中结合函数的单调性质可求得 ，即
可确定答案.
【详解】
由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则 ，
由题意知 ,代入解析式中， ，
由于 ，故 或 ，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故 ，
所以， ， ，
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
根据题意，分别得出三种变化曲线的函数解析式，再分析 时的情况即可
【详解】
对A，智力节律变化曲线为 ，因为 ，故第322天时 ，故
智力节律处于低潮期，故A正确；
第 19 页对B，情绪节律变化曲线为 ，因为 ，故第322天时 ，故智力节律
处于临界日；体力节律变化曲线为 ，因为 ，故第322天时 ，故体力节律处于临
界日；故B正确；
对C，由题意 ， ，故 ， ，由B，
，故C正确；
对D，预测与实际不一定相同，且重要工作的影响因素很多，故人体三节律预测对重要工作的时间安排有指导和
参考意义不成立，故D错误；
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的平移即可求解.
【详解】
解： 是周期为 的正弦函数，
， 是由 向左平移 个单位得到
①当 时，如下图所示，
此时函数 与 在 上有交点，不符合题意
②当 时，如下图所示
第 20 页此时函数 与 在 上无交点，符合题意
③当 ，如下图所示
此时函数 与 在 上无交点，符合题意
综上所述， ，
故 的取值范围是
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.
8．B
【解析】
【分析】
设该简谐振动的周期为 ，根据 列方程求出 ，进而可得频率的值.
【详解】
设该简谐振动的周期为 ， ，
因为 ，则 ，
解得
，
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
分析图象可知 ，再根据零点间的距离求周期，最后根据函数过点 ，求 ，求得函数解析式后，根
据三角函数的性质判断选项.
【详解】
第 21 页由题意得， ， 设函数 的最小正周期为 ,所以 ， ，故选项A错
误；因为函数 的图象过点 ，则 ， ，将函数 的图象向右平移 个单位
长度后，得到 的图象，不关于点O对称，故选项B错误；令 ，即
，当 时， ，故选项C正确；因为 所以 ，故选项D错误.
故选:C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求函数的解析式，关键是根据正六边形的边长为 ，利用点 ， 的坐标，求得函数
的最大值，以及周期，和 的值.
10．C
【解析】
【分析】
利用三角函数求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
在 中， 米.
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为 ，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得
反射的次数．
【详解】
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为 ，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，
第 22 页G在DA上，且DG ，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH ，
第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM ，
第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN ，
第六次回到E点，AE ．
故需要碰撞6次即可．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射
的次数，属于难题．
12．B
【解析】
【分析】
由已知表格中数据求得 ,根据驶入港口 大于等于6,离开时 大于等于5，分析即可得答案.
【详解】
由表格中的数据可知， ，则
.
由T=12，∴ ，故 ，
当x=3时，f(x)=7，则 ∴ ，即 ，得 .
∴ .
由 ，得 ，
即 或
∴ 或 .
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，
∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货，
卸货时，其吃水深度以每小时 的速度减小， 小时卸完，卸完后的吃水深度为 ，
所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由 ，得 ，
第 23 页即 或
∴ 或 .
所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时.
故选：B
13．D
【解析】
【分析】
设噪声的声波曲线 ，由题意求出 ， ， ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【详解】
由噪声的声波曲线 （其中 ， ， ）的振幅为1，周期为 ，初相为 ，可得
， ， ，所以噪声的声波曲线的解析式为 ，所以通过主动降噪芯片
生成的声波曲线的解析式为 .
故选D．
14．A
【解析】
由已知 ，设 ．可得 ．于是可得 ，进而得出结论．
【详解】
解：依题意 ，设 ．
则 ．
， ．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 ．
则 ，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．A
【解析】
根据对称性可得 ，设 ，可计算出 的长，利用勾股定理可得 的长，在
中，由 可得 ，再利用正切函数的二倍角公式可得答案.
【详解】
如图，由题意得 .
第 24 页不妨设 ，则 ， ，
在 中， ，即 .
在 中， .
则 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用三角函数解决几何图形问题，关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解，
考查了学生分析问题、解决问题的能力.
16．A
【解析】
【分析】
由图像平移结合奇函数特征得 再赋值即可
【详解】
由题意，知 ．因为 为奇函数，所以 ，所以 ．
又 ，所以当 时， 取得最小值 ．
故选：A
17．C
【解析】
【分析】
先求出 ，对四个选项一一验证：
对于A：利用周期公式验证；
对于B：直接讨论单调性验证；
对于C：代入法验证；
对于D：利用图像变换验证.
【详解】
∵函数 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴ ，即
第 25 页.
∵直线 是其中一条对称轴，∴ ，解得： .
所以 .
对于A：函数 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B：当 时， ，所以 不单调，故B错误；
对于C：当 时， ，所以点 是函数 图象的一个对称中
心，故C正确；
对于D：将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图像，再向左平
移 个单位长度，得到 ，故D错误.
故选：C
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于 或 的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
18．D
【解析】
根据图象得到函数 解析式，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，可得 解
析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】
由图象可知
， ，
∴ ，
则 .
将点 的坐标代入 中，
整理得 ，
∴ ，
即 ；
第 26 页，
∴ ，
∴ .
∵将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
∴ .
，
∴ 既不是奇函数也不是偶函数，
故A错误；
∴ 的最小正周期 ，
故B不正确.
令 ，
解得 ，
则函数 图像的对称轴为直线 .
故C错误；
由 ，
可得 ，
∴函数 的单调递增区间为 .
故D正确；
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解
决本题的关键.
19．A
【解析】
【分析】
根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.
【详解】
由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
第 27 页，则 ．故选:A
20．C
【解析】
【分析】
作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.
【详解】
设走了3分钟到达 （如图所示），
走过的圆心角为 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以建筑物的高度：
故选：C
21．A
【解析】
【分析】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为 ，竖直
高度为 ，根据题意求得 ，由切线的性质和正弦函数的定义可得 ，结合圆的对称性和二倍
角的余弦公式即可得出结果.
【详解】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示
第 28 页易知“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为 ，
则由题意知 ，解得 ，
AB与圆弧相切于点B，则 ，
∴在 中， ，
由对称性可知， ，则 ，
∴ ，
故选：A．
22．B
【解析】
【分析】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，所以 ，根据题意列不等式，
解不等式结合 即可求解.
【详解】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，
所以所求 ，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 最小为 ，
所以至少经过 小时才可以驾车，
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
设将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，先根据题目所给部
分图像确定出 及 的值，得出 的解析式，然后根据 的性质分析所给结论是否正确.
第 29 页【详解】
的图象向左平移 个单位长度后得：
，
由图象知 的周期T满足 ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，即 .
又 ，∴ ，∴ ，
对于①， ，故①正确；
对于②，令 ，则 ，又 ，
所以 ，则 或 ，即 或 ，
故 在 上有两个零点，所以②正确
对于③，令 ，解得 ，
∴ 的图象不关于直线 对称，故③错误；
对于④，令 ，解得 ，即 的单调递减区间为
，令 ，得 在区间 上单调递减，
综上所述，①②④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查由三角函数图象确定三角函数的解析式，考查三角函数的性质的运用.确定函数
中参数的步骤如下：
（1）先根据函数的最大值 和最小值 确定 和 ， ， ；
（2）格据图象的周期确定 ，其中 ；
（3）根据图象上的点的坐标或者根据五点法确定 的值.
24．D
【解析】
第 30 页【分析】
由图象求得 ，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由图象可得，函数 的最大值为 ，即 ，
又由 ，即 ，且 ，所以 ，所以 ，
因为 且为单调递减时的零点，所以 ，
可得 ， ，由图象知 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
对于A中，因为 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到，
可得 ，所以A错；
对于B中，令 ， ，得对称轴为 ， ，则B错；
对于C中，函数单调递增区间的长度，最大为 ，故C错；
对于D中，由 ，因为 ，所以 且 ，设 ，使 最
小，即绝对值最小的零点，
令 ， ，可得 ， ，
由 时， ，所以 ，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周
期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的
判定，防止错解.
25．B
【解析】
【分析】
设闰年个数为 ，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式 ，求解 即
可.
第 31 页【详解】
解： ，
所以一个回归年对应的天数为 天
假设1200年中，设定闰年的个数为 ，则平年有 个，
所以
解得： .
故选：B.
26．C
【解析】
将t＝ 代入求值，可得s＝s2
1
【详解】
当t＝ 时，s＝5sin －5，s＝5cos －5，∴s＝s2
1 2 1
故选：C
27．B
【解析】
【分析】
由函数关系式 分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.
【详解】
设 时开始开放， 时开始闭合，则 又 ，解得 ， ，
由 得 ， .
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
设他与地面的高度 与时间 的关系为 ， ， ， ，由已知求得解析式，然
后计算 即可得．
【详解】
设他与地面的高度 与时间 的关系为
， ， ， ，
由题意可知 ， ， ，
，
第 32 页即 ，
又 ，
即 ，
故 ，
，
(7) ．
故选：B．
29．C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律，得到 的解析式，再利用余弦函数的对称性可判断A;利用周期公式，
判断B;根据余弦函数的单调性，判断C,D.
【详解】
由已知可得 ，
对于A, 由于当 时， 为函数最大值，故函数 的图象不关于点 ， 对称，故 错误；
对于B, 函数 的最小正周期是 ,故B错误；
对于C,当 时， ，此时g（x）单调递减．故C正确；
对于D, 当 时， ，此时g（x）单调递减． ，故D错误，
故选： ．
30．A
【解析】
【分析】
根据已知条件列方程可求得 和 的值，可得函数解析式，将 代入即可求解.
【详解】
由题意可得：
即 ，解得： ，
所以 ，
第 33 页所以该市8月份的平均气温为 ，
故选：A.
31．C
【解析】
【分析】
设函数关系式为 ，根据题意求得各参数得解析式，然后计算
可得．
【详解】
设该游客在摩天轮上离地面高度 （米）与时间t（分钟）的函数关系为
，
由题意可知 ， ， ，所以 ，即 ．
又 ，得 ，故 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
32．BC
【解析】
【分析】
易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出 分钟后，转过的角度，即可求出 关于 的表达式，即可判
断B；由余弦型函数的性质可求出 的最小值即可判断C；求出 在 上的单调性，结合当 时，
即可判断D.
【详解】
解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为 米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为 ，则 ，B正确；
周期为 ，由余弦型函数的性质可知，若 取最小值，
则 ，又高度相等，则 关于 对称，则 ，则 ；
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ，
第 34 页当 时， ，所以 在 只有一个解；
故选:BC.
【点睛】
关键点睛:
本题的关键是求出 关于 的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
33．AC
【解析】
【分析】
首先利用“五点法”求函数的解析式，利用函数的性质求函数的单调递减区间，判断选项 ，再利用平移规律，
判断选项 ，利用对称中心公式求函数的对称中心，判断选项 .
【详解】
解：对于A：根据函数的图象： φ＝ （k∈Z），解得φ＝ （k∈Z），
由于|φ|＜ ，
所以当k＝0时，φ＝ ．
由于f（0）＝ ，所以A ，解得A＝ ．
所以f(x)＝ ，故A正确；
对于B：令 （k∈Z），
解得： （k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z），
故函数在[ ]上单调递减，在[ ]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋ ）＝ ，故C正确；
对于D：令 （k∈Z），解得 （k∈Z），
所以函数的对称中心为（ ）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；
故选：AC．
【点睛】
思路点睛：本题考查 的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对
于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此
第 35 页判断直线 或点 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证 的值进行判断；（2）判断某区间
是否是函数的单调区间时，也可以求 的范围，验证此区间是否是函数 的增或减区间.
34．BCD
【解析】
由图象的周期可求出 的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率 可判断选
项D，进而可得正确选项.
【详解】
由图知： ，所以 ，可得 ，故选项A不正确；
所以 ，
由图知 在一个周期内最大值为 ，最小值为 ，所以收缩压为120 ，舒张压为70 ，故选项
B、C正确；
每分钟心跳数为频率 ，故选项D正确，
故选：BCD.
35．AC
【解析】
【分析】
对于A利用函数奇偶性的定义判断即可；
对于B利用增函数和增函数的和仍为增函数来判断；
对于C判断两个函数的振幅大小即可；
对于D求出两个函数的周期，进而得到频率大小，即可判断.
【详解】
对于A，令 ，
则
则 ，且函数定义域为R，所以 是奇函数，A错误；
对于B，因为
所以 ， ， ， 都在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，B正确；
对于C，因为 为奇函数，且 ，所以 ，
第 36 页所以 的振幅比 的振幅大，所以C错误；
对于D， 的最小正周期是
证明：若存在 ，使 恒成立，则必有 ，
，
，因为 ，
，
又 与 不恒相等，故
的最小正周期是 ，所以频率 ，
而 的周期为 ，频率 ，所以D正确.
故选：AC.
36．15米
【解析】
【分析】
先画出示意图，根据题意可求得 ， ，则 可求，利用正弦定理可得 ，再在 中利用
即得.
【详解】
如图所示，由题得， ， ，
，由正弦定理可知 ，
米，
在 中， 米，即旗杆的高度为15米.
故答案为：15米.
37．①③
【解析】
【分析】
根据图象分别确定 ，结合五点作图法可最终求得 解析式；利用三角函数平移变换可知①正确；利用三角
恒等变换知识化简方程为 ，结合 范围求得方程的根，可得②错误；利用诱导公式化简可得
，知③正确.
【详解】
第 37 页由图象可知： ， ， ；
又 ，由五点法可知： ，解得： ；
；
对于①， ，①正确；
对于②，
，即 ；
， ， 或 或 或 ，
所有根的和为 ，②错误；
对于③，
，
与 图象关于 对称，③正确.
故答案为：①③
【点睛】
思路点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，涉及到已知图象求解析式、整体法求解方程的根、图象对称
性问题；已知图象求解解析式的基本思路是通过五点作图法的方式，将图象与正弦函数图象进行对应，从而确定
参数的取值.
38．
【解析】
【分析】
由题知所生潮的高的最大值为 ，最小值为 ，周期为 ，进而得 ， ，再待定系数法求解即
可.
【详解】
解：由题知，所生潮的高的最大值为 ，最小值为 ，周期为
所以 且 ，解得 ， ，
故 ，
第 38 页因为在零时，所生潮的高的最大值为 ，
所以， ，解得 ，
所以 .
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
设 与 之间的函数关系式为 ，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求
出 ，再利用最大值可求 ，故可求解析式.
【详解】
设 与 之间的函数关系式为 ，
则由表中数据可得 ，且 ，
故 且 ，所以
因为当 时， ，所以 ，
解得 ，故 ，其中 .
故答案为： .
40．
【解析】
先求出面积关于 的函数解析式，利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值．
【详解】
设 中点为 ，连接 ，
则 ， ，
第 39 页则 ， ，
所以“杠铃形图案”的面积为 ，
则 .
因为 ，所以 ， ， 单调递增.所以
当 时， 的最小值 .
则“杠铃形图案”面积的最小值为 平方米.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考察实际问题中函数的应用，根据题意写出面积关于 的函数解析式，再利用导数求函数的
最大值，难点在于利用导数求极值，考查了运算能力，属于中档题.
41．27℃
【解析】
【分析】
根据所给函数图象求出正弦型函数的解析式，根据解析式计算 时的函数值即可求解.
【详解】
由题图，可知 ， ，
所以 ， ．
设该函数的最小正周期为T，
因为 ，所以 ，于是 ，
所以 ．
因为该图象经过点 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
第 40 页所以 ．
当 时， （℃）．
故答案为：27℃
42．（Ⅰ）最小正周期 ，[ ]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．
【解析】
(Ⅰ)先用降幂公式,辅助角公式将 化简,然后求得最小正周期和单调减区间;
(Ⅱ)先通过平移得到 的解析式,由x∈ ,可计算得到 ,结合余弦函数的图象和单调性,可得
解.
【详解】
（Ⅰ）函数 1﹣cos（2x ） ．
所以函数的最小正周期为 ，
令 （k∈Z），整理得 （k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x ）+1 的图象，
由于x∈ ，所以 ，故 ，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．
【点睛】
本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.
43．(1)小球在开始振动时在距离平衡位置 厘米处
(2)都是2厘米
(3) 秒
(4)
【解析】
【分析】
（1）作出函数图象， 代入函数式计算可得；
（2）由图象可得最高点和最低点对应的值；
（3）由图象可得一个周期的时间；
（4）用1除以周期可得．
(1)
第 41 页函数 在 上的图象如图．
当 时， （厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置 厘米处．
(2)
小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．
(3)
小球往复运动一次就是一个周期，易知 秒，即经过 秒往复运动一次．
(4)
每秒钟往复运动的次数 ．
44．（1） ；（2） 秒．
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据题意求得 、 的值，以及函数 的最小正周期，
可求得 的值，根据 的大小可得出 的值，由此可得出 关于 的函数解析式；
（2）由 得出 ，令 ，求得 的取值范围，进而可解不等式 ，可
得出 的取值范围，进而得解.
【详解】
解：（1）如图所示，标出点M与点N，设 ，
根据题意可知， ，所以 ，
根据函数 的物理意义可知：
，
又因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以可得： ．
第 42 页（2）根据题意可知， ，即 ，
当水轮转动一圈时， ，可得： ，
所以此时 ，
解得： ，
又因为 （秒），即水轮转动任意一圈内，有 秒的时间点P距水面的高度超过2米．
45．（1） ；（2）当 时，矩形ABCD的面积，最大面积为 ．
【解析】
【分析】
（1）在 中，求得 ， ，在 中，求得
，进而得到CD，代入矩形面积公式求解；
（2）在 中，用 表示 ， ．在 中，表示 ，进而得到CD，代入矩形面
积公式，然后利用正弦函数的性质求解；
【详解】
（1）在 中， ， ，
在 中， ，
第 43 页所以 ，
所以 ，
设矩形ABCD的面积为S，则 .
（2）在 中， ， ．
在 中， ，
所以 ，
所以 ，
设矩形ABCD的面积为S，
则 ，
，
由 ，得 ，
所以当 ，即 时 ．
因此，当 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 ．
46．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）设十字形面积为 ，易知 ，然后将 代入求解.，
（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到 ，再利用正弦
函数的性质求解.
【详解】
（1）设十字形面积为 ，
如图所示：
所以 ，
第 44 页（2） ，
（设 为锐角且 ），
当 ，即 时， 最大．
即当 时，十字形取得最大面积，
．
【点睛】
本题主要考查几何图形面积的求法以及数据恒等变换和三角函数性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求
解的能力，属于中档题.
第 45 页第 46 页
