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第 5 节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图
象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单
实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，
振幅 周期 频率 相位 初相
ω＞0)，x∈[0，＋∞)表
示一个振动量时 A T＝ f＝＝ ωx ＋ φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找
五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋
0 A 0 －A 0
φ)
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非 φ
个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应
的函数解析式为y＝sin 2x.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长
度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之
间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低
点的值确定的.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
解析 (2)以y＝sin x的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象为例，“先平移，后伸
缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1
时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值
分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80
mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式 p(t)＝101＋25sin(160π t)，其中p(t)为
血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值答案 C
解析 p(t)＝101＋25sin(160πt)，
∵－1≤sin(160πt)≤1，∴p(t)∈[76，126]，
即收缩压为126 mmHg，舒张压为76 mmHg.
又知120/80 mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.
4.(易错题)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是
____________.
答案 y＝3cos 2x
解析 由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到 y＝3sin 2(x＋)＝3sin(2x
＋)＝3cos 2x.
5.(2021·全国甲卷)已知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f＝
________.
答案 －
解析 法一(五点作图法) 由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝
π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二
个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
故f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos ＝－.
法二(代点法) 由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，
所以T＝π，＝π，即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2cos＝0，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以令k＝0，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos
＝－.6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋
φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为____________________.
答案 y＝10sin＋40，x∈[8，14]
解析 观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (经典母题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是
π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 y＝sin的图象，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝
sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到
f(x)＝2sin的图象.
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的
图象经过怎样的变换得到？
解 因为f(x)＝2sin
＝2cos＝2cos，
将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数 y＝cos的图象，
再将y＝cos的图象上所有的点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝
cos的图象，再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得
到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象.
感悟提升 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点
坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有
两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)
＝( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点
的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin的图象
――――――――――――――――――――――――→f（x）＝sin的图象．
考点二 由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1．（2020·全国Ⅰ卷改编）设函数f（x）＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则
f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝cos
B．f（x）＝cos
C．f（x）＝cos
D．f（x）＝cos
答案 B
解析 由图象知π＜T＜2π，即π＜＜2π，
所以1＜|ω|＜2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1＜|ω|＜2，故k＝－1，得ω＝，
所以f（x）＝cos.2.（2022·南昌模拟）函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，若△ABC
的面积为，则ω＝（ ）
A. B.2 C. D.2π
答案 A
解析 由题图知|AC|＝T（T为f（x）的最小正周期），
点B的纵坐标y ＝sin ＝，
B
所以S ＝×|AC|×y ＝×T×＝，解得T＝，所以ω＝＝.
△ABC B
3.函数f（x）＝2sin（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则 ω＝ ，φ
＝ .
答案 2 －
解析 设f（x）的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－，得T＝π，
则ω＝＝＝2.又图象过点，
则f＝2，即2sin＝2，
则sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝－.
感悟提升 根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下
三个方面考虑：
（1）根据最大值或最小值求出A的值.
（2）根据周期求出ω的值.
（3）求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下
降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
考点三 三角函数图象、性质的应用
例2 （1）（2022·成都诊断）已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个
对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函
数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2021·长春模拟）已知x＝是函数f（x）＝2sin（2x＋φ）的一个极大值点，
若方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－，）∪{2} B.[0，）∪{2}
C.[－2，]∪{2} D.[，2]
答案 （1）B （2）A
解析 （1）因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的
距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）
的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象.因为g（x）为偶函数，
所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f（x）＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
当k＝0时，得到一个单调递减区间.
又⊆，故选B.
（2）由题意知2sin＝2，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin.
方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，即函数y＝2sin的图象与直线y＝m有且
仅有一个交点，作出y＝2sin的大致图象如图所示，由图易知－≤m＜或m＝2.感悟提升 1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路：
（1）将函数整理成 y＝Asin（ωx＋φ）＋B（ω＞0）或 y＝Acos（ωx＋φ）＋B
（ω＞0）的形式；
（2）把ωx＋φ看成一个整体；
（3）借助函数y＝sin x或y＝cos x的图象与性质（如定义域、值域、最值、周
期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
训练2 （1）为使函数y＝sin ωx（ω>0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，
则ω的最小值为（ ）
A.98π B.π C.π D.100π
（2）（2022·大同调研）设函数f（x）＝sin（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]上
有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 .
答案 （1）B （2）
解析 （1）由题意，至少出现 50 次最大值即至少需要 49 个周期，所以 T＝
·≤1，所以ω≥π.
（2）f（x）＝sin（ω＞0），令ωx＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由题意可得当k＝5时，x＝≤2π，
当k＝6时，x＝＞2π，
得≤ω＜，即ω∈.
考点四 三角函数模型的简单应用
例3 （2021·山东省八所重点中学联考）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，
半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A 开始，按逆时针方向以角速度2
0
rad/s 做圆周运动，同时点B从初始位置B （2，0）开始，按顺时针方向以角速
0
度2 rad/s 做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y ，y .
1 2（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y ＋y ，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，
1 2
并求当t∈时，y的取值范围.
解 （1）连接AB，OA，OB（图略），当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y ＝sin，y ＝－2sin 2t，
1 2
所以y＝sin－2sin 2t
＝cos 2t－sin 2t
＝cos，
即函数关系式为y＝cos（t＞0），
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
感悟提升 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键：
（1）已知函数解析式（模型），利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是
准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模
型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是利用三角函数解析式中的相
关参数表示实际问题中的有关量，如周期、振幅、初相等，然后建立模型.
训练3 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位
置为P（x，y）.若初始位置为P ，则当秒针针尖从 P （此时t＝0）开始走时，
0 0
点P的纵坐标y与时间t的函数关系可以是（ ）A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
答案 C
解析 因为函数的周期为T＝60，
所以ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin（顺时针走动为负方向），
因为初始位置为P ，
0
所以t＝0时，y＝，
所以sin φ＝，所以φ可取，
所以函数解析式为y＝sin.
1.函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
答案 A
解析 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D项，当x∈时，－≤2x－≤－，在此
区间上函数不会出现最高点，排除C项，故选A.
2.（2021·西安五校联考）将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸
长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（ ）A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
答案 A
解析 函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到
y＝sin，再向右平移个单位，得到y＝sin＝sin x.
3.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向
左平移个单位长度.
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则
φ的值为（ ）
A.－ B. C.－ D.
答案 B
解析 由题意，得＝－＝，
所以T＝π.
由T＝，得ω＝2.
由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.
又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.
5.（2022·东三省四市模拟）已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）
的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈ZC.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 ∵y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，
∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，
则f（x）＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
6.若将函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于
y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f（x）的图象向右平移φ个单位长度
后所得图象对应的函数为 g（x）＝cos，且该函数为偶函数，故 2φ＋＝kπ
（k∈Z），所以φ的最小正值为.
7.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则f
＝ .
答案
解析 由题图知＝2×＝，
所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），
所以φ＝kπ＋（k∈Z），
又|φ|<，所以φ＝，这时f（x）＝Atan.
又函数图象过点（0，1），代入上式得A＝1，
所以f（x）＝tan，
所以f＝tan＝.
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos（x
＝1，2，3，…，12）来表示，已知 6月份的月平均气温最高为 28 ℃，12月份
的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃.
答案 20.5
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f（x）＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f（10）＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
9.（2022·郑州质检）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f（x）的解析式是
；函数f（x）在区间上的值域是 .
答案 f（x）＝sin
解析 由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得 y＝sin
的图象，再把所得图象向右平移个单位，可得f（x）＝sin＝sin的图象.
当x∈时，2x－∈，
则sin∈.
10.已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图
象的对称中心.
解 （1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到 y＝2sin[2＋]＝2sin的图
象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，得到函数
g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），
故g（x）图象的对称中心为（k∈Z）.
11.已知函数 f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0）同时满足下列两个条件：①函数 f
（x）的最大值为2；②函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和.
解 （1）由①可知A＝2，由②可知T＝π，ω＝2，所以f（x）＝2sin.
（2）因为f（x）＋1＝0，
所以sin＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ（k∈Z）或2x＋＝＋2kπ（k∈Z），
即x＝－＋kπ（k∈Z）或x＝＋kπ（k∈Z）.
又因为x∈[－π，π]，
所以x的取值为－，，－，，
所以方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.12.（2022·成都检测）已知锐角φ满足sin φ－cos φ＝1.若要得到函数f（x）＝－
sin2（x＋φ）的图象，则可以将函数y＝sin 2x的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
解析 因为sin φ－cos φ＝2sin＝1，
所以sin＝.
因为φ为锐角，所以φ－＝，
所以φ＝.
所以f（x）＝－sin2＝－
＝cos＝sin
＝sin＝sin，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数f（x）的图象.
13.（2021·厦门质检）已知函数f（x）＝sin＋cos ωx（ω＞0）在[0，π]上的值域
为，则实数ω的取值范围是 .
答案
解析 f（x）＝sin＋cos ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
因为x∈[0，π]，
所以ωx＋∈.
因为f（x）在[0，π]上的值域为，
所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.
14.（2022·大庆模拟）已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单
调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数 b的
取值范围.解 （1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，
∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－
