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第 15 节 三角函数的图象及性质
基础知识要夯实
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π
( ,1)
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)， 2 ，(π，0)，
3π
( ,−1)
2 ，(2π，0).
π
( ,0)
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)， 2 ， (π ，－
3π
( ,0)
1)， 2 ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
{x x≠kπ＋ }
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
[来源:学科网]
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ 无
x＝kπ＋核心素养要做实
[来源:学科网]
考点一 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调性
【例1－1】 （2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数
（1）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值．
角度2 已知单调性求参数
【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中） 函数 在
上单调递增，则 的范围是
A． B． C． D．
【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝
Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要
先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为
函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另
外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【跟踪训练】
1.已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值及函数 的单调增区间；（2）当 时，求函数 的取值范围.
2. 已知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则
( )
A．1 B．2 C． D．
3．若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )
A．0≤ ≤ B．0≤ ≤ C． ≤ ≤3 D． ≤ ≤3
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 多维探究
【例2】1.（2020·上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在 上单调递增的是（
）.
A． B． C． D．
2.．（2022·四川省高一期末）函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， 是第一象限角，且 ，则
B．函数 是奇函数C． 是函数 的一条对称轴
D． 在区间 上的最大值是 ，最小值为 .
4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．能使 为奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（
）
A． B． C． D．
3．下列函数中，最小正周期为 的偶函数是( )
A． B． C． D．
4．在下列函数中，既是 上的增函数，又是以 为最小正周期的偶函数的是（ ）
A．y=sinx B．y=cos2x C． D．
达标检测要扎实
一、单选题
1．函数 与 图像交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合 ， ， ,则
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，当 取得最小值时， 等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．下列四个函数，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到
该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的值域为
C． 的初相 D． 在 上单调递增
7．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）A． B． C． D．
8．已知函数 的最大值为 ，且 在 上的值域为
，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C．
D．
9．设函数 ，在 上的图象大致如图，将该图象向右平移
个单位后所得图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数 与 都在区间 上单调递减，则 的最大值是
A． B． C． D．
11．若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． B．C． D．
12．函数 图像上一点 向右平移 个单位，得到的点
也在 图像上，线段 与函数 的图像有5个交点，且满足 ，
，若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若函数 的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．
14．若奇函数 在其定义域 上是单调减函数，且对任意的 ，不等式
恒成立，则a取值范围是_______．
15．已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点，且 恒成
立， 在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是_______
16．若函数 的图象在 上与直线 只有两个公共点，则 的取值
范围是___________.
三、解答题
17．求下列函数的定义域.（1） ；
（2） .
18．求函数 的最小正周期，并证明.
19．当 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 的图象进行比较，你能发现
图象变换的什么规律？
（1） ；
（2） ；
（3） .
20．不求值，指出下列各式大于零还是小于零.
（1） ；
（2） .
21．已知函数 ，试根据下列要求研究函数 的性质.
（1）求证：函数 是偶函数；
（2）求证： 是函数 的一个周期；
（3）写出函数 的单调区间（不必证明），并求函数 的最值.
22．设函数 ， ，
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
（2）当 时， 的最小值为0，求实数m的值.
