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第 15 练 解三角形及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1． 中， ， ， ， 为 的中点，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据题意，在 中， ，
在 中， ，解得 ，即 .
故选：C.
2．已知在锐角 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ， 的面积
等于 ，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
中， ， 的面积等于
，
为锐角三角形，
由正弦定理可得：故选：A
3．如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 和
．现测得 ， ， 米，在点 测得塔顶 的仰角为60°，则
塔高 为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，在 中， ，由正弦定理可知
.
在 中，易知 ，于是 .
故选：A.
4．在 中， ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】在 中，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 为锐角，所以 .
故选：A.
5．在 中， ， ， ，则 （ ）
A．135° B．45° C．30° D．45°或135°
【答案】B
【详解】
∵ ， ， ，
由正弦定理： ，
可得 ，又 ，
∴ .
故选：B.
6．在 中三个内角A、B、C的对边为a、b、c，若 ，则角 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
∴根据正弦定理得： ，
，
，
， ，
又 ， ．
故选：C．
7．在 中， ，则角 的大小为（ ）
A． B． C． 或 D．【答案】A
【详解】
由正弦定理： ，所以 .
故选：A.
8．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A
二、多选题
9． ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
△
B．若 ，则 ABC是钝角三角形
C．若 ，则 ABC是△直角三角形或等腰三角形
D．若 ，△则符合条件的 ABC有两个
【答案】BC △
【详解】
若 满足A＞B，但sinA＜cosB，故A错误；
由 可得 ，∴ ， ABC为钝角三角形，B正确；
由 可得 △ ，
∴A＝B或2A＋2B＝ ，即A＝B或A＋B＝
∴ ABC是直角三角形或等腰三角形，C正确；
△由正弦定理 得 ，故不存在满足条件的 ABC，D错误．
△
故选：BC．
10．某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距离为 ；在 处看灯塔 在货轮
的北偏西 ，距离为 .货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东
，则下列说法正确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 B．灯塔 与 处之间的距离是
C．灯塔 在 处的西偏南 D． 在灯塔 的北偏西
【答案】ABC
【详解】
在 中，由已知得 ， ，
则 ， ．
由正弦定理得 ，
所以 处与 处之间的距离为 ，故A正确；
在 中，由余弦定理得，
，
又 ，
解得 ．
所以灯塔 与 处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔 在 处的西偏南 ，故C正确；
灯塔 在 的南偏东 ，在灯塔 的北偏西 ，故D错误；
故选：ABC．
11．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，向量 ，向量
，若 ，且满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，A选项对，
由题意及正弦定理得 ，即 ，
又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，C选项错，D选项对，
又 ，
则 ，B选项对，
故选：ABD.
12．在 中角 的对边分别为 ， ，则（ ）
A．
B． 的面积为 或
C． 是锐角三角形
D． 的外接圆面积是
【答案】BD
【详解】
因为 ，则 ，解得 或6，故A错误；
由余弦定理 ，所以 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或 ，故B正确；
当 时， ，此时 为钝角三角形，故C错误；
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 ，所以
，所以外接圆面积为 ，故D正确.
故选：BD.
三、解答题
13．在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，___，求A和B．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
【答案】选择见解析； ， 或
【详解】
解析：选择条件①，由 及正值定理知 ，
整理得 ，由余弦定理可得 ，
∵ ，∴ ；
由 得 ，
即 ，整理得 ，
∵ ，∴ ，∴ 或 ，解得 或 .
选择条件②，因为 ，所以 ；由 得，
由正弦定理知， ；
又 ， ，可得 ；
A π
又因为 ，所以， = ，故 ；
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由 得 ，
即 ，整理得 ，
∵ ，∴ ，∴ 或 ，解得 或 .
选择条件③，由 及正弦定理得
∵ ，∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ；
由 得 ，
即 ，整理得 ，
∵ ，∴ ，∴ 或 ，解得 或 .
14．在 ABC中， ， ， .
(1)求AB△的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：在 中，根据正弦定理， ，
于是
(2)解：在 中，根据余弦定理 ，可得于是 ，
从而
．
15．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：因为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
故 ，因为 ，所以 ．
(2)解：因为 ，所以 ，
再由 ，即 ，所以 ，
所以 .
16．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
由正弦定理得 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 .(2)因为 ，所以 .
由余弦定理得 ，得 （当且仅当 时，等号成
立），即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .故 的最小值为 .
