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第 15 节 三角函数的图象及性质
基础知识要夯实
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π
( ,1)
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)， 2 ，(π，0)，
3π
( ,−1)
2 ，(2π，0).
π
( ,0)
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)， 2 ， (π ，－
3π
( ,0)
1)， 2 ，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
{x x≠kπ＋ }
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
[来源:学科网]
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ 无
x＝kπ＋核心素养要做实
[来源:学科网]
考点一 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调性
【例1－1】 （2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数
（1）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值．
【答案】（1） , （2）
【解析】（1）
[来源:学科网ZXXK]
∴ 的最小周期 ；
由题意得
令 ，
得： ，
∴函数 的单调递增区间为 ；（2）由（1）知 在区间 上为增函数；
∴ 在区间 上为增函数；
即 在区间 上为增函数；
∴ 在区间 上的最大值 =
角度2 已知单调性求参数
【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中） 函数 在
上单调递增，则 的范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ，
所以函数的最小正周期为 ,
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，又w＞0，所以 .故选B
【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要
先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为
函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另
外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【跟踪训练】
1.已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值及函数 的单调增区间；
（2）当 时，求函数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，
因为 的最小正周期为 ，所以 .
所以
由 ，
得
所以函数 的单调增区间为
（2）因为 ，所以 ，所以
所以函数 在 上的取值范围是 .
2. 已知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则
( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，函数 取得最小值，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．选A．
3．若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )
A．0≤ ≤ B．0≤ ≤ C． ≤ ≤3 D． ≤ ≤3
【答案】D【解析】令 x （k Z），则 x
ω ∈
∵函数f（x）＝sin x（ ＞0）在区间 上单调递减，
ω ω
∴ 且
当 满足题意，∴ 故选：D．
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 多维探究
【例2】1.（2020·上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在 上单调递增的是（
）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数 ，当 时无意义，在 上不单调，故A不正确；
函数 在 上单调递减，故B不正确；
函数 是偶函数，在 上单调递增，故C正确；
当 时， 函数 单调递减，故D不正确.故选：C
2.．（2022·四川省高一期末）函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
【答案】C
【解析】由题得 ，
设 ，函数的定义域是 ,
所以函数的最小正周期为 ，
由于 ，
所以函数是奇函数.故选：C.
3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， 是第一象限角，且 ，则
B．函数 是奇函数
C． 是函数 的一条对称轴
D． 在区间 上的最大值是 ，最小值为 .
【答案】B
【解析】对于A，若 ， ，满足 ， 是第一象限角，且 ，
但是 不成立，故A错误；
对于B， ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 为奇函数，故B正确；
对于C， ，
，解得 ，
所以 不是函数 的对称轴，故C错误；
对于D，
， ，
， ，
在区间 上的最大值是 ，最小值为 ，故D错误.
故选：B.
4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 为奇函数，排除； 的周期为 ，排除；
是非奇非偶函数，排除；， ，为偶函数.
， ，故D满足.故选：D.
【跟踪训练】
1．下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记每个函数为 ，A中 ，是偶函数，错；B中
，是偶函数，错；
C中函数原点不是对称中心， 轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；
D中函数 ，是奇函数，正确．
故选：D．
2．能使 为奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意 ，由于函数为奇函数，故 ，当
时， 或 ，由此排除B,D两个选项.当 时，在 上是减函数，符合题意.当 时，
，在 上是增函数，不符合题意.故选C.
3．下列函数中，最小正周期为 的偶函数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的最小正周期为 ，且为奇函数，所以A不正确；
函数 的最小正周期为 ，所以B不正确；
函数 ，所以最小正周期为 ，非奇非偶函数，所以C
不正确；函数 的最小正周期为 ，且为偶函数，故D正确.故选：D
4．在下列函数中，既是 上的增函数，又是以 为最小正周期的偶函数的是（ ）
A．y=sinx B．y=cos2x C． D．
【答案】C
【解析】逐一考查所给函数的性质：
A.y=sinx，函数在 上是增函数，函数的最小正周期为 ，函数为奇函数；B.y=cos2x，函数在 上是减函数，函数的最小正周期为 ，函数为偶函数；
C. ，函数在 上是增函数，函数的最小正周期为 ，函数为偶函数；
D. ，函数在 上是不具有单调性，函数的最小正周期为 ，函数为偶函数.综上可
得，只有选项C中的函数符合题意.故选C.
达标检测要扎实
一、单选题
1．函数 与 图像交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】作出函数 在 上的图象，并作出直线 ，如图：
观察图形知：函数 在 上的图象与直线 有两个公共点，
所以函数 与 图像交点的个数为2.故选：C
2．已知集合 ， ， ,则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴
即 故选Ｃ
3．已知函数 ，当 取得最小值时， 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，当 取得最小值时，有 ，故 ， ．
， ．故选：A．
4．下列四个函数，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 最小正周期为 ，在区间 上 单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递增；
最小正周期为 ，在区间 上单调递增；故选：A.
5．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】选项A， ，所以 不是奇函数.
选项B， ，显然 ，所以 为偶函数，
不是奇函数.
选项C， ，所以 是奇函数.
选项D， ，所以 不是奇函数.故选：C.
6．若点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到
该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的值域为
C． 的初相 D． 在 上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得 ，且函数的最小正周期为 ，
故 .代入 ，得 ，
又 ，所以 .所以 .
故函数 的值域为 ，初相为 .故A，B，C不正确，
当 时， ，而 在 上单调递增，所以 在
上单调递增，故 正确.故选：D.7．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.故选：
A.
8．已知函数 的最大值为 ，且 在 上的值域为
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】依题意 ，
所以 的最大值为 ①，由于 ，故①解得 .
所以 .由于 ，所以 ，
依题意 在 上的值域为 ，
则 ，所以 ，解得 .故选：A
9．设函数 ，在 上的图象大致如图，将该图象向右平移
个单位后所得图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据五点法作图知： ，解得： ， ；
将 向右平移 个单位得： ，
图象关于 对称， ，解得： ，由 ，可令 得 的最小值 .故选：C.
10．若函数 与 都在区间 上单调递减，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递减，
所以则 ， ，所以 的最大值为 .故选：C.
11．若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 的最小正周期为 ，
可得 ，解得 ，即 ，
令 ，即 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
又由 ，
又由 ，所以 .故选：C.
12．函数 图像上一点 向右平移 个单位，得到的点也在 图像上，线段 与函数 的图像有5个交点，且满足 ，
，若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图假设 ，线段 与函数 的图像有5个交点，则 ，
所以由分析可得 ，所以 ，
可得 ，
因为 所以 ，即 ，
所以 是 的对称轴，
所以 ，即 ，
，
所以 ，可令 得 ，
所以 ，当 时，令 ，则 ，
作 图象如图所示：
当 即 时 ，当 即 时， ，
由图知若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为 ，
故选：A
二、填空题
13．若函数 的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．
【答案】19
【解析】因为函数 的周期不大于1，所以 ，解得 ，
所以正整数k的最小值为19，故答案为：19
14．若奇函数 在其定义域 上是单调减函数，且对任意的 ，不等式
恒成立，则a取值范围是_______．
【答案】【解析】不等式 恒成立，即 恒成立又
是奇函数，
不等式 在 上恒成立
函数 在其定义域 上是减函数，
，即
，
当 时 有最小值 ．
因此 ， 故答案为：
15．已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点，且 恒成
立， 在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴ • ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ ） ，即 ，∴ω≤16．
∴要求 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 15+φ＝kπ，φ ，函数为y＝f（x）＝sin（15x ），
在区间 上，15x ∈[ ， ），此时f（x）在 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.16．若函数 的图象在 上与直线 只有两个公共点，则 的取值
范围是___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，由已知得 在 上有两个解，
可知 在 上有两个解，
由题意得 ，解得
当 时， ，不等式组无解.
当 时， ，得 .
当 时， ，得 .
当 时， ，不等式组无解.
综上， 的取值范围是 .故答案为：
三、解答题
17．求下列函数的定义域.（1） ；
（2） .
【解析】（1）要使函数有意义，必须使 .
由正弦的定义知， 就是角 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角 的终边应在 轴或其上方区域，
∴ .
∴函数 的定义域为 .
（2）要使函数有意义，必须使 有意义，且 .
∴ ∴ .
∴函数 的定义域为 .
18．求函数 的最小正周期，并证明.
【解析】由正切函数的性质，可得函数 的最小值正周期为 .
证明如下：由函数 ，根据三角函数的诱导公式可得 ，
即 ，所以函数 的周期为 .
19．当 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 的图象进行比较，你能发现
图象变换的什么规律？
（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】（1）该图象与 的图象关于 轴对称，故将 的图象作关于 轴对称的图象即可得到 的图象.
（2） 将 的图象在 轴上方部分保持不变，下半部分
作关于 轴对称的图形，即可得到 的图象.
（3） 将 的图象在 轴右边部分保持不变，并将其作关于 轴对称
的图形，即可得到 的图象.20．不求值，指出下列各式大于零还是小于零.
（1） ；
（2） .
【解析】（1）因为 ，
又因为 在 上为单调递增函数，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，
，
因为 ，由 在 上为单调递增函数，所以 ，
所以 ，即 .
21．已知函数 ，试根据下列要求研究函数 的性质.
（1）求证：函数 是偶函数；
（2）求证： 是函数 的一个周期；
（3）写出函数 的单调区间（不必证明），并求函数 的最值.
【解析】（1）函数 定义域 ，任取 ，
，所以，函数 是偶函数；
（2）任取 ，
所以 是周期函数， 是它的一个周期；（3）由函数周期性，可先研究 在 上的单调性和最值.
当 时， ，
所以函数 的单调递增区间是 （ ），
单调递减区间是 （ ）.
函数 的最大值为 ，最小值为1．
22．设函数 ， ，
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
（2）当 时， 的最小值为0，求实数m的值.
【解析】（1）
最小正周期 由
∴ ∴ 的增区间为
故答案为：
（2）当 ，
当 或 即 或 时， 取最小值为由 ∴ 故答案为：
