第15讲函数与方程（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 15 讲 函数与方程 【基础知识网络图】 函数与方程 函数 的零 二分 函数与 点 法 方程的 关系 【基础知识全通关】 知识点01．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种 不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数 在零点x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点． 0 ②若函数 在零点x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零 0 点． ③若函数 在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则 是 在区 间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 知识点02．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线 与 的交点的横坐标，实际上就是求函数 的零点，即求 的根． 如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 知识点03．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且 ． （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对 于求方程 的根，可以构造函数 ），函数 的零点即为 方程 的根． 知识点04．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则 函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝ 0的根. 特别提醒两个易错点： (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变 号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的 充分不必要条件. 【考点研习一点通】 考点01：求函数的零点 x ,x�1 f(x) 1、函数 (x2)2,x1 ，如果方程 f(x)b 有四个不同的实数解 x 、 x 、 x 、 1 2 3 x x x x x  4，则 1 2 3 4 ．【变式1-1】已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=x(x−4)，则方程 f (x)=f (2−x)的所有解的和为（ ） A．4+√3 B．1 C．3 D．5 考点02：判断函数零点所在区间 2、函数 的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 考点03：判断函数零点的个数 f x f x 3、已知图象连续不断的函数 的定义域为R， 是周期为2的奇函数， y  f x 1,1 f x 在区间 上恰有5个零点，则 在区间 上的零点个数为（ ） A．5050 B．4045 C．4041 D．2022 [t] t [1.3]2 [2.6]2 【变式3-1】设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数 f(x) 2x1x 的零点个数为_______. 考点04：函数零点的应用 x2 3x2,xm f x 4、已知函数 x3,xm ，若 f x恰好有2个零点，则 m 的取值范围是 （ ） 2,3 2,3 A． B． 1,2 3, 1,2 3,   C． D． 5、已知函数 若方程 的实根之和为6，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6、已知 ，若函数 有两个零点 ， 有两个零点 ，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下 列命题： ①当 时， ； ②函数 有2个零点； ③ 的解集为 ； ④ ， ，都有 . 其中正确的命题是（ ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【变式5-1】已知函数 ，若方程 有四个不同的根 ， ， ， ，则 的取值范围是______. 【考点易错】 易错01确定函数零点的个数1.二次函数 中， ，则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 【变式1-1】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] 【变式1-2】定义在 上的奇函数 ，当 时， ， 则关于 的函数 的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 易错02用二分法求函数的零点的近似值 2、求函数 的一个正数零点(精确到0.1). 【变式2-1】用二分法求函数 的一个正零点（精确到 ） 易错03函数与方程综合应用 3、定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰 有5个不同的实数解． (1)求x<0时，函数f(x)的解析式； (2)求实数a的取值范围．【变式3-1】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出 该零点． 【巩固提升】 1．（2022·浙江高一期末）方程 （其中 ）的根所在的区间为 （ ） A． B． C． D． 2．（2022·江西高三其他模拟（理））已知函数 ，若函数 ，仅有1个零点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 3.（2022·山东烟台市·高三二模）已知函数 是定义在区间 上的偶函 数，且当 时， ，则方程 根 的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．【多选题】（2022·辽宁高三月考）已知定义域为 的函数 满足 是奇函 数， 为偶函数，当 ， ，则（ ） A． 是偶函数 B． 的图象关于 对称 C． 在 上有3个实数根 D． 5．（2022·河南高三月考（文））已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数 有两个不同的零点，若 有四个不同的根 ，且 成等差数列，则 不可能是（ ） A．0 B．1 C．2 D．37．（2022·辽宁高三月考）已知 的定义域为 ，且满足 ，若 ，则 在 内的零点个数 为（ ） A． B． C． D． 8．（2022·江西抚州市·高三其他模拟（文））若函数f(x)满足 ，当 时， ．若在区间 内 有两个零点则实数m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2020·全国高三专题练习）设函数y＝x3与y＝ x－2的图象的交点为(x，y)，若 0 0 x∈(n，n＋1)，n∈N，则x 所在的区间是________． 0 0 10.（2022·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号" "表示一种运算，即 ，若 ，函数 的图象关于直线 对称，则 ___________. 11．（2022·上海格致中学高三三模）已知函数 的定义域是 ，满足且 ，若存在实数k，使函数 在区间 上恰好有2022个零点，则实数a的取值范围为____ f(x),g(x) R f(x) 12.（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为 4， g(x) 的周期为2，且 f(x)是奇函数.当 x(0,2] 时， f(x) 1(x1)2 ， k(x2),0 x1  g(x) 1  ,1 x2 ，其中 .若在区间 上，关于 的方程 有   2 k 0 (0，9] x f(x) g(x) k 8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.