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第 15 讲 函数与方程
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的
图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程
f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成
立．
2、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
交点
零点个数
3、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
【2018年新课标1卷理科】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a
的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
2、函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数 ， ，若存在实数 使
在 上有2个零点，则 的取值范围为________．
考向一 判断零点所在的区间
例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
（2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
变式1、设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
变式2、若a
