文档文本内容
第 15 讲 函数与方程
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的
图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程
f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成
立．
2、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
交点
零点个数
3、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
【2018年新课标1卷理科】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a
的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
2、函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数 ， ，若存在实数 使
在 上有2个零点，则 的取值范围为________．
考向一 判断零点所在的区间
例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
（2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
变式1、设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
变式2、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进
行分析判断.
考向二 判断零点的个数
例2 (1) 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg (x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；(2) 试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数．
变式1、变式2、函数f(x)＝2x|log x|－1的零点个数为( )
2
A．0 B．1 C．2 D．4
变式2、（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当
时， ，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象
与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考向三 与零点有关的参数的范围
例3、(1) 设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有4个不同的零点，求实数m的取值
范围；
(2) 已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，求实数b的取值范
围．变式1、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是
________．
（2）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]
上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
变式2、（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
有且只有三个不同的实数解，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化
为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象
1、函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2、（多选题）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(
)
A.函数f(x)的周期T＝2
B.f(2 021)＝f(2 022)＝0
C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在[－2，2]上有4个零点3、（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时，
，已知 ，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
4、（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足 ，已知当 时，
，若 恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5、（2022·广东广州·二模）函数 的所有零点之和为__________．
