第15讲函数与方程（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 15 讲 函数与方程
【基础知识网络图】
函数与方程
函数
的零
二分
函数与
点
法
方程的
关系
【基础知识全通关】
知识点01．函数零点的理解
（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种
不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数．
（2）变号零点与不变号零点
①若函数 在零点x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点．
0
②若函数 在零点x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零
0
点．
③若函数 在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则 是 在区
间（a，b）内有零点的充分不必要条件．
如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
知识点02．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线 与 的交点的横坐标，实际上就是求函数
的零点，即求 的根．
如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
知识点03．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且
．
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对
于求方程 的根，可以构造函数 ），函数 的零点即为
方程 的根．
知识点04．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则
函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝
0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变
号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的
充分不必要条件.
【考点研习一点通】
考点01：求函数的零点
x ,x�1
f(x)
1、函数 (x2)2,x1 ，如果方程 f(x)b 有四个不同的实数解 x 、 x 、 x 、
1 2 3
x x x x x 
4，则 1 2 3 4 ．【答案】4
【解析】
x ,x�1
f(x)
作出函数 (x2)2,x1 的图象，
f(x)b
方程 有四个不同的实数解，
y  f(x) y b
等价为 和 的图象有4个交点，
x x x x
不妨设它们交点的横坐标为 1、 2、 3、 4，
x <x <x <x
且 1 2 3 4，
x x x x (2,0)
由 1、 2关于原点对称， 3、 4关于 对称，
x x 0 x x 4
可得 1 2 ， 3 4 ，
x x x x 4
则 1 2 3 4 ．
故答案为：4．
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零
点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔
方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,
【变式1-1】已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=x(x−4)，则方程
f (x)=f (2−x)的所有解的和为（ ）A．4+√3 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x−4）
∴当x＜0时，−x＞0
则f（−x）=−x（−x−4）=−f（x）
即f（x）=−x（x+4），x＜0
则f(x)=¿
作出f（x）的图象如图：
∵y=f（2−x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称
∴作出y=f（2−x）的图象，由图象知y=f（2−x）与y=f（x）的图象有三个交
点
即f（x）=f（2−x）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于x=1对称
即a+b=2
则所有解的和为a+b+1=2+1=3
故选：C．
【点拨】
根据函数奇偶性，求出函数f（x）的解析式，结合y=f（2−x）的图象与
y=f（x）的图象关于x=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程
f (x)=f (2−x)的所有解的和．
考点02：判断函数零点所在区间
2、函数 的零点一定位于区间（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据零点存在性定理，若在区间 有零点，则 ，逐一检验选项，即可
得答案.
【详解】
由题意得 为连续函数，且在 单调递增，
， ，
，
根据零点存在性定理， ，
所以零点一定位于区间 .
故选：C
【规律方法】
判断函数零点所在区间有三种方法：
①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交
点所在区间.
特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性
定理，要综合函数性质进行分析判断．
【特别提醒】
二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计
算时及时检验．
【变式2-1】函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据零点存在性定理，由 为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】
由 为增函数， 为增函数，
故 为增函数，
由 ，
，
根据零点存在性定理可得 使得 ，
故选：B.
考点03：判断函数零点的个数
f x f x
3、已知图象连续不断的函数 的定义域为R， 是周期为2的奇函数，
y  f x 1,1 f x
在区间 上恰有5个零点，则 在区间 上的零点个数为（
）
A．5050 B．4045 C．4041 D．2022
【答案】B
【解析】
f x f 00
由函数 的定义域为R上的奇函数，可得 ，
y  f x 1,1
又由 在区间 上恰有5个零点，
f x [1,0) (0,1]
可得函数 在区间 和 内各有2个零点，
f x (1,2] f(2)0
因为 是周期为2，所以区间 内有两个零点，且 ，
f x (0,2]
即函数 在区间 内有4个零点，
f x
所以 在区间 上的零点个数为 个零点.
故选：B.【规律方法】
判断函数零点个数的方法：
1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；
2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，
且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个
零点
3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个
数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝
g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.
4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查
的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
[t] t [1.3]2 [2.6]2
【变式3-1】设 表示不超过实数 的最大整数(如 ， )，则函数
f(x) 2x1x
的零点个数为_______.
【答案】2
【解析】
f(x) 2x1x 2x1 x
函数 的零点即方程 的根，
f x 2x1 x
函数 的零点个数，即方程 的根的个数.
2x1 0,x0,x0

.
1
当 时， x0,2x1 0,x .
0 x1 2
x1 x1,2x1 1,2x11 2x11,x1 x0
当 时， 或 或 （舍）.
x1 2x1 2x1xx  2x1 x
当 时， ， 方程 无解.
1
综上，方程 2x1 x的根为 ，1.
2
2x1 x f(x) 2x1x
所以方程 有2个根，即函数 有2个零点.
故答案为：2.考点04：函数零点的应用
x2 3x2,xm
f x
4、已知函数 x3,xm ，若 f x恰好有2个零点，则 m 的取值范围是
（ ）
2,3 2,3
A． B．
1,2 3, 1,2 3,
 
C． D．
【答案】C
【解析】
y  x2 3x2,y x3 x2 3x20 x 1,x 2
令 1 2 ，因为方程 的两根为 1 2 ，
y  x2 3x2,y x3
所以在同一直角坐标系下作出函数 1 2 的图象如图所示：
f x
由图可知，当1m2时，函数 恰有两个零点，图象如图所示：f x
m3
当 时，函数 恰
有两个零点，图象如图所示：
1,2 3,
m 
综上可知，所求实数 的取值范围为 .
故选：C
5、已知函数 若方程 的实根之和为6，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作出 图象，求方程 的实根之和为6，即求 与 图象交点横
坐标之和为6，分别讨论a=1、 、a=2、 、 和a=4时 图象
与 图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.
【详解】
作出 图象，如图所示求方程 的实根之和为6，即求 与 图象交点横坐标之和为6，
当a=1时， 图象与 图象只有一个交点（3,1），不满足题意；
当 时， 图象与 图象有2个交点，且从左至右设为 ，
由图象可得 关于x=3对称，所以 ，即 ，满足题意；
当a=2时， 图象与 图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，
设 与 图象另外两个交点为 ，由图象可得 关于x=3对称，
所以 ，即 ，满足题意；
当 时， 图象与 图象有4个交点，从左至右设为 ， ，由
图象可得 关于x=0对称，所以 ，
关于x=3对称，所以 ，即 ，满足题意；
当 时， 图象与 图象有3个交点，由图象可得不满足题意；
当a=4时， 图象与 图象有2个交点，由图象可得不满足题意；
综上： 的取值范围为 .
故选：A6、已知 ，若函数 有两个零点 ， 有两个零点
，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C
错误，利用作差法得到选出D错误.
【详解】
因为函数 有两个零点 ，
所以 ，所以 ，
令 =0，所 有两个零点 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以选项A正确；因为 ，
所以 因为 ，
所以 ，所以选项B正确；
因为 ，所以选项C错误；
，
所以 ，所以选项D错误.
故选：AB
【规律方法】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解．
【变式4-1】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下
列命题：
①当 时， ；
②函数 有2个零点；
③ 的解集为 ；
④ ， ，都有 .
其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A【解析】
对于①，利用奇偶性求 时的解析式即可判断；对于②，直接求出零点即可判断；对
于③，直接解不等式，得到解集即可判断；对于④，用导数判断单调性，结合图象求出
的值域即可判断.
【详解】
解：函数 定义在 上的奇函数，当 时， ，下面逐一判断：
对于①，当 时，则 ，所以 ，
整理得 ，故①正确；
对于②，当 时，由 可得 ，即 ，故
，又函数 在 处有定义，故 ，故函数 有3个
零点，故②错误；
对于③，当 时，则 的解集为 ；当 时，
的解集为 ；当 时， 成立.
故 的解集为 ，故③错误；
对于④，当 时， ，
所以 时，有 ， 时，有 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 取得最小值 ，且 时， ，时，所以 ，即 ，
可作大致图象如下，再根据对称性作 时的大致图象，
综上 时， 值域为 ，当 时， 值域为 ，而
所以 的值域为 .
故 ， ，都有 ，即
，故 ，即④正确.
故选：A.
【变式5-1】已知函数 ，若方程 有四个不同的根 ，
， ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
设 < < < ，由 ， ，则问题转化为，根据 ，求得范围即可.
【详解】
设 < < < ，则 ，
由图知 ， ，
当 时， 或4，则
故 ，易知其在 单减，
故
故答案为：
【总结提升】
函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查
各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是
函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结
合转化为两函数图象的交点进行解决．【考点易错】
易错01确定函数零点的个数
1.二次函数 中， ，则函数的零点的个数是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
【解析】解法1：
∴方程 有两个不相等的实数根
∴函数 有两个零点，选B.
解法2：
，
不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.
点评：可以利用函数图象或方程的判别式.
【变式1-1】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(
)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】：A
【解析】：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，
有交点，故选A.
【变式1-2】定义在 上的奇函数 ，当 时， ，
则关于 的函数 的所有零点之和为（ ）A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】当 时， ，当 时， ， 为奇函数
时， 画出 和
的图像如图所示：
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为 ， ， ， ， ，则
， ，而 即
即
所以 ，故选D.
易错02用二分法求函数的零点的近似值
2、求函数 的一个正数零点(精确到0.1).
【解析】解：由于 ，可取区间 作为计算的初始区间，用
二分法逐步计算，列表如下：
区间 中 中点函
点 数值
[1，2] 1.5 -2.625
[1.5，2] 1.7 0.2344
5[1.5， 1.6 -1.302
1.75] 25 7
[1.625， 1.6 -0.561
1.75] 875 8
[1.6875， 1.7 -0.170
1.75] 1875 9
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将
1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
点评：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，
便于利用二分法求其近似值.
【变式2-1】用二分法求函数 的一个正零点（精确到 ）
【解析】
解：⑴由 ， 可知函数的一个正零点在
区间中；
⑵取 的区间中点 ；
⑶计算 ；
⑷由于 ，则有零点的新区间为
⑸取 的区间中点 ；
⑹计算 ；
⑺由于 ，则有零点的新区间为 ；
⑻取 的区间中点 ；
⑼计算 ；
⑽由于 ，则有零点的新区间为 ；
⑾取 的区间中点 ；⑿计算 ；
⒀由于 ，则有零点的新区间为 ；
⒁取 的区间中点
⒂计算 ；
⒃由于 ，则有零点的新区间为 ；
⒄取 的区间中点 ；
⒅计算 ；
⒆由于 ，
⒇ 由 于 ， 则 有 零 点 的 新 区 间 为
；又因为零点要求精确到 ，而区间两端点近似值相同都
是2.24，所以函数 的一个正零点为：2.24.
易错03函数与方程综合应用
3、定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰
有5个不同的实数解．
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)求实数a的取值范围．
【解析】：(1)设x<0，则－x>0，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负
根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像
与x轴恰有两个不同的交点．
下面就x>0时的情况讨论．
∵f′(x)＝－a，∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．
a>0时，令f′(x)＝0，x＝.
当0<x<时，f′(x)>0，f(x)递增，
当x>时，f′(x)<0，f(x)递减，
∴f(x)在x＝处取得极大值－lna－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．
∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，
得：a∈.
【变式3-1】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出
该零点．
【解析】：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
【巩固提升】
1．（2022·浙江高一期末）方程 （其中 ）的根所在的区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．
【详解】
函数 在 上为增函数，
由 ， （1） ， （1）
结合函数零点存在定理可得方程的解在 ， 内．
故选： ．
2．（2022·江西高三其他模拟（理））已知函数 ，若函数
，仅有1个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，故 ，然后作出函数图像，求出函
数在 处的切线的斜率可得答案
【详解】
令 ，故 ，作出函数 的大致图像如
图所示，观察可知，临界状态为直线 与曲线 在 处的切线，
当 时， ，则 ，所以切线的斜率为 ，
所以 ，
故选：A.3.（2022·山东烟台市·高三二模）已知函数 是定义在区间 上的偶函
数，且当 时， ，则方程 根
的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
将问题转化为 与 的交点个数，由解析式画出在 上的图象，再结合
偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】
要求方程 根的个数，即为求 与 的交点个数，
由题设知，在 上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由 在 上是偶函数，
∴在 上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.4．【多选题】（2022·辽宁高三月考）已知定义域为 的函数 满足 是奇函
数， 为偶函数，当 ， ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于 对称
C． 在 上有3个实数根 D．
【答案】BC
【解析】
由 为偶函数，得到 的图象关于 对称，可判定B正确；由 是
奇函数，得到函数 关于点 对称，得到 和
，根据题意，求得 ，可判定D不正确；由
，可判定A不正确；由 ，可判定C正确.
【详解】
根据题意，可得函数 的定义域为 ，
由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称，
即 ，所以B正确；
由函数 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称，
即 ，可得 ，
则 ，即函数 是以8为周期的周期函数，
当 时， ，可得 ，
即 ，所以D不正确；由函数 是以8为周期的周期函数，可得 ，
因为 ，令 ，可得 ，
所以 ，所以函数 一定不是偶函数，所以A不正确；
当 时， ，所以 ，
由 ，可得 ，又由 ，所以C正确.
故选：BC.
5．（2022·河南高三月考（文））已知函数 ，若关于 的方程
有四个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
画出函数图象，题目等价于 与 有四个不同的交点，数形结合可得
且直线 与曲线 ， ，有两个不同的公共点，满
足 在 内有两个不等实根即可.
【详解】
画出 的函数图象，
设 ，该直线恒过点 ，结合函数图象，可知若方程 有四个不同的实数根，
则 且直线 与曲线 ， ，有两个不同的公共点，
所以 在 内有两个不等实根，
令 ，实数 满足 ，
解得 ，又 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
6．（2022·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数
有两个不同的零点，若 有四个不同的根
，且 成等差数列，则 不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得， 的表达式，根据 有四个不同的根 ，可得以
对应的根为 ， 对应的根为 ，根据韦达定理，可
得 ， ， ， 表达式，根据题意，计算化简，可得m，n的关系，代
入 ，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，
所以 ， ，且 ，
又因为 有四个不同的根 ，
所以 对应的根为 ， 对应的根为 ，
所以 ， ，
所以 ，
同理 ，
因为 成等差数列，
所以 ，则
所以 ，解得 ，
因为m>n，所以 ，解得 ，
所以，
所以当 时， 有最大值 ，
所以 不可能为3.
故选：D
7．（2022·辽宁高三月考）已知 的定义域为 ，且满足
，若 ，则 在 内的零点个数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求出函数 在区间 值域及单调性，由此可得出结论.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，以此类推，当 时， ，
且函数 在区间 上为增函数，
，所以，函数 在区间 上有且只有一个
零点，且 ，
因此， 在 内的零点个数为 .
故选：B.
8．（2022·江西抚州市·高三其他模拟（文））若函数f(x)满足 ，当
时， ．若在区间 内 有两个零点则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】
由题设可得 ，由 内 有两个零点，可知 内
与 有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范
围即可.
【详解】由题意，若 ，则 ，则 ，
∴ 时， ，
∴ ，
在 内 有两个零点，即 内 与 有两
个交点，且 过定点 ，
∴ 时，显然图象只有一个交点，即 仅有一个零点，
时，在 右半支上，当 过 时 ，要使 上图象有
两个交点，则 ，
当 时，在 左半支上，当 与 相切时只有一个交点，此时，得 ，则 ，
∴ ，整理得 ，可得 ，
∴要使 上图象有两个交点，则 .
综上， .
故选：A
9．（2020·全国高三专题练习）设函数y＝x3与y＝ x－2的图象的交点为(x，y)，若
0 0
x∈(n，n＋1)，n∈N，则x 所在的区间是________．
0 0
【答案】(1,2)
【解析】
设f（x）=x3- ，则x 是函数f(x)的零点，根据图象，结合零点存在定理，可得x 的
0 0
所在区间.
【详解】
设f(x)＝x3－ ，则x 是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝
0
的图象如图所示．因为f(1)＝1－ ＝－1＜0，f(2)＝8－ ＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，
所以x∈(1,2)．
0
10．（2022·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号" "表示一种运算，即
，若 ，函数 的图象关于直线
对称，则 ___________.
【答案】1
【解析】
根据新运算的定义，得到函数解析式为 ，再根据函数图象
关于直线 对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由题意可得： ， ，
则函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ，因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，
所以 ，解得
故答案为：1.
11．（2022·上海格致中学高三三模）已知函数 的定义域是 ，满足
且 ，若存在实数k，使函数
在区间 上恰好有2022个零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【解析】
方程 在 上恰有2022个零点，等价于存在 ，使
在 上恰有2022个交点，作出函数 的图像，数形结合，再根据函数周期性
的应用，使每个交点都处在 之间才能取到2022个点，代入条件求得参数取值范围.
【详解】
由函数在 上的解析式作出如图所示图像，由 知，函数 是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个
函数，
若使 时，存在 ，方程 在 上恰有2022个零
点，等价于 在 上恰有2022个交点，如图所示，知在每个周期都有4
个交点，即 时满足条件，且必须每个周期内均应使 处在极大值和极小值之
间，才能保证恰有2022个交点，
则当 时，需使最后一个完整周期 中的极小值 ，
即 ，解得 ，即
当 时，需使最后一个极大值 ，
即 ，解得 ，即 ，
综上所述，
故答案为：
f(x),g(x) R f(x)
12.（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x)是奇函数.当 x(0,2] 时， f(x) 1(x1)2 ，
k(x2),0 x1

g(x) 1
 ,1 x2 ，其中 .若在区间 上，关于 的方程 有

 2 k 0 (0，9] x f(x) g(x)
k
8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
1 2 
 , 
【答案】 .
3 4
 
【解析】
当x0,2 时， f(x) 1x12 ,即 x12  y2 1,y0.
f(x) 4 f(x) g(x)
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，
f(x) g(x)
0,9
8 8
要使 在 上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
1
g(x)
当 2时，函数 f(x)与 g(x) 的图象有2个交点；
g(x)k(x2) g(x)
2,0
f(x) g(x)
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 6 个交点.当 f(x) 与 g(x) 图象相切时，圆心
1,0
到直线 kx y2k 0 的距离为1，
k2k
2
1
k 
即
1k2
，得
4
，函数
f(x)
与g(x)的图象有
3
个交点；当g(x)k(x2)过
1
k 
点 （1,1） 时，函数 f(x)与 g(x) 的图象有6个交点，此时13k，得 3.
1 2 
 ， 
综上可知，满足
f(x) g(x)
在0,9上有
8
个实根的
k
的取值范围为
 3 4


.