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第 15 讲 函数与方程
【基础知识网络图】
函数与方程
函数
的零
二分
函数与
点
法
方程的
关系
【基础知识全通关】
知识点01．函数零点的理解
（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种
不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数．
（2）变号零点与不变号零点
①若函数 在零点x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点．
0
②若函数 在零点x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零
0
点．
③若函数 在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则 是 在区
间（a，b）内有零点的充分不必要条件．
如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
知识点02．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线 与 的交点的横坐标，实际上就是求函数
的零点，即求 的根．
如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
知识点03．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且
．
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对
于求方程 的根，可以构造函数 ），函数 的零点即为
方程 的根．
知识点04．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则
函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝
0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变
号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的
充分不必要条件.
【考点研习一点通】
考点01：求函数的零点
x ,x�1
f(x)
1、函数 (x2)2,x1 ，如果方程 f(x)b 有四个不同的实数解 x 、 x 、 x 、
1 2 3
x x x x x
4，则 1 2 3 4 ．【答案】4
【解析】
x ,x�1
f(x)
作出函数 (x2)2,x1 的图象，
f(x)b
方程 有四个不同的实数解，
y f(x) y b
等价为 和 的图象有4个交点，
x x x x
不妨设它们交点的横坐标为 1、 2、 3、 4，
x 0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰
有5个不同的实数解．
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)求实数a的取值范围．
【解析】：(1)设x<0，则－x>0，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负
根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像
与x轴恰有两个不同的交点．
下面就x>0时的情况讨论．
∵f′(x)＝－a，∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．
a>0时，令f′(x)＝0，x＝.
当00，f(x)递增，
当x>时，f′(x)<0，f(x)递减，
∴f(x)在x＝处取得极大值－lna－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．
∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，
得：a∈.
【变式3-1】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出
该零点．
【解析】：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
【巩固提升】
1．（2022·浙江高一期末）方程 （其中 ）的根所在的区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．
【详解】
函数 在 上为增函数，
由 ， （1） ， （1）
结合函数零点存在定理可得方程的解在 ， 内．
故选： ．
2．（2022·江西高三其他模拟（理））已知函数 ，若函数
，仅有1个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，故 ，然后作出函数图像，求出函
数在 处的切线的斜率可得答案
【详解】
令 ，故 ，作出函数 的大致图像如
图所示，观察可知，临界状态为直线 与曲线 在 处的切线，
当 时， ，则 ，所以切线的斜率为 ，
所以 ，
故选：A.3.（2022·山东烟台市·高三二模）已知函数 是定义在区间 上的偶函
数，且当 时， ，则方程 根
的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
将问题转化为 与 的交点个数，由解析式画出在 上的图象，再结合
偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】
要求方程 根的个数，即为求 与 的交点个数，
由题设知，在 上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由 在 上是偶函数，
∴在 上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.4．【多选题】（2022·辽宁高三月考）已知定义域为 的函数 满足 是奇函
数， 为偶函数，当 ， ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于 对称
C． 在 上有3个实数根 D．
【答案】BC
【解析】
由 为偶函数，得到 的图象关于 对称，可判定B正确；由 是
奇函数，得到函数 关于点 对称，得到 和
，根据题意，求得 ，可判定D不正确；由
，可判定A不正确；由 ，可判定C正确.
【详解】
根据题意，可得函数 的定义域为 ，
由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称，
即 ，所以B正确；
由函数 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称，
即 ，可得 ，
则 ，即函数 是以8为周期的周期函数，
当 时， ，可得 ，
即 ，所以D不正确；由函数 是以8为周期的周期函数，可得 ，
因为 ，令 ，可得 ，
所以 ，所以函数 一定不是偶函数，所以A不正确；
当 时， ，所以 ，
由 ，可得 ，又由 ，所以C正确.
故选：BC.
5．（2022·河南高三月考（文））已知函数 ，若关于 的方程
有四个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
画出函数图象，题目等价于 与 有四个不同的交点，数形结合可得
且直线 与曲线 ， ，有两个不同的公共点，满
足 在 内有两个不等实根即可.
【详解】
画出 的函数图象，
设 ，该直线恒过点 ，结合函数图象，可知若方程 有四个不同的实数根，
则 且直线 与曲线 ， ，有两个不同的公共点，
所以 在 内有两个不等实根，
令 ，实数 满足 ，
解得 ，又 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
6．（2022·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数
有两个不同的零点，若 有四个不同的根
，且 成等差数列，则 不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得， 的表达式，根据 有四个不同的根 ，可得以
对应的根为 ， 对应的根为 ，根据韦达定理，可
得 ， ， ， 表达式，根据题意，计算化简，可得m，n的关系，代
入 ，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，
所以 ， ，且 ，
又因为 有四个不同的根 ，
所以 对应的根为 ， 对应的根为 ，
所以 ， ，
所以 ，
同理 ，
因为 成等差数列，
所以 ，则
所以 ，解得 ，
因为m>n，所以 ，解得 ，
所以，
所以当 时， 有最大值 ，
所以 不可能为3.
故选：D
7．（2022·辽宁高三月考）已知 的定义域为 ，且满足
，若 ，则 在 内的零点个数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求出函数 在区间 值域及单调性，由此可得出结论.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，以此类推，当 时， ，
且函数 在区间 上为增函数，
，所以，函数 在区间 上有且只有一个
零点，且 ，
因此， 在 内的零点个数为 .
故选：B.
8．（2022·江西抚州市·高三其他模拟（文））若函数f(x)满足 ，当
时， ．若在区间 内 有两个零点则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】
由题设可得 ，由 内 有两个零点，可知 内
与 有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范
围即可.
【详解】由题意，若 ，则 ，则 ，
∴ 时， ，
∴ ，
在 内 有两个零点，即 内 与 有两
个交点，且 过定点 ，
∴ 时，显然图象只有一个交点，即 仅有一个零点，
时，在 右半支上，当 过 时 ，要使 上图象有
两个交点，则 ，
当 时，在 左半支上，当 与 相切时只有一个交点，此时，得 ，则 ，
∴ ，整理得 ，可得 ，
∴要使 上图象有两个交点，则 .
综上， .
故选：A
9．（2020·全国高三专题练习）设函数y＝x3与y＝ x－2的图象的交点为(x，y)，若
0 0
x∈(n，n＋1)，n∈N，则x 所在的区间是________．
0 0
【答案】(1,2)
【解析】
设f（x）=x3- ，则x 是函数f(x)的零点，根据图象，结合零点存在定理，可得x 的
0 0
所在区间.
【详解】
设f(x)＝x3－ ，则x 是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝
0
的图象如图所示．因为f(1)＝1－ ＝－1＜0，f(2)＝8－ ＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，
所以x∈(1,2)．
0
10．（2022·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号" "表示一种运算，即
，若 ，函数 的图象关于直线
对称，则 ___________.
【答案】1
【解析】
根据新运算的定义，得到函数解析式为 ，再根据函数图象
关于直线 对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
由题意可得： ， ，
则函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ，因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，
所以 ，解得
故答案为：1.
11．（2022·上海格致中学高三三模）已知函数 的定义域是 ，满足
且 ，若存在实数k，使函数
在区间 上恰好有2022个零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【解析】
方程 在 上恰有2022个零点，等价于存在 ，使
在 上恰有2022个交点，作出函数 的图像，数形结合，再根据函数周期性
的应用，使每个交点都处在 之间才能取到2022个点，代入条件求得参数取值范围.
【详解】
由函数在 上的解析式作出如图所示图像，由 知，函数 是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个
函数，
若使 时，存在 ，方程 在 上恰有2022个零
点，等价于 在 上恰有2022个交点，如图所示，知在每个周期都有4
个交点，即 时满足条件，且必须每个周期内均应使 处在极大值和极小值之
间，才能保证恰有2022个交点，
则当 时，需使最后一个完整周期 中的极小值 ，
即 ，解得 ，即
当 时，需使最后一个极大值 ，
即 ，解得 ，即 ，
综上所述，
故答案为：
f(x),g(x) R f(x)
12.（2019·江苏高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x)是奇函数.当 x(0,2] 时， f(x) 1(x1)2 ，
k(x2),0 x1
g(x) 1
,1 x2 ，其中 .若在区间 上，关于 的方程 有
2 k 0 (0，9] x f(x) g(x)
k
8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
1 2
,
【答案】 .
3 4
【解析】
当x0,2 时， f(x) 1x12 ,即 x12 y2 1,y0.
f(x) 4 f(x) g(x)
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，
f(x) g(x)
0,9
8 8
要使 在 上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
1
g(x)
当 2时，函数 f(x)与 g(x) 的图象有2个交点；
g(x)k(x2) g(x)
2,0
f(x) g(x)
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 6 个交点.当 f(x) 与 g(x) 图象相切时，圆心
1,0
到直线 kx y2k 0 的距离为1，
k2k
2
1
k
即
1k2
，得
4
，函数
f(x)
与g(x)的图象有
3
个交点；当g(x)k(x2)过
1
k
点 （1,1） 时，函数 f(x)与 g(x) 的图象有6个交点，此时13k，得 3.
1 2
，
综上可知，满足
f(x) g(x)
在0,9上有
8
个实根的
k
的取值范围为
3 4
.
