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第 15 讲 函数与方程
1、函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的
图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程
f(x)＝0有实根．
(3)零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成
立．
2、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图像
交点 (x，0),_(x ，0) (x，0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
3、有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
【2018年新课标1卷理科】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a
的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两
个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像
（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足与曲线 有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
【答案】D
【解析】
当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log x＝0，
2
解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
2、函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
【答案】 B
【解析】
函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续.因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
所以f(2)·f(3)＜0，
所以函数的零点所在的区间是(2，3).
3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪
【答案】 D
【解析】
当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－
1或a＞．
4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数 ， ，若存在实数 使
在 上有2个零点，则 的取值范围为________．
【答案】 ．
【解析】
已知实数 使 在 上有2个零点，等价于 与 的函数图象在
上有2个交点，
显然 与x轴的交点为 ， 的图象关于 对称，
当 时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即 ；当 时，若要有2个交点，须存在a使得 在 有两解，所以
，
因为 ，即 ，显然存在这样的a使上述不等式成立；
由数形结合知m须大于 在 处的切线 与x轴交点的横坐标 ，即
综上所述，m的范围为 ．
考向一 判断零点所在的区间
例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
【答案】AD
【解析】
f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，
f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
（2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
【答案】C
【解析】
因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.
变式1、设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】 D
【解析】
令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点.
变式2、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点
分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】 A
【解析】
函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)
＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进
行分析判断.
考向二 判断零点的个数
例2 (1) 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg (x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；
(2) 试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数．
【解析】 (1) 当x＝0时，f(0)＝lg 3≠0；当x>0时，令f(x)＝0，
得x2－3x＋3＝1，即x2－3x＋2＝0，
解得x＝1或x＝2.
因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
当x<0时，令f(x)＝0，得x＝－1或x＝－2，
故函数f(x)在R上的零点个数为4.
(2) 由题意，得f′(x)＝ex＋(x∈R).
因为ex＋>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增．
又f(0)＝－1，f(4)＝e4，
所以f(0)·f(4)<0.
由零点存在性定理，得连续函数f(x)在区间(0，4)上至少有一个零点．
又因为f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)的零点个数为1.
变式1、变式2、函数f(x)＝2x|log x|－1的零点个数为( )
2
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】 令f(x)＝0，得|log x|＝x，分别作出y＝|log x|与y＝x的图象(图略)，
2 2
由图可知，y＝|log x|与y＝x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．
2
变式2、（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当
时， ，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【解析】【分析】
函数 在定义域的零点个数可转化成 的根的个数，根据偶函数的图像关于 轴对称，只
需考虑 时 的根的个数，从而可得结论.
【详解】
当 时，当 时，令 ，解得 或2共有两个解；
当 时，令 ，即 ，当 时，方程无解；
当 时， ，符合题意，方程有1解；
当 时， ，不符合题意，方程无解；
所以当 时， 有2个或3个根，而函数 是定义在R上的偶函数，所以函数 在定
义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
方法总结：函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象
与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考向三 与零点有关的参数的范围
例3、(1) 设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有4个不同的零点，求实数m的取值
范围；
(2) 已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，求实数b的取值范
围．
【解析】 (1) 因为f(x)是偶函数，当x∈[0，3]时，f(x)∈；当x∈(3，＋∞)时，f(x)∈(0，1)，
所以结合图象可知当函数y＝f(x)－m有4个不同的零点时，m的取值范围是.
(2) 当x>0时，|ln x|≥0，|ln x|＋3≥3，
即f(x)≥3；
当x≤0时，f(x)＝－(x＋1)2－1≤－1，
所以f(x)的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，
所以结合函数f(x)的图象可知关于f(x)的方程 [f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0，一根在区间[－2，－1)内，一
根在区间(3，＋∞)内，
所以
解得－≤b<－，
所以实数b的取值范围是.
变式1、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．
（2）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]
上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【答案】（1） (－5，0)（2）
【解析】
（1）．当x∈(0，1)时，f′(x)＝6x2＋6x>0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的图象与x
轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m<0，且f(1)＝m
＋5>0，解得－5<m<0．
（2）．作出函数y＝f(x)与y＝a的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围．
作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得
0<a<．
变式2、（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
有且只有三个不同的实数解，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简函数解析式，分析可知关于 的方程 、 共有 个不同的实数解，利用代数法可知方
程 有两个根，分析可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】因为 ，
由 可得 ，
所以，关于 的方程 、 共有 个不同的实数解.
①先讨论方程 的解的个数.
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
所以，方程 只有两解 和 ；
②下面讨论方程 的解的个数.
当 时，由 可得 ，可得 或 ，
当 时，由 ，可得 ，此时方程 有无数个解，不合乎题意，
当 时，由 可得 ，
因为 ，由题意可得 或 或 ，
解得 或 .因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化
为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象
1、函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
， ，
， ，
，由 .
故选：C
2、（多选题）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(
)
A.函数f(x)的周期T＝2
B.f(2 021)＝f(2 022)＝0
C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在[－2，2]上有4个零点
【答案】 ABC
【解析】
定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确；
f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，
所以f(1)＝f(－1)＝0，
所以f(2 021)＝f(1)＝0，
f(2 022)＝f(0)＝0，所以B正确；
f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确；
f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误.
3、（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时，
，已知 ，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 的周期为2，
又因为 为奇函数， ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
当 时， ，
由 单调递减得函数 在 上单调递增，
所以 ，得 ，
作出函数图象如图所示，由图象可知当 过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 时，有4个零点.
所以当 时，函数 在 上有4个或5个零点.
故选：D
4、（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足 ，已知当 时，
，若 恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为 是定义在R上的奇函数，所以 .
所以当 时， .因为 ，则 关于 对称，
因为 关于 对称， 有6个不相同的根，
∴ 在 有三个不同的根，
表示过定点 的直线系，
.
作出 在 上的图象,如图所示，
时， ，又 ,
则 ；
时， ;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围 .
故选：D．
5、（2022·广东广州·二模）函数 的所有零点之和为__________．
【答案】9
【解析】由 ，令 ， ，
显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，
观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
故答案为：9
