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专题 26.1 反比例函数的综合
1 k
【典例1】如图，正比例函数y= x的图像与反比例函数y= (k≠0)的图像交于A(a,−2)、B两点．
2 x
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）点P为第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如
果△POC的面积为3，求点P的坐标．
（3）点E在y轴上，反比例函数图像上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，
如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
1 k
（1）将A(a,−2)代入y= x，可得点A坐标，将A(−4,−2)代入y= ，可得k的值，再根据点A、B关
2 x
于原点对称，得出点B的坐标；
( 8) ( 1 )
（2）设P m, ，则C m, m ，根据S =3，即可得出m的方程；
m 2 △POC
（3）分∠BFE=90°或∠FBE=90°，分别根据K型全等，表示出点F坐标，从而解决问题．
【解题过程】
1 1
（1）解：将A(a,−2)代入y= x，得−2= a，
2 2
解得：a=−4，
∴A(−4,−2)，
k k
将A(−4,−2)代入y= ，得−4= ，
x −2
解得：k=8，8
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
∵点B和点A关于原点对称，
∴B(4,2)．
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于C，
( 8) ( 1 )
设P m, ，则C m, m ，
m 2
∵S =3，
△POC
1 |1 8)
∴ m× m− =3，
2 2 m
1 (1 8)
当 m× m− =3时，
2 2 m
解得：m=2❑√7或−2❑√7（负值不符合题意，舍去）
1 (1 8)
当 m× m− =−3时，
2 2 m
解得：m=2或−2（负值不符合题意，舍去）
∴m=2❑√7或2，
∴点 的坐标为( 4❑√7)或 ．
P 2❑√7, (2,4)
7
（3）存在，当∠BFE=90°时，
当点E在y轴正半轴时，
过点F作FH⊥y轴，过点B作BG⊥HF于点G，∴∠EHF=∠G=90°，
∵△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，
∴∠BFG+∠HFE=90°，EF=BF，∠EFB=90°，
∵∠BFG+∠FBG=90°，
∴∠HFE=∠FBG，
在△FBG和△EFH中
{∠FBG=∠EFH
)
∠FGB=∠EHF ，
FB=EF
∴△FBG≌△EFH(AAS)，
∴FG=EH，BG=FH，
设FH=m，
∵B(4,2)
∴F(m,2+m)，
∴m(2+m)=8，
解得：m=2或m=−4（舍去），
∴F(2,4)；
当点E在y轴负半轴时，如图，
过点F作FH∥y轴，过点B作BG⊥FG于点G，过点E作EH⊥FG于点H，同样可得△FBG≌△EFH，
∴FG=EH，BG=FH，
设EH=n，
∵B(4,2)
∴F(−n,2−n)，
∴−n×(2−n)=8，
解得：n=4或n=−2（舍去），
∴F(−4,−2)；
当∠FBE=90°时，
当点F在第一象限时，
过点B作BH∥y轴，过点E作EG⊥BG于点G，过点F作EH⊥BG于点H，
同样可得△EBG≌△BFH，
∴EG=BH，BG=FH，
设 ( 8 )，
F m ,
1 m
1
∵B(4,2)
8
∴ =4+2，
m
1
4
解得：m = ，
1 3
(4 )
∴F ,6 ；
3
当点F在第三象限时，
过点B作BH∥y轴，过点E作EH⊥BH于点H，过点F作EG⊥BH于点G，同样可得△EBH≌△BFG，
∴EH=BG，HB=GF，
设 ( 8 )，
F m ,
2 m
2
∵B(4,2)
8
∴ =2−4，
m
2
解得：m =−4，
2
∴F(−4,−2)，
(4 )
综上所述，点F的坐标为(2,4)或(−4,−2)或 ,6 ．
3
1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为
(8,4)．
（1）求此菱形的边长；
k
（2）若反比例函数y= (x>0)的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．
x2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别是反函数
k
y = (k≠0)、一次函数y =2x+b的交点，已知A(1，4)．
1 x 2
（1）求出k的值，以及一次函数的表达式；
（2）在线段AB上取一点C，
①若使C点是线段AB的三等分点，求出C点的坐标；
②过C点作直线l平行x轴，交反比例函数y 于点D，连接OD、OC，记△OCD的面积为S ，求S
1 △OCD △OCD
最大值．k
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数y=x+2与反比例函数y= (k≠0)的图像相交于
x
A(a，4)，B两点，连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点M在第一象限内反比例函数图像上，点N在x轴上方且在一次函数y=x+2图像上，若以O，
B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．4．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴
12 k
上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=− (x>0)经过点A(a,−3)，反比例函数y= (k>0，x<0)
x x
经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
（1）求直线BC的表达式；
（2）连接OD，求△AOD的面积；
12
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=− (x>0)于点N．
x
在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．k
5．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y= (x<0)的
x
图象交于A(a,6)，B两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
（3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰
直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+12与x轴交于点
k
A，与y轴交于点C，分别过点A､C作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点B，函数y= (x<0)的图像与线段
x
BC交于点D,DE∥AC交AB于点E．
（1）求线段AB的长度；
k
（2）试判断点E是否在函数y= 的图像上，并说明理由；
x
k
（3）已知AE−CD=2，点F在x轴上，点P在函数y= (x<0)的图像上，当四边形PDFE为平行四边形
x
时，求点P的坐标．k
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y = (k>0)的图
1 x
像与正比例函数y =mx(m>0)的图像交于点A、点C，与正比例函数y =nx(n>0)的图像交于点B、点D
2 3
，设点A、D的横坐标分别为s，t(00)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0,−2)，点P是反比例函数y= (x>0)的图象上一
x x
动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y=x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0y 时，x的取值范围；
2 1
②连接CE和CF，求△ECF的面积；
k
（3）当点M在x轴上运动，点N在反比例函数y = 的图象上运动，以点A，D，M和N为顶点的四边形
2 x
是平行四边形，直接写出点M的坐标．10．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点
m
A(2,0),B(0,1)，交反比例函数y= (x>0)的图象于点C(3,n)，点E是反比例函数图象上的一动点，横
x
坐标为t(00)图象上．
x
（1）k=______；
（2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
（3）若点A绕点C顺时针旋转120°，所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长．12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，一次函数y=kx+b(k＞0)的图象与反比例函数
8
y= (x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CD⊥CB，点C关
x
于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−)PB)最大时，求点P的坐标．13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在
k
反比例函数y= (k≠0)的第一象限内的图像上，OA=6，OC=10，动点P在x轴的上方，且满足
x
1
S = S ．
△PAO 5 矩形OABC
（1）若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所
有点Q的坐标．16
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y= （x>0）图
x
像上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC．
（1）写出A点的坐标______；
( 16)
（2）如图2，点P m, 是第一象限内双曲线上一点，连接PC并延长交x轴于点G，过点B作
3
BD⊥PC交y轴正半轴于点D，求证：△BOD≌△COG．
（3）在（2）的条件下，连接BC，将直线BC沿x轴向右平移，交y轴正半轴于点D，交x轴正半轴于E
点（如图3），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H点，M是EH的中点．
①连接QM，OM，探究QM与OM的关系，并说明理由．
1
②动点R在x轴的上方，且满足S = S ，点N是平面内一点，若以Q、R、F、N为顶点的四边
△OFR 3 矩 形ODQF
形是菱形，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．15．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，将锐角∠MON的顶点与原点O
k
重合，角的一边OM与x轴正半轴重合，角的另一边ON交函数y= (k>0,x>0)的图象（记为曲线l）于
x
点A．在射线ON的右侧构造矩形ABCD，对角线AC和BD交于点E．满足AB∥x轴，AC=2AO，作射
线OB．
（1）若点 ，点 ，求k的值；
D(1,❑√2−1) E(2+❑√2,❑√2)
（2）求证：点D在直线OB上；
1
（3）如图2，当∠MON=45°时，射线OB交曲线l于点F，以点O为圆心， OB为半径画弧交x轴于点
2
H．求证：FH⊥x轴．k
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k为常数，
x
且k≠0，x<0）的图像经过点A(−6,m),B(−2,n)两点．
（1）m与n的数量关系是( )
A．m=3n B．n=3m C．m+n=8 D．m−n=4
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接OA、OB，则△AOB的面积为_____；
k
（3）若点M在反比例函数y= (x<0)的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、
x
M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．k
17．（2023·四川成都·统考一模）如图1，已知反比例函数y= (k≠0)的图象与一次函数y=x−1的图象
x
相交于A（2，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
（2）M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
求点M的坐标；
k
（3）如图2，反比例函数y= 的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为m(m>2)，点Q的横坐标与点P
x
的横坐标互为相反数，连接AP，AQ，BP，BQ．若△ABQ的面积是△ABP的面积的3倍，求m的值．18．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图1，已知点A(a,0)，B(0,b)，且a、
满足 处于平行四边形 的边 与 轴交于点 ，且 为 中点，双曲线
b ❑√2a+2+(a+b+3) 2=0 ABCD AD y E E AD
k
y= 经过C、D两点．
x
（1）a=_________，b=________；
（2）求D点的坐标；
k
（3）点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上（如图2），若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边
x
形，请直接写出点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，
MN
MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不
HT
改变，请求出其值，并给出你的证明．19．（2023·山东济南·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，点B(0,2)，直线AB与反比
k
例函数y= (k≠0)的图象在第一象限相交于点C(a,4)．
x
（1）求反比例函数的解析式；
k
（2）如图2，点D(4,0)，连接CD，点E是反比例函数y= (k≠0)图象第一象限内一点，且点E在点C
x
的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与△ACD的面积相等，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结MD，并在MD左侧作正方
形MDNF．当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．k
20．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线y=−x+b与双曲线y= 相交于A，B两点，点A坐标为
x
(−2,3)．点P是x轴负半轴上的一点．
（1）分别求出直线和双曲线的表达式；
（2）连接AP，BP，OA，OB，若S =4S ，求点P的坐标；
△APB △AOB
（3）我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，
平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐
标；若不存在，请说明理由．
