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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 讲 导数与函数的单调性（精讲）
①导数与原函数图像之间的联系
②不含参数的函数单调性
③含参数的函数单调性（最常见的四种）
（1）一次函数型
（2）二次函数型Ⅰ（可因式分解）
（3）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）
（4）指数函数型
④利用函数单调性比较大小
⑤利用函数单调性解不等式
⑥函数单调性中的参数值（范围）问题
一、必备知识整合
一、单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
，则 为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正
负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正
（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，当
时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数.
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则
（ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；单调递减； 单调递减 .
二、考点分类精讲
【题型一 导数与原函数图像之间的联系】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数 的导函数为 ，已知函数 的
图象如图所示，则 的图象不可能是（ ）
A． B．C． D．
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的是
（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点
C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则 的图象
可能是（ ）
A． B．C． D．
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 有最小值
B．函数 有最大值
C．函数 有且仅有三个零点
D．函数 有且仅有两个极值点
4．（2023·四川·一模）已知函数 的导函数为 ， 为奇函数且图象如图所示，则 的解析
式可以是（ ）
A． B．
C． D．5．（23-24高三上·陕西西安·期中）已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集
为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同一直角坐
标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二 不含参数的函数单调性】
求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间．
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间．
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）若函数 ，求 的单调区间.
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）求下面函数的单调区间．
(1)f(x)＝ －2x＋2＋ln (1＋2x)；
(2)g(x)＝ －1－ln x．
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，求 的单调区间.
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数 当 时，求 的单调区间；
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，若 ，求函数 的单调区间.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，求 的单调区间.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．求函数 的单调区间．
6．（2023高三·全国·专题练习）求函数 的单调区间.
【题型三 含参数的函数单调性】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断
点．
【典例1】（2023高二·全国·专题练习）已知函数 ，求函数 的单调区间．
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论函数 的单调
性.
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
3．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数 .讨论 的单调性；
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论 的单调性；
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．试讨论函数 的单调性．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；
8．（2024高三·全国·专题练习）对下面函数的单调性进行分类讨论
(1)已知函数 ，讨论 的单调性.
(2)已知函数 ，讨论函数 的单调性.(3)已知函数 ，讨论 的单调性.
(4)设函数 ， ，讨论函数 的单调性.
(5)已知函数 ， ，讨论函数 的单调性.
【题型四 利用函数单调性比较大小】
比较函数值的大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同
一个单调区间内，再进行比较.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·四川成都·期末）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的大小关系不确定
一、单选题
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，则 从大到小顺次为
（ ）．
A． B．C． D．
3．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知函数 ，记 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，记 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，则 ， ， 的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型五 利用函数单调性解不等式】
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的
单调性，从而解不等式.
【典例1】（单选题）（23-24高二上·福建福州·期末）已知 是函数 的导数，且，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·江西南昌·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ， ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，当 时，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·福建·期中）设 在 上存在导数 ，满足 ，且有
的解集为（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知定义在 上的可导函数 ，当 时，
恒成立，且对任意的实数 ，都有 ，若 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型六 函数单调性中的参数值（范围）问题】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不
等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解
集，即f ′(x) ＞0(或f ′(x) ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值
max min
范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问
题．
【典例1】（单选题）（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数 在定义域内单调
递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的
最小值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数 在 上为减函数，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递增区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知函数 存在减区间，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024高三下·全国·专题练习）函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
