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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 讲 导数与函数的单调性（精讲）
①导数与原函数图像之间的联系
②不含参数的函数单调性
③含参数的函数单调性（最常见的四种）
（1）一次函数型
（2）二次函数型Ⅰ（可因式分解）
（3）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）
（4）指数函数型
④利用函数单调性比较大小
⑤利用函数单调性解不等式
⑥函数单调性中的参数值（范围）问题
一、必备知识整合
一、单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
，则 为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正
负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正
（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，当
时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数.
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则
（ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；单调递减； 单调递减 .
二、考点分类精讲
【题型一 导数与原函数图像之间的联系】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数 的导函数为 ，已知函数 的
图象如图所示，则 的图象不可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】结合导函数的图象分析 的单调性，再结合偶函数的导函数为奇函数判断即可.
【详解】由导函数 的图象可知当 或 时 ，
当 或 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 的图象关于原点对称，即 为奇函数，
设 为偶函数，即 ，所以 ，所以 为奇函数，
即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数，
A、B、D三个图象均关于 轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意；
C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的是
（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 是函数 的极值点C． 是函数 的极小值点 D．函数 在区间 上单调递减
【答案】C
【分析】根据导函数的正负即可求解 的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 是函数 的极小值点， 无极大值.
故选：C
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则 的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的图象变化，判断函数 的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.
【详解】由 的图象可知 时， ，且 的值随x的增大逐渐减小，
此时 的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，当 时， ，且 的值随x的增大逐渐增大，
此时 的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合 的图象特征的为选项D中图象，
故选：D
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 有最小值
B．函数 有最大值
C．函数 有且仅有三个零点
D．函数 有且仅有两个极值点
【答案】A
【分析】根据 的图象判断出 的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可.
【详解】由函数图象可知 、 的变化情况如下表所示：
由上表可知 在 和 上分别单调递减，在 和 上分别单调递增，函数 的极小值分别为 、 ，其极大值为 .
对于A选项：由以上分析可知 ，即函数 有最小值，故A选项正确；
对于B选项：由图可知当 ，有 ，即 增加得越来越快，
因此当 ，有 ，所以函数 没有最大值，故B选项错误；
对于C选项：若有 ，则由零点存在定理可知函数 有四个零点，故C选项错误；
对于D选项：由上表及以上分析可知函数 共有3个极值点，故D选项错误.
故选：A.
4．（2023·四川·一模）已知函数 的导函数为 ， 为奇函数且图象如图所示，则 的解析
式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据原函数与导函数的奇偶性关系，结合导函数与极值点的关系判断即可.
【详解】由 为奇函数，可知 为偶函数，故可排除B、C；
对于A，当 时， ，排除A；
对于D，由 ，有 ，设 ，令 ，即
有无数解，即说明 有无数的极值点，与题意相符.故选：D
5．（23-24高三上·陕西西安·期中）已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集
为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 的图象得到 的单调性，从而得到 的正负，即可得解.
【详解】由 的图象可知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时 ， 时 ， 时 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同一直角坐
标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得 ，结合两函数图象
交点的位置舍去C项.
【详解】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四象限且递增，故
A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且 ，则 .
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符
合，B, D项均符合.
故选：C.
【题型二 不含参数的函数单调性】
求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间．
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）若函数 ，求 的单调区间.
【答案】减区间为 ，增区间为 .
【分析】根据题意，求得 ，结合 和 的解集，即可求得函数的单调区
间.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，
且 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
综上， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）求下面函数的单调区间．
(1)f(x)＝ －2x＋2＋ln (1＋2x)；
(2)g(x)＝ －1－ln x．
【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 和
(2) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
【详解】
(1) f′(x)＝2(x－1)＋ ＝ ，定义域为(－ ，＋∞).所以当0＜x＜ 时，f′(x)＜0；当－ ＜x＜0或x＞ 时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是(－ ，0)和( ，＋∞).
(2) g′(x)＝ex－1－ ＝ ，定义域为(0，＋∞).
令h(x)＝xex－1－1，则h′(x)＝(x＋1)ex－1，
令h′(x)＞0，则x∈(0，＋∞)，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0.
所以函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，求 的单调区间.
【答案】增区间为 ，减区间为 .
【分析】根据题意，求得 ，分别求得 和 的解集，进而得到函数
的单调区间.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，得 或 ，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 .
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数 当 时，求 的单调区间；
【答案】单调递减区间为 单调递增区间为【分析】分别令 ，解不等式即可，注意函数的定义域.
【详解】当 时， 其定义域为
当 时， 当 时，
所以 的单调递减区间为 单调递增区间为
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，若 ，求函数 的单调区间.
【答案】函数 的单调增区间为 ，函数 的单调减区间为
【分析】先求导数，由导数大于零得增区间，由导数小于零得减区间.
【详解】由 ，得 ，
又 ，令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
故若 时，函数 的单调增区间为 ，函数 的单调减区间为 .
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，求 的单调区间.
【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
【分析】利用导数求解函数的单调性，注意对函数的导数进行因式分解.
【详解】若 ,则 的定义域为 ,且
令 ,解得 ;令 ,解得 ;
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．求函数 的单调区间．【答案】单调递增区间为： 和 ；单调递减区间为： .
【分析】分别令 ，解不等式即可.
【详解】因 ，
由 可解得， 或 ；由 可解得， .
故函数 的单调递增区间为： 和 ；
函数 的单调递减区间为： .
6．（2023高三·全国·专题练习）求函数 的单调区间.
【答案】 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
【分析】先求导数，由 可得减区间，由 可得增区间.
【详解】 ，
当 时， ，当 时， ，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【题型三 含参数的函数单调性】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断
点．
【典例1】（2023高二·全国·专题练习）已知函数 ，求函数 的单调区间．
【答案】答案见解析【分析】求导后，分别在 和 的情况下，根据 正负可得单调区间.
【详解】由题意知： 定义域为 ， ；
①当 时， 恒成立， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区
间为 ，单调递减区间为 .
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论函数 的单调
性.
【答案】答案见解析.
【分析】对函数求导，然后对参数 分类讨论，注意讨论正负以及与 的关系，然后根据导数判断函数
的单调性.
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，
若 ，即 ，则由 ，得 或 ；由 ，得 ，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，即 ，则 恒成立，因此函数 在 上单调递增；
若 ，即 ，则由 ，得 或 ；由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求出定义域，求导，分 与 两种情况，得到函数单调性.
【详解】函数 的定义域是 ，
，
①若 ，则 ， 在 上单调递增；
②若 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析.
【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，但由于定义域为 ，所以 的解只有可能是一个
或者无解，根据 解的个数分为 和 两类.
【详解】因为 的定义域为 ，
又 ，
当 时，在 上 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 （舍去）， ；
当 ， ， 在 上单调递减；
， ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
3．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求导之后为类一次函数，根据方程 是否有解分为 和 两类.
【详解】∵ ，∴ ，
①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，当 时， ， 在区间 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【分析】求导后为类指数函数，分类讨论的依据是方程 是否有解.
【详解】 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【答案】
答案见解析.
【分析】求导后为不可因式分解的类二次函数，由于定义域为 ，所以 无零点或只有一个零点，
所以分 ， ， 三类.【详解】 的定义域为 ， ．
当 时， 恒成立，故 在 单调递增；
当 时， 恒成立，故 在 单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
由于 在 上单调递减，
当 时， ，故 在 单调递增；
当 时， ，故 在 单调递减，
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ．试讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】求导之后为不可因式分解的类二次函数，根据开口方向分为 和 ，由于函数 的定义
域为 ，所以在方程 有根的情况下分析还需要分析根的符号.
【详解】 的定义域为 ，
， ，当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时，令 ，可得 或 ，
因为 ，所以 舍去，
所以当 时， ，
则 在 上单调递减，
所以当 时， ，
则 在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】
答案见解析
【分析】求导后为可因式分解的类二次函数， 的零点为 和 ，首先分为 ，但函数的
定义域为 ，所以 还需要分为 和 .
【详解】函数 的定义域为 ，
则 ，
①当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
③当 时， 恒成立，
在 上单调递增，
④当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
8．（2024高三·全国·专题练习）对下面函数的单调性进行分类讨论
(1)已知函数 ，讨论 的单调性.
(2)已知函数 ，讨论函数 的单调性.
(3)已知函数 ，讨论 的单调性.
(4)设函数 ， ，讨论函数 的单调性.
(5)已知函数 ， ，讨论函数 的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，得到 恒成立，分 和 两种情况，求出函数的单调性；
（2）求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，求解函数的单调性；
（3）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 和 两种情况，求解函数的单调性；
（4）求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，进行分类讨论，得到函数的单调性；
（5）求定义域，求导，根据根的判别式进行分类讨论，求出函数的单调性.
【详解】（1） ，
由函数 的定义域为 ，有 ，
①当 时， ，此时函数 单调递增；
②当 时，令 可得 ，
可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2） ，
若 时， ， 在 上单调递增；
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数.
综上， 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.（3）由题意得： 定义域为 ，
当 时， ，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（4）由 ，得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ， 和 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时， ， 和 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
综上所述：
当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，无减区间；当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减；
（5） 的定义域为 ，
， ，
令 ， ，
若 ，即 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
若 ，即 ，则 ，仅当 时，等号成立，
当 时， ， 单调递增.
若 ，即 ，则 有两个零点 ， ，
由 ， 得 ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
综上所述，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.【题型四 利用函数单调性比较大小】
比较函数值的大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同
一个单调区间内，再进行比较.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·四川成都·期末）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的大小关系不确定
【答案】A
【分析】先利用导数判断函数在 上的单调性，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，所以 .
故选：A.
一、单选题
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用导数求得函数 的单调性，结合对数的运算性质，进而求得 的大小关系，得到答案.
【详解】因为函数 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以 在 和 上递增，在 上递减，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：D.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，则 从大到小顺次为
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，确定其单调性，根据 ，结合单调性求解即可.
【详解】 的定义域为 ，得 ．
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
在区间 上当 时取得最大值．得 ，且 ．
又因为 ，
所以， ．
故选：C．
3．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知函数 ，记 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数 的奇偶性，再利用导数考查函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数
单调性和奇偶性比较即得.
【详解】函数 的定义域为 ，所以函数 为偶函数，
当 时，设 ，则 ，故 在 上单调递增且恒为正
数，
则函数 在 上单调递减，又函数 为偶函数，故 在 上单调递增，
又 ，即 ，于是 ，
即 .
故选:C.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，记 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】对 求导，求出 的单调性，再由 可知 的图象关于直线 对称，则
，结合 的单调性，即可求出 的大小.
【详解】 的定义域为 ，
，所以 ，
令 可得： ，令 可得： ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又因为
所以 的图象关于直线 对称，
又 ，
所以 ，
又 ，故 ．
故选：B.
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，则 ， ， 的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】先判断函数 的奇偶性，利用导数判断函数 的单调性，令 ，
利用导数判断 的单调性，从而可得 ，进而可得比较函数值的大小．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ 是偶函数，
，
当 时， ，故函数 在 上单调递增，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递减，故 ，
即可 ，而 ，
所以 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
【题型五 利用函数单调性解不等式】与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的
单调性，从而解不等式.
【典例1】（单选题）（23-24高二上·福建福州·期末）已知 是函数 的导数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，对函数 求导，利用 的单调性可得答案.
【详解】设 ，因为 ，所以 ，
对函数 求导，得 ，因为 ，所以 ，
所以函数 是实数集上的增函数，
因此由 .
故选：D.
一、单选题
1．（2024·江西南昌·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ， ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由 恒成立， 在 上单调递减，由可得 ，由单调性解不等式即可.
【详解】设 ，则 ，
对任意 ， ， 恒成立，即 在 上单调递减，
由 可得 ， ，解得 ，即解集为 .
故选：A
2．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，当 时，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断 的单调性，奇偶性，结合 的模拟草图，数形
结合即可求得结果.
【详解】令 ，则 ，由题可知，当 时， ，故 在
单调递减；
又 为奇函数， 也为奇函数，故 为偶函数，则 在 单调递增；
又 ，则 ，画出 的模拟草图如下所示：当 时， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
当 ，因为 为 上的奇函数，故 ，不满足题意；
当 ， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
综上所述： 的解集为 .
故选：A.
3．（23-24高二下·福建·期中）设 在 上存在导数 ，满足 ，且有
的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中已知 和 ，以及不等式 结构特征可构造函数
，再由函数的特殊值 和单调性性质即可求解.
【详解】令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，又由题 ，
所以 ，即 ，即 的解集为 ，
故选：D.
4．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知定义在 上的可导函数 ，当 时，
恒成立，且对任意的实数 ，都有 ，若 ，则实数 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，由 可得 单调递增，由 可得 是
偶函数，最后在根据 的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】设 ，当 时， ，所以 在
单调递增，
，所以 为偶函数，
所以 ，两边平方解得 .
故选：C
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，可将 转化为 ，结
合导数可得 在 上单调递增，即可得 .
【详解】由题可得 ，
所以 ，
即有 ，即 ，
故不等式 等价于 ，
又 ，当 时， ，故 ，
当 时，
， ，故 ，
即 恒成立，故 在 上单调递增，
故由 可得 ，即 .
故选：A.
【题型六 函数单调性中的参数值（范围）问题】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不
等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解
集，即f ′(x) ＞0(或f ′(x) ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值
max min
范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问
题．
【典例1】（单选题）（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数 在定义域内单调
递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 在 上恒成立，可转化为 .求出 的最小值，即
可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知，函数 的定义域为 ， .
由 在定义域内单调递减，所以 在 上恒成立，
即 ，可转化为 在 上恒成立，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因此实数a的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二
次求导求出最值即可得出答案.
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的
最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意， 恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.
【详解】因为函数在 上单调递增，所以 对 恒成立，
即 恒成立，设 ， ，当 时， ，所以 ，则 ，
所以实数a的最小值为 .
故选：B.
2．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数 在 上为减函数，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，求
出 取值范围即可.
【详解】因为函数 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
故 ，所以 的取值范围是 .
故选：D.
3．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递增区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据条件得出存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，构
造函数 ， ，求出 的最值即可解决问题.
【详解】因为函数 在 上存在单调递增区间，
所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立，
令 ， ， 变形得 ，因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ，所以 ，
故选：D．
4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知函数 存在减区间，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数把函数存在减区间转化为导函数为负有解，最后构造函数根据最值求解.
【详解】由题可知 ，
因为函数 +1存在减区间，则 有解，
即 有解，
令 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ，
因为 有解，所以 ，
解得 .
故选：D.
5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 在 上恒成立，即 ，然后构造函数 ，利用可得 在
上单调递增，从而可得 ，则可求出 的取值范围，进而可求得 的最大值.
【详解】依题意可知， 在 上恒成立，所以 ，
设 ， ，所以 （ ），
所以 在 上单调递增， ，
故 ，即 的最大值为 ．
故选：C．
6．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为 在 上恒成立，令 ，利用导数求得函数 单调递
减，得到 ，得出 ，即可求解.【详解】由函数 ，可得
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：D．
7．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，参变分离得到 在
上恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出参数 的取值范围，再根据充分条件、必要条件
的定义判断即可.
【详解】函数 定义域为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
因为 ，
所以“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.故选：A
8．（2024高三下·全国·专题练习）函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由“函数 在 上不单调”可等价转化为 在 上必有变号零点,
通过参变分离法，即可求得 ，依题，只需判断选项是否为 得真子集即可.
【详解】依题意， ，因 在 上不单调，
故导函数 在 上必有变号零点.
令 ，得 ，再令 ，则 ，
由 ，得 即 在 上单调递增，所以 ，
故只需 ，即 ，
对于A， 是 的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中， 的范围都不是 的真子集，故都不正确.
故选:A．
