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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 讲 导数与函数的单调性（精讲）
题型目录一览
①导数与原函数图像之间的联系
②不含参数的函数单调性
③含参数的函数单调性
（1）一次函数型
（2）二次函数型Ⅰ（可因式分解）
（3）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）
（4）指数函数型
④函数单调性中的参数值（范围）问题
★【文末附录-导数与函数的单调性思维导图】
一、知识点梳理
一、单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
，则 为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【常用结论】
①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正
（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，当
时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数.
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则
（ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 .二、题型分类精讲
题型 一 导数与原函数图像之间的联系
策略方法
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）.
【典例1】已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则 的图象
大致是（ ）
A． B．C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，若 ，则
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则
的图象最有可能的是（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在 上的函数 的大致图像如图所示， 是 的
导函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 在区间 内有 个极值点
D． 的图象在点 处的切线的斜率大于
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，记 、 、 ，则 、 、
最大的是________.
6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当
时， 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为______.题型二 不含参数的函数单调性
策略方法 求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间．
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间．
【典例1】函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D． 和
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，现
给出如下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 有4个零点
C． 的图象关于点 对称 D．曲线 与 轴不相切
三、填空题
5．（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数 的单调递增区间为__________.
7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数 的单调递增区间为___________．
8．（2023·福建·统考模拟预测）函数 的单调增区间是_______．
9．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）函数 有两个零点，则 的取值范围是 __.
题型三 含参数的函数单调性
策略方法 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断
点．
【典例1】已知函数 （其中a为参数）.求函数 的单调区间.【典例2】已知函数 ， .讨论函数 的单调性.
【典例3】设函数 ，求函数 的单调区间.
【典例4】已知函数 （ 为自然对数的底数， ）．求函数 的单调区
间；
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在区间 上恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数 ，若
有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的取
值范围是______.
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 在 上的单调性；
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .当 时，讨论函数 的单调性；
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
9．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数 的单调性
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论函数的单调性；
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；
题型四 函数单调性中的参数值（范围）问题
策略方法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不
等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解
集，即f ′(x) ＞0(或f ′(x) ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值
max min
范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问
题．【典例1】若函数在 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，对 ，且 ，恒有
，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，且 在区间 上既有最大值又有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是
________．
7．（2023·安徽·校联考二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围为
_________．
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a
的取值范围是_________．
9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是________.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数
a的取值范围是______．
【附录-导数与函数的单调性思维导图】
