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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 讲 导数与函数的单调性（精讲）
题型目录一览
①导数与原函数图像之间的联系
②不含参数的函数单调性
③含参数的函数单调性
（1）一次函数型
（2）二次函数型Ⅰ（可因式分解）
（3）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）
（4）指数函数型
④函数单调性中的参数值（范围）问题
★【文末附录-导数与函数的单调性思维导图】
一、知识点梳理
一、单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果
，则 为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒
负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【常用结论】
①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正
（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，当
时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数.
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则
（ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 .二、题型分类精讲
题型 一 导数与原函数图像之间的联系
策略方法
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）.
【典例1】已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则 的图象
大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由 的图象得到 的取值情况，即可得到 的单调性，即可判断.
【详解】由 的图象可知当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增，
故符合题意的只有C.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，若 ，则
的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图象在区间 内的函数的范围，判断出函数 区间 上各点处切线的
斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数 的单调性，再结合四个选项可得
答案.
【详解】由 的图象可知，当 时， ，则在区间 上，函数 上各点处
切线的斜率在区间 内，
对于A，在区间 上，函数 上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；
对于D，由 的图象可知，当 时， ，当 时， ，当 时，
，
所以函数 上各点处切线的斜率在区间 内，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
而函数 的图象均符合这些性质，故D正确.
故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则
的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数 的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在 上的函数 的大致图像如图所示， 是 的
导函数，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分 、 两种情况求解即可.
【详解】若 ，则 单调递减，图像可知， ，
若 ，则 单调递增，由图像可知 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：C
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）A．
B．
C． 在区间 内有 个极值点
D． 的图象在点 处的切线的斜率大于
【答案】ACD
【分析】根据导函数的正负可得 单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C正确；由
可知D正确.
【详解】由图象可知：当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增；在 上单调递减；
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ，B错误；
对于C，由极值点定义可知： 为 的极大值点； 为 的极小值点，即 在区间
内有 个极值点，C正确；
对于D，当 时， ， 在点 处的切线的斜率大于 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，记 、 、 ，则 、 、
最大的是________.【答案】
【分析】根据导数的几何意义结合 的图象分析判断即可
【详解】根据导数的几何意义， 、 、 分别为 处的切线斜率，
又 与 处的切线单调递增， 处的切线单调递减，且 处的切线比 处的切线更陡峭，
∴ ，
故最大为 .
故答案为：
6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当
时， 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】先判断出 的单调性，然后求得 的解集.
【详解】依题意 是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知， 在区间 递减， ；在区间 递增， .
所以 的解集 .
故答案为：
题型二 不含参数的函数单调性
策略方法 求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间．
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间．
【典例1】函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数 ，在定义域内解不等式 可得单调递增区间．
【详解】由已知得 ，
令 ，
则 ，
∴函数 的单调递增区间为 ．
故选：B．
【题型训练】
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D． 和
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 得 ，所以函数 的单调递减区间是 .
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，现
给出如下结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.
【详解】求导函数可得
当 时， ；当 ，或 时，
所以 的单调递增区间为 和 单调递减区间为
所以 极大值 ，极小值
要使 有三个解 、 、 ，那么结合函数 草图可知：
及函数有个零点 在 之间，
所以 ，且
所以
，
，故①正确；
， ，即②③正确；
，
，
（i）， （ii），
把（ii）代入（i）式的平方化简得： ；即④正确；
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ，则 的最小值为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题干条件 ，得 ，化简整理得 ，
然后构造函数 ，借助导数求解 的最小值，即可求出 的最小值.
【详解】由 ，得 ，
化简整理得： ；
令 （ ）， ，令 ，解得 .
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
即 ，故
故选：D
二、多选题
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间是 B． 有4个零点
C． 的图象关于点 对称 D．曲线 与 轴不相切
【答案】CD
【分析】对A直接求导，令导函数小于0，解出即可，对B，通过求出极大值和极小值，结合其单调性即
可判断，对C选项利用函数奇偶性和函数平移的原则即可判断，对D，利用函数极大值、极小值的符号即
可判断.
【详解】A选项：易知 的定义域为 ，，
令 0，解得 或 ，
所以 的单调递减区间为 和 ，A错误；
B选项：令 ，解得 或 ，所以 在 ，和 上单调递增，
所以当 时， 取得极大值，因为 ，且 在 上单调递减，所以 在
上没有零点，
当 时， 取得极小值，因为 ，所以 在 上至多有两个零点，B错误；
C选项：设 ，函数定义域为 ，关于原点对称，
且 ，则 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称，将 的图象向下平移2个单位长度得到 的图象，所以 的图
象关于点 对称，C正确；
D选项：因为 的极小值 ，极大值 ，所以曲线 与 轴不相切，D
正确.
故选：CD.
三、填空题
5．（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
【答案】 /
【分析】通过二次求导，证明当 时， ，即得解.【详解】由题得函数定义域为 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
故 的单调递增区间为 （或 ）．
故答案为：
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数 的单调递增区间为__________.
【答案】
【分析】求导数 ，令 ，解不等式即可得函数的单调递增区间.
【详解】函数 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ，故函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数 的单调递增区间为___________．
【答案】 ，
【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调
性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.
【详解】因为函数 ，则 ．
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时， ，
则当 时， ．
所以 的单调递增区间为 ， ，故答案为： ， .
8．（2023·福建·统考模拟预测）函数 的单调增区间是_______．
【答案】 (或 也对)
【分析】 ，由复合函数单调性知： 的增区间即为所求.
【详解】 ，由复合函数单调性知： 的增区间即为所求，
．
故答案为： (或 也对）
9．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）函数 有两个零点，则 的取值范围是 __.
【答案】
【分析】函数 有两个零点，即方程 有两个根，构造函数 ，利用导数
求出函数的单调区间，从而可画出函数 的大致图像，根据图象即可得解.
【详解】 函数 有两个零点， 方程 有两个根，
即方程 有两个根，
设 ，则函数 与 的图像有两个交点，
，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
函数 在 时，取得最大值 ，又 当 时， ；当 时， 且 ，
函数 的大致图像，如图所示，
由图像可知， ，
的取值范围是 .
故答案为： .
题型三 含参数的函数单调性
策略方法 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断
点．
【典例1】已知函数 （其中a为参数）.求函数 的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】求出原函数的导函数，然后对 分类求得函数的单调区间；
【详解】 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时，令 ，得 ，时， ， 单调递减，
时， 单调递增；
综上： 时， 在 上递增，无减区间，
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
【典例2】已知函数 ， .讨论函数 的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对 求导，然后分 和 两种情况讨论即可；
【详解】函数 的定义域为 ，
所以 .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递减：在 上单调递增.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
【典例3】设函数 ，求函数 的单调区间.
【答案】当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 和 ，单调增区间为
.【分析】对 求导，分 和 和 三类讨论导数的正负，即可得出 的单调区间.
【详解】由题意得 的定义域为 ，因为 ，
所以 ，
令 ， ，
①当 时， ，所以 在 上单调递减，
②当 时， ，所以 在 上单调递减，
③当 时，令 ，则 ，
且 ，所以 在 和 上单调递减，在
上单调递增.
综上，当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 和 ，单调增区间为
.
【典例4】已知函数 （ 为自然对数的底数， ）．求函数 的单调区
间；
【答案】答案见解析
【分析】先求得 ，结合 和 讨论 的正负，进而求解.【详解】函数 的定义域为 ，则 .
①当 时，对任意的 ， ，
此时函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在区间 上恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 即为 ，设 ， ，求出函
数 的导函数，分解 和 讨论函数 的单调性，求出函数 在区间 上的最小值，即
可得解.
【详解】解：由已知可得 即为 ，
设 ， ，
则 ，当 时，显然 ，当 时， 在 上也成立，
所以 时， 在 上单调递减， 恒成立；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是，存在 ，使得 ，不满足 ，舍去此情况，
综上所述， .
故选：A.
2．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数 ，若
有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论 、 ，应用导数研究单调性，要使 有四个不同的解，即当两个区间均存在两
个零点时，求a的范围即可.
【详解】由题意知： 有四个不同的零点，
∴ ，则 有四个不同的解，
当 时， ，其零点情况如下：
1）当 或 时，有 ；
2）当 或 时， 或 ；
当 时， ，则有如下情况：1）当 时 ，即 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；
2）当 时，在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，而
有 ， 有 ，所以只需 ，得 时， 必有两个零点.
∴综上，有 时， 在 、 上各有两个零点，即共有四个不同的零点.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的取
值范围是______.
【答案】
【分析】 ，则易得出 ，当 时， ，与 矛盾，
故 ，求出函数的导函数，对 进行讨论，判断函数的单调性，从而可得出答案.
【详解】解： ，
当 时， ， ，
若 ，则当 时， ，这与 矛盾，
故 ，
，
若 ，则当 时， ，
所以函数 在 上递减，
所以 符合题意；若 ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，
故当当 时， ，这与 矛盾，
综上所述 .
故答案为： .
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，注意定义域，讨论 、 研究导数的符号，进而确定区间单调性.
【详解】由题设 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增
当 时，令 得： ，令 得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求出导函数 ，分类讨论，由 得增区间，由 得减区间．
【详解】∵ ，（1）当 时， 在 上单调递增，
（2）当 时，令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 在 上的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】讨论 ， ， 三种情况，结合导数得出 在 上的单调性；
【详解】由题意得 ．
因为 ，所以 ．
当 时， ， ，所以 在 上单调递减．
当 时，令 ，则 ．
①若 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减；当
时， ，所以 在 上单调递增．
综上，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .当 时，讨论函数 的单调性；
【答案】见解析
【分析】由题求导得 ，分 ， ， ，三种情况讨论其单
调性即可.
【详解】由题知，函数 的定义域为 ，
所以求导得 ，
若 ，
由 得 或 ，
由 得 ，
所以函数 在 ，和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，恒有 ，当且仅当 时取等号，因此函数 在 上单调递增，
若 ，
由 得 或 ，
由 得 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析【分析】先求出函数的定义域，再求导，分 和 两种情况讨论，即可得解.
【详解】由 ，可知定义域 ，
，令 ，则 ，
①当 时， ，则 成立，即 成立，
所以 的单调增区间为 ；
②当 时，令 ，得 ，记 ，
，当 变化时， ， 的变化情况如下表
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的增区间为 ， 上单调递增，减区间为 ，
综上，当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的增区间为 ， 上单调递增，减区间为
.
9．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数 的单调性
【答案】答案见解析
【分析】利用导函数与单调性的关系讨论求解，结合函数 在 的零点个数分类讨论.
【详解】由题可知，函数 的定义域为 ，
，
令 ， ，
当 时，
在 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以函数 在 单调递增；
当 时， ，
在 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以函数 在 单调递增；
当 时， ，
方程 的两个根记为 ，
有 ，可得 ，
由求根公式可得
所以当 时， ，
当 或 时， ；
综上，(i) 当 时，函数 在 单调递增，
单调递减， 单调递增；
(ii) 当 时，函数 在 单调递增.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求导，再分 和 两种情况讨论即可得解.
【详解】 ，
时， 恒成立， 的单调增区间是 ；
时， 得 ，
时， ， 时， ，
的减区间是 ，增区间是 ，
综上所述，当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的减区间是 ，增区间是 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求定义域，求导，分 与 两种情况下，讨论得到函数的单调性.
【详解】定义域为R，
．
当 时，则 ， 在R上单调递增，当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
题型四 函数单调性中的参数值（范围）问题
策略方法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从而构建不
等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在该区间上存在解
集，即f ′(x) ＞0(或f ′(x) ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值
max min
范围．
(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问
题．
【典例1】若函数在 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，依题意 在 上恒成立，参变分离得到 ，，根据二次函数的性质求出 的最大值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
依题意 在 上恒成立，
所以 ，令 ， ，
因为 在 上单调递增，则
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得 在 上恒成立，由此可得 在区
间 上恒成立，求函数 的值域可得 的取值范围.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，
则 ，所以 在 上递增，又 ，
所以 .
所以 的取值范围是 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导，根据题意可得 对 恒成立，列出不等式组，解之即可
求解.
【详解】依题意得 对 恒成立，
即 对 恒成立．
因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，
所以 ，解得 ．
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为 在 上不单调，故利用 在 上必有零点，利用 ，构造函数，通过 的范围，由此求得 的取值范围.
【详解】依题意 ，故 在 上有零点，令 ，令 ，
得 ，令 ，
则 ，由 ，得 ， 单调递增，又由 ，得 ，
故 ，所以， 的取值范围
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，对 ，且 ，恒有
，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，确定函数单调递增，得到 ，设 ，求导得到函数的单调
区间，计算最值得到答案.
【详解】设 ， ，
对 ，且 ，恒有 ，即 ，
在 上单调递增，故 恒成立，
即 ，设 ， ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
故 ，即 .
故选：B
5．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，
且 在区间 上既有最大值又有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数 在 上单调递增，利用函数导数性质求出 的取值范围，在由 在区间 上
既有最大值又有最小值求出 的取值范围，然后求交集即可.
【详解】1.因为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 恒成立，则 ，解得 ；
2.因为 ，则 ，
①当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 单调递增，在 单调递减，所以 为最小值，若 在 上既有最大值，又有最小值，
则 且 ，解得： ；
综上所述： ．
故选：B.
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是
________．
【答案】
【分析】由 有两个不相等的实数根求得 的取值范围.
【详解】 ，
由于函数 有三个单调区间，
所以 有两个不相等的实数根，所以 .
故答案为：
7．（2023·安徽·校联考二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围为
_________．
【答案】
【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】设 ，则 ．当 时， 恒成立，则函数 在
上单调递增， ，不合题意，舍去；
当 时，由 得 ．当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，令 ，易得 在 上单调递减，
，则 的解集为 ，即实数a的取值范围是 ．
故答案为： .
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a
的取值范围是_________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，问题转化为 ，而 求出最小值，从而求出a的范围即可．
【详解】 ， 在 内成立，所以 ，
由于 ，所以 ， ，所以 ．
故答案为:
9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用导数证明 ，将圆不等式转化为 对 恒成立，
设 ，只需函数 在 上单调递增，由 可得 ，即可求解.【详解】设 ，则 （ ），
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
得 ，即 ，即 .
由题意， 对 恒成立，
转化为 对 恒成立，
设 ，则 对 恒成立，
只需函数 在 上单调递增，
即 在 上恒成立，
有 在 上恒成立，得 ，
即实数a的取值范围为 .
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数
a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数 在 内单调时 的范围，从而可得不单
调时 的范围.
【详解】由 ，得 ，
当 在 内为减函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
当 在 内为增函数时，则 在 内恒成立，所以 在 内恒成立，
令 ，因为 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 在 内的值域为 ，所以 或 ，
所以函数 在 内单调时，a的取值范围是 ，
故 在 上不单调时，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
【附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
