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专题 26.1 反比例函数的综合
1 k
【典例1】如图，正比例函数y= x的图像与反比例函数y= (k≠0)的图像交于A(a,−2)、B两点．
2 x
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．
（2）点P为第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如
果△POC的面积为3，求点P的坐标．
（3）点E在y轴上，反比例函数图像上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，
如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
1 k
（1）将A(a,−2)代入y= x，可得点A坐标，将A(−4,−2)代入y= ，可得k的值，再根据点A、B关
2 x
于原点对称，得出点B的坐标；
( 8) ( 1 )
（2）设P m, ，则C m, m ，根据S =3，即可得出m的方程；
m 2 △POC
（3）分∠BFE=90°或∠FBE=90°，分别根据K型全等，表示出点F坐标，从而解决问题．
【解题过程】
1 1
（1）解：将A(a,−2)代入y= x，得−2= a，
2 2
解得：a=−4，
∴A(−4,−2)，
k k
将A(−4,−2)代入y= ，得−4= ，
x −2
解得：k=8，8
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
∵点B和点A关于原点对称，
∴B(4,2)．
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于C，
( 8) ( 1 )
设P m, ，则C m, m ，
m 2
∵S =3，
△POC
1 |1 8)
∴ m× m− =3，
2 2 m
1 (1 8)
当 m× m− =3时，
2 2 m
解得：m=2❑√7或−2❑√7（负值不符合题意，舍去）
1 (1 8)
当 m× m− =−3时，
2 2 m
解得：m=2或−2（负值不符合题意，舍去）
∴m=2❑√7或2，
( 4❑√7)
∴点P的坐标为 2❑√7, 或(2,4)．
7
（3）存在，当∠BFE=90°时，
当点E在y轴正半轴时，
过点F作FH⊥y轴，过点B作BG⊥HF于点G，∴∠EHF=∠G=90°，
∵△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，
∴∠BFG+∠HFE=90°，EF=BF，∠EFB=90°，
∵∠BFG+∠FBG=90°，
∴∠HFE=∠FBG，
在△FBG和△EFH中
{∠FBG=∠EFH
)
∠FGB=∠EHF ，
FB=EF
∴△FBG≌△EFH(AAS)，
∴FG=EH，BG=FH，
设FH=m，
∵B(4,2)
∴F(m,2+m)，
∴m(2+m)=8，
解得：m=2或m=−4（舍去），
∴F(2,4)；
当点E在y轴负半轴时，如图，
过点F作FH∥y轴，过点B作BG⊥FG于点G，过点E作EH⊥FG于点H，同样可得△FBG≌△EFH，
∴FG=EH，BG=FH，
设EH=n，
∵B(4,2)
∴F(−n,2−n)，
∴−n×(2−n)=8，
解得：n=4或n=−2（舍去），
∴F(−4,−2)；
当∠FBE=90°时，
当点F在第一象限时，
过点B作BH∥y轴，过点E作EG⊥BG于点G，过点F作EH⊥BG于点H，
同样可得△EBG≌△BFH，
∴EG=BH，BG=FH，
( 8 )
设F m , ，
1 m
1
∵B(4,2)
8
∴
=4+2，
m
1
4
解得：m = ，
1 3
(4 )
∴F ,6 ；
3
当点F在第三象限时，
过点B作BH∥y轴，过点E作EH⊥BH于点H，过点F作EG⊥BH于点G，同样可得△EBH≌△BFG，
∴EH=BG，HB=GF，
( 8 )
设F m , ，
2 m
2
∵B(4,2)
8
∴
=2−4，
m
2
解得：m =−4，
2
∴F(−4,−2)，
(4 )
综上所述，点F的坐标为(2,4)或(−4,−2)或 ,6 ．
3
1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为
(8,4)．
（1）求此菱形的边长；
k
（2）若反比例函数y= (x>0)的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．
x
【思路点拨】（1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值；
（2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析
式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．
【解题过程】
（1）解：如图，
点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，
∵B（8，4），
∴CE=8-x，BE=4，
在Rt△CBE中，CB2=CE2+BE2，
即x2=（8-x）2+42，解得x=5，
∴菱形的边长为5；
（2）解：∵菱形的边长为5，
∴A（3，4），
12
∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y= ．
x
（2）∵点C（5，0），B（8，4），
设直线CB的解析式为y=kx+b，
{5k+b=0)
则 ，
8k+b=4
4
{ k= )
3
解得 ，
20
b=−
3
4 20
∴直线CB的解析式为：y= x− ，
3 312
{ y= )
x
由
4 20
y= x−
3 3
{ x=
5+❑√61
) { x=
5−❑√61
)
2 2
解得 或 （不合题意，舍去），
2❑√61−10 2❑√61+10
y= y=−
3 3
5+❑√61 2❑√61−10
∴点D坐标为（ ， ）．
2 3
2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别是反函数
k
y = (k≠0)、一次函数y =2x+b的交点，已知A(1，4)．
1 x 2
（1）求出k的值，以及一次函数的表达式；
（2）在线段AB上取一点C，
①若使C点是线段AB的三等分点，求出C点的坐标；
②过C点作直线l平行x轴，交反比例函数y 于点D，连接OD、OC，记△OCD的面积为S ，求S
1 △OCD △OCD
最大值．
【思路点拨】
k
（1）将A(1，4)分别代入y = (k≠0)和y =2x+b中，求出k、b的值，即可得到答案；
1 x 2
4
（2）①过A点作直线l垂直于x轴，过B点作直线m垂直于y轴，直线l和m相交于E点，由 =2x+2，求出
x
B(−2，−2)，从而可得E(1，−2)，过C点向x轴、y轴作垂线交AE于点F，BE于点，根据C点是线段1 2 2 1
AB的三等分点，即可得到CF= BE=1，CG= AE=4或CF= BE=2，CG= AE=2，从而即可得
3 3 3 3
( 4 ) 4
到答案；②设C(a，2a+2)，则D ，2a+2 ，从而得到CD= −a，高ℎ =2a+2，再根据
2a+2 2a+2
( 1) 2 9
面积公式得到S =− a+ + ，即可得到答案．
△OCD 2 4
【解题过程】
k
（1）解：将A(1，4)分别代入y = (k≠0)和y =2x+b中，
1 x 2
k
则 =4，4=2+b，
1
解得：k=4，b=2，
∴ y =2x+2；
2
（2）解：①过A点作直线l垂直于x轴，过B点作直线m垂直于y轴，直线l和m相交于E点，
，
4
由 =2x+2，
x
解得：B(−2，−2)，
∵过A点作直线l垂直于x轴，过B点作直线m垂直于y轴，直线l和m相交于E点，
∴E(1，−2)，
∴AE=4−(−2)=6，BE=1−(−2)=3，
过C点向x轴、y轴作垂线交AE于点F，BE于点G，
∵ C点是线段AB的三等分点，
1 2 2 1
∴ CF= BE=1，CG= AE=4或CF= BE=2，CG= AE=2，
3 3 3 3∵ E(1，−2)，
∴ F的横坐标为1，G的纵坐标为−2，
∴ C(0，2)或C(−1，0)；
( 4 )
②设C(a，2a+2)，则D ，2a+2 ，
2a+2
4
∴ CD= −a，高ℎ =2a+2，
2a+2
∴ S = 1( 4 −a ) (2a+2)=−a2−a+2=− ( a+ 1) 2 + 9 ，
△OCD 2 2a+2 2 4
9
∴ S 的最大值为 ．
△OCD 4
k
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数y=x+2与反比例函数y= (k≠0)的图像相交于
x
A(a，4)，B两点，连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点M在第一象限内反比例函数图像上，点N在x轴上方且在一次函数y=x+2图像上，若以O，
B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明
△MNE≌△OBD，得到ME=BD=4，NE=OD=2，再分两种情况，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：把A(a，4)代入一次函数y=x+2，得4=a+2，
解得a=2，
∴A(2，4)，k
把A(2，4)代入反比例函数y= 得k=4×2=8，
x
8
∴反比例函数的表达式为y= ；
x
{y=x+2
)
（2）解：由题意得方程组 8 ，
y=
x
{x =−4) {x =2)
解得 1 ， 2 ，
y =−2 y =4
1 2
∴B(−4，−2)，
设一次函数y=x+2交y轴于点C，
令y=x+2中x=0，则y=2，
∴C(0，2)，
∴OC=2，
∴S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1 1
= ⋅OC⋅|x )+ ⋅OC⋅|x )= ×2×2+ ×2×4=6；
2 A 2 B 2 2
（3）解：如图，由题意得MN∥OB，MN=OB，
过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，
则△MNE≌△OBD，
∴ME=BD=4，NE=OD=2，
当点M在点A的左侧时，
( 8) ( 8 )
设M m， ，则N m+4， +2 ，
1 m 1 m( 8 )
∵N m+4， +2 在y=x+2上，
1 m
8
∴ +2=m+4+2，即m2+4m−8=0，
m
∴m =−2+2❑√3，m =−2−2❑√3，
1 2
经检验m =−2+2❑√3是原方程的根且符合题意，m =−2−2❑√3<0，不合题意，舍去；
1 2
8 8
当m=−2+2❑√3时， = =2+2❑√3，
m −2+2❑√3
∴M (−2+2❑√3，2+2❑√3)；
1
当点M在点A的右侧时，
( 8) ( 8 )
设M m， ，则N m−4， −2 ，
2 m 2 m
( 8 )
∵N m−4， −2 在y=x+2上，
1 m
8
∴ −2=m−4+2，即m2=8，
m
∴m =2❑√2，m =−2❑√2，
1 2
经检验m =2❑√2是原方程的根且符合题意，m =−2❑√2<0，不合题意，舍去；
1 2
8 8
当m=2❑√2时， = =2❑√2，
m 2❑√2
∴M (2❑√2，2❑√2)；
2
综上所述：点M的坐标为(−2+2❑√3，2+2❑√3)或(2❑√2，2❑√2)
4．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴
12 k
上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=− (x>0)经过点A(a,−3)，反比例函数y= (k>0，x<0)
x x
经过点B，且交BC边于点D，连接AD．（1）求直线BC的表达式；
（2）连接OD，求△AOD的面积；
12
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=− (x>0)于点N．
x
在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出A(4,−3)，得出AO=❑√42+(−3) 2=5，根据菱形性质得出OC=BC=AB=OA=5，求出点B
的坐标为(−1,−3)，点C的坐标为(−5,0)，然后用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）根据B点坐标求出k的值，再求出点D坐标，然后利用S =S −S −S 求出结果即
△AOD 菱形OABC △OCD △ABD
可；
（3）分两种情况讨论，分别画出图形，根据平行四边形的性质求出点N的坐标即可．
【解题过程】
12
（1）解：∵反比例函数y=− (x>0)经过点A(a,−3)，
x
12
∴−3=− ，
a
解得：a=4，
∴A(4,−3)，
∴AO=❑√42+(−3) 2=5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=BC=AB=OA=5，
∴点B的坐标为(−1,−3)，点C的坐标为(−5,0)，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(−1,−3)，(−5,0)代入得：
{−k+b=−3)
，
−5k+b=0
3
{ k=− )
4
解得： ，
15
b=−
4
3 15
∴直线BC的解析式为y=− x− ．
4 4
（2）解：连接OD，如图所示：
∵B(−1,−3)，
∴k=−1×(−3)=3，
3
∴y= ，
x
3 3 15
令 =− x− ，
x 4 4
解得：x=−4或x=−1，
∴点D的横坐标为x=−4，
( 3)
∴D −4,− ，
4
∴S =S −S −S
△AOD 菱形OABC △OCD △ABD
1 3 1 ( 3)
=5×3− ×5× − ×5× 3−
2 4 2 4
15
= ．
2
（3）解：存在；理由如下：
当四边形BDEN为平行四边形时，如图所示：∴y −y = y −y ，
D B E N
3
即− −(−3)=−3−y ，
4 N
21
解得：y=− ，
4
21 12 16
把y=− 代入y=− 得：x = ，
4 x N 7
(16 21)
∴N ,− ；
7 4
当四边形BDNE为平行四边形时，如图所示：
∵DN∥BE，BE∥x轴，
∴DN∥x轴，
3
∴此时y = y =− ，
N D 4
3 12
把y =− 代入y=− 得，x =16，
N 4 x N
( 3)
∴此时N 16,− ；
4
(16 21) ( 3)
综上分析可知，点N的坐标为 ,− 或 16,− 时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边
7 4 4
形．
k
5．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y= (x<0)的
x图象交于A(a,6)，B两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
（3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰
直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表
达式，即可求出点B的坐标；
（2）作点A关于y轴的对称点A′(2,6)，连接A′B交y轴于点P，此时AP+BP的值最小，用勾股定理即可
求解；
( −12)
（3）设M a, ，N(n,0)，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求
a
解即可．
【解题过程】
（1）解：将A(a,6)带入y=x+8得：6=a+8，
解得：a=−2
∴A(−2,6)，
k
将A(−2,6)代入y= 得：k=xy=−12，
x
12
∴反比例函数的表达式为：y=− ，
x
{y=x+8
)
联立 −12 ，
y=
x{x =−2) {x =−6)
解得： 1 ， 2
y =6 y =2
1 2
∴B(−6,2)，
12
综上：反比例函数的表达式为：y=− ，B(−6,2)；
x
（2）解：作点A关于y轴的对称点A′(2,6)，连接A′B交y轴于点P，此时AP+BP的值最小，
∵A′B=❑√[2−(−6)) 2 +(6−2) 2=4❑√5，
∴AP+BP=A′P+BP=A′B=4❑√5；
( −12)
（3）解：设M a, ，N(n,0)，
a
①M在B点右侧时，过点B作BF⊥x轴于点F，过点M作MH⊥BF，交FB的延长线于点H，
∵△MBN是以MN为底的等腰直角三角形，
∴BM=NB，∠MBN=90°，
∴∠HBM+∠NBF=90°，
∵∠HBM+∠HMB=90°，
∴∠NBF=∠HMB，
在△MHB和△BFN中，{∠NBF=∠HMB
)
∠H=∠BFN ，
BM=NB
∴△MHB≌△BFN(AAS)，
∴HM=BF，HB=FN，
{ a−(−6)=2−0 )
∴ −12 ，
−2=n−(−6)
a
{a=−4)
解得： ，
n=−5
∴M(−4,3)，
②M在B点左侧时，
同理可得△MHB≌△BFN(AAS)，
∴BH=BF，
∴(−6)−a=2−0，
解得：a=−8，
( 3)
∴M −8, ，
2
( 3)
综上：M(−4,3)或M −8, ．
2
6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+12与x轴交于点
k
A，与y轴交于点C，分别过点A､C作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点B，函数y= (x<0)的图像与线段
x
BC交于点D,DE∥AC交AB于点E．（1）求线段AB的长度；
k
（2）试判断点E是否在函数y= 的图像上，并说明理由；
x
k
（3）已知AE−CD=2，点F在x轴上，点P在函数y= (x<0)的图像上，当四边形PDFE为平行四边形
x
时，求点P的坐标．
【思路点拨】
（1）先求得C的坐标可得OC=12，然后再说明四边形ABCO为矩形即可解答；
( k ) k
（2）由题意可得点D坐标为 ,12 ，设直线DE的函数表达式为y=2x+b，进而得到b=12− ；再确
12 6
定点E的横坐标为−6，然后代入即可解答；
( 24)
（3）如图：过点P作PH⊥BC于点H，先根据坐标求得AE=4，设点P坐标为 a,− ，则
a
24
PH=− −12，由平行四边形的性质可得∠EFA=∠PDH，进而证明△AEF≌△HPD可得
a
24
PH=EA=4，最后结合PH=− −12即可解答．
a
【解题过程】
（1）解：∵当x=0时，y=12，
∴C坐标为(0,12)，即OC=12，
∵BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠BAO=∠BCO=90∘，
∵∠AOC=90∘，
∴四边形ABCO为矩形，
∴AB=OC=12．k
（2）解：点E在函数y= 的图像上．理由如下：
x
k
∵点D在函数y= 的图像上，
x
( k )
∴点D坐标为 ,12 ，
12
∵DE∥AC，
∴可设直线DE的函数表达式为y=2x+b，
k
∴b=12− ，
6
∵点A坐标为(−6,0)
∴点E的横坐标为−6，
k k ( k)
∴当x=−6时，y=2x+12− =− ，即E −6,−
6 6 6
( k)
∵−6⋅ − =k，
6
k
∴点E在函数y= 的图像上．
x
（3）解：如图：过点P作PH⊥BC于点H，
( k ) ( k)
∵由（2）得D ,12 ,E −6,− ，
12 6
| k ) k | k) k
∴CD= =− ,AE= − =− ，
12 12 6 6
∵AE−CD=2，
k ( k )
∴− − − =2，即k=−24
6 12∴AE=4
( 24) 24
设点P坐标为 a,− ，则PH=− −12
a a
∵四边形PDFE是平行四边形，
∴EF∥PD,EF=PD，
∴∠EFA=∠PDH，
在△AEF与△HPD中，
∵∠EAF=∠PHD=90∘,∠EFA=∠PDH,EF=PD，
∴△AEF≌△HPD
24
∴PH=EA=4，即− −12=4，
a
3 ( 3 )
∴a=− ，即P点坐标为 − ,16 ．
2 2
k
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y = (k>0)的图
1 x
像与正比例函数y =mx(m>0)的图像交于点A、点C，与正比例函数y =nx(n>0)的图像交于点B、点D
2 3
，设点A、D的横坐标分别为s，t(00)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0,−2)，点P是反比例函数y= (x>0)的图象上一
x x
动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y=x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0y 时，x的取值范围；
2 1
②连接CE和CF，求△ECF的面积；
k
（3）当点M在x轴上运动，点N在反比例函数y = 的图象上运动，以点A，D，M和N为顶点的四边形
2 x
是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【思路点拨】
（1）证明△AOB≌△BDC(AAS)，得到点C(3,2)，进而求解；
（2）①观察函数图象即可求解；②由△ECF的面积=S +S −S ，即可求解；
△CHN △BNF △BHE
（3）当AD是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和mn=6列出表达式，即可求解；当AM(AN)是
对角线时，同理可解．
【解题过程】
（1）解：对于y =3x+3，令y =3x+3=0，解得x=−1，令x=0，则y =3，
1 1 1
即点A、B的坐标分别为(−1,0)、(0,3)，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
∵∠AOB=∠BDC=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴BD=AO=1，CD=OB=3，
∴点C(3,2)，k
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：2= ，
3
解得：k=6，
6
故反比例函数表达式得：y= ；
x
6
（2）当x=1时，y= =6，即点E(1,6)，
x
同理可得，点F(−2,−3)，
①由点A、B、E的坐标知，BE2=12+32=82=AF2，
即BE=AF，
观察函数图象知，当y >y 时，x的取值范围为：00)的图象于点C(3,n)，点E是反比例函数图象上的一动点，横
x
坐标为t(00)图象上．
x
（1）k=______；
（2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
（3）若点A绕点C顺时针旋转120°，所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长．
【思路点拨】
k
（1）将点M(5,3❑√3)代入y= (x>0)即可解得k=15❑√3；
x
( 15❑√3)
（2）根据点C在反比例函数图象上设点C的坐标为 c, ，再根据点A关于点C的对称点为点D，
c15❑√3
求出点D的坐标，再将点D的坐标代入反比例函数解析式y= (x>0)，即可求出c，从而得到点C
x
的坐标；
（3）利用旋转构造特殊角的直角三角形，设出点C坐标，然后通过旋转得性质进行线段表示与转化，最后
利用勾股定理求出线段长度即可．
【解题过程】
k k
（1）解：将点M(5,3❑√3)代入y= (x>0)得：3❑√3= ，
x 5
解得：k=15❑√3，
故答案为：15❑√3；
（2）∵k=15❑√3，
15❑√3
∴反比例函数的解析式是：y= (x>0)，
x
( 15❑√3)
设点C的坐标为 c, ，点D的坐标为(m,n)，
c
∵点A关于点C的对称点为点D，即点C是AD的中点，A(4❑√3,0)，
{
4❑√3+m
=c )
2
∴ ，
0+n 15❑√3
=
2 c
{m=2c−4❑√3
)
解得： 30❑√3 ，
n=
c( 30❑√3)
∴点D的坐标是： 2c−4❑√3, ，
c
又∵点D在反比例函数图象上，
30❑√3
∴(2c−4❑√3)× =15❑√3，
c
8❑√3
解得：c= ，
3
15❑√3 3 45
∴ =15❑√3× = ，
c 8❑√3 8
(8❑√3 45)
∴点C的坐标为 , ；
3 8
（3）如图，过点C作CG⊥x轴于点G，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得
△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠ECF=120°，
∵CG⊥x轴，CE⊥y轴，∠EOG=90°，
∴四边形OECG是矩形，
∴OE=CG，CE=OG，
由旋转的性质可知：CF=CE，∠AFC=∠BEC=90°=∠AFH，∠GCF=∠ECF−∠ECG=30°，
( 15❑√3)
设C c, ，
c
15❑√3
则OG=CE=CF=c，OE=CG= ，
c
设GH=x，则CH=2x，
在Rt△CGH中，GH2+CG2=CH2，即x2+
(15❑√3) 2
=(2x) 2 ，
c
15
解得：x= ，
c
15 30
∴ GH=x= ，CH=2x= ，
c c
30
∴ FH=CH−CF= −c，
c
∵点A(4❑√3,0)，
15
∴ AH=OG+GH−OA=c+ −4❑√3．
c
∵∠AHF=90°−∠GCH=60°，∠HAF=180°−∠AHF−∠AFH=30°，
∴ AH=2FH，
15 (30 )
∴ c+ −4❑√3=2 −c ，
c c
5❑√3
解得：c =3❑√3，c =− (舍去)，
1 2 3
∴ OE=CG=5，CE=OG=3❑√3，
∴ AG=OA−OG=❑√3，
∴ BC2=AC2=CG2+AG2=28，
∴ BE=❑√BC2−CE2=❑√28−(3❑√3) 2=1，
∴ OB=OE+BE=5+1=6，
∴ AB=❑√OA2+OB2=❑√(4❑√3) 2+62=2❑√21．
12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，一次函数y=kx+b(k＞0)的图象与反比例函数
8
y= (x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CD⊥CB，点C关
x
于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−)PB)最大时，求点P的坐标．
【思路点拨】
( 8)
（1）设点A的坐标为 m, ，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于
m
( 4)
H，得到CH=EH，求得E 2m, ，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
m
1 ( 8)
（2）①根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH= AD，设点A的坐标为 m,
2 m
，得到m=2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，解方程组即可得
到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE−)PD)=|PE−)PB)，则点
P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
【解题过程】
（1）解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
8
理由：∵一次函数y=kx+b(k＞0)的图象与反比例函数y= (x＞0)的图象交于点A，
x
( 8)
∴设点A的坐标为 m, ，
m
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，∴CH=EH，
∵BC=CD，OC⊥BD，
∴OB=OD，
1
∴OC= AD，
2
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
( 4)
∴E 2m, ，
m
4
∵2m× =8，
m
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
1
∴CH= AD，
2
( 8)
设点A的坐标为 m, ，
m
8
∴CH=m，AD= ，
m
1 8
∴m= × ，
2 m
∴m=2（负值舍去），
∴A(2,4)，C(0,2)，
把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，
{2k+b=4)
b=2{k=1)
∴ ；
b=2
②延长ED交y轴于P，
∵CD=CB，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−)PD)=|PE−)PB)，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
{2a+n=0)
∴ ，
4a+n=2
{ a=1 )
∴ ，
n=﹣2
∴直线DE的解析式为y=x－2，
当x=0时，y=－2，
∴P(0,−2)．
故当|PE−)PB)最大时，点P的坐标为(0,−2)．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在
k
反比例函数y= (k≠0)的第一象限内的图像上，OA=6，OC=10，动点P在x轴的上方，且满足
x
1
S = S ．
△PAO 5 矩形OABC（1）若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所
有点Q的坐标．
【思路点拨】
（1）由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出k的值，进而可得出反
1
比例函数解析式，由S = S 可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求
△PAO 5 矩形OABC
出点P的坐标；
（2）作点O关于直线y=4的对称点O′，连接AO′'交直线y=4于点P，利用两点之间线段最短可得出此时
PO+PA取得最小值，由点O的坐标可求出点O′的坐标，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；
（3）设点P的坐标为(m,4)，由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及
点Q在点P的下方两种情况考虑：①当点Q在点P的上方时，由AP=AB=10可求出m的值，进而可得出点
P ，P 的坐标，结合PQ=AB=10可得出点Q ，Q 的坐标；②当点Q在点P的下方时，由BP=AB=10可
1 2 1 2
求出m的值，进而可得出点P ，P 的坐标，结合PQ=AB=10可得出点Q ，Q 的坐标．综上，此题可得
3 4 3 4
解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形OABC是矩形，OA=6，OC=10，
∴点B的坐标为(6,10)，AB=OC=10，
k
∵点B在反比例函数y= (k≠0)的第一象限内的图像上，
x
∴k=6×10=60，
60
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
设点P的纵坐标为y ，
P1
∵S = S ，
△PAO 5 矩形OABC
1 1
∴ ×6×y = ×6×10，
2 P 5
∴y =4，
P
60
当y=4时， =4，解得：x=15，
x
∴当点P在这个反比例函数的图像上，点P的坐标为(15,4)；
（2）如图1，由（1）可知，点P在直线y=4上，作点O关于直线y=4的对称点O′，连接AO′'交直线y=4
于点P，
∵点O和点O′关于直线y=4的对称，
∴直线y=4垂直平分OO′，
∴PO=PO′，
∴PO+PA=PO′+PA=AO′，
即此时PO+PA取得最小值，最小值为AO′的长，
∵点O的坐标为(0,0)，
∴点O′的坐标为(0,8)，
∵点A的坐标为(6,0)，∠AOC=90°，
∴AO′=❑√OO′2+AO2=❑√82+62=10．
∴PO+PA的最小值为10．
（3）∵AB∥y轴，AB=10，点P的纵坐标为4，
∴AB不能为对角线，只能为边，
设点P的坐标为(m,4)，
分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，由AP=AB=10，
∴(m−6) 2+(4−0) 2=102，
解得：m =6−2❑√21，m =6+2❑√21，
1 2
∴点P 的坐标为(6−2❑√21,4)，点P 的坐标为(6+2❑√21,4)，
1 2
又∵PQ=10，且PQ∥AB∥y轴，
∴点Q 的坐标为(6−2❑√21,14)，点Q 的坐标为(6+2❑√21,14)；
1 2
②当点Q在点P的下方时，由BP=AB=10，
∴(m−6) 2+(4−10) 2=102，
解得：m =−2，m =14，
3 4
∴点P 的坐标为(−2,4)，点P 的坐标为(14,4)，
3 4
又∵PQ=10，且PQ∥AB∥y轴，
∴点Q 的坐标为(−2,−6)，点Q 的坐标为(14,−6)．
3 4
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为(6−2❑√21,14)，(6+2❑√21,14)
，(−2,−6)或(14,−6)．
16
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y= （x>0）图
x
像上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC．（1）写出A点的坐标______；
( 16)
（2）如图2，点P m, 是第一象限内双曲线上一点，连接PC并延长交x轴于点G，过点B作
3
BD⊥PC交y轴正半轴于点D，求证：△BOD≌△COG．
（3）在（2）的条件下，连接BC，将直线BC沿x轴向右平移，交y轴正半轴于点D，交x轴正半轴于E
点（如图3），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H点，M是EH的中点．
①连接QM，OM，探究QM与OM的关系，并说明理由．
1
②动点R在x轴的上方，且满足S = S ，点N是平面内一点，若以Q、R、F、N为顶点的四边
△OFR 3 矩 形ODQF
形是菱形，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．
【思路点拨】
（1）根据OBAC是正方形，可知A点的x轴、y轴坐标相等，即可求出A点的坐标；
（2）根据∠COG=∠DOB=90°，∠GCO=∠DCP，BD⊥PC，可以得到∠CGO=∠BDO，再结
合OC=OB，即可证明△BOD≌△COG；
（3）①因为DE//BC，所以OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，可以得到EM=HM=FM
，还有∠OEH=∠QFM=45°，这样可以证明△QMF≌△OME，得到QM=OM，∠QMF=∠OME，
再根据M是Rt△FHE的斜边中点，得到∠HMF=∠FME=90°，求出∠QMH=∠OMF，即可得到
QM⊥OM；②因为DQ⊥y轴交双曲线于Q点，且D(0,9)，所以S =16，又因为
矩 形ODQF1
S = S ，可知点R在直线y=6上，根据四边形以Q、R、F、N为顶点且为菱形，QF=OD=9
△OFR 3 矩 形ODQF
，即可知点N的y坐标，最后根据菱形的性质结合勾股定理即可得到点N的坐标．
【解题过程】
16
（1）∵点A是反比例函数y= （x>0）图像上一点，且OBAC是正方形，
x
∴x= y=4，
∴A点的坐标为(4,4)；
（2）∵∠COG=∠DOB=90°，∠GCO=∠DCP，
而BD⊥PC，
∴∠CGO=∠BDO，
∵OBAC是正方形，
∴OC=OB，
∴△BOD≌△COG；
（3）①连接FM，如图所示
∵DE//BC，
∴OE=OD=QF，而M是等腰Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM，
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME，
∴QM=OM，∠QMF=∠OME，
∵M是Rt△FHE的斜边中点，
∴∠HMF=∠FME=90°
∴∠QMF=∠QMH+∠HMF=∠QMH+90°，
∠OME=∠OMF+∠FME=∠OMF+90°，
∴∠QMH=∠OMF，
又∵∠HMO+∠OMF=∠HMF=90°，∴∠QMO=∠HMO+∠QMH=90°，
∴QM⊥OM；
综上所诉，QM与OM的关系为QM=OM且QM⊥OM；
②∵DQ⊥y轴交双曲线于Q点，且D(0,9)，
∴S =16
矩 形ODQF
16 (16 )
∴OF= ，即F ,0 ，
9 9
1
∵S = S
△OFR 3 矩 形ODQF
∴点R在直线y=6上，
∵四边形以Q、R、F、N为顶点且为菱形，而QF=OD=9，
∴RN=QF=9，
∵QF⊥x轴于F点，
∴RN⊥x轴 ，
∵点R的y坐标为6，
∴点N的y坐标为−3或15
当点N的y坐标为−3时，
∵QF=NF=9
∴点F到直线RN与直线OF交点的距离为：❑√92−3❑2=6❑√2，
16 16
∴点N的x坐标为：−6❑√2+ 或6❑√2+ ，
9 9
( 16 ) ( 16 )
∴点N的坐标为： −6❑√2+ ,−3 或 6❑√2+ ,−3 ；
9 9
当点N的y坐标为15时，
∵QF=NF=9，
∴点Q到直线RN与直线DQ交点的距离为：❑√92−62=3❑√5，
16 16
∴点N的x坐标为：−3❑√5+ 或3❑√5+ ，
9 9
( 16 ) ( 16 )
∴点N的坐标为： −3❑√5+ ,15 或 3❑√5+ ,15 ；
9 9
( 16 ) ( 16 ) ( 16 ) ( 16 )
综上所诉：点N的坐标为： −6❑√2+ ,−3 或 6❑√2+ ,−3 或 −3❑√5+ ,15 或 3❑√5+ ,15
9 9 9 9．
15．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，将锐角∠MON的顶点与原点O
k
重合，角的一边OM与x轴正半轴重合，角的另一边ON交函数y= (k>0,x>0)的图象（记为曲线l）于
x
点A．在射线ON的右侧构造矩形ABCD，对角线AC和BD交于点E．满足AB∥x轴，AC=2AO，作射
线OB．
（1）若点D(1,❑√2−1)，点E(2+❑√2,❑√2)，求k的值；
（2）求证：点D在直线OB上；
1
（3）如图2，当∠MON=45°时，射线OB交曲线l于点F，以点O为圆心， OB为半径画弧交x轴于点
2
H．求证：FH⊥x轴．
【思路点拨】
（1）根据矩形的性质，得出点E是BD的中点，根据中点坐标公式求出点B的坐标，即可求出A、C两点
的坐标，即可得出答案；
b (k ) ( k) (k k)
（2）设B(a,b)，求出直线OB的解析式为y= x，表示出A ,b ，C a, ，得出D , ，把点D
a b a b a
b
坐标代入y= x即可得出答案；
a
1
（3）先求出∠BOM= ∠MON=15°，∠BON=30°，设A(m,m)，则AO=AE=BE=❑√2m，得出
3
(❑√6+❑√2 )
k=m2，求出H m,0 ，过点B作BG⊥ON于点G，直线OB的解析式为：y=(2−❑√3)x，联
2{y=(2−❑√3)x
)
❑√6+❑√2
立，得： m2 ，求出x = m，即可得出答案．
y= (x>0) F 2
x
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC，BD互相平分，
∴点E是BD的中点，
∵D(1,❑√2−1)，E(2+❑√2,❑√2)，
∴B(3+2❑√2,1+❑√2)，
∴A(1,1+❑√2)，C(3+2❑√2,❑√2−1)，
∴k=1×(1+❑√2)=1+❑√2；
（2）解：设B(a,b)，设直线OB的解析式为y=kx，
则ak=b，
b
解得：k=
a
b
∴直线OB的解析式为y= x，
a
∵矩形ABCD，AB∥x轴，
k
∵点A、C在反比例函数y= 图象上，
x
(k ) ( k)
∴A ,b ，C a, ，
b a
(k k)
∴D , ，
b ab b k k
代入y= x得：右边= ⋅ = =左边，
a a b a
∴点D在直线OB上；
（3）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，AE=CE，BE=DE，
∴AE=BE=CE=DE，
∵AC=2AO，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO，∠BAE=∠ABE，
∵∠AEO=∠ABE+∠BAE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ABE，
∵AB∥OM，
∴∠BOM=∠ABE，
∴∠AOE=2∠BOM，
∵∠MON=45°，
1
∴∠BOM= ∠MON=15°，
3
∴∠BON=30°，
∴设A(m,m)，则AO=AE=BE=❑√2m，
∴k=m2，
∵在△AOE中，∠OAE=120°，
∴OE=❑√3AO=❑√6m，
∴OB=(❑√6+❑√2)m，
1 ❑√6+❑√2
∴OH= OB= m，
2 2
(❑√6+❑√2 )
即H m,0 ，
2
过点B作BG⊥ON于点G，1 ❑√6+❑√2
则BG= OB= m，
2 2
∵AB∥OM，
∴∠GAB=∠MON=45°，
∵在Rt△ABG中，∠GAB=45°，
∴AB=❑√2BG=(1+❑√3)m，
∴B(2m+❑√3m,m)，
设直线OB的解析式为y=k x，
1
则(2m+❑√3m)k =m，
1
解得：k =2−❑√3，
1
∴直线OB的解析式为：y=(2−❑√3)x，
{y=(2−❑√3)x
)
联立，得： m2 ，
y= (x>0)
x
❑√6+❑√2
则x = m，
F 2
∴x =x ，
F H
∴FH⊥x轴．
k
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k为常数，
x
且k≠0，x<0）的图像经过点A(−6,m),B(−2,n)两点．（1）m与n的数量关系是( )
A．m=3n B．n=3m C．m+n=8 D．m−n=4
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接OA、OB，则△AOB的面积为_____；
k
（3）若点M在反比例函数y= (x<0)的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、
x
M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
k
（1）把A(−6,m),B(−2,n)分别代入y= 得：k=−6m=−2n，即可解答；
x
（2）①过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACP≌△PDB(AAS)，得出
AC=PD=m，PC=BD=n，DO=2，CO=6，根据CO=CP+PD+DO， n=3m， 即可求出m和n
的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设AB所在直线函数表达式为
y=k x+b，直线AB交x轴于点C，
1
1
求出AB所在直线函数表达式为y= x+4，再求出C(−8,0)，则OC=8，最后根据S =S −S
2 △OAB △OBC △OAC
即可求解；
( 6)
（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设M t,− ,N(0,s)，A(−6,1),B(−2,3)根据平
t
行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【解题过程】
k
（1）解：把A(−6,m),B(−2,n)分别代入y= 得：k=−6m,k=−2n，
x
∴−6m=−2n，整理得：n=3m，
故选：B．
（2）解：①过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠ACP=∠PDB=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴∠APB=90°，AP=BP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ACP和△PDB中
¿，
∴△ACP≌△PDB(AAS)，
∴AC=PD,PC=BD，
∵A(−6,m),B(−2,n)，
∴AC=PD=m，PC=BD=n，DO=2，CO=6，
∵CO=CP+PD+DO，
∴n+m+2=6，
∵n=3m，
∴m=1,n=3，
∴P(−3,0),A(−6,1),B(−2,3)，
k
∵反比例函数的表达式为y= 过A(−6,1)，
x
∴k=−6，
6
∴反比例函数的表达式为y=− ；
x
②设AB所在直线函数表达式为y=k x+b，直线AB交x轴于点C，
1将A(−6,1),B(−2,3)代入得：
{1=−6k +b) { k = 1 )
1 ，解得： 1 2 ，
3=−2k +b
1 b=4
1
∴AB所在直线函数表达式为y= x+4，
2
1
把y=0代入得0= x+4，
2
解得：x=−8，
∴C(−8,0)，则OC=8，
1 1 1 1
∴S =S −S = OC⋅y − OC⋅y = ×8×3− ×8×1=8，
△OAB △OBC △OAC 2 B 2 A 2 2
故答案为：8．
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
( 6)
∴设M t,− ,N(0,s)，A(−6,1),B(−2,3)
t
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当AB为对角线时，
−6+(−2)=t，解得：t=−8，
( 3)
∴M −8, ；
4
②当AM为对角线时，
−6+t=−2，解得：t=4，
( 3)
∴M 4,− ；
2
∵x<0，( 3)
∴M 4,− 不符合题意，舍去
2
③当AN为对角线时，
−2+t=−6，解得：t=−4，
( 3)
∴M −4,
2
( 3) ( 3)
综上：存在，M −4, 或M −8, ．
2 4
k
17．（2023·四川成都·统考一模）如图1，已知反比例函数y= (k≠0)的图象与一次函数y=x−1的图象
x
相交于A（2，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
（2）M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
求点M的坐标；
k
（3）如图2，反比例函数y= 的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为m(m>2)，点Q的横坐标与点P
x
的横坐标互为相反数，连接AP，AQ，BP，BQ．若△ABQ的面积是△ABP的面积的3倍，求m的值．
【思路点拨】
（1）将A（2，a），代入一次函数解析式，求出a值，再求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，求
出B点坐标；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可；
（3）分别用含m的式子表示出△ABQ，△ABP的面积，再利用△ABQ的面积是△ABP的面积的3倍，列
式计算即可．
【解题过程】
k
（1）解：反比例函数y= (k≠0)的图象与一次函数y=x−1的图象相交于A（2，a），B两点，
x将A（2，a），代入y=x−1，得：a=2−1=1，
∴A（2，1），
∴k=2×1=2，
2
∴y= ，
x
{y=x−1
)
联立，得： 2 ，整理，得：x2−x−2=0，
y=
x
解得：x =−1,x =2，
1 2
当x=−1时，y=−1−1=−2，
∴B(−1,−2)；
（2）解：设M(x,0)，N(0,y)，
∵A（2，1），B(−1,−2)，
∴点B是由点A先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的；
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
①将点M(x,0)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到N(0,y)，
则：x−3=0，即：x=3，y=0−3=−3，
∴M(3,0)；
②将点N(0,y)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到M(x,0)，则：x=0−3=−3，y−3=0，即：y=3，
∴M(−3,0)；
综上：当M点坐标为(3,0)或(−3,0)时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形；
（3）如图，过点B作BE⊥x轴交AQ于点E，过点A作AF⊥x轴交BP于点F，
2 2
由题意，可知：P(m, ),Q(−m,− )，
m m
设直线AQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，
2
将A(2,1)，Q(−m,− )代入y=kx+b(k≠0)，则：
m
1
{
1=2k+b
)
{ k= )
m
2 ,解得：
− =−mk+b m−2
m b=
m
1 m−2
则直线AQ的解析式为y= x+
m m
1 m−2 m−3 m−3
当x=1时，y= ×(−1)+ = ，则E(−1, )；
m m m m
∵B(−1,−2)
m−3 3m−3
∴BE= −(−2)= ，
m m
1 1
∴S =S +S = BE×(x −x )+ BE×(x −x )
△ABQ △EBA △EBQ 2 B Q 2 A B
1
= BE×(x −x )
2 A Q
1 3m−3
= × ×(2+m)
2 m
3m2+3m−6
= ；
2m
设直线BP的解析式为y=ax+z(a≠0)2
将B(−1,−2)，P(m, ) 代入y=ax+z(a≠0)得：
m
2
{−2=−a+z
)
{ a= )
m
2 , 解得：
=ma+z 2−2m
m z=
m
2 2−2m
则直线BP的解析式为y= x+
m m
2 2−2m 6−2m ( 6−2m)
当x=2时，y= ×2+ = ,则：F 2, ，
m m m m
∵A(2,1)，
6−2m 3m−6
∴AF=1− = ，
m m
1 1
S =S +S = AF×(x −x )+ AF×(x −x )
ΔABP ΔAFB ΔAPP 2 A B 2 P A
1
= AF×(x −x )
2 P B
1 3m−6
= × ×(m+1)
2 m
3m2−3m−6
= ；
2m
∵S =3S ，
△ABQ △ABP
3m2+3m−6 3m2−3m−6
∴ =3× ，
2m 2m
解得：m =1+❑√3，m =1−❑√3，
1 2
又∵m>2，
∴m=1+❑√3．
18．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图1，已知点A(a,0)，B(0,b)，且a、
b满足❑√2a+2+(a+b+3) 2=0处于平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线
k
y= 经过C、D两点．
x（1）a=_________，b=________；
（2）求D点的坐标；
k
（3）点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上（如图2），若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边
x
形，请直接写出点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，
MN
MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不
HT
改变，请求出其值，并给出你的证明．
【思路点拨】
（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性
质求出t的值即可；
4 4
（3）由（2）知k=4可知反比例函数的解析式为y= ，再由点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，设Q
x x
4
（0，y），P（x， ），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
x
1
（4）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此
2
即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）∵❑√2a+2+(a+b+3) 2=0，
∴2a+2=0，a+b+3=0，
∴a=−1；b=−2．故答案为：−1；−2．
（2）∴A(−1,0)，B(0,−2)，
∵E为AD中点，
∴x =1，
D
设D(1,t)，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C(2,t−2)．
∴t=2t−4．
∴t=4．
∴D(1,4)．
4
（3）∵D（1，4）在双曲线y= 上，
x
∴k=xy=1×4=4．
4
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
4
∵点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，
x
4
∴设Q（0，y），P（x， ），
x
①当AB为边时：如图1所示：
−1+x
若ABPQ为平行四边形，则 =0，
2
解得x=1，
此时P（1，4），Q（0，6）；
1 1
如图2所示：−1 x
若ABQP为平行四边形，则 = ，
2 2
解得x=-1，
此时P（−1，−4），Q（0，−6）；
2 2
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
−1 x
∴ = ，
2 2
解得x=-1，
∴P（−1，−4），Q（0，2）；
3 3
综上所述，Q (0,6)；Q (0,−6)；Q (0,2)．
1 2 3
（4）如图4，连接NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT=NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
{
BF=BH
)
∠ABF=∠ABH ，
BN=BN
∴△BFN≌△BHN(SAS)，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN=180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH=360°−180°−90°=90°，
1
∴MN= HT，
2
MN 1
∴ = ．
HT 2
MN 1
即 的定值为 ．
HT 2
19．（2023·山东济南·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，点B(0,2)，直线AB与反比
k
例函数y= (k≠0)的图象在第一象限相交于点C(a,4)．
x（1）求反比例函数的解析式；
k
（2）如图2，点D(4,0)，连接CD，点E是反比例函数y= (k≠0)图象第一象限内一点，且点E在点C
x
的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与△ACD的面积相等，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结MD，并在MD左侧作正方
形MDNF．当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求直线AB的解析式，再将C(a,4)代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数
解析式；
（2）过点C、E分别作CH⊥x轴，EF⊥x轴，连接DE，利用A、C坐标求得AH=CH，进而得到
∠CAH＝45°；根据△ACE的面积且与△ACD的面积相等，可知DE∥AC，进而得到DF=EF，表示
点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
8
（3）设M（t， ）（t＞0），分两种情况讨论：当F点在直线AB上时，过点M作GH∥x轴，过
t
点F作FG⊥GH交于G点，过点D作DH⊥GH交于点H，通过证明△MFG≌△DMH，确定点
8 8
F（t﹣ , −4+t)，再将点F代入直线AB的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在
t t
直线AB上时，过点D作PQ∥y轴，过点M作MP⊥PQ于点P，过点N作NQ⊥PQ于点Q，同理可
得：△MPD≅△DQN(AAS)，确定点N的坐标，再将点F代入直线AB的解析式，即可求出t的值,从而
确定M点坐标．
【解题过程】
（1）解：设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将点A（−2，0），点B（0，2）代入，
{−2m+n=0)
∴
n=2{m=1)
解得
n=2
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
将C（a，4）代入y＝x+2中，
∴a+2＝4，
解得a＝2，
∴C（2，4），
k
将C（2，4）代入y= ，
x
∴k＝8，
8
∴反比例函数解析式为y= ；
x
（2）解：如图，过点C、E分别作CH⊥x轴，EF⊥x轴，连接DE，
∵A（﹣2，0），C（2，4）
∴AH=CH=4，
∴∠CAH＝45°，
∵△ACE的面积且与△ACD的面积相等，
∴E点在过D点且与AB平行的直线上，即DE∥AC，
∴∠EDF＝∠CAH＝45°
∴DF=EF，
设DF=EF=b，
则E（4+b，b）
∴（4+b）b=8
解得，b =−2+2❑√3，b =−2−2❑√3（不合题意，舍去）
1 2
∴b=−2+2❑√3，
∴E(2❑√3+2,2❑√3−2)；8
（3）解：设M（t， ）（t＞0），
t
如图，当F点在直线AB上时，过点M作GH∥x轴，过点F作FG⊥GH交于G点，
过点D作DH⊥GH交于点H，
∵∠FMD＝90°，
∴∠GMF+∠HMD＝90°，
∵∠GMF+∠GFM＝90°，
∴∠HMD＝∠GFM，
∵FM＝MD，
∴△MFG≌△DMH，
∴MH＝GF，GM＝HD，
8 8
∴F（t﹣ , −4+t)，
t t
8 8
∴ ﹣4+t＝t﹣ +2，
t t
8
解得t＝ ，
3
8
∴M( ,3)
3
如图，当N点在直线AB上时，过点D作PQ∥y轴，过点M作MP⊥PQ于点P，过点N作NQ⊥PQ于
点Q，同理可得：△MPD≅△DQN(AAS)，
∴MP=DQ,PD=NQ，
8
∴N(4− ,t−4)，
t
8
∴t−4=4− +2，
t
解得：t=5+❑√17或t=5−❑√17，
∵点M在点D左侧，
∴M(5−❑√17,5+❑√17)，
8
综上所述：M点坐标为( ,3)或(5−❑√17,5+❑√17)．
3
k
20．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线y=−x+b与双曲线y= 相交于A，B两点，点A坐标为
x
(−2,3)．点P是x轴负半轴上的一点．
（1）分别求出直线和双曲线的表达式；
（2）连接AP，BP，OA，OB，若S =4S ，求点P的坐标；
△APB △AOB
（3）我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，
平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）把(−2,3)分别代入两个解析式计算即可；
（2）设P(m,0)，表示出△ABO和△APB的面积，再根据S =4S 列方程计算即可；
△APB △AOB
（3）设Q(m,n)，分四种情况：当Rt△ABP≌Rt△QPB时，利用平移的性质可得Q(2,−5)；当
Rt△ABP≌Rt△BAQ时，运用平移的性质可得Q(4,1)；
当Rt△ABP≌Rt△ABQ时，通过构造全等三角形建立方程即可得出Q(1,4)；当Rt△ABP≌Rt△PQA
时，利用平移的性质可得Q(−8,5)．
【解题过程】
（1）把(−2,3)代入y=−x+b得：3=2+b，解得b=1，
∴直线解析式为y=−x+1
k k
把(−2,3)代入双曲线y= 得：3= ，解得k=−6，
x −2
−6
∴双曲线解析式为y= ；
x
（2）设P(m,0)，直线y=−x+1与x轴交点C(1,0)，则CP=1−m，
{y=−x+1
) {x=−2) { x=3 )
联立 −6 ，解得 或
y= y=3 y=−2
x
∴B(3,−2)，
过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，则BN=2,AM=3，
1 1 1 1 5
∴S =S +S = AM⋅PC+ BN⋅PC= ×2×(1−m)+ ×3×(1−m)= (1−m)
△APB △APC △BPC 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5
S =S +S = AM⋅OC+ BN⋅OC= ×2×1+ ×3×1=
△AOB △AOC △BOC 2 2 2 2 2
∵S =4S ，
△APB △AOB5 5
∴ (1−m)=4× ，
2 2
解得m=−3
∴P(−3,0)
（3）平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形．
∵A(−2,3),B(3,−2),P(−3,0)，
∴AB=❑√ (−2−3) 2+[3−(−2)) 2 =5❑√2，AP=❑√[−2−(−3)) 2 +(3−0) 2=❑√10，
BP=❑√[3−(−3)) 2 +(−2−0) 2=2❑√10，
∵AP2+BP2=(❑√10) 2+(2❑√10) 2=50,AB2=(5❑√2) 2=50，
∴AP2+BP2=AB，
∴△ABP是直角三角形，∠APB=90°，
设Q(m,n)，
当Rt△ABP≌Rt△QPB时，如图，
则BQ∥AP,BQ=AP，
{m−(−3)=3−(−2))
∴ ，
n−0=−2−3
{m=2
)
解得： ，
n=−5
∴Q(2,−5)；
当Rt△ABP≌Rt△BAQ时，如图，则BQ∥AP,BQ=AP，
{m−(−2)=3−(−3))
∴ ，
n−3=−2−0
{m=4)
解得： ，
n=1
∴Q(4,1)；
当Rt△ABP≌Rt△ABQ时，如图，设直线AB交x轴于点C，过点A作AE⊥x轴于E，作AF⊥x轴，
过点Q作QF⊥AF于F，
则∠BAP=∠BAQ，AP=AQ，
由（2）知：C(1，0)，
∵A(−2，3)，P(−3，0)，
∴E(−2，0)，
∴AE=3，CE=3，PE=1，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=∠CAE=45°，
∵AF∥x轴，
∴∠BAF=∠ACE=45°，
∴∠CAE=∠BAF，∴∠BAP−∠CAE=∠BAQ−∠BAF，即∠PAE=∠QAF，
∵∠AEP=∠AFQ=90°，AP=AQ，
∴△APE≌△AQF(AAS)，
∴AF=AE=3，QF=PE=1，
∴m−(−2)=3，n−3=1，
∴m=1，n=4，
∴Q(1,4)；
当Rt△ABP≌Rt△PQA时，如图，
则AQ∥BP,AQ=BP，
{m−(−2)=−3−3)
∴ ，
n−3=0−(−2)
{m=−8)
解得： ，
n=5
∴Q(−8,5)；
