文档内容
第15讲 导数中的极值点偏移问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国甲卷理，第21题,12 恒成立问题、零点问题
导数中的极值偏移问题
分 利用导数证明不等式
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2021年新I卷，第22题,12分 导数中的极值偏移问题
利用导数证明不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题
2能理解并掌握极值点偏移的含义
3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解
【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结
合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习知识讲解
1. 极值点偏移的含义
f (x) f(x)=f(2m−x) f (x)
众所周知，函数 满足定义域内任意自变量x都有 ，则函数 关于直线
f (x) f (x)
x=m对称；可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则
x +x
1 2
x=m必为 f (x) 的极值点. 如二次函数 f (x) 的顶点就是极值点 x 0，若 f (x)=c 的两根的中点为 2 ，
x +x
1 2 =x
则刚好有 2 0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
f (x) f (x)
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为m，且函数 满足定义域内
f (x)>f (2m−x) f (x) 1 2
2 2
若 ，则称为极值点左偏；若 ，则称为极值点右偏.
x x +x
g(x)= 1 2
如函数 ex 的极值点 x 0 =1 刚好在方程 g(x)=c 的两根中点 2 的左边，我们称之为极值点左
偏.
2. 极值点偏移问题的一般题设形式
f (x) x ,x x ≠x x +x >2x x f (x)
1. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极值点）；
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) x +x >2x x f (x)
2. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极
值点）；
x +x
x = 1 2
f (x) x ,x x ≠x 0 2 f '(x )>0
3. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，令 ，求证： 0 ；
x +x
x = 1 2
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) 0 2 f '(x )>0
4. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，令 ，求证： 0 .
3. 极值点偏移的判定定理
y=f (x) (a,b) x f (x)=0
对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，方程 的解分别为
x ,x a)x
f(x )f(2x 0 −x 2 ) ，则
1
2
2 >(<)x
0 ，即函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏.
y=f (x) (a,b) x f (x)
证明：（1）因为对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，则函数(a,x ) (x ,b) a)2x 0 −x 2，所以
1
2
2 <(>)x
0 ，即函数极（小）大
x
值点 0右（左）偏；
（2）证明略.
x +x x +x
⇔m< 1 2 ⇔m> 1 2
左快右慢（极值点左偏 2 ） 左慢右快（极值点右偏 2 ）
x +x x +x
⇔m< 1 2 ⇔m> 1 2
左快右慢（极值点左偏 2 ） 左慢右快（极值点右偏 2 ）
4. 对数平均不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
只证：当 时， ．不失一般性，可设 ．证明如下：
（I）先证： ……①
不等式① （其中 ）
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递减，
故 ，从而不等式①成立；
（II）再证： ……②
不等式② （其中 ）
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故 ，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对 ，都有对数平均不等式 成立，
当且仅当 时，等号成立．
5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
f (x) x
（1）求出函数 的极值点 0；
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造一元差函数 0 0 ；
F(x)
（3）确定函数 的单调性；
F(0)=0 F(x) f (x +x) f(x −x)
（4）结合 ，判断 的符号，从而确定 0 、 0 的大小关系.
考点一、 极值点偏移高考真题鉴赏
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
考点二、 含对数型极值点偏移
1．（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若 有两个极值点 ，求证： .
2．（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
考点三、 含指数型极值点偏移
1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数 ．(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 存在极小值，且极小值等于 ，求证： ．
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值．
(2)若 ，求证： ．
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设 ， 为函数 （ ）的两个零点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
考点 四 、 加法型极值点偏移
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 恰有两个零点 ．
(1)求 的取值范围；
(2)证明： ．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 有两个不同的正实根 ，证明： .
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 ，证明： ．
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)若 ，且 ，求证： ．
考点 五 、 减法型极值点偏移
1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明： .
1．（23-24高三上·河南·开学考试） 有两个零点 ．
(1) 时，求 的范围；
(2) 且 时，求证： ．
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)已知 ，设 的两个极值点为 ，且存在 ，使得 的图象与 有三
个公共点 ；
①求证： ；②求证： ．
考点 六 、 平方型（立方型）极值点偏移
1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： .
3．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
考点 七 、 乘积型极值点偏移
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .若 有两个零点 ，证明： .
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设 ， .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 有 恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时，若 ，求证： .
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．考点 八 、 商式型极值点偏移
1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 有两个相异零点 ､ ，且 ，求证：
.
2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.
3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 恰有两个极值点 ， （ ），且 ，求 的最大值.
2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证： ．
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 ，
，求证： ．
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，且 ，证明： ，且 ．
3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，若 存在两
个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点个数.
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围并证明 .
5．（2024·云南·二模）已知常数 ，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围;
(2)若 、 是 的零点，且 ，证明: .
6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令 ，设函数 ，且 ，求证： ．
7．（2023·山东日照·二模）已知函数 ．(1)若 恒成立，求实数 的值：
(2)若 ， ， ，证明： ．
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
10．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 在其定义域内有两个不同的极
值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明： .
13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： .
14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 ，a为实数．
(1)当 时，求函数在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
．
16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数 ．
(1)若函数 是减函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数 有两个极值点 ,证明： .
18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数
(1)若 时，求 的最值；
(2)若函数 ，且 为 的两个极值点，证明：
19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 （ ）．
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 ， 是函数 的两个零点，证明： ．
20．（2023·山东泰安·二模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，证明：（i） ；
（ii） .
1．（全国·高考真题）已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
2．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（Ⅲ）如果 ，且 ，证明
