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辽宁省营口市 2019 年中考数学试卷
一、选择题
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可.
【详解】-5的相反数是5
故选C
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.
2. 如图所示几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．再
对选项进行分析即可得到答案.
【详解】根据俯视图的特征，应选B．故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、平方差公式和合并同类项对各个选项中的式子进行计算，即可得到答案．
【详解】∵ ，故选项A错误；
∵ ，故选项C错误；
∵ ，故选项C正确；
∵ ，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘除法、平方差公式和合并同类项．
4. 如图， 是 的外角 的平分线， ，则 的度数是（ ）
A. 64° B. 40° C. 30° D. 32°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD=64°，根据三角形的外角性质计
算即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B=32°，
∵AD是 ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC△=2∠EAD=64°，
∵∠EAC是 ABC的外角，
∴∠C=∠EA△C-∠B=64°-32°=32°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5. 反比例函数 的图象位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式 和x的取值范围，可以解答本题．
【详解】∵反比例函数 ， ，
∴该函数图象在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6. 如图，在 中， ， ，则 的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方得到 ，即可解决问
题．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 如图，BC是 的直径，A，D是 上的两点，连接AB，AD，BD，若 ，则 的
度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AC，如图，根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算
的度数．
【详解】连接AC，如图，
∵BC是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
故选A．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
8. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还
应注意二次项系数不能为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△=b2-4ac≥0，
即：1+3k≥0，
解得： ，
∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的
情况．
9. 如图，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E，
，则 的值是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
证明 ，得出 ，证出 ，得出 ，
因此 ，在 中，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中， ；
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握
解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
10. 如图，A，B是反比例函数 图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点
C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5， ， ，则k的值为（
）
A. 5 B. 4 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，设 ， ，根据勾股定理求得 ，即可求得 ，
得出 ，设 ，则 ，根据题意得出 ， ，从而求得
，则 ， ，设B点的纵坐标为n，则 ， ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ，求得 ．
【详解】∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∵点B的横坐标为5，
∴ ，则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
设B点的纵坐标为n，
∴ ，则 ，∵ ， ，
∴A，B是反比例函数 图象上的两点，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形以及勾股定理的应用，表示出A、B
的坐标是解题的关键．
二、填空题
11. 因式分解： y﹣xy=__________．
【答案】xy（x+1）（x－1）
【解析】
试题分析：首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．
y﹣xy，=xy（ ﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
12. 2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为
________元．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．
当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】 ，故答案为 ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 一个长方形的长和宽分别为 和 ，则这个长方形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将 和 相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化
简成最简单二次根式即可．
【详解】∵长方形的长和宽分别为 和
∴这个长方形的面积为：
故答案为 .
【点睛】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二
次根式是解题的关键．
的
14. 在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手 打分分别是：9.5，9.8，9.4，9.5，9.6，9.3，
9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是________．
【答案】9.4．
【解析】
【分析】
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【详解】数据9.4出现了三次最多为众数．故答案为9.4．
【点睛】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
15. 圆锥侧面展开图的圆心角的度数为 ，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得 ，解得 ．故答案为3．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16. 如图，在矩形ABCD中， ， ，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点
D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点
E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若 是以BE为底的等腰三角形，则t的
值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点E作 于G，可得 ， ，由勾股定理可求t的值．
【详解】如图，过点E作 于G，
∴四边形ABGE是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴
故答案为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
17. 如图， 是等边三角形，点D为BC边上一点， ，以点D为顶点作正方形
DEFG，且 ，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为
________．
【答案】8
【解析】
【分析】
过点A作 于M，由已知得出 ，得出 ，由等边三角形的性质得出
， ，得出 ，在 中，由勾股
定理得出 ，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，
，即此时AE取最小值，在 中，由勾股定理得出 ，
在 中，由勾股定理即可得出 ．
【详解】过点A作 于M，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时， ，
即此时AE取最小值，
在 中， ，
∴在 中， ；
故答案为8．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌
握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点A，过点A 作x轴
1 2 1
的垂线交直线 于点B，过点A 作AB 的垂线交y轴于点B，此时点B 与原点O重合，连接
1 1 1 1 2 2
AB 交x轴于点C ，得到第1个 ；过点A 作y轴的垂线交l 于点B，过点B 作y轴的平行线交l
2 1 1 2 2 3 3 1于点A，连接AB 与AB 交于点C ，得到第2个 ……按照此规律进行下去，则第2019个
3 3 2 2 3 2
的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 待 定 系 数 法 得 到 一 次 函 数 解 析 式 ， 再 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 得 到
， 则 ，
，则 的面积 ．
【详解】∵ 与x轴交于点A，与y轴交于点A，
1 2
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ，设直线AB 的解析式为： ，
2 1
可得： ，
解得： ，
∴直线AB 的解析式为： ，
2 1
令 ，可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ 的面积 ，故答案为 ．
【点睛】此题考查一次函数图象上的点的坐标特征和相似三角形的判定和性质，关键是利用一次函数解决
三角形面积问题方法解答．
三、解答题
19. 先化简，再求值： ，其中a为不等式组 的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据变形得到 ，进行乘法运算得到 ，化简得到 ，然后
将a 的整数解代入求值．
【详解】原式
，
解不等式得
，
∴不等式组的整数解为 ，当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，熟练分解因式是解题的关键．
20. 一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图
的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，
然后根据公式求解．
【详解】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率 ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式．
21. 为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该
校部分学生进行了问卷调查（问卷调查表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图
（均不完整），请根据统计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有________名．（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为________．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【答案】（1）100；（2）见解析；（3） ；（4） 人.
【解析】
【分析】
（1）根据D的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；
（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有： （名），
故答案为100；
（2）喜爱C的有： （人），
补全 的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为： ，
故答案为 ；
（4） （人），
答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
22. 如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东 方向上，位于B市北偏西
方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划
修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：
）
【答案】高速公路AB不穿过风景区．
【解析】
【分析】
过点C作 于点H，设 ，则 ， ，结合 ，可得出
关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其与50进行比较即可得出结论．【详解】高速公路AB不穿过风景区．
过点C作 于点H，如图所示．
根据题意，得： ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴高速公路AB不穿过风景区．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形用CH的长表示出AH，BH的长
是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形ABCD中， ，垂足为点E，以AE为直径的 与边CD相切于点F，连
接BF交 于点G，连接EG．
（1）求证： ．（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）证明 ，可得 AD 是 的切线，由切线长定理得 ，同理 ，则
；
（2）连接OD，AF相交于点M，设 ，则 ，求得 ， ，可求出
，证得 ，求出 ，可证明 ，则
可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AO是 的半径，
∴AD是 的切线，
又∵DF是 的切线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴ ．（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵DA，DF是 的两条切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查圆周角定理、切线的性质、切线长定理、勾股定理、平行四边形的性质以及锐角三角函
数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．
24. 某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为 （ ，t为整数），销售单价p（元/kg）
与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ;(2) 第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．
【解析】
【分析】
（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： ，将 ， 解方程
组即可得到结论；
（2）设每天获得的利润为w元，由题意得到 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： ，
将 ， 代入得， ，
解得： ，
∴销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为： ；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，
，
∵∴w有最大值，
当 时，w最大，此时， ，
答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解
析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
25. 如图1，在 中， ， ，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延
长线上一点，且 ，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转 交线段CA的延长
线于点D．
（1）找出与 相等的角，并说明理由．
（2）如图2， ，求 的值．
（3）在（2）的条件下，若 ，求线段AB的长．
【答案】（1） ；理由见解析；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1） ．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；
（2）如图，过点C作 交MP于点G．构造全等三角形（ ）和相似三角
形（ ），根据相似三角形的对应边成比例求得 的值．（3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知 ．故 ．易得
．由（2）知， ，则 ．故 ， ．根据题
意得到： ，所以该相似三角形的对应边成比例： ．将相关线段的长度代入
求t的值，所以 ．
【详解】（1） ．
理由如下：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
由旋转的性质知， ．
∴ ；
（2）如图，过点C作 交MP于点G．
∴ ， ．
∵ ，点M是AB的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中， ．
∴ ．
∴ ；
（3）如图，由（2）知 ．则 ．
∵ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由（2）知， ，则 ．
∴ ， ．
∵ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
解得 ， （舍去）．
∴ ．
【点睛】考查了几何变换综合题．解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）与性质，旋转的性质，直
角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的
灵活运用．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ， ，与y轴交于点C，连接AC，BC，将 沿BC所在的直线翻折，得到 ，连接OD．
（1）用含a的代数式表示点C的坐标．
（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设 的面积为S， 的面积为S，若 ，求a的值．
1 2
【答案】（1） ；
(2) 抛物线的表达式为： ；
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为： ，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明 ，再根据相似三角形的性质得到 ，即
可求解；
（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，由三角形的面积公式得到
， ， ，而 ，即可求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为： ，即 ，则点 ；
（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵ ， ，
∴ ，
设： ，点 ，
，
∴ ，
∴ ，
其中： ， ， ， ， ， ，
将以上数值代入比例式并解得： ，
∵ ，故 ，
故抛物线 表达式为： ；
的
（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则 ，
过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，设： ，
，
，而 ，
则 ， ，
∴ ，则 ，
则 ， ，
则 ，则 ，
则 ，
解得： （舍去负值），
，
解得： （不合题意值已舍去），
故： ．当点C在x轴下方时，同理可得： ；故： 或
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何
方法得出： ，是本题解题的关键．
