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专题 11.4 电磁感应中的动量和能量问题
一、单选题
1．如图所示，光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，正方形线框abcd以与ab垂直的速度v 向右运动，
0
一段时间后进入磁场，磁场宽度大于线框宽度。ab边刚进入磁场时的速度为 v。整个过程中ab、cd边始
0
终与磁场边界平行。若线框进入磁场过程中通过线框的电荷量为q，线框中产生的焦耳热为Q，则线框穿
出磁场过程中（ ）
A．通过线框的电荷量为
B．通过线框的电荷量为
C．线框中产生的焦耳热为
D．线框中产生的焦耳热为
2．在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两
个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直
磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，线框的速度为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．此过程中通过线框截面的电荷量为B．此时线框的加速度为
C．此过程中回路产生的电能为2mv2
D．此时线框中的电功率为
3．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，方向一个垂直斜
面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L。一个质量为m、电阻为R，边长为L的正方形金属线框以速度
v刚进入上边磁场时，恰好做匀速直线运动，当ab到达gg'与ff'中点时，又恰好匀速，已知重力加速度为
g，则（ ）
A．当ab边刚越过ff '时线框的加速度大小为2gsinθ，方向沿斜面向上
B．当ab边刚越过ff '时线框的加速度大小为3gsinθ，方向沿斜面向下
C．线框从开始进入磁场到ab边到达gg'与ff '中点时产生的热量为
D．从ab越过ff'边界到线框再做匀速直线运动所需的时间
二、多选题
4．如图所示，两平行光滑导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分是半径为r的竖直半圆，两导轨间
的距离为l，导轨的电阻不计，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，两根长
度均为l的金属棒ab、cd均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为2m与m，电阻分别为
R与 。现给ab棒施加一个瞬时冲量使其以初速度 开始沿导轨向右运动，cd棒随即也开始运动且进入
圆轨道后恰好能通过轨道最高点 ，已知cd棒进入圆轨道前两棒未相撞，重力加速度大小为g，下列说
法正确的是（ ）A．ab棒刚开始向右运动时cd棒的加速度大小为
B．cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小为
C．cd棒刚进入半圆轨道时对轨道的压力为5mg
D．cd棒进入半圆轨道前ab棒上产生的焦耳热为
三、解答题
5．如图所示（俯视），MN、PQ为水平放置的足够长的水平平行光滑导轨，导轨间距为L，导轨左端连接
的定值电阻R，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，将电阻为r的金属棒ab垂直放置
在导轨上，且与导轨接触良好，导轨电阻不计，现对棒施加水平向右的恒力F作用，使棒由静止开始向右
运动，当通过R的电荷量达到q时，导体棒ab刚好达到最大速度。求：
（1）导体棒从释放到棒达到的最大速度 ；
（2）导体棒从释放到棒达到最大速度时滑动的距离s；
（3）导体棒从释放到棒达到最大速度的过程中电路产生的热能Q。
6．导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处
于竖直向下的匀强磁场中，金属导体棒MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速
运动，速度v与恒力F方向相同；导体棒MN始终与导线框形成闭合电路。已知导体棒MN电阻为R，其
长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。完成下列问题：
（1）通过公式推导验证：在 时间内，F对导体棒MN所做的功W等于电路获得的电能 ，也等于导体棒MN中产生的焦耳热Q ；
（2）某同学对此安培力的作用进行了分析，他认为：安培力的实质是形成电流的定向移动的电荷所受洛
伦兹力的合力，而洛伦兹力是不做功的，因此安培力也不做功。你认为他的观点是否正确，并说明理由。
（假设电子在导体棒中定向移动可视为匀速运动，电子电荷量为e）
7．如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖
直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，导轨与棒单位长度的电阻均为
r。t=0时刻，棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v 沿∠MON的角平分线向右滑动，在滑动过
0
程中始终保持与导轨良好接触。若棒与导轨均足够长，求:
（1）流过导体棒的电流I；
（2）t 时刻导体棒的发热功率；推导出回路中的热功率P随时间变化的关系式，并画出图像。
0
8．如图所示，一质量为m、边长为a的均匀正方形导线框ABCD放在光滑绝缘的水平面上。现以速度v水
平向右进入以虚线为边界的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，最终线框静
止在桌面上。线框刚进入磁场时，AB间的电势差是多少？整个过程中通过A点的电荷量是多少？整个过程
线框中产生的热量是多少？1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高三）如图所示，光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，正方形
线框abcd以与ab垂直的速度v 向右运动，一段时间后进入磁场，磁场宽度大于线框宽度。ab边刚进入磁
0
场时的速度为 v。整个过程中ab、cd边始终与磁场边界平行。若线框进入磁场过程中通过线框的电荷量
0
为q，线框中产生的焦耳热为Q，则线框穿出磁场过程中（ ）
A．通过线框的电荷量为
B．通过线框的电荷量为
C．线框中产生的焦耳热为
D．线框中产生的焦耳热为
2．（2022·北京市十一学校三模）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨间接有定值电阻R，金属棒与
两导轨始终保持垂直，接触良好且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中。棒在
竖直向上的恒力F作用下匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F与金属棒的重力是一对平衡力
B．棒内自由电荷所受洛伦兹力沿棒方向的分力做正功
C．恒力F做的功等于定值电阻R产生的热量
D．金属棒两端电势差为零
3．（2022·山西吕梁·三模）如图所示，间距 、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值 的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积 的圆形区域内存在垂直于导轨
所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为 ，在其右侧（含边界MN）存在磁感应
强度大小 、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。 时，某金属棒从MN处以 的初
速度开始水平向右运动，已知金属棒质量 ，与导轨之间的动摩擦因数 ，导轨、金属棒电阻
不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度 ，下列说法正确的是（ ）
A． 时，闭合回路中有大小为5A的顺时针方向的电流
B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流
C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向先向左再向右
D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动
4．（2022·福建·厦门双十中学模拟）如图甲所示为市面上的一款自发电无线门铃，按下按键，按键将推动
水磁铁运动，如图乙所示，即能产生电能供给发射器正常工作。松开按键后，在弹簧作用下按键将恢复原
位。关于按下按键和松开按键反弹过程中，下列说法正确的是（ ）
A．按下按键过程中，线圈中会产生感应电动势
B．按键反弹过程中，线圈中不会产生感应电动势
C．按住按键保持不动，线圈中始终有感应电流
D．按键反弹过程中，弹簧的弹性势能有一部分转化为电能5．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻
和 相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为 ，导体棒的电阻与固定电阻 和 的
阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为 ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培
力的大小为 。此时（ ）
A．电阻 消耗的热功率为
B．电阻 消耗的热功率为
C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为
D．整个装置消耗的机械功率为
6．（2022·海南·嘉积中学三模）如图，金属导轨 置于磁感应强度为B的匀强磁场中， ，导轨
与x轴对称。一金属杆垂直于 轴，在外力作用下沿 轴正方向做速度为 的匀速直线运动，金属杆经过O
点时开始计时，经时间 到达图示位置。金属杆单位长度的电阻为 ，导轨电阻不计，下列说法正确的是（
）
A． 时刻通过金属杆的电流方向为N到M
B．该过程中，感应电流与时间成正比
C．该过程中，通过金属杆某截面的电荷量为
D．该过程中，外力做功为
7.（2022·北京大兴精华学校三模）许多电磁现象可以用动力学观点来分析，也可以用动量、能量等观点来分析和解释。如图所示，在匀强磁场中倾斜放置的两根平行光滑的金属导轨，它们所构成的导轨平面与水
平面成 角，平行导轨间距L。匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度为B。两根金属杆ab和cd
可以在导轨上无摩擦地滑动。两金属杆的质量均为m，电阻均为R。若用与导轨平行的拉力作用在金属杆
ab上，使ab杆沿导轨上滑并使cd杆在导轨上保持静止，整个过程中两金属杆均与导轨垂直且接触良好。
金属导轨的电阻可忽略不计，重力加速度为g。求：
（1）通过金属杆cd的感应电流I；
（2）导体棒ab的速度大小v；
（3）同学甲认为拉力做功数值上等于回路中的总焦耳热，请分析说明他的结论是否正确。
（2022·上海·曹杨二中二模）如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ
夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于
导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、
阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终
垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x；
1
（2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q；
（3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离
x；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。
2
一、多选题
1．（2022·全国·高考真题）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨
垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带
的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A．通过导体棒 电流的最大值为
B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C．导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D．电阻R上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
2．（2021·福建·高考真题）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够
长且电阻可忽略不计。图中 矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。
在 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流
经a棒的电流为0，此时 ，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电
阻分别为R和 ，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，
则（ ）
A． 时刻a棒加速度大小为
B． 时刻b棒的速度为0
C． 时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍
D． 时间内，a棒产生的焦耳热为
3．（2020·海南·高考真题）如图，足够长的间距 的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，
导轨间存在一个宽度 的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 ，方向如图所示．一根质量，阻值 的金属棒a以初速度 从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另
一根质量 ，阻值 的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨
垂直且接触良好，导轨电阻不计，则（ ）
A．金属棒a第一次穿过磁场时做匀减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流
C．金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为
D．金属棒a最终停在距磁场左边界 处
二、解答题
4．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。 区域有匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度 向右运动，磁场内
的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 ，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N到 的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求M出磁场后
不与N相撞条件下k的取值范围。
5．（2022·湖北·高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂
直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加
与水平向右方向成θ = 45°角、大小为 的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边
进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大
小取g = 10m/s2，求：
（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
6．（2022·全国·高考真题）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属
框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成
金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内，磁感应强度大小随时间t的
变化关系为 。求:
（1） 时金属框所受安培力的大小；
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热。
7．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属
杆在水平外力作用下以速度v 向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u。设
0 0
金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为 ，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
