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专题 11.4 电磁感应中的动量和能量问题
一、单选题
1．如图所示，光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，正方形线框abcd以与ab垂直的速度v 向右运动，
0
一段时间后进入磁场，磁场宽度大于线框宽度。ab边刚进入磁场时的速度为 v。整个过程中ab、cd边始
0
终与磁场边界平行。若线框进入磁场过程中通过线框的电荷量为q，线框中产生的焦耳热为Q，则线框穿
出磁场过程中（ ）
A．通过线框的电荷量为
B．通过线框的电荷量为
C．线框中产生的焦耳热为
D．线框中产生的焦耳热为
【答案】D
【解析】
AB．设线框边长为Ｌ，电阻为R，进入磁场过程中，通过线框的电荷量
又
联立求得
所以线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量为显然线框进、出磁场的过程中，通过线框的电荷量相等，所以线框穿出磁场过程中，通过线框的电荷量仍
然为q，故AB错误；
CD．线框进入磁场过程中，受到安培力减速，有
又
由动量定理有
联立求得线框完全进入磁场时，线框动量改变量大小为
同理可得线框完全穿出磁场时，线框动量改变量大小为
所以求得线框穿出磁场时的速度大小为
线框进、出磁场的过程中，产生的焦耳热等于线框动能的减少量，所以线框进入磁场过程中产生的焦耳热
为
线框穿出磁场过程中产生的焦耳热为
故有
故C错误，D正确。
故选D。
2．在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直
磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，线框的速度为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．此过程中通过线框截面的电荷量为
B．此时线框的加速度为
C．此过程中回路产生的电能为2mv2
D．此时线框中的电功率为
【答案】D
【解析】
A．此过程中平均电动势
平均电流
通过线框截面的电荷量
A错误；
B．此时线框总电动势为
所受总安培力根据牛顿第二定律得
B错误；
C．对此过程，由能量守恒可得，回路产生的电能
C错误；
D．由电功率定义可得
D正确。
故选D。
3．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，方向一个垂直斜
面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L。一个质量为m、电阻为R，边长为L的正方形金属线框以速度
v刚进入上边磁场时，恰好做匀速直线运动，当ab到达gg'与ff'中点时，又恰好匀速，已知重力加速度为
g，则（ ）
A．当ab边刚越过ff '时线框的加速度大小为2gsinθ，方向沿斜面向上
B．当ab边刚越过ff '时线框的加速度大小为3gsinθ，方向沿斜面向下
C．线框从开始进入磁场到ab边到达gg'与ff '中点时产生的热量为
D．从ab越过ff'边界到线框再做匀速直线运动所需的时间
【答案】D
【解析】
AB．线框刚开始进入磁场时，线框处于平衡状态，此时有当ab边刚越过时 ，此时线框速度仍为v，此时有
联立可得
联立可得
方向沿斜面向上，故AB错误；
C．线框从开始进入磁场，安培力
ab边到达gg'与 中点时
由共点力平衡知识可知
解得
线框从开始进入磁场到ab边到达gg'与 中点，由动能定理可得
产生的热量为
故C错误；D．从ab越过 边界到线框再做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律可得
设该过程中平均电流为I，由闭合电路欧姆定律可得
取沿斜面向下方向为正，由动量定理可得
联立可得
故D正确。
故选D。
二、多选题
4．如图所示，两平行光滑导轨由两部分组成，左面部分水平，右面部分是半径为r的竖直半圆，两导轨间
的距离为l，导轨的电阻不计，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，两根长
度均为l的金属棒ab、cd均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为2m与m，电阻分别为
R与 。现给ab棒施加一个瞬时冲量使其以初速度 开始沿导轨向右运动，cd棒随即也开始运动且进入
圆轨道后恰好能通过轨道最高点 ，已知cd棒进入圆轨道前两棒未相撞，重力加速度大小为g，下列说
法正确的是（ ）
A．ab棒刚开始向右运动时cd棒的加速度大小为
B．cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小为C．cd棒刚进入半圆轨道时对轨道的压力为5mg
D．cd棒进入半圆轨道前ab棒上产生的焦耳热为
【答案】ABD
【解析】
A．ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，则根据导体棒切割磁场有
E=Blv
0
根据闭合电路欧姆定律有
根据牛顿第二定律可得
BIl=ma
0
联立解得
A正确；
BC．设cd棒刚进入圆形轨道时的速度为v，此时ab棒的速度为v，ab棒开始运动至cd棒即将进入圆轨
2 1
道的过程，对ab和cd组成的系统运用动量守恒定律可得
2mv=2mv+mv
0 1 2
cd棒进入圆轨道至最高点的过程中，对cd棒运用动能定理可得
在半圆轨道的 点对cd棒由牛顿第二定律可得
联立解得
由牛顿第二定律可得cd棒刚进入半圆轨道时对轨道的压力大小为B正确，C错误；
D．cd棒进入半圆轨道前对ab棒，由能量守恒定律可得
D正确。
故选ABD。
三、解答题
5．如图所示（俯视），MN、PQ为水平放置的足够长的水平平行光滑导轨，导轨间距为L，导轨左端连接
的定值电阻R，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，将电阻为r的金属棒ab垂直放置
在导轨上，且与导轨接触良好，导轨电阻不计，现对棒施加水平向右的恒力F作用，使棒由静止开始向右
运动，当通过R的电荷量达到q时，导体棒ab刚好达到最大速度。求：
（1）导体棒从释放到棒达到的最大速度 ；
（2）导体棒从释放到棒达到最大速度时滑动的距离s；
（3）导体棒从释放到棒达到最大速度的过程中电路产生的热能Q。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）当棒运动到最大速度 时，根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有
而
而最大速度时合力为零，即有联立可得
（2）最大速度时，由电荷量
可得
（3）对金属棒分析，由功能关系有
带入得
6．导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处
于竖直向下的匀强磁场中，金属导体棒MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速
运动，速度v与恒力F方向相同；导体棒MN始终与导线框形成闭合电路。已知导体棒MN电阻为R，其
长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。完成下列问题：
（1）通过公式推导验证：在 时间内，F对导体棒MN所做的功W等于电路获得的电能 ，也等于导体
棒MN中产生的焦耳热Q ；
（2）某同学对此安培力的作用进行了分析，他认为：安培力的实质是形成电流的定向移动的电荷所受洛
伦兹力的合力，而洛伦兹力是不做功的，因此安培力也不做功。你认为他的观点是否正确，并说明理由。
（假设电子在导体棒中定向移动可视为匀速运动，电子电荷量为e）【答案】（1）见解析；（2）不正确
【解析】
（1）电动势
导线匀速运动，受力平衡
在 时间内，外力F对导线做功
电路获得的电能
可见，F对导线MN所做的功等于电路获得的电能 ；
导线MN中产生的焦耳热
可见，电路获得的电能 等于导线MN中产生的焦耳热Q。
（2）他的观点是错误的。
因为在该过程中，安培力的方向与导体棒的运动方向相反，所以安培力做负功。自由电子除了要沿导体棒
定向移动，还要随导体棒向右运动，设电子沿导体棒定向移动的速度为u。电子随导体棒向右运动，受到
洛伦兹力f=evB，充当非静电力；电子沿导体棒运动，受到洛伦兹力
1
f=euB
2
设△t时间内，其中
W= evB·u△t
1
W= -euB·v△t
2
因此
W+ W=0
1 2
f 做正功，宏观表现为“电动势”，使电路获得电能。
1
安培力在数值上等于大量自由电子所受f 的总和，安培力做的功也等于大量自由电子所受f 做功的总功，
2 2
消耗机械能。洛伦兹力不做功，但两个分力做功，起到了“传递”能量的作用。
7．如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，导轨与棒单位长度的电阻均为
r。t=0时刻，棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v 沿∠MON的角平分线向右滑动，在滑动过
0
程中始终保持与导轨良好接触。若棒与导轨均足够长，求:
（1）流过导体棒的电流I；
（2）t 时刻导体棒的发热功率；推导出回路中的热功率P随时间变化的关系式，并画出图像。
0
【答案】（1） ；（2） t，P= t，见解析
0
【解析】
（1）导体棒的有效切割长度
L=2vttan 30°
0
感应电动势
E=BLv
0
回路的总电阻
R= 2vttan 30°+ r
0
联立可得通过导体棒的电流
I=
（2）回路中热功率
P=I2R
回路中电流
I=
为定值，电阻为
R=（tan 30°+ ）2vtr
0
可得P= t
故图像如图所示
t 时刻导体棒的电阻为
0
Rx=2vttan 30°·r
00
则导体棒的发热功率
P =I2Rx= t
棒 0
8．如图所示，一质量为m、边长为a的均匀正方形导线框ABCD放在光滑绝缘的水平面上。现以速度v水
平向右进入以虚线为边界的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，最终线框静
止在桌面上。线框刚进入磁场时，AB间的电势差是多少？整个过程中通过A点的电荷量是多少？整个过程
线框中产生的热量是多少？
【答案】 ， ， mv2
【解析】
线框刚进入磁场时，AB产生的感应电动势
E=Bav
AB间的电势差是路端电压，则有
整个过程中通过A点的电荷量为
q=It对线框，根据动量定理得
-BIat=0-mv
联立得
由能量守恒定律可知，整个过程线框中产生的热量等于线框动能的减少量，为
1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高三）如图所示，光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，正方形
线框abcd以与ab垂直的速度v 向右运动，一段时间后进入磁场，磁场宽度大于线框宽度。ab边刚进入磁
0
场时的速度为 v。整个过程中ab、cd边始终与磁场边界平行。若线框进入磁场过程中通过线框的电荷量
0
为q，线框中产生的焦耳热为Q，则线框穿出磁场过程中（ ）
A．通过线框的电荷量为
B．通过线框的电荷量为
C．线框中产生的焦耳热为
D．线框中产生的焦耳热为
【答案】D
【解析】
AB．设线框边长为Ｌ，电阻为R，进入磁场过程中，通过线框的电荷量
又联立求得
所以线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量为
显然线框进、出磁场的过程中，通过线框的电荷量相等，所以线框穿出磁场过程中，通过线框的电荷量仍
然为q，故AB错误；
CD．线框进入磁场过程中，受到安培力减速，有
又
由动量定理有
联立求得线框完全进入磁场时，线框动量改变量大小为
同理可得线框完全穿出磁场时，线框动量改变量大小为
所以求得线框穿出磁场时的速度大小为
线框进、出磁场的过程中，产生的焦耳热等于线框动能的减少量，所以线框进入磁场过程中产生的焦耳热
为
线框穿出磁场过程中产生的焦耳热为故有
故C错误，D正确。
故选D。
2．（2022·北京市十一学校三模）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨间接有定值电阻R，金属棒与
两导轨始终保持垂直，接触良好且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中。棒在
竖直向上的恒力F作用下匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F与金属棒的重力是一对平衡力
B．棒内自由电荷所受洛伦兹力沿棒方向的分力做正功
C．恒力F做的功等于定值电阻R产生的热量
D．金属棒两端电势差为零
【答案】B
【解析】
A．棒做匀速运动，对棒进行受力分析可得
故恒力F与金属棒的重力不是一对平衡力，故A错误；
B．金属棒在外力的作用下匀速上升，金属棒的自由电荷（电子）随棒上升，该分运动对应洛伦兹力的一
个分力，沿棒的方向向右；由右手定则可知，金属棒内电流方向向左，故金属棒内的自由电荷（电子）向
右做定向移动，故棒内自由电荷所受洛伦兹力沿棒方向的分力做正功，故B正确；
C．根据功能关系知，恒力 做的功等于棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，故C错误；
D．由于棒与导轨的电阻均不计，故金属棒两端电势差等于感应电动势，即
故D错误。
故选B。
3．（2022·山西吕梁·三模）如图所示，间距 、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值 的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积 的圆形区域内存在垂直于导轨
所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为 ，在其右侧（含边界MN）存在磁感应
强度大小 、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。 时，某金属棒从MN处以 的初
速度开始水平向右运动，已知金属棒质量 ，与导轨之间的动摩擦因数 ，导轨、金属棒电阻
不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度 ，下列说法正确的是（ ）
A． 时，闭合回路中有大小为5A的顺时针方向的电流
B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流
C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向先向左再向右
D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动
【答案】ACD
【解析】
A． 时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为
MN左侧变化的磁场使回路产生的电动势为
由楞次定律和右手定则知两电动势反向，由于 ，可知金属棒中的电流方向由M→N，闭合回路中有
顺时针方向的电流
选项A正确；BCD．金属棒受到向左的安培力和摩擦力，向右减速，当
时，电流为零，但金属棒仍受到向左的摩擦力，继续减速，此后当
这时闭合回路中有逆时针方向的电流，金属棒受到向右的安培力和向左的摩擦力，摩擦力大于安培力，金
属棒继续减速，直到安培力等于摩擦力，即
时金属棒开始匀速运动，则
解得
选项B错误，CD正确。
故选ACD。
4．（2022·福建·厦门双十中学模拟）如图甲所示为市面上的一款自发电无线门铃，按下按键，按键将推动
水磁铁运动，如图乙所示，即能产生电能供给发射器正常工作。松开按键后，在弹簧作用下按键将恢复原
位。关于按下按键和松开按键反弹过程中，下列说法正确的是（ ）
A．按下按键过程中，线圈中会产生感应电动势
B．按键反弹过程中，线圈中不会产生感应电动势
C．按住按键保持不动，线圈中始终有感应电流
D．按键反弹过程中，弹簧的弹性势能有一部分转化为电能
【答案】AD
【解析】
AB．按下按键和松开按键的过程中，穿过线圈的磁通量都会发生改变，都会产生感应电动势，有感应电流，
故A正确，B错误；C．住按键保持不动，线圈中磁通量不发生变化，线圈中没有感应电流，故C错误；
D．按键反弹过程中，线圈中有感应电流，由能量守恒定律可知，弹簧的弹性势能有一部分转化为电能，
故D正确。
故选AD。
5．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻
和 相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为 ，导体棒的电阻与固定电阻 和 的
阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为 ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培
力的大小为 。此时（ ）
A．电阻 消耗的热功率为
B．电阻 消耗的热功率为
C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为
D．整个装置消耗的机械功率为
【答案】BC
【解析】
AB．导体棒滑动的过程中切割磁感线，产生感应电动势，所以ab导体棒相当于电源， 与 并联，设导
体棒、 、 的电阻均为 ，导体棒的长度为 ，则 、 并联后的电阻为
电路产生的总电流为则导体棒所受的安培力为
、 上消耗的功率相等，均为
A错误，B正确；
C．整个装置所受的摩擦力为 ，所以摩擦力消耗的功率为
C正确；
D．导体棒克服安培力和摩擦力做功使得导体棒机械能减少，所以整个装置消耗的机械功率为
D错误。
故选BC。
6．（2022·海南·嘉积中学三模）如图，金属导轨 置于磁感应强度为B的匀强磁场中， ，导轨
与x轴对称。一金属杆垂直于 轴，在外力作用下沿 轴正方向做速度为 的匀速直线运动，金属杆经过O
点时开始计时，经时间 到达图示位置。金属杆单位长度的电阻为 ，导轨电阻不计，下列说法正确的是（
）
A． 时刻通过金属杆的电流方向为N到M
B．该过程中，感应电流与时间成正比
C．该过程中，通过金属杆某截面的电荷量为
D．该过程中，外力做功为
【答案】AD【解析】
A．根据右手定则可知， 时刻通过金属杆的电流方向为N到M，A正确；
B． 时刻金属杆切割磁感线的有效长度为
金属杆产生的电动势为
金属杆在回路中的电阻为
回路中的电流为
可知电路电流恒定不变，B错误；
C．该过程中，通过金属杆某截面的电荷量为
C错误；
D．该过程中，金属杆做匀速运动，可知外力与金属杆受到的安培力平衡，则有
可知该过程外力做的功为
D正确；
故选AD。
7.（2022·北京大兴精华学校三模）许多电磁现象可以用动力学观点来分析，也可以用动量、能量等观点来
分析和解释。如图所示，在匀强磁场中倾斜放置的两根平行光滑的金属导轨，它们所构成的导轨平面与水
平面成 角，平行导轨间距L。匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，磁感应强度为B。两根金属杆ab和cd
可以在导轨上无摩擦地滑动。两金属杆的质量均为m，电阻均为R。若用与导轨平行的拉力作用在金属杆
ab上，使ab杆沿导轨上滑并使cd杆在导轨上保持静止，整个过程中两金属杆均与导轨垂直且接触良好。
金属导轨的电阻可忽略不计，重力加速度为g。求：
（1）通过金属杆cd的感应电流I；
（2）导体棒ab的速度大小v；（3）同学甲认为拉力做功数值上等于回路中的总焦耳热，请分析说明他的结论是否正确。
【答案】（1） ；（2） ；（3）不正确，见解析
【解析】
（1）由于cd杆静止于导轨上，根据平衡条件有
解得
（2）导体棒ab产生的感应电动势
由闭合电路欧姆定律有
联立解得
（3）不正确。
设ab棒在力F的作用下匀速运动，由平衡条件
解得
所以t时间内
由焦耳定律知
所以其它方法正确也给分，但需要通过计算说明
（2022·上海·曹杨二中二模）如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ
夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于
导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、
阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终
垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x；
1
（2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q；
（3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离
x；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。
2
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【解析】
（1）若棒ab以速度v匀速通过磁场区域Ⅰ，则在此过程中产生感应电动势
闭合回路的总电阻
则通过金属棒的电流
金属棒ab进入磁场受到的安培力为。
因为金属棒匀速进入磁场区域Ⅰ，所以由受力可知
即
解得金属棒到区域Ⅰ上边界的速度
从静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，机械能守恒。故
解得
（2）设棒ab匀速通过区域Ⅰ过程用时为t，流经棒的电流为I，则此过程中金属棒上产生的热量
两个电阻上产生的热量为
由此可知
由能量的转化与守恒定律可知，机械能的减少量等于回路中产生的总热量，即
因此
解得（3）设导体棒进入磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ时的速度分别为 、 、 ，出磁场的速度分别为 、 、 ，通过
无磁场区域用时均为t，导体棒在无磁场区域，由牛顿第二定律
得
由匀变速运动规律可得
，
解得
，
即导体棒每次进入磁场的速度相等，每次出磁场的速度也相等。
导体棒离开磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ的过程中，由匀变速运动规律得
，
解得
进入磁场Ⅱ时的速度与进入磁场Ⅰ时的速度相等，所以
由静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，做匀变速直线运动，故
因此
金属棒ab由静止释放直至运动到区域Ⅲ下边界过程中的 图，如图所示一、多选题
1．（2022·全国·高考真题）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左
端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨
垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带
的电荷量为Q，合上开关S后，（ ）
A．通过导体棒 电流的最大值为
B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动
C．导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D．电阻R上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
【答案】AD
【解析】
MN在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为
A．当闭合的瞬间， ，此时MN可视为纯电阻R，此时反电动势最小，故电流最大
故A正确；
B．当 时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与MN及R构成回路，由于一直处于
通路的形式，由能量守恒可知，最后MN终极速度为零， 故B错误；
C．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为
当 时，MN上电流瞬时为零，安培力为零此时，MN速度最大，故C错误；
D． 在MN加速度阶段，由于MN反电动势存在，故MN上电流小于电阻R 上的电流，电阻R消耗电能大于MN上消耗的电能（即 ），故加速过程中， ；当MN减速为零的过程中，电容器的电
流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过
程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故D正确。
故选AD。
2．（2021·福建·高考真题）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够
长且电阻可忽略不计。图中 矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。
在 时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流
经a棒的电流为0，此时 ，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电
阻分别为R和 ，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，
则（ ）
A． 时刻a棒加速度大小为
B． 时刻b棒的速度为0
C． 时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍
D． 时间内，a棒产生的焦耳热为
【答案】AD
【解析】
A．由题知，a进入磁场的速度方向向右，b的速度方向向左，根据右手定则可知，a产生的感应电流方向
是E到F，b产生的感应电流方向是H到G，即两个感应电流方向相同，所以流过a、b的感应电流是两个
感应电流之和，则有
对a，根据牛顿第二定律有解得
故A正确；
B．根据左手定则，可知a受到的安培力向左，b受到的安培力向右，由于流过a、b的电流一直相等，故
两个力大小相等，则a与b组成的系统动量守恒。由题知， 时刻流过a的电流为零时，说明a、b之间的
磁通量不变，即a、b在 时刻达到了共同速度，设为v。由题知，金属棒a、b相同材料制成，长度均为
L，电阻分别为R和 ，根据电阻定律有
，
解得
已知a的质量为m，设b的质量为 ，则有
，
联立解得
取向右为正方向，根据系统动量守恒有
解得
故B错误；
C．在 时间内，根据
因通过两棒的电流时刻相等，所用时间相同，故通过两棒横截面的电荷量相等，故C错误；D．在 时间内，对a、b组成的系统，根据能量守恒有
解得回路中产生的总热量为
对a、b，根据焦耳定律有
因a、b流过的电流一直相等，所用时间相同，故a、b产生的热量与电阻成正比，即
又
解得a棒产生的焦耳热为
故D正确。
故选AD。
3．（2020·海南·高考真题）如图，足够长的间距 的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，
导轨间存在一个宽度 的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 ，方向如图所示．一根质量
，阻值 的金属棒a以初速度 从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另
一根质量 ，阻值 的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨
垂直且接触良好，导轨电阻不计，则（ ）
A．金属棒a第一次穿过磁场时做匀减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流C．金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为
D．金属棒a最终停在距磁场左边界 处
【答案】BD
【解析】
A．金属棒a第一次穿过磁场时受到安培力的作用，做减速运动，由于速度减小，感应电流减小，安培力
减小，加速度减小，故金属棒a做加速度减小的减速直线运动，故A错误；
B．根据右手定则可知，金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流，故B正确；
C．电路中产生的平均电动势为
平均电流为
金属棒a受到的安培力为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
解得对金属棒第一次离开磁场时速度
金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即
联立并带入数据得
由于两棒电阻相同，两棒产生的焦耳热相同，则金属棒b上产生的焦耳热
故C错误；
D．规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得联立并带入数据解得金属棒a反弹的速度为
设金属棒a最终停在距磁场左边界 处，则从反弹进入磁场到停下来的过程，电路中产生的平均电动势为
平均电流为
金属棒a受到的安培力为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
联立并带入数据解得
故D正确。
故选BD。
二、解答题
4．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。 区域有匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度 向右运动，磁场内
的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为
m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 ，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
q；②初始时刻N到 的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求M出磁场后
不与N相撞条件下k的取值范围。【答案】（1） ，方向水平向左；（2）① ，② ；（3）
【解析】
（1）细金属杆M以初速度 向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为 ，电流的大小为
则所受的安培力大小为
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为 ，有
整理可得联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N到 的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为 ，则N到cd边的速度大小恒为 ，根据动量守恒定律可知
解得N出磁场时，M的速度大小为
由题意可知，此时M到cd边的距离为
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
联立解得
②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有
同理解得
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为5．（2022·湖北·高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂
直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线
框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加
与水平向右方向成θ = 45°角、大小为 的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边
进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大
小取g = 10m/s2，求：
（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
【答案】（1）ax = 20m/s2，ay = 10m/s2；（2）B = 0.2T，Q = 0.4J；（3）X = 1.1m
【解析】
（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有
max = Fcosθ
代入数据有
ax = 20m/s2
在竖直方向有
may = Fsinθ - mg
代入数据有
ay = 10m/s2
（2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水
平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右
手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力竖直向下，ad边的上部分受
到的安培力水平向右，bc边的上部分受到的安培力水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场
开始，在竖直方向线框做匀速运动，有
Fsinθ - mg - BIL = 0
E = BLvy
vy2 = 2ayL
联立有
B = 0.2T
由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边
界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有
Q = W = BILy
安
y = L
Fsinθ - mg = BIL
联立解得
Q = 0.4J
（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为
vy = ayt
1
L = vyt
2
t = t + t
1 2
联立解得
t = 0.3s
由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有
则磁场区域的水平宽度
X = x + L = 1.1m
6．（2022·全国·高考真题）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属
框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成
金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为 。求:
（1） 时金属框所受安培力的大小；
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热。
【答案】（1） ；（2）0.016J
【解析】
（1）金属框的总电阻为
金属框中产生的感应电动势为
金属框中的电流为
t=2.0s时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
此时金属框所受安培力大小为
（2） 内金属框产生的焦耳热为
7．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，
磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v 向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u。设
0 0
金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计
其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为 ，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
【答案】（1） ， ；（2）（i） ，（ii）
【解析】
（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E = Blv
0
则金属杆中的电流
由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v 向右做匀速直线运动则有
0
根据功率的计算公式有
（2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆在水平外力作用下以
速度v 向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为
0
解得当电子沿金属杆定向移动的速率变为 时，有
解得
v′ =
根据能量守恒定律有
解得
（ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v 变到 ，设这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆
0
定向移动的距离为d，规定水平向右为正方向，则根据动量定理有
由于
解得
