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专题20 电磁感应中的动量和能量问题
目录
考向一 电磁感应中的能量问题.........................................................................................................................................1
1．电磁感应中的能量转化...................................................................................................................................................1
考查方式一 功能关系在电磁感应中的应用.............................................................................................................1
考查方式二 焦耳热的求解.........................................................................................................................................1
考向二 电磁感应中的动量问题.........................................................................................................................................1
动量观点在电磁感应现象中的应用.....................................................................................................................................1
考查方式一 安培力对时间的平均值的两种处理方法.............................................................................................1
考查方式二 安培力对时间的平均值求电荷量.........................................................................................................1
考查方式二 双杆在同一磁场中运动问题.................................................................................................................1
考查方式三 双杆在不同磁场中运动问题.................................................................................................................1
【题型演练】.........................................................................................................................................................................1
考向一 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．求解电磁感应现象中能量问题的一般步骤
(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于
电源．
(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化．
(3)根据能量守恒列方程求解．
考查方式一 功能关系在电磁感应中的应用
【例1】(2019·河南开封高三上第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定有光滑平行导轨，间距为 L，下
端接有阻值为R的电阻，空间存在与导轨平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒ab与上端固定的弹簧相连并垂直导轨放置。初始时，导体棒静止，现给导体棒竖直向下的初速度
v ，导体棒开始沿导轨往复运动，运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。若导体棒电阻 r与电阻R
0
的阻值相等，不计导轨电阻，则下列说法中正确的是( )
A．导体棒往复运动过程中的每个时刻受到的安培力方向总与运动方向相反
B．初始时刻导体棒两端的电压U ＝BLv
ab 0
C．若导体棒从开始运动到速度第一次为零时，下降的高度为h，则通过电阻R的电量为
D．若导体棒从开始运动到速度第一次为零时，下降的高度为 h，此过程导体棒克服弹力做功为W，则电
阻R上产生的焦耳热Q＝mv2＋mgh－W
【答案】 AC
【解析】 导体棒竖直向下运动时，由右手定则判断可知，ab中产生的感应电流方向从b→a，由左手定则
判断得知ab棒受到的安培力竖直向上，导体棒竖直向上运动时，由右手定则判断可知，ab中产生的感应
电流方向从a→b，由左手定则判断得知ab棒受到的安培力竖直向下，所以导体棒往复运动过程中的每个
时刻受到的安培力方向总与运动方向相反，A正确；导体棒开始运动的初始时刻，ab棒产生的感应电势为
E＝BLv ，由于r＝R，a端电势比b端高，所以导体棒两端的电压U ＝E＝BLv ，B错误；若导体棒从开始
0 ab 0
运动到速度第一次为零时，下降的高度为h，则通过电阻R的电量为q＝＝，C正确；导体棒从开始运动到
速度第一次为零时，根据能量守恒定律得知电路中产生的焦耳热Q ＝mv＋mgh－W，所以电阻R上产生的
热
焦耳热Q＝Q ＝mv＋mgh－，D错误。
热
[变式1]如图所示，平行金属导轨ab和cd与水平面成θ角，间距为L，导轨与固定电阻R 和R 相连，磁感
1 2
应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒 MN，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R 和R
1 2
的阻值均为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒以速度v沿导轨匀速下滑，忽略感应电流之间的相互
作用。则（ ）A．导体棒两端电压为
B．电阻R 消耗的热功率为
1
C．时间t内通过导体棒的电荷量为
D．导体棒所受重力与安培力的合力方向与竖直方向的夹角等于θ
【答案】C
【详解】A．导体棒匀速运动时，合力为零，即
mgsinθ=μmgcosθ+BIL
电磁感应的过程中， ，MN两端的电压
U=IR
外
联立以上三式得
故A错误；
B．导体棒的重力的功率：
P =mgvsinθ
G
摩擦力的功率：
P=μmgcosθ•v
f
根据
P=I2R
知MN上的功率：
P =I2R
MNR 和R 上的功率：
1 2
根据功能关系知：
PG=Pf+PMN+2PR1
即有
mgv（sinθ-μcosθ）=2PR1+PMN=6PR1
解得电阻R 消耗的热功率为
1
故B错误；
C．t时间内通过导体棒的电荷量为
故C正确；
D．导体棒受到重力、支持力、摩擦力和安培力四个力作用．如图所示：
根据平衡条件得知：支持力、摩擦力和安培力三个力的合力与重力大小相等、方向相反，摩擦力与安培力
方向相同，则支持力与摩擦力的合力与竖直方向的夹角小于θ．而重力与安培力的合力和支持力和摩擦力
的合力方向相反，则知导体棒所受重力与安培力的合力方向与竖直方向夹角小于θ，故D错误。
故选C。
[变式2]如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻 和 相连，匀强磁场垂直穿过导轨
平面。有一导体棒ab，质量为 ，导体棒的电阻与固定电阻 和 的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦
因数为 ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为 。此时（ ）A．电阻 消耗的热功率为
B．电阻 消耗的热功率为
C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为
D．整个装置消耗的机械功率为
【答案】BC
【详解】AB．导体棒滑动的过程中切割磁感线，产生感应电动势，所以ab导体棒相当于电源， 与 并
联，设导体棒、 、 的电阻均为 ，导体棒的长度为 ，则 、 并联后的电阻为
电路产生的总电流为
则导体棒所受的安培力为
、 上消耗的功率相等，均为
A错误，B正确；
C．整个装置所受的摩擦力为 ，所以摩擦力消耗的功率为C正确；
D．导体棒克服安培力和摩擦力做功使得导体棒机械能减少，所以整个装置消耗的机械功率为
D错误。
故选BC。
考查方式二 焦耳热的求解
【例2】CD、EF是两条水平放置的阻值可忽略的平行金属导轨，导轨间距为L，在水平导轨的左侧存在磁
感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域的宽度为d，如图所示．导
轨的右端接有一阻值为R的电阻，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值为R、质量为m的导体棒
从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，
且动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是 ( )
A．通过电阻R的最大电流为 B．流过电阻R的电荷量为
C．整个电路中产生的焦耳热为mgh D．电阻R中产生的焦耳热为mg(h－μd)
【命题立意】本题中导体棒以一定的初速度进入磁场，这类问题的分析思路为：导体切割磁感线运动→产
生感应电动势、感应电流→受到安培力作用→合外力变化→加速度变化→速度变化→稳定状态(或临界状
态)，必要时将电磁感应问题与力学规律相结合进行计算．
【思路点拨】 导体棒在磁场中运动的过程中，滑动摩擦力大小不变，导体棒克服安培力、滑动摩擦力做
功，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律结合能量守恒定律进行求解．
【答案】ABD
【解析】 质量为m的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放，刚进入磁场时速度最大，由mgh＝mv2，得
最大速度v＝，产生的最大感应电动势E ＝BLv＝BL.由闭合电路欧姆定律可得通过电阻R的最大电流I ＝
m m
＝，A正确；在导体棒滑过磁场区域的过程中，产生的感应电动势的平均值＝＝，平均感应电流＝，流过
电阻R的电荷量为q＝t，联立解得q＝＝，B正确；由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热Q＝mgh
－μmgd，C错误；电阻R中产生的焦耳热Q＝Q＝mg(h－μd)，D正确．
1
[变式1]如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L 、L 、L 、L ，在L 、L 之间，L 、L 之
1 2 3 4 1 2 3 4
间存在匀强磁场，磁感应强度大小均为1 T，方向垂直于虚线所在平面。现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L＝0.5 m，质量为0.1 kg，电阻为2 Ω，将其从图示位置由静止释放(cd边与L 重合)，线圈速度随时间的变
1
化关系如图乙所示，t 时刻cd边与L 重合，t 时刻ab边与L 重合，t 时刻ab边与L 重合，已知t ～t 的时
1 2 2 3 3 4 1 2
间间隔为0.6 s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向(重力加速度g取10 m/s2)。则( )
A．在0～t 时间内，通过线圈的电荷量为0.25 C B．线圈匀速运动的速度大小为8 m/s
1
C．线圈的长度为1 m D．0～t 时间内，线圈产生的热量为1.8 J
3
【答案】 ABD
【解析】 由题图可知，在t ～t 时间内，线圈向下做匀速直线运动，受力平衡，则根据平衡条件有：mg
2 3
＝BIL，而I＝，联立两式解得v ＝，代入数据解得：v ＝8 m/s，B正确；t ～t 时间内线圈一直做匀加速直
2 2 1 2
线运动，则知线圈内磁通量变化为零，不产生感应电流，不受安培力作用，仅在重力作用下运动，以 cd边
与L 重合时为初状态，以ab边与L 重合时为末状态，设磁场的宽度为d，则线圈长度为2d，线圈下降的
2 3
位移为3d，则有：3d＝vt－gt2，其中v＝8 m/s，t＝0.6 s，代入解得d＝1 m，所以线圈的长度为L′＝2d＝2
2 2
m，C错误；在0～t 时间内，cd边从L 运动到L ，通过线圈的电荷量为q＝＝＝0.25 C，A正确；0～t 时
1 1 2 3
间内，根据能量守恒得，Q＝mg(3d＋2d)－mv＝1.8 J，D正确。
[变式2]如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界
为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于 MN.第一次ab边
平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q，通过线框导体横截面的电荷量为q；第二次bc边平行MN进
1 1
入磁场，线框上产生的热量为Q，通过线框导体横截面的电荷量为q，则( )
2 2
A．Q>Q q＝q B．Q>Q q>q
1 2 1 2 1 2 1 2
C．Q＝Q q＝q D．Q＝Q q>q
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解析】.设ab和bc边长分别为L、L，线框电阻为R，若假设穿过磁场区域的时间为t.
1 2通过线框导体横截面的电荷量
q＝It＝＝，
因此q＝q.
1 2
线框上产生的热量为Q，
第一次：Q＝BL IL＝BL L，
1 1 1 2 1 2
同理可以求得Q＝BL IL＝BL L，
2 2 2 1 2 1
由于L>L，则Q>Q，故A正确．
1 2 1 2
考向二 电磁感应中的动量问题
动量观点在电磁感应现象中的应用
(1)对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定
律处理问题；
(2)由BL·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题．
考查方式一 安培力对时间的平均值的两种处理方法
力对时间的平均值和力对位移的平均值通常不等。力对时间的平均值可以通过作 F-t图象，求出曲线与 t8
F¯
轴围成的面积（即总冲量），再除以总时间，其大小就是力对时间的平均值 t。
考查方式二 安培力对时间的平均值求电荷量
ΔΦ
FΔt=BILΔt=BLq=BL
安培力的冲量公式是 ，这是安培力在电磁感应中的一个重要推论。感应电流通
R
过直导线时，直导线在磁场中受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BIL。在时间
△t内安培力的冲量
q
根据电流的定义式
¯I=
，式中q是时间t内通过导体截面的电量
t
E¯
欧姆定律
¯I=
，R是回路中的总电阻
R
Δφ
电磁感应中
E¯=
可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特殊应用。
Δt
【例3】 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为
a（amg才能保证金属杆做
减速运动，化简得h>，选项D错误．
5. 如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一
电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．
开
始时，给ef一个向右的初速度，则 ( )A．ef将减速向右运动，但不是匀减速 B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动
【答案】A
【解析】ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直
到停止，但不是匀减速，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确．
6. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的
条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．
T＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列vt图象中，可能正确
描述上述过程的是 ( )
【答案】D
【解析】导线框开始进入磁场过程，通过导线框的磁通量增大，有感应电流，进而受到与运动方向相反的
安培力作用，速度减小，感应电动势减小，感应电流减小，安培力减小，导线框的加速度减小，vt图线的
斜率减小；导线框全部进入磁场后，磁通量不变，无感应电流，导线框做匀速直线运动；导线框从磁场中
出来的过程，有感应电流，又会受到安培力阻碍作用，速度减小，加速度减小．选项D正确．
7. 如图甲所示，在列车首节车厢下面安装一电磁铁，电磁铁产生垂直于地面的匀强磁场，首节车厢经过安
放在两铁轨间的线圈时，线圈中产生的电脉冲信号传到控制中心．图乙为某段时间控制中心显示屏上的电
脉冲信号，则此时列车的运动情况是 ( )
A．匀速运动 B．匀加速运动C．匀减速运动 D．变加速运动
【答案】C
【解析】列车经过安放在两铁轨间的线圈时，产生感应电动势，由图乙可知电压均匀减小，由 E＝BLv可
知列车速度均匀减小，列车做匀减速运动，故C正确．
8. 一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁
感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导
体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd与导轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确
的( )
A．ab受到的拉力大小为2 N B．ab向上运动的速度为4 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能 D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
【答案】C
【解析】对导体棒cd分析：mg＝BIl＝，得v＝2 m/s，选项B错误；对导体棒ab分析：F＝mg＋BIl＝0.2
N，选项A错误；电能等于克服安培力做的功，即W ＝F vt＝＝0.4 J，选项C正确；在2 s内拉力做的功
电 安
为W ＝Fvt＝0.8 J，选项D错误．
拉
9. 如图，两条间距为L的平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一金属棒
垂直放置在两导轨上；在MN左侧面积为S的圆形区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大
小B随时间t的变化关系为B＝kt，式中k为常量，且k>0；在MN右侧区域存在一与导轨垂直、磁感应强
度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场。t＝0时刻，金属棒从MN处开始，在水平拉力F作用下以速
0
度v 向右匀速运动。金属棒与导轨的电阻及摩擦均可忽略。则( )
0A．在t时刻穿过回路的总磁通量为BLv t B．电阻R上的电流为恒定电流
0 0
C．在时间Δt内流过电阻的电荷量为Δt D．金属棒所受的水平拉力F随时间均匀增大
【答案】 BC
【解析】 根据题意可知，MN左边的磁场方向与右边的磁场方向相同，那么总磁通量即为左、右两
边磁通量之和，则在t时刻穿过回路的总磁通量为Φ＝Φ＋Φ＝ktS＋BvtL，A错误；根据法拉第电磁感应
1 2 0 0
定律得E＝＝kS＋BLv ，结合闭合电路欧姆定律得I＝＝，故电阻R上的电流为恒定电流，B正确；Δt时
0 0
间内通过电阻的电荷量为q＝IΔt＝Δt，C正确；金属棒所受的安培力大小F＝BIL＝，根据平衡条件得，
A 0
水平恒力大小等于安培力大小，即F＝，故外力F是一个恒力，D错误。
10. 如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度
大小为E＝，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦
因数为μ。现使圆环以初速度v 向下运动，经时间t，圆环回到出发点。若圆环回到出发点之前已经开始
0 0
做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．环经过时间刚好到达最低点
B．环的最大加速度大小为a ＝g＋
m
C．环在t 时间内损失的机械能为m
0
D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等
【答案】BC
【解析】由题意可知，环在运动的过程中，受到的电场力大小为F＝qE＝2mg，方向始终竖直向上。
设竖直向下为正方向，则在环下滑的过程中，根据牛顿第二定律得：mg－(qE＋μqvB)＝ma，解得：a＝
－，负号代表加速度方向与规定的正方向相反，故物体在下滑的过程中做加速度逐渐减小的减速运动；在
环上升的过程中，根据牛顿第二定律得：mg＋μqvB－qE＝ma′，解得：a′＝－，环做加速度逐渐减小的加
速运动，在到达出发点前，加速度减为零，此时，a′＝0，v＝，环开始以速度v做匀速直线运动。由运动
的不对称性可以确定，从开始下滑到刚好到达最低点的时间不等于，A错误；整个运动过程中，加速度一
直减小，所以在运动的最开始时，加速度最大，加速度的最大值为：a ＝g＋，B正确；由以上计算可知，
m整个过程中，系统损失的机械能ΔE＝mv－mv2＝m，C正确；环上升和下降的过程中，速度的平均值大小
不相等，摩擦力的平均值大小不相等，故因摩擦产生的内能不相等，D错误。
11．如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和
PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈
相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量 k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向
下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。
(1)闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；
(2)断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该
过程安培力做的功W。
【答案】 (1) 方向水平向右 (2)mv2－kq
【解析】 (1)设线圈中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝，则
E＝k①
设PQ与MN并联的电阻为R ，有
并
R ＝②
并
闭合S时，设线圈中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得I＝③
设PQ中的电流为I ，有
PQ
I ＝I④
PQ
设PQ受到的安培力为F ，有
安
F ＝BI l⑤
安 PQ
PQ保持静止，由受力平衡，有
F＝F ⑥
安
联立①②③④⑤⑥式得
F＝⑦
由楞次定律和右手螺旋定则得PQ中的电流方向为由Q到P，再由左手定则得PQ所受安培力的方向水平向
左，则力F的方向水平向右。(2)设PQ由静止开始到速度大小为v的加速过程中，PQ运动的位移为x，所用时间为Δt，回路中的磁通量
变化量为ΔΦ，回路中产生的平均感应电动势为，有
＝⑧
其中ΔΦ＝Blx⑨
设PQ中的平均感应电流为，有
＝⑩
根据电流的定义得
＝⑪
由动能定理，有
Fx＋W＝mv2－0
联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑫式得
W＝mv2－kq。⑬
12．一根质量 、长为 电阻不计的导体棒静止在足够长的光滑的 形导轨上，导轨平面存
在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 。导轨左侧有两个开关 与一个定值电阻串联，
阻值 ； 与一个电容器联，电容 ，如图甲所示。现将 闭合， 断开，且用拉力 拉着导
体棒开始向右做匀加速直线运动，图乙为导体棒所受拉力 随时间 的变化图像，则：
（1）磁感应强度 的大小为多少？
（2）已知在 内外为 做功 ，则电阻 产生的焦耳热为多少？
（3）当 时，将 断开， 闭合，同时撤去外力 ，则电容器最终所带电荷量为多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意可知，导体棒在外力 拉动开始做匀加速直线运动，由法拉第电磁感应定律有通过导体棒的电流
导体棒所受安培力
对导体棒，由牛顿第二定律有
导体棒做匀加速直线运动的速度
联立以上各式可得
由题图乙可得，斜率
纵截距
联立解得
（2）当 时，导体棒的速度
对导体棒，由动能定理有
电阻 产生的焦耳热
联立解得（3）将 断开， 闭合，导体棒给电容器充电，电容器两端电压增大，导体棒受到向左的安培力，做减
速运动，导体棒两端电压减小，当二者电压相等时，导体棒匀速运动，电容器所带电荷量稳定。设稳定时，
导体棒的速度为 ，则电容器两端电压
电容
对导体棒由动量定理有
通过导体棒的电荷量
联立以上各式解得
