文档文本内容
专题20 电磁感应中的动量和能量问题
目录
考向一 电磁感应中的能量问题.........................................................................................................................................1
1．电磁感应中的能量转化...................................................................................................................................................1
考查方式一 功能关系在电磁感应中的应用.............................................................................................................1
考查方式二 焦耳热的求解.........................................................................................................................................1
考向二 电磁感应中的动量问题.........................................................................................................................................1
动量观点在电磁感应现象中的应用.....................................................................................................................................1
考查方式一 安培力对时间的平均值的两种处理方法.............................................................................................1
考查方式二 安培力对时间的平均值求电荷量.........................................................................................................1
考查方式二 双杆在同一磁场中运动问题.................................................................................................................1
考查方式三 双杆在不同磁场中运动问题.................................................................................................................1
【题型演练】.........................................................................................................................................................................1
考向一 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．求解电磁感应现象中能量问题的一般步骤
(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于
电源．
(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化．
(3)根据能量守恒列方程求解．
考查方式一 功能关系在电磁感应中的应用
【例1】(2019·河南开封高三上第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定有光滑平行导轨，间距为 L，下
端接有阻值为R的电阻，空间存在与导轨平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒ab与上端固定的弹簧相连并垂直导轨放置。初始时，导体棒静止，现给导体棒竖直向下的初速度
v ，导体棒开始沿导轨往复运动，运动过程中始终与导轨垂直并保持良好接触。若导体棒电阻 r与电阻R
0
的阻值相等，不计导轨电阻，则下列说法中正确的是( )
A．导体棒往复运动过程中的每个时刻受到的安培力方向总与运动方向相反
B．初始时刻导体棒两端的电压U ＝BLv
ab 0
C．若导体棒从开始运动到速度第一次为零时，下降的高度为h，则通过电阻R的电量为
D．若导体棒从开始运动到速度第一次为零时，下降的高度为 h，此过程导体棒克服弹力做功为W，则电
阻R上产生的焦耳热Q＝mv2＋mgh－W
[变式1]如图所示，平行金属导轨ab和cd与水平面成θ角，间距为L，导轨与固定电阻R 和R 相连，磁感
1 2
应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒 MN，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R 和R
1 2
的阻值均为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒以速度v沿导轨匀速下滑，忽略感应电流之间的相互
作用。则（ ）
A．导体棒两端电压为
B．电阻R 消耗的热功率为
1
C．时间t内通过导体棒的电荷量为
D．导体棒所受重力与安培力的合力方向与竖直方向的夹角等于θ[变式2]如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻 和 相连，匀强磁场垂直穿过导轨
平面。有一导体棒ab，质量为 ，导体棒的电阻与固定电阻 和 的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦
因数为 ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为 。此时（ ）
A．电阻 消耗的热功率为
B．电阻 消耗的热功率为
C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为
D．整个装置消耗的机械功率为
考查方式二 焦耳热的求解
【例2】CD、EF是两条水平放置的阻值可忽略的平行金属导轨，导轨间距为L，在水平导轨的左侧存在磁
感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域的宽度为d，如图所示．导
轨的右端接有一阻值为R的电阻，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．将一阻值为R、质量为m的导体棒
从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处．已知导体棒与水平导轨接触良好，
且动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是 ( )
A．通过电阻R的最大电流为 B．流过电阻R的电荷量为
C．整个电路中产生的焦耳热为mgh D．电阻R中产生的焦耳热为mg(h－μd)
[变式1]如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L 、L 、L 、L ，在L 、L 之间，L 、L 之
1 2 3 4 1 2 3 4
间存在匀强磁场，磁感应强度大小均为1 T，方向垂直于虚线所在平面。现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L
＝0.5 m，质量为0.1 kg，电阻为2 Ω，将其从图示位置由静止释放(cd边与L 重合)，线圈速度随时间的变
1化关系如图乙所示，t 时刻cd边与L 重合，t 时刻ab边与L 重合，t 时刻ab边与L 重合，已知t ～t 的时
1 2 2 3 3 4 1 2
间间隔为0.6 s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向(重力加速度g取10 m/s2)。则( )
A．在0～t 时间内，通过线圈的电荷量为0.25 C B．线圈匀速运动的速度大小为8 m/s
1
C．线圈的长度为1 m D．0～t 时间内，线圈产生的热量为1.8 J
3
[变式2]如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界
为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于 MN.第一次ab边
平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q，通过线框导体横截面的电荷量为q；第二次bc边平行MN进
1 1
入磁场，线框上产生的热量为Q，通过线框导体横截面的电荷量为q，则( )
2 2
A．Q>Q q＝q B．Q>Q q>q
1 2 1 2 1 2 1 2
C．Q＝Q q＝q D．Q＝Q q>q
1 2 1 2 1 2 1 2
考向二 电磁感应中的动量问题
动量观点在电磁感应现象中的应用
(1)对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定
律处理问题；
(2)由BL·Δt＝m·Δv、q＝·Δt可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题．
考查方式一 安培力对时间的平均值的两种处理方法
力对时间的平均值和力对位移的平均值通常不等。力对时间的平均值可以通过作 F-t图象，求出曲线与 t4
F¯
轴围成的面积（即总冲量），再除以总时间，其大小就是力对时间的平均值 t。
考查方式二 安培力对时间的平均值求电荷量
ΔΦ
FΔt=BILΔt=BLq=BL
安培力的冲量公式是 ，这是安培力在电磁感应中的一个重要推论。感应电流通
R过直导线时，直导线在磁场中受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BIL。在时间
△t内安培力的冲量
q
根据电流的定义式
¯I=
，式中q是时间t内通过导体截面的电量
t
E¯
欧姆定律
¯I=
，R是回路中的总电阻
R
Δφ
电磁感应中
E¯=
可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特殊应用。
Δt
【例3】 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为
a（a<L）的正方形闭合线圈以初速 v 垂直磁场边界进入磁场，滑过磁场后速度变为 v（v<v ）那么
0 0
（ ）
a
a
L
A．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v+v）/2； B．完全进入磁场中时线圈的速度等于（v+v）/2；
0 0
C．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v+v）/2； D．以上情况A、B均有可能，而C是不可能的
0
角度二 安培力对时间的平均值求位移
B¯ILt=mv
安培力的冲量公式是 0①
E¯
¯I=
闭合电路欧姆定律 R+r ②
E¯=BL { ¯v¿
平均感应电动势： ③
位移：x=¯vt④ ①②③④得
B2L2x
=mv
R+r 0
这是安培力在电磁感应中的又一个重要推论。
考查方式二 双杆在同一磁场中运动问题
【例4】两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置，间距为d＝1 m，在左端弧形轨道部分高h
＝1.25 m处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在平直轨道右端放置另一金属杆b，
杆a、b的电阻分别为R ＝2 Ω、R ＝5 Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T．
a b
现
杆b以初速度大小v＝5 m/s开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a由静止滑到水平轨道的过程中，通
0
过杆b的平均电流为0.3 A；从a下滑到水平轨道时开始计时，a、b运动的速度—时间图象如图乙所示(以
a
运动方向为正方向)，其中m＝2 kg，m＝1 kg，g取10 m/s2，求：
a b
(1)杆a在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b产生的焦耳热．
【技巧方法】
两金属杆在平直的光滑导轨上运动，只受到安培力作用，这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的
减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动；
(2)能量观点：其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和；
(3)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属杆的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒．
[变式]如图所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向
下、磁感应强度为B的匀强磁场中，铜棒a、b的长度均等于两导轨的间距、电阻均为R、质量均为m，铜
棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好．现给铜棒a一个平行导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，
下列说法正确的是 ( )
A．回路中的最大电流为 B．铜棒b的最大加速度为
C．铜棒b获得的最大速度为 D．回路中产生的总焦耳热为考查方式三 双杆在不同磁场中运动问题
【例5】如图所示，两根质量均为m＝2 kg的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间
距之比为1∶2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导
轨电阻，现用250 N的水平拉力F向右拉CD棒，在CD棒运动0.5 m的过程中，CD棒上产生的焦耳热为
30 J，此时AB棒和CD棒的速度分别为v 和v ，且v ∶v ＝1∶2，立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒
A C A C
始终在不同磁场中运动，求：
(1)在CD棒运动0.5 m的过程中，AB棒上产生的焦耳热；
(2)撤去拉力F瞬间，两棒的速度v 和v 的大小；
A C
(3)撤去拉力F后，两棒最终做匀速运动时的速度v ′和v ′的大小．
A C【题型演练】
1.用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环．圆环竖直
向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的≪磁感应强度大小均为
B，圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则( )
A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流 B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C．此时圆环的加速度a＝ D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度v ＝
m
3. 一个边长为L的正方形导线框在倾角为θ的光滑斜面上由静止开始沿斜面下滑，随后进入虚线下方垂直
于斜面向上的匀强磁场中．如图所示，斜面以及虚线下方的磁场往下方延伸到足够远．下列说法正确的是
( )
A．线框进入磁场的过程，b点的电势比a点高 B．线框进入磁场的过程一定是减速运动
C．线框中产生的焦耳热小于线框减少的机械能
D．线框从不同高度下滑时，进入磁场过程中通过线框导线横截面的电荷量相等
4. (多选)如图所示，竖直放置的“ ”形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感
应强度为B.质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等．金属杆在导轨间的电阻为
R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g.金属杆( )A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下 B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于
5. 如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一
电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．
开
始时，给ef一个向右的初速度，则 ( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速 B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动
6. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的
条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．
T＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列vt图象中，可能正确
描述上述过程的是 ( )
7. 如图甲所示，在列车首节车厢下面安装一电磁铁，电磁铁产生垂直于地面的匀强磁场，首节车厢经过安
放在两铁轨间的线圈时，线圈中产生的电脉冲信号传到控制中心．图乙为某段时间控制中心显示屏上的电
脉冲信号，则此时列车的运动情况是 ( )A．匀速运动 B．匀加速运动
C．匀减速运动 D．变加速运动
8. 一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁
感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导
体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd与导轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确
的( )
A．ab受到的拉力大小为2 N B．ab向上运动的速度为4 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能 D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
9. 如图，两条间距为L的平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一金属棒
垂直放置在两导轨上；在MN左侧面积为S的圆形区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大
小B随时间t的变化关系为B＝kt，式中k为常量，且k>0；在MN右侧区域存在一与导轨垂直、磁感应强
度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场。t＝0时刻，金属棒从MN处开始，在水平拉力F作用下以速
0
度v 向右匀速运动。金属棒与导轨的电阻及摩擦均可忽略。则( )
0
A．在t时刻穿过回路的总磁通量为BLv t B．电阻R上的电流为恒定电流
0 0
C．在时间Δt内流过电阻的电荷量为Δt D．金属棒所受的水平拉力F随时间均匀增大10. 如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度
大小为E＝，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦
因数为μ。现使圆环以初速度v 向下运动，经时间t，圆环回到出发点。若圆环回到出发点之前已经开始
0 0
做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．环经过时间刚好到达最低点
B．环的最大加速度大小为a ＝g＋
m
C．环在t 时间内损失的机械能为m
0
D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等11．如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和
PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈
相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量 k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向
下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。PQ的质量为m，金属导轨足够长、电阻忽略不计。
(1)闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；
(2)断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该
过程安培力做的功W。12．一根质量 、长为 电阻不计的导体棒静止在足够长的光滑的 形导轨上，导轨平面存
在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 。导轨左侧有两个开关 与一个定值电阻串联，
阻值 ； 与一个电容器联，电容 ，如图甲所示。现将 闭合， 断开，且用拉力 拉着导
体棒开始向右做匀加速直线运动，图乙为导体棒所受拉力 随时间 的变化图像，则：
（1）磁感应强度 的大小为多少？
（2）已知在 内外为 做功 ，则电阻 产生的焦耳热为多少？
（3）当 时，将 断开， 闭合，同时撤去外力 ，则电容器最终所带电荷量为多少？
