专题05万有引力与航天问题（讲义）（原卷版）_新高考复习资料_2024新高考复习资料_二轮复习资料_高频考点解密2024年高考物理二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）_讲义

专题 05 万有引力与航天问题 01专题网络·思维脑图 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法 04核心素养·难点突破 05创新好题·轻松练习考点内容 考情预测 一般题型即求m、ρ、g、v、ω、T等 万有引力与航天问题在所有省份的高考题 中属于必考题型，基本以每年各国发射卫 卫星和赤道上物体参数的大小问题 星或天文观测数据为命题点。对于一般性 求m、ρ、g、v、ω、T等和卫星参数问题以 卫星发射和变轨问题 及卫星发射变轨问题属于简单的公式化简 命题，只需要熟悉万有引力等于向心力和 地球表面的万有引力等于重力两个公式即 卫星追及问题 可解决问题。对于卫星追及和双星问题属 于较难题型，需要进行复杂的公式运算， 需重点记忆这两类问题的公式。 双星问题 1.熟悉掌握一般性求m、ρ、g、v、ω、T等天体问题，将万有引力等于向心力和地球表 面的万有引力等于重力两个公式联立即可解决问题。 2.理解卫星参数问题中的两类，一类是卫星与卫星的比较，一类是卫星与赤道上的物 学 体进行比较。 习 3.掌握卫星变轨的规律，理解v、a、T、E在各个轨道上的大小关系，记住三大宇宙速 目 度。 标 4.熟悉追及相遇问题的两类问题的计算公式。 5.熟悉掌握双星系统的计算公式，理解处理方法，以及记住双星的周期和角速度相 等。 【典例1】（2023·广东·统考高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。 由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相 同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（ ） A．周期为 2t −t B．半径为 √ 3 GM(t 1 −t 0 ) 2 1 0 4π2C．角速度的大小为 π D．加速度的大小为√2πGM 3 t −t t −t 1 0 1 0 【典例2】（2023·天津·统考高考真题）运行周期为24h的北斗卫星比运行周期为12h的（ ） A．加速度大 B．角速度大 C．周期小 D．线速度小 【典例3】（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道 到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 1.一般类题型（求m、ρ、g、v、ω、T等）的解题思路 2.卫星和赤道上物体参数的大小问题3.卫星发射和变轨问题 考向01 一般题型即求m、ρ、g、v、ω、T等 【针对练习1】已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为G，在火星表面受到的重力大小为 1 G；地球与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为R、R。若不考虑自转的影响且火星车的质 2 1 2 量不变，则地球与火星的密度之比为（ ）G R G R G R G R2 A． 1 1 B． 1 2 C． 2 2 D． 1 2 G R G R G R G R2 2 2 2 1 1 1 2 1 【针对练习2】洛希极限是19世纪法国天文学家洛希在研究卫星状理论中提出的一个使卫星解体的极限数 据，即当卫星与行星的距离小于洛希极限时，行星与卫星间的引力会使卫星解体分散。洛希极限的计算公 式 (ρ' ) 1 其中 k 为常数，ρ'、ρ分别为行星和卫星的密度， R为行星的半径。若一颗行星的半径为 A=k 3R ρ R，该行星与卫星的近地卫星周期之比为a， 则行星与该卫星间的洛希极限为（ ） 0 2 2 3 3 A． − B． C． D． − ka 3R ka3R ka2R ka 2R 0 0 0 0 考向02 卫星和赤道上物体参数的大小问题 【针对练习3】（多选）如图所示，a为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b为近地轨道卫星，c 为同步轨道卫星，d为高空探测卫星。若a、b、c、d绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。 则（ ） A．a、b、c、d中，a的加速度最大 B．a、b、c、d中，b的线速度最大 C．a、b、c、d中，d的周期最大 D．a、b、c、d中，d的角速度最大 【针对练习4】中科院紫金山天文台在 2023 年1月9日首次发现了一颗新彗星，目前，该彗星正朝着近 日点运动，明年有望成为肉眼可见的大彗星。如图所示，Ⅱ为该彗星绕太阳运行的椭圆轨道，Ⅰ为某行星 绕太阳做匀速圆周运动的轨道，两轨道相切于B点。A为彗星运动的远日点，B为彗星运动的近日点。下 列说法正确的是（ ）A．彗星运行到A点的速度小于行星运行到B点的速度 B．彗星运行到A点的速度大于彗星运行到B点的速度 C．彗星运行的周期小于行星运行的周期 D．彗星运行到B点的加速度大于行星运行到B点的加速度 考向03 卫星发射和变轨问题 【针对练习5】（多选）2023年5月30日，“神舟十六号”载人飞船将十六乘组三名航天员送入空间站组 合体，图中轨道Ⅰ为载人飞船运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站运行轨道。两轨道相切于 B点，A 为椭圆 轨道的近地点，B为远地点，C为轨道Ⅱ上一点，C、A、B三点在一条直线上，则下列判断正确的是（ ） A．空间站从C点运行到B 点和载人飞船从A 点运行到B 点所用的时间相等 B．载人飞船在轨道Ⅰ上B点的速度小于空间站在轨道Ⅱ上C点的速度 C．载人飞船从 A 点沿椭圆轨道运动到B点，发动机需要做功 D．载人飞船在轨道Ⅰ上B点的加速度等于空间站在轨道Ⅱ上B点的加速度 【针对练习6】“嫦娥六号”探测器计划在2024到2025年执行月球背面的月球样品采集任务。若“嫦娥 六号”探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥六号”探测器先在圆轨道上做匀速圆周运 动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥六号”探测器的说法正确的是（ ）A．发射速度等于地球的第二宇宙速度 B．运行至B点时的速度等于月球的第一宇宙速度 C．要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速 D．在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期长 考向04 卫星追及问题 【典例4】（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球 恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各 地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 天王 行星名称 地球 火星 木星 土星 海王星 星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 R/AU则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ） A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 【针对练习7】（多选）2023年春节，改编自刘慈欣科幻小说的《流浪地球2》电影在全国上映。电影中 的太空电梯场景非常震撼。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步 轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转 时，绳索会细紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依 靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地 与同步空间站a，相对地球静止，卫星b与同步空间站a的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间t之 后，a、b第一次相距最远。已知地球半径R，自转周期T，下列说法正确的是（ ） A．太空电梯各点均处于完全失重状态 2Tt B．b卫星的周期为T = b 2t−T C．太空电梯停在距地球表面高度为 的站点，该站点处的重力加速度 4π2[(r+R) 3 ] 2R g= −3R T2 9R2 D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比 【针对练习8】（多选）卫星是人类的“千里眼”、“顺风耳”，如图所示两颗卫星某时共线，其对地球 的视角分别为120°和60°（即∠aMb=120°，∠cNd=60°）。已知地球半径为R，质量为M，万有引力 常量G，则下列说法正确的是（ ）A．两颗卫星间距为3√3R B．M卫星周期小于N卫星周期 C．从此时计时，到下次共线最短需经历时间 2√2π √ R3 Δt= 3√3−1 GM D．只需3颗N型卫星在同一轨道上均匀分布运行，即可实现地球全覆盖 考向05 双星问题 【典例5】（2023·福建·统考高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的 拉格朗日L 点附近，L 点的位置如图所示。在L 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地 2 2 2 球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小 于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L 点到地心的距离记为r（r << R）， 2 在L 点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似 2 1 1 ( r )] ≈ 1−2 (R+r) 2 R2 R A． ω= [G(M+m)] 1 2 B． ω= [G(M+m)] 1 2 2R3 R3 1 1 C． [ 3m ] D． [ m ] r= 3R r= 3R 3M+m 3M+m 【针对练习9】（多选）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多 样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动， 测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒 星的2倍，则（ ） A．恒星B的周期为T B．A、B两颗恒星质量之比为2∶1 C．恒星B的线速度是恒星A的2倍 D．A、B两颗恒星质量之和为4π2L3 GT2 【针对练习10】银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星(可视为质点)均做匀速圆周运 动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间 内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ） A．乙星运动的轨道半径保持不变 B．乙星运动的角速度保持不变 C．乙星运动的线速度大小保持不变 D．乙星运动的向心加速度大小保持不变 一、单选题 1．据中央电视台报道，“嫦娥三号”探测器于2013年12月2日1时30分在西昌卫星发射中心成功发射， 预计于本月14日实现探测器着陆，随后完成嫦娥三号最重要的科学任务：观天、看地、测月。如图所示， “嫦娥三号”将携“玉兔号”月球车首次实现月球软着落。若已知月球质量为M，半径为R，万有引力常 量为G，以下畅想可能的是（ ） 0 G M A．月球表面的重力加速度 0 R B．在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最小周期为 √ R 2π G M 0C．在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最小速度为√G M 0 R D．在月球表面以初速度v 竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为 R2v2 0 0 2G M 0 2．地球的公转轨道接近圆，但哈雷彗星的绕日运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天文学家哈 雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归将在2061年。 已知地球和太阳之间的距离为1AU，则哈雷彗星轨道半长轴约为（ ） A．27AU B．18AU C．9AU D．3AU 3．2022年12月8日火星冲日，火星冲日是地球恰好运行到火星与太阳之间，且三者几乎排成一条直线的 现象，如图所示。地球和火星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，两颗行星绕太阳运行时（ ） A．地球的线速度较大 B．两者线速度大小相等 C．两者角速度大小相等 D．火星的角速度较大 4．国际宇航联合会将2022年度最高奖“世界航天奖”授予了天问一号火星探测团队。如图是“天问一 1 1 号”登陆火星过程示意图，火星的质量约为地球质量的 ，半径仅为地球半径的 左右，与地球最近的距 10 2 离为5500万公里。下列说法正确的是（ ） A．“天问一号”的发射速度必须达到第三宇宙速度B．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 C．近火制动时，“天问一号”受到地球的引力大于火星的引力 D．“天问一号”在科学探测段的轨道周期小于在停泊段的轨道周期 5．2021年10月16日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，与天和核心舱成功对接，飞船与核心舱 对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r 的圆轨道III上，神舟十三号飞船先被发送至半径为 3 r 的圆轨道I上，运行周期为T ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到远地点B处与天和核心舱对接。 1 1 关于神舟十三号飞船，下列说法正确的是（ ） A．沿轨道II从近地点A运动到远地点B的过程中，速度不断增大 B．沿轨道I运行时的机械能等于沿轨道II运行时的机械能 √ r +r 3 C．沿轨道II运行的周期为 T ( 1 3 ) 1 2r 1 D．沿轨道I运动到A点时的加速度小于沿轨道II运动到A点时的加速度 6．太阳系中，海王星是离太阳最远的一颗行星，它的质量是地球质量的17倍，半径是地球半径的4倍。 海王星的公转轨道半径是地球公转轨道半径的30倍，取g=10m/s2，地球的第一宇宙速度为7.9km/s。 则以下说法正确的是（ ） A．海王星的第一宇宙速度小于15.8km/s B．海王星表面的自由落体加速度大于10m/s2 C．太阳对地球的引力约为太阳对海王星的引力的1800倍 D．地球的公转周期约为海王星公转周期的30倍 7．登天揽月，奔月取壤，嫦娥五号完成了中国航天史上的一次壮举。2020年12月17日，嫦娥五号轨道 器与返回器在距离地球5000公里处实施分离，轨道器启程飞往日地拉格朗日点L ，如图1所示，返回器独 1 自携带月壤样品返回地球，如图2所示，图中A、C、E三点均在大气层边缘，返回器从A到E无动力作用， 下列说法正确的是（ ）A．图1中，轨道器在L 点所受的太阳的引力大于地球对其的引力 1 B．图1中，轨道器在L 点处于平衡状态 1 C．图2中，返回器通过A点时的动能等于其通过C点时的动能 D．图2中，返回器在A、C、E三点处的加速度相同 8．在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星绕恒星-HX运行，假设该类地行星、地 球绕恒星均做匀速圆周运动，类地行星运行的周期为地球运行周期的p倍，轨道半径是地球运行半径的q 倍，则恒星HX的质量为太阳的（ ）倍 A．q2 B．q3 C．p2 D．p3 p3 p2 q3 q2 9．我国的嫦娥五号进入绕月球飞行的轨道，若嫦娥五号在半径R的月球上空离月球表面高为h的圆形轨道 上绕月球飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于月球质量M和平均密度ρ的表达式 正确的是（ ） A． 4π2 (R+ ℎ) 3 ， 3π(R+ ℎ) 3 M= ρ= Gt2 Gt2R3 B． 4π2 (R+ ℎ) 2 ， 3π(R+ ℎ) 2 M= ρ= Gt2 Gt2R3 C． 4π2 (R+ ℎ) 3 ， 3π(R+ ℎ) 3 M= ρ= Gt2 Gn2R3 D． 4π2n2 (R+ ℎ) 3 ， 3πn2 (R+ ℎ) 3 M= ρ= Gt2 Gt2R3 10．某卫星在距月球表面高度为 ℎ 的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T。若以R表示月球 的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则（ ）2πR A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为 T B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为4π2(R+ ℎ) 2 R2T2 2πR √R+ ℎ C．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为 T R D．月球的平均密度为3π(R+ ℎ) 3 GT2R3 11．牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量为M，半径为R，质量均匀 分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞， 在洞口无初速度释放一个质量为m的小球（小球的直径略小于洞的直径），在小球向下端点运动的过程中， 已知万有引力常量为G。下列说法中正确的是（ ） A．小球运动到洞的下端点所用的时间为π √ R3 2 GM GMmx B．小球在距地心x处所受到的万有引力的合力大小为F= R3 C．小球在洞内做往复振动，小球受力与到地心距离的关系决定了此振动为非简谐运动 D．若小球释放的位置再向下移动一点，则小球振动周期变小 12．随着科技的发展，人类必将揭开火星的神秘面纱.如图所示，火星的人造卫星在火星赤道的正上方距离 火星表面高度为R处环绕火星做匀速圆周运动，已知卫星的运行方向与火星的自转方向相同，a点为火星 赤道上的点，该点有一接收器，可接收到卫星发出信号。已知火星的半径为R，火星同步卫星的周期为T， 近火卫星的线速度为v，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ） G 4πR A．火星的质量为 B．卫星的环绕周期为 v2R v C． 点连续收到信号的最长时间为4√2πR D．火星同步卫星到火星表面的高度为√v2T2R a 3 −R 3v 4π2二、多选题 13．荷兰“MarsOne”研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。如果让小球从火 1 星上一定高度自由下落，测得它在第2s内的位移是6m，已知火星的半径约为地球半径的 ，地球表面的 2 重力加速度g取10m/s2，则（ ） A．该小球在前2s内的平均速度是3m/s B．火星表面的重力加速度为4m/s2 1 C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的 √5 1 D．火星质量约为地球质量的 5 14．黑洞是一种密度极大、质量极大的天体，以至于光都无法逃逸，一到某黑洞的距离为r（远大于黑洞 的半径）的星球以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动。引力常量为G，不考虑其他天体的影响，关于该黑洞， 下列说法正确的是（ ） A．该黑洞的质量为8π2r3 GT2 B．该黑洞的质量为4π2r3 GT2 2πr C．星球绕该黑洞做匀速圆周运动的线速度大小为 T πr D．星球绕该黑洞做匀速圆周运动的线速度大小为 T 15．2023年10月31日，神射六号载人飞行任务取得圆满成功，航天英雄景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利返 航回家，我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期 17 为T，轨道半径约为地球半径的 倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ 16 ）A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力 17πR B．空间站绕地球运动的线速度大小约为 8T C．地球的平均密度约为 3π (16) 3 GT2 17 (16) 2 D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 倍 17 16．我国发射的“嫦娥四号”登月探测器，首次造访月球背面，成功实现对地对月中继通信。如图所示， “嫦娥四号”从距月面高度为100km的环月圆轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15km的椭圆轨道 Ⅱ，由近月点Q落月。关于“嫦娥四号”下列说法正确的是（ ） A．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期 B．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度 C．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小， 机械能不变 17．导航系统是一种利用人造卫星对物体进行定位测速的工具，目前世界上比较完善的导航系统有美国的 GPS系统，中国的北斗系统，欧洲的伽利略导航系统以及俄罗斯的GLONASS系统，其中美国的GPS系统 采用的是运行周期为12小时的人造卫星，中国的北斗系统一部分采用了同步卫星，现有一颗北斗同步卫星 A和一颗赤道平面上方的GPS卫星B，某时刻两者刚好均处在地面某点C的正上方，如图所示，下列说法 正确的是（ ）A．A的线速度比B的小，B的线速度比C的小 B．若两者质量相等，则发射A需要更多的能量 C．此时刻B处在A、C连线的中点 D．从此时刻起，经过12小时，两者相距最远 18．2023年10月26日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满的完成了发射，与天和核心舱成功对接。 神舟十七号载人飞船的发射与交会对接过程的示意图如图所示，因中①为近地圆轨道，其轨道半径为R ， 1 ②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在圆轨道，其轨道半径为R ，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的 2 GMm 交会点。已知神舟十七号载人飞船的引力势能大小的表达式为E =− ，式中R为地心到飞船的距离， p R M为地球的质量，m为神舟十七号载人飞船的质量，G为万有引力常量，地球表面的重力加速度为g。下 列判断正确的是（ ） A．神舟十七号在②轨道上经过Q点的速度小于在③轨道上经过Q点的速度 B．神舟十七号先到③轨道，然后再加速，才能与天和核心舱完成对接 C．神舟十七号从①轨道转移到③轨道，飞船增加的机械能为mgR (R −R ) 1 2 1 2R 2 D．神舟十七号在②轨道上从 P 点运动到 Q 点的最短时间为π( R 1 +R 2 )√R 1 +R 2 2 R 2g 1 三、解答题 19．我国自行研制的“天问1号”火星探测器于2021年5月19日成功着陆火星。设着陆前探测器对火星完 成了“绕、着、巡”三项目标考查。如图所示，探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面 ℎ 的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G，火星的半径为R， 求： （1）火星表面重力加速度； （2）火星的质量及平均密度； （3）探测器在火星近地圆轨道速度。 20．我国发射的“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了“天问一号”探测器探测之旅。假 定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为S，探测器与火星中心连线 扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，求： （1）探测器的环绕周期； （2）火星的质量； 21．有一航天器围绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其质量为m，离地心的距离为r₁。已知地球的质量 为 M，引力常量为G。 （1）求航天器做匀速圆周运动的动能。（2）美国“星链”卫星曾近距离靠近我国航天器，为避免发生危险，要求航天器具有紧急变轨的能力。 Mm 已知质量为 m 的物体从距地心r处运动到无穷远处，地球引力所做的功为 −G ，（不考虑其他天体 r 对航天器的作用力） a.航天器运行至圆轨道的 P点时，发动机点火加速，使航天器的速率变为v，此时恰能摆脱地球引力，远 0 离地球而去，求 v 的大小； 0 b.为使航天器能从半径为r₁ 的圆轨道变轨至半径为 的圆轨道运动，发动机做的功至少是多少？ r (r >r ) 2 2 1 22．如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀 速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力 常量为G。 （1）求星球A的周期T； （2）求星球B的线速度大小v； （3）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心 运行的周期记为T 。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 1 T 2 T 。已知地球和月球的质量分别为 m =6×1024kg 和 m =7×1022kg 。求 2 。（结果保留三位有效数 2 地 月 T 2 1 字）