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专题05 万有引力与航天问题
01 专题网络·思维脑图
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法
04 核心素养·难点突破
05 创新好题·轻松练习
1
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考点内容
考情预测
一般题型即求m、ρ、g、v、ω、T 等
万有引力与航天问题在所有省份的高考题
中属于必考题型，基本以每年各国发射卫
星或天文观测数据为命题点。对于一般性
求m、ρ、g、v、ω、T 等和卫星参数问题以
及卫星发射变轨问题属于简单的公式化简
命题，只需要熟悉万有引力等于向心力和
地球表面的万有引力等于重力两个公式即
可解决问题。对于卫星追及和双星问题属
于较难题型，需要进行复杂的公式运算，
需重点记忆这两类问题的公式。
卫星和赤道上物体参数的大小问题
卫星发射和变轨问题
卫星追及问题
双星问题
学
习
目
标
1.熟悉掌握一般性求m、ρ、g、v、ω、T 等天体问题，将万有引力等于向心力和地球表
面的万有引力等于重力两个公式联立即可解决问题。
2.理解卫星参数问题中的两类，一类是卫星与卫星的比较，一类是卫星与赤道上的物
体进行比较。
3.掌握卫星变轨的规律，理解v、a、T、E 在各个轨道上的大小关系，记住三大宇宙速
度。
4.熟悉追及相遇问题的两类问题的计算公式。
5.熟悉掌握双星系统的计算公式，理解处理方法，以及记住双星的周期和角速度相
等。
【典例1】（2023·广东·统考高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动。
由于P 的遮挡，探测器探测到Q 的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P 的公转周期相
同。已知Q 的质量为M，引力常量为G。关于P 的公转，下列说法正确的是（ ）
A．周期为2t1-t0
B．半径为3
√
GM (t1-t0)
2
4 π
2
2
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C．角速度的大小为
π
t1-t0
D．加速度的大小为
3√
2πGM
t1-t0
【答案】B
【详解】A．由图（b）可知探测器探测到Q 的亮度随时间变化的周期为
T =t1-t0
则P 的公转周期为t1-t0，故A 错误；
B．P 绕恒星Q 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r
解得半径为
r =
3√
GM T
2
4 π
2 =
3
√
GM (t1-t0)
2
4 π
2
故B 正确；
C．P 的角速度为
ω= 2π
T = 2π
t1-t0
故C 错误；
D．P 的加速度大小为
a=ω
2r =( 2π
t1-t0
)
2
⋅
3
√
GM (t1-t0)
2
4 π
2
= 2π
t1-t0
⋅
3√
2πGM
t1-t0
故D 错误。
故选B。
【典例2】（2023·天津·统考高考真题）运行周期为24 h的北斗卫星比运行周期为12h的（ ）
A．加速度大
B．角速度大
C．周期小
D．线速度小
【答案】D
【详解】根据万有引力提供向心力有
F =G Mm
r
2 =m v
2
r =mr ω
2=m 4 π
2
T
2 r =ma
可得
3
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T =2π√
r
3
GM
v =√
GM
r
ω=√
GM
r
3
a= GM
r
2
因为北斗卫星周期大，故运行轨道半径大，则线速度小，角速度小，加速度小。
故选D。
【典例3】（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P 点沿地火转移轨道
到Q 点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s 与11.2km/s 之间
B．从P 点转移到Q 点的时间小于6 个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于
11.2km/s 与16.7km/s 之间，故A 错误；
B．因P 点转移到Q 点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1 年共
12 个月），则从P 点转移到Q 点的时间为轨道周期的一半时间应大于6 个月，故B 错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停
泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C 正确；
D．卫星从Q 点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q 点的速度小于火星轨道的速度，而由
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GMm
r
2
=m v
2
r
可得
v =√
GM
r
可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q 点速度小于地球轨道速度，故D 错误；
故选C。
1.一般类题型（求m、ρ、g、v、ω、T 等）的解题思路
2.卫星和赤道上物体参数的大小问题
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3.卫星发射和变轨问题
考向01 一般题型即求m、ρ、g、v、ω、T 等
【针对练习1】已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为G1，在火星表面受到的重力大小为
G2；地球与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为R1、R2。若不考虑自转的影响且火星车的质
量不变，则地球与火星的密度之比为（ ）
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A．G1 R1
G2 R2
B．G1 R2
G2 R1
C．G2 R2
G1 R1
D．G1 R2
2
G2 R1
2
【答案】B
【详解】在星球表面，万有引力近似等于重力，有
G M 地m
R1
2
=G1
G M 火m
R2
2
=G2
又
V 1= 4
3 π R1
3
V 2= 4
3 π R2
3
ρ1= M 地
V 1
ρ2= M 火
V 2
联立解得
ρ1
ρ2
= G1 R2
G2 R1
故选B。
【针对练习2】洛希极限是19 世纪法国天文学家洛希在研究卫星状理论中提出的一个使卫星解体的极限数
据，即当卫星与行星的距离小于洛希极限时，行星与卫星间的引力会使卫星解体分散。洛希极限的计算公
式A =k(
ρ
'
ρ)
1
3 R其中 k 为常数，ρ'、ρ 分别为行星和卫星的密度， R 为行星的半径。若一颗行星的半径为
R0，该行星与卫星的近地卫星周期之比为a， 则行星与该卫星间的洛希极限为（ ）
A．k a
- 2
3 R0
B．k a
2
3 R0
C．k a
3
2 R0
D．k a
- 3
2 R0
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【答案】A
【详解】对于质量为 m 的近地卫星， 由万有引力提供向心力有
G Mm
R
2 =m 4 π
2
T
2 R
由密度公式
ρ= M
V =
M
4 π R
3
3
联立解得
ρ= 3 π
GT
2
所以密度与其近地卫星环绕周期平方成反比，再由
A =k(
ρ
'
ρ)
1
3 R
解得
A =k a
- 2
3 R0
故选A。
考向02 卫星和赤道上物体参数的大小问题
【针对练习3】（多选）如图所示，a 为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b 为近地轨道卫星，c
为同步轨道卫星，d 为高空探测卫星。若a、b、c、d 绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。
则（ ）
A．a、b、c、d 中，a 的加速度最大
B．a、b、c、d 中，b 的线速度最大
C．a、b、c、d 中，d 的周期最大
D．a、b、c、d 中，d 的角速度最大
【答案】BC
【详解】A．a、c 的角速度相同，则根据
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a=ω
2r
可知，a 的加速度小于c 的加速度，则a 的加速度不是最大的，故A 错误；
B．a、c 的角速度一样，根据
v =ωr
可知，a 的线速度小于c，又根据
G Mm
r
2 =m v
2
r
得
v =√
GM
r
可知b 的速度大于c、d 的速度，可知b 的线速度最大，故B 正确；
CD．根据开普勒第三定律可知，b、c、d 中d 的周期最大，而a、c 周期相等，可知a、b、c、d 中，d 的周
期最大。同理根据开普勒第三定律可知，b、c、d 中b 的角速度最大，而a、c 角速度相同，所以可知a、
b、c、d 中，b 的角速度最大，故D 错误，C 正确。
故选BC。
【针对练习4】中科院紫金山天文台在 2023 年1 月9 日首次发现了一颗新彗星，目前，该彗星正朝着近
日点运动，明年有望成为肉眼可见的大彗星。如图所示，Ⅱ为该彗星绕太阳运行的椭圆轨道，Ⅰ为某行星
绕太阳做匀速圆周运动的轨道，两轨道相切于B 点。A 为彗星运动的远日点，B 为彗星运动的近日点。下
列说法正确的是（ ）
A．彗星运行到A 点的速度小于行星运行到B 点的速度
B．彗星运行到A 点的速度大于彗星运行到B 点的速度
C．彗星运行的周期小于行星运行的周期
D．彗星运行到B 点的加速度大于行星运行到B 点的加速度
【答案】A
【详解】AB．A 为彗星运动的远日点，B 为彗星运动的近日点。则彗星运行到A 点的速度小于行星运行到
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B 点的速度，A 正确，B 错误；
C．根据开普勒第三定律
k = r
3
T
2
彗星运动轨道的半长轴大于行星运动半径，则彗星运行的周期大于行星运行的周期，C 错误；
D．根据
G Mm
r
2 =ma
得
a=G M
r
2
彗星运行到B 点的加速度等于行星运行到B 点的加速度，D 错误。
故选A。
考向03 卫星发射和变轨问题
【针对练习5】（多选）2023 年5 月30 日，“神舟十六号”载人飞船将十六乘组三名航天员送入空间站组
合体，图中轨道Ⅰ为载人飞船运行的椭圆轨道，轨道Ⅱ为空间站运行轨道。两轨道相切于 B 点，A 为椭圆
轨道的近地点，B 为远地点，C 为轨道Ⅱ上一点，C、A、B 三点在一条直线上，则下列判断正确的是（
）
A．空间站从C 点运行到B 点和载人飞船从A 点运行到B 点所用的时间相等
B．载人飞船在轨道Ⅰ上B 点的速度小于空间站在轨道Ⅱ上C 点的速度
C．载人飞船从 A 点沿椭圆轨道运动到B 点，发动机需要做功
D．载人飞船在轨道Ⅰ上B 点的加速度等于空间站在轨道Ⅱ上B 点的加速度
【答案】BD
【详解】A．根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运动时周期不同，则空间站从C 点运行到B
点和载人飞船从A 点运行到B 点所用的时间不相等，选项A 错误；
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B．载人飞船在轨道Ⅰ上B 点加速做离心运动才能进入轨道Ⅱ，则在轨道Ⅰ上B 点的速度小于空间站在轨
道Ⅱ上C 点的速度，选项B 正确；
C．载人飞船从 A 点沿椭圆轨道运动到B 点，地球引力做负功，速度减小，但发动机不需要做功，选项C
错误；
D．根据a= GM
r
2 可知，载人飞船在轨道Ⅰ上B 点的加速度等于空间站在轨道Ⅱ上B 点的加速度，选项D
正确。
故选BD。
【针对练习6】“嫦娥六号”探测器计划在2024 到2025 年执行月球背面的月球样品采集任务。若“嫦娥
六号”探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥六号”探测器先在圆轨道上做匀速圆周运
动，运动到A 点时变轨为椭圆轨道，B 点是近月点，则下列有关“嫦娥六号”探测器的说法正确的是（
）
A．发射速度等于地球的第二宇宙速度
B．运行至B 点时的速度等于月球的第一宇宙速度
C．要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点减速
D．在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期长
【答案】C
【详解】A．“嫦娥六号”探测器没有脱离地球的束缚，因此发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙
速度，故A 错误；
B．月球的第一宇宙速度等于近月圆轨道上的环绕速度，“嫦娥六号”探测器在近月点B 所在椭圆轨道相
对于近月圆轨道为高轨道，由椭圆轨道变轨到近月圆轨道，需要在近月点B 减速，可知“嫦娥六号”探测
器运行至B 点时的速度大于月球的第一宇宙速度，故B 错误；
C．图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知，要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A 点减速，故C 正确；
D．令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有
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R1
3
T 1
2 = R2
3
T 2
2
由于
R1> R2
可知
T 1>T 2
即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，故D 错误。
故选C。
考向04 卫星追及问题
【典例4】（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球
恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各
地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
R/AU
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365 天
B．火星800 天
C．天王星365 天
D．天王星800 天
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【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律有
T
2
R
3 = T 地
2
R地
3
解得
T =√
（
R
R地
）
3T 地
设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则
2π =( 2π
T 地
- 2π
T ）t
解得
t = T T 地
T -T 地
=
T 地
1-√
R地
3
R❑
3
由表格中的数据可得
t 火=
T 地
1-√
R地
3
R火
3
≈800 天
t 天=
T 地
1-√
R地
3
R天
3
≈369 天
故选B。
【针对练习7】（多选）2023 年春节，改编自刘慈欣科幻小说的《流浪地球2》电影在全国上映。电影中
的太空电梯场景非常震撼。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步
轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转
时，绳索会细紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依
靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上的固定基地
与同步空间站a，相对地球静止，卫星b与同步空间站a的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间t之
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后，a、b第一次相距最远。已知地球半径R，自转周期T，下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．b卫星的周期为T b= 2Tt
2t -T
C．太空电梯停在距地球表面高度为2 R的站点，该站点处的重力加速度g= 4 π
2
T
2 [
(r + R)
3
9 R
2
-3 R]
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
【答案】BC
【详解】A．太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，只有位置达到同步卫星的高度的点才处于完全失
重状态，并不是各点均处于完全失重状态，故A 错误；
B．同步卫星的周期
T a=T
当两卫星第一次相距最远时满足
2πt
T a
- 2πt
T b
= π
解得
T b= 2Tt
2t -T
故B 正确；
C．太空电梯的长度即为同步卫星离地面的高度，由万有引力提供向心力有
G
Mm
( R+r ) =m 4 π
2
T
2 ( R+r )
太空电梯停在距地球表面高度为2 R的站点，太空电梯上质量为m的货物，受到的万有引力
F =G Mm
(3 R)
2
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货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为FN，万有引力与支持力的合力提供向心力，有
F - F N=mω
2⋅3 R
在货梯内有
FN=mg
而
ω= 2π
T
联立以上各式可得
g= 4 π
2
T
2 [
(r + R)
3
9 R
2
-3 R]
故C 正确；
D．太空电梯与地球一起转动，相对地球静止，各点角速度相同，根据
v =ω R0
可知，太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成正比，故D 错误。
故选BC。
【针对练习8】（多选）卫星是人类的“千里眼”、“顺风耳”，如图所示两颗卫星某时共线，其对地球
的视角分别为120°和60°（即∠aMb=120°，∠cNd =60°）。已知地球半径为R，质量为M，万有引力
常量G，则下列说法正确的是（ ）
A．两颗卫星间距为3√3 R
B．M 卫星周期小于N 卫星周期
C．从此时计时，到下次共线最短需经历时间Δt = 2√2π
3√3-1√
R
3
GM
D．只需3 颗N 型卫星在同一轨道上均匀分布运行，即可实现地球全覆盖
【答案】BC
【详解】A．有几何关系可知，两颗卫星间距为
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l = 2 R
√3 +2 R = 2√3+6
3
R
故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
k = r
3
T
2
M 卫星运动半径小于N 运动半径，则M 卫星周期小于N 卫星周期，故B 正确；
C．根据
G Mm
r M
2
=m 4 π
2
T M
2 r M，G Mm
r N
2 =m 4 π
2
T N
2 r N
到下次共线时，两卫星在地球的同侧，则
2π
T M
t - 2π
T N
t = π
代入卫星运动半径，联立得到下次共线最短需经历时间为
Δt = 2√2π
3√3-1√
R
3
GM
故C 正确；
D．若只有3 颗卫星，那么垂直轨道方向上，地球上的部分位置无法接受信号，故D 错误。
故选BC。
考向05 双星问题
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【典例5】（2023·福建·统考高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的
拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地
球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心
连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M 和m，航天器的质量远小
于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），
在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似
1
(R+r)
2 ≈1
R
2(1-2 r
R)]
A．ω=[
G( M +m)
2 R
3 ]
1
2
B．ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2
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C．r =[
3m
3 M +m]
1
3 R
D．r =[
m
3 M +m]
1
3 R
【答案】BD
【详解】AB．由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转
动的双星系统，则有
G Mm
R
2 = M ω
2r1
G Mm
R
2 =mω
2r2
r1＋r2 = R
联立解得
ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2
故A 错误、故B 正确；
CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有
G M m
'
( R+r )
2 +G mm
'
r
2 =m
' ω
2(r +r2)
再根据选项AB 分析可知
Mr1 = mr2，r1＋r2 = R，ω=[
G( M +m)
R
3
]
1
2
联立解得
r =[
m
3 M +m]
1
3 R
故C 错误、故D 正确。
故选BD。
【针对练习9】（多选）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多
样性有重要的意义。如图所示为由A、B 两颗恒星组成的双星系统，A、B 绕连线上一点O 做圆周运动，
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测得A、B 两颗恒星间的距离为L，恒星A 的周期为T，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒
星的2 倍，则（ ）
A．恒星B 的周期为T
B．A、B 两颗恒星质量之比为2 1∶
C．恒星B 的线速度是恒星A 的2 倍
D．A、B 两颗恒星质量之和为4 π
2 L
3
GT
2
【答案】AD
【详解】A．由于A、B 两恒星连线始终过O 点，运动周期相同，均为T，故A 正确；
B．根据
a= 4 π
2
T
2 r
可知
rA=2rB
又由于
GmAmB
L
2
=mA 4 π
2
T
2 rA
G mAmB
L
2
=mB 4 π
2
T
2 rB
联立可得
mA:mB=1:2
故B 错误；
C．根据
v = 2π
T r
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又
rA=2rB
vA:vB=2:1
故C 错误；
D．由于
GmAmB
L
2
=mA 4 π
2
T
2 rA
得
mB= 4 π
2
GT
2 L
2rA
GmAmB
L
2
=mB 4 π
2
T
2 rB
得
mA= 4 π
2
GT
2 L
2rB
又
rA+rB= L
得
mA+mB= 4 π
2 L
3
GT
2
故D 正确。
故选AD。
【针对练习10】银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会
有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星(可视为质点)均做匀速圆周运
动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间
内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ）
20
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A．乙星运动的轨道半径保持不变
B．乙星运动的角速度保持不变
C．乙星运动的线速度大小保持不变
D．乙星运动的向心加速度大小保持不变
【答案】B
【详解】A．设甲星的质量为m甲，轨道半径为r甲，乙星的质量为m乙，轨道半径为r乙，则有
m甲ω
2r甲=m乙ω
2r乙
可得
r乙
r甲
= m甲
m乙
由于乙星的质量变小，甲星的质量变大，且两星之间的距离不变，则乙星运动的轨道半径变大，甲星运动
的轨道半径变小，故A 错误；
BCD．设两星之间的距离为L，两星角速度为ω，则甲星有
Gm甲m乙
L
2
=m甲ω
2r甲
对乙星有
G m甲m乙
L
2
=m乙ω
2r乙
又因为
r甲+r乙= L
联立解得
ω=√
G(m甲+m乙)
L
3
因为两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则两星的角速度不变；根据
21
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v =ωr，a=ω
2r
由于乙星运动的轨道半径变大，则乙星运动的线速度变大，乙星运动的向心加速度变大，故B 正确，CD
错误。
故选B。
一、单选题
1．据中央电视台报道，“嫦娥三号”探测器于2013 年12 月2 日1 时30 分在西昌卫星发射中心成功发射，
预计于本月14 日实现探测器着陆，随后完成嫦娥三号最重要的科学任务：观天、看地、测月。如图所示，
“嫦娥三号”将携“玉兔号”月球车首次实现月球软着落。若已知月球质量为M，半径为R，万有引力常
量为G0，以下畅想可能的是（ ）
A．月球表面的重力加速度G0 M
R
B．在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最小周期为2π√
R
G0 M
C．在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最小速度为√
G0 M
R
D．在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为R
2v0
2
2G0 M
【答案】D
【详解】A．在月球表面，物体受到的重力等于物体与月球间的万有引力
m g月= G0 Mm
R
2
得
22
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g月= G0 M
R
2
故A 错误；
B．由万有引力提供向心力有
G0 Mm
R
2
=mR 4 π
2
T
2
得
T =2π√
R
3
G0 M
故B 错误；
C．由万有引力提供向心力有
G0 Mm
R
2
= mv
2
R
得月球上发射一颗绕它运行的卫星的最大速度为
v =√
G0 M
R
故C 错误；
D．在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，根据竖直上抛运动公式
- v0
2=2 g月h
由
g月=- G0 M
R
2
联立解得物体上升的最大高度为
h= R
2v0
2
2G0 M
故D 正确。
故选D。
2．地球的公转轨道接近圆，但哈雷彗星的绕日运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天文学家哈
23
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雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986 年，预计哈雷彗星下次回归将在2061 年。
已知地球和太阳之间的距离为1AU，则哈雷彗星轨道半长轴约为（ ）
A．27AU
B．18AU
C．9AU
D．3AU
【答案】B
【详解】设彗星的周期为T 哈，地球的公转周期为T 地，根据题意由开普勒第三定律
a
3
T
2 ＝k
可得
T 地
2
T 哈
2 = r地
3
r哈
3
其中
T 哈=2061 年-1986 年=75 年
代入数据解得
r 哈=17.8AU
故选B。
3．2022 年12 月8 日火星冲日，火星冲日是地球恰好运行到火星与太阳之间，且三者几乎排成一条直线的
现象，如图所示。地球和火星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，两颗行星绕太阳运行时（ ）
A．地球的线速度较大
B．两者线速度大小相等
C．两者角速度大小相等
D．火星的角速度较大
【答案】A
【详解】AB．地球和火星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
G Mm
r
2 =m v
2
r
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可得
v =√
GM
r
r越大，v越小，所以地球的线速度大于火星的线速度，A 正确，B 错误；
CD．根据
G Mm
r
2 =mω
2r
可得
ω=√
GM
r
3
r越大，ω越小，所以地球的角速度大于火星的角速度，CD 均错误。
故选A。
4．国际宇航联合会将2022 年度最高奖“世界航天奖”授予了天问一号火星探测团队。如图是“天问一
号”登陆火星过程示意图，火星的质量约为地球质量的1
10，半径仅为地球半径的1
2左右，与地球最近的距
离为5500 万公里。下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”的发射速度必须达到第三宇宙速度
B．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
C．近火制动时，“天问一号”受到地球的引力大于火星的引力
D．“天问一号”在科学探测段的轨道周期小于在停泊段的轨道周期
【答案】D
【详解】A．“天问一号”登陆火星的过程，应脱离地球引力束缚，但未脱离太阳系，因此发射速度应大
于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，故A 错误；
25
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B．根据万有引力提供向心力，有
G Mm
r
2 =m v
2
r
解得
v =√
GM
r
因此，地球第一宇宙速度为
v地=√
G M 地
r地
火星第一宇宙速度为
v 火=√
G M 火
r 火
=√
G 1
10 M 地
1
2 r地
=√
G M 地
5r地
＜v地
故B 错误；
C．根据万有引力定律
F =G Mm
r
2
近火制动时，“天问一号”与地球的距离大于它与火星的距离，则“天问一号”受到地球的引力小于火星
的引力，故C 错误；
D．由图可知，“天问一号”在停泊段轨道上的半长轴大于科学探测段的半长轴，由开普勒第三定律
R
3
T
2 =k
可知，“天问一号”在科学探测段的轨道周期小于在停泊段的轨道周期，故D 正确；
故选D。
5．2021 年10 月16 日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，与天和核心舱成功对接，飞船与核心舱
对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道III 上，神舟十三号飞船先被发送至半径为
r1的圆轨道I 上，运行周期为T 1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II 运动到远地点B 处与天和核心舱对接。
关于神舟十三号飞船，下列说法正确的是（ ）
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A．沿轨道II 从近地点A 运动到远地点B 的过程中，速度不断增大
B．沿轨道I 运行时的机械能等于沿轨道II 运行时的机械能
C．沿轨道II 运行的周期为T 1√(
r1+r3
2r1 )
3
D．沿轨道I 运动到A 点时的加速度小于沿轨道II 运动到A 点时的加速度
【答案】C
【详解】A．由开普勒第二定律可知，沿轨道II 从近地点A 运动到远地点B 的过程中，速度不断减小，故
A 错误；
B．飞船在轨道I 上的A 点加速后才能进入椭圆轨道，此过程中飞船的机械能增大，因此沿轨道I 运行时的
机械能小于沿轨道II 运行时的机械能，故B 错误；
C．设飞船在轨道II 运行的周期为T2，由开普勒第三定律可知
r1
3
T 1
2 =
( r1+r3
2
)
❑
3
T 2
2
解得
T 2=T 1√(
r1+r1
2r1 )
3
故C 正确；
D．飞船沿轨道I 运动到A 点时和沿轨道II 运动到A 点时受到的万有引力相同，所以加速度相同，故D 错
误；
故选C。
6．太阳系中，海王星是离太阳最远的一颗行星，它的质量是地球质量的17 倍，半径是地球半径的4 倍。
海王星的公转轨道半径是地球公转轨道半径的30 倍，取g=10 m /s
2，地球的第一宇宙速度为7.9km /s。
则以下说法正确的是（ ）
A．海王星的第一宇宙速度小于15.8km /s
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B．海王星表面的自由落体加速度大于10 m /s
2
C．太阳对地球的引力约为太阳对海王星的引力的1800 倍
D．地球的公转周期约为海王星公转周期的30 倍
【答案】B
【详解】A．根据万有引力提供向心力
G Mm
R
2 =m v
2
R
可得
v海
v地
=√
M 海
M 地
⋅R地
R海
=√
17
4 >2
即海王星的第一宇宙速度大于15.8km /s，故A 错误；
B．根据万有引力与重力的关系
G Mm
R
2 =mg
可得
g海
g地
= M 海
M 地
⋅R地
2
R海
2 = 17
16
故B 正确；
C．根据万有引力公式
F引=G M 太m
r
2
可得
F 海
F地
= m海
m地
⋅r地
2
r海
2 = 17
30
2
故C 错误；
D．根据开普勒第三定律
T 海
T 地
= r海
3
r地
3
可得
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T 海
T 地
=√
30
3
1
故D 错误。
故选B。
7．登天揽月，奔月取壤，嫦娥五号完成了中国航天史上的一次壮举。2020 年12 月17 日，嫦娥五号轨道
器与返回器在距离地球5000 公里处实施分离，轨道器启程飞往日地拉格朗日点L1，如图1 所示，返回器独
自携带月壤样品返回地球，如图2 所示，图中A、C、E 三点均在大气层边缘，返回器从A 到E 无动力作用，
下列说法正确的是（ ）
A．图1 中，轨道器在L1点所受的太阳的引力大于地球对其的引力
B．图1 中，轨道器在L1点处于平衡状态
C．图2 中，返回器通过A 点时的动能等于其通过C 点时的动能
D．图2 中，返回器在A、C、E 三点处的加速度相同
【答案】A
【详解】AB．该轨道器在L1点环绕太阳做圆周运动时，该轨道器受到地球和太阳的引力的合力指向太阳，
因此该轨道器所受的太阳的引力大于地球对其的引力，不处于平衡状态，故A 正确，B 错误；
C．A 点到C 点过程，万有引力做功为0，但空气阻力做负功，故C 点时的动能小于A 点时的动能，故C 错
误；
D．返回器在A、C、E 三点处的轨道高度相同，加速度大小相同，但方向不同，故D 错误。
故选A。
8．在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星绕恒星-HX 运行，假设该类地行星、地
球绕恒星均做匀速圆周运动，类地行星运行的周期为地球运行周期的p 倍，轨道半径是地球运行半径的q
倍，则恒星HX 的质量为太阳的（ ）倍
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A．q
2
p
3
B．q
3
p
2
C．p
2
q
3
D．p
3
q
2
【答案】B
【详解】根据万有引力提供向心力
GMm
R
2
=m( 2π
T )
2
R
可得
M = 4 π
2
GT
2 R
3
故
M 星
M 太
=( R星
R太
)
3
( T 太
T 星
)
2
= q
3
p
2
故选B。
9．我国的嫦娥五号进入绕月球飞行的轨道，若嫦娥五号在半径R 的月球上空离月球表面高为h 的圆形轨道
上绕月球飞行，环绕n 周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于月球质量M 和平均密度ρ的表达式
正确的是（ ）
A．M = 4 π
2( R+h)
3
Gt
2
，ρ= 3 π( R+h)
3
Gt
2 R
3
B．M = 4 π
2( R+h)
2
Gt
2
，ρ= 3 π( R+h)
2
Gt
2 R
3
C．M = 4 π
2( R+h)
3
Gt
2
，ρ= 3 π( R+h)
3
Gn
2 R
3
D．M = 4 π
2n
2( R+h)
3
Gt
2
，ρ= 3 π n
2( R+h)
3
Gt
2 R
3
【答案】D
【详解】嫦娥五号环绕n 周飞行时间为t，可知嫦娥五号圆周运动的周期为
T = t
n
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嫦娥五号圆周运动由万有引力提供向心力，则有
G
Mm
(R+h)
2 =m 4 π
2(R+h)
T
2
解得
M = 4 π
2n
2( R+h)
3
Gt
2
则月球平均密度为
ρ=
M
4
3 π R
3
解得
ρ= 3 π n
2( R+h)
3
Gt
2 R
3
故选D。
10．某卫星在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T。若以R表示月球的
半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则（ ）
A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为2πR
T
B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为4 π
2(R+h)
2
R
2T
2
C．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为2πR
T √
R+h
R
D．月球的平均密度为3 π (R+h)
3
GT
2 R
3
【答案】D
【详解】A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为
r = R+h
则它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为
v = 2πr
T
= 2π (R+h)
T
故A 错误；
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B．对于“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得
G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
在月球表面，重力等于万有引力得
G Mm
r
2 =mg
联立解得
g= 4 π
2(R+h)
3
R
2T
2
故B 错误；
C．由万有引力提供向心力得
G Mm
R
2 =m v
2
R
与
G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
联立解得在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
v = 2π (R+h)
T
√
R+h
R
故C 错误；
D．由
G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
得月球的质量为
M = 4 π
2(R+h)
3
GT
2
则月球的密度
ρ= M
V = 3 π (R+h)
3
GT
2 R
3
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故D 正确。
故选D。
11．牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量为M，半径为R，质量均匀
分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，
在洞口无初速度释放一个质量为m的小球（小球的直径略小于洞的直径），在小球向下端点运动的过程中，
已知万有引力常量为G。下列说法中正确的是（ ）
A．小球运动到洞的下端点所用的时间为π
2 √
R
3
GM
B．小球在距地心x处所受到的万有引力的合力大小为F = GMmx
R
3
C．小球在洞内做往复振动，小球受力与到地心距离的关系决定了此振动为非简谐运动
D．若小球释放的位置再向下移动一点，则小球振动周期变小
【答案】B
【详解】BCD．设小球质量为m，小球偏离地心的位移为x，根据题意，由万有引力公式有
F =G Mm
R
2
又
M = ρ⋅4
3 π R
3
小球偏离地心的位移为x，此处地球的质量为
M
' = ρ⋅4
3 π x
3
设指向地心的方向为正方向，则联立以上各式可得，小球偏离地心的位移大小为x 处受到万有引力的合力
为
F
' =- GMm
R
3
x =-kx
可知引力的合力大小与球偏离地心的位移x 成正比，方向相反，符合简谐振动回复力特征，所以小球做简
谐运动，而简谐运动的周期与振幅无关，故B 正确，CD 错误；
A．简谐运动得周期公式
T =2π√
m
k
而上式中
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k =G Mm
R
3
解得
T =2π√
R
3
GM
根据简谐振动得特征可知，小球运动到洞得下端点所用时间为
t = T
2 = π√
R
3
GM
故A 错误。
故选B。
12．随着科技的发展，人类必将揭开火星的神秘面纱.如图所示，火星的人造卫星在火星赤道的正上方距离
火星表面高度为R处环绕火星做匀速圆周运动，已知卫星的运行方向与火星的自转方向相同，a点为火星
赤道上的点，该点有一接收器，可接收到卫星发出信号。已知火星的半径为R，火星同步卫星的周期为T，
近火卫星的线速度为v，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．火星的质量为G
v
2 R
B．卫星的环绕周期为4 πR
v
C．a点连续收到信号的最长时间为4√2πR
3 v
D．火星同步卫星到火星表面的高度为3√
v
2T
2 R
4 π
2 - R
【答案】D
【详解】A.对于近火卫星，由
G Mm
R
2 =m v
2
R
解得
M = v
2 R
G
故A 错误；
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B.由万有引力提供向心力可得
G Mm
4 R
2 =m 4 π
2
T 1
2 ×2 R
结合
M = v
2 R
G
可解得卫星围绕火星做圆周运动的周期
T 1= 4√2πR
v
故B 错误；
C.以火星为参考系，则卫星围绕火星做圆周运动的角速度为
ω
' =ω星-ω地= 2π
T 1
- 2π
T
a点能够连续接收到的卫星信号范围如图所示，由几何关系可知圆弧所对应的圆心角为120°，故a点能够连
续接收到卫星信号的最长时间为
t = 1
3 × 2π
ω
'
解得
t =
4√2πRT
3(vT - 4√2πR)
故C 错误；
D.由于同步卫星的周期与火星自转的周期相同，设同步卫星的轨道半径为r，则有
G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
又
r = R+h
解得
h=
3√
v
2T
2 R
4 π
2 - R
故D 正确。
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故选D。
二、多选题
13．荷兰“MarsOne”研究所推出了2023 年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。如果让小球从火
星上一定高度自由下落，测得它在第2s 内的位移是6m，已知火星的半径约为地球半径的1
2，地球表面的
重力加速度g 取10 m/s
2，则（ ）
A．该小球在前2s 内的平均速度是3 m/s
B．火星表面的重力加速度为4 m/s
2
C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的1
√5
D．火星质量约为地球质量的1
5
【答案】BC
【详解】AB．小球第2s 内的位移是6m，有
h2= 1
2 g火×2
2- 1
2 g火×1
2=6m
解得火星表面重力加速度大小为
g火= 4 m/ s
2
可得该小球在前2s 内的平均速度是
v = h
t = 1
2 g火t = 1
2 ×4×2= 4 m/ s
故A 错误，B 正确；
C．根据第一宇宙速度定义，可得
m g火=m v1
2
R火
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则火星第一宇宙速度
v1=√g火R火=√
4
10 × 1
2 g地R地= 1
√5 √g地R地= 1
√5 v地1
即火星第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的1
√5，故C 正确；
D．物体在星球表面受到的重力近似等于万有引力，即
mg=G Mm
R
2
得
M = g R
2
G
已知火星半径约为地球半径一半，地球表面重力加速度为10m/s2，火星表面重力加速度为4m/s2，则火星质
量约为地球质量的1
10，故D 错误。
故选BC。
14．黑洞是一种密度极大、质量极大的天体，以至于光都无法逃逸，一到某黑洞的距离为r（远大于黑洞
的半径）的星球以周期T 绕该黑洞做匀速圆周运动。引力常量为G，不考虑其他天体的影响，关于该黑洞，
下列说法正确的是（ ）
A．该黑洞的质量为8 π
2r
3
GT
2
B．该黑洞的质量为4 π
2r
3
GT
2
C．星球绕该黑洞做匀速圆周运动的线速度大小为2πr
T
D．星球绕该黑洞做匀速圆周运动的线速度大小为πr
T
【答案】BC
【详解】AB．根据题意，设黑洞质量为M，星球质量为m，由万有引力提供向心力有
GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r
解得
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M = 4 π
2r
3
GT
2
故A 错误，B 正确；
CD．星球绕该黑洞做匀速圆周运动的线速度大小为
v = 2πr
T
故D 错误，C 正确。
故选BC。
15．2023 年10 月31 日，神射六号载人飞行任务取得圆满成功，航天英雄景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利返
航回家，我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期
为T，轨道半径约为地球半径的17
16倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（
）
A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为17 πR
8T
C．地球的平均密度约为3 π
GT
2(
16
17)
3
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的(
16
17)
2
倍
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供做匀速圆周运动
的向心力，处于完全失重，视重为零，故A 错误；
B．根据题意，由公式v = 2πr
T 可得，空间站绕地球运动的线速度大小约为
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v =
2π ⋅17
16 R
T
= 17 πR
8T
故B 正确；
C．根据万有引力提供向心力有
GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r
又有
V = 4
3 π R
3，ρ= M
V
整理可得
ρ= 3 π r
3
GT
2 R
3 = 3 π
GT
2(
17
16)
3
故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力有
GMm
r
2
=man
在地球表面由万有引力等于重力有
GMm
R
2
=mg
联立可得
an= R
2
r
2 g=(
16
17)
2
g
故D 正确。
故选BD。
16．我国发射的“嫦娥四号”登月探测器，首次造访月球背面，成功实现对地对月中继通信。如图所示，
“嫦娥四号”从距月面高度为100km 的环月圆轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15km 的椭圆轨道
Ⅱ，由近月点Q 落月。关于“嫦娥四号”下列说法正确的是（ ）
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A．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度小于在Q 点的加速度
C．沿轨道Ⅰ运动至P 时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
D．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，
机械能不变
【答案】BCD
【详解】A．根据开普勒第三定律
C = R
3
T
2
轨道Ⅱ的半轴长小于轨道Ⅰ的半径，故沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故A 错误；
B．根据牛顿第二定律
G Mm
r
2 =ma
可得
a= GM
r
2
故沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度小于在Q 点的加速度，故B 正确；
C．根据变轨原理，沿轨道Ⅰ运动至P 时，需制动减速做向心运动，才能进入轨道Ⅱ，故C 正确；
D．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，登月探测器只受到万有引力作用，机械能守恒，万有引力对
登月探测器做正功，登月探测器速度逐渐增大，动能增加，离地高度降低，重力势能减小，故D 正确。
故选BCD。
17．导航系统是一种利用人造卫星对物体进行定位测速的工具，目前世界上比较完善的导航系统有美国的
GPS 系统，中国的北斗系统，欧洲的伽利略导航系统以及俄罗斯的GLONASS 系统，其中美国的GPS 系统
采用的是运行周期为12 小时的人造卫星，中国的北斗系统一部分采用了同步卫星，现有一颗北斗同步卫星
A 和一颗赤道平面上方的GPS 卫星B，某时刻两者刚好均处在地面某点C 的正上方，如图所示，下列说法
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正确的是（ ）
A．A 的线速度比B 的小，B 的线速度比C 的小
B．若两者质量相等，则发射A 需要更多的能量
C．此时刻B 处在A、C 连线的中点
D．从此时刻起，经过12 小时，两者相距最远
【答案】BD
【详解】利用万有引力定律与牛顿第二定律得
GMm
r
2
=m v
2
r
解得
v =√
GM
r
即轨道半径越大，运行速度越小，所以A 的速度比B 的小，根据v =rω可知A 的线速度比C 的大，所以B
的线速度比C 的大，A 错误；
B．若A、B 质量相等，则A 在发射过程中克服引力做功多，故所需发射速度大，发射A 需要更多的能量，
B 正确；
C．牛顿第二定律得
GMm
r
2
=r 4 π
2
T
2 m
解得
T =√
4 π
2r
3
GM
可知周期与半径呈非线性关系，所以B 不在A、C 连线的中点处，C 错误；
D．经过12 小时，A 运动半周，而B 运动一周，两者在地心异侧共线，相距最远，D 正确。
故选BD。
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18．2023 年10 月26 日，我国自主研发的神舟十七号载人飞船圆满的完成了发射，与天和核心舱成功对接。
神舟十七号载人飞船的发射与交会对接过程的示意图如图所示，因中①为近地圆轨道，其轨道半径为R1，
②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在圆轨道，其轨道半径为R2，P、Q 分别为②轨道与①、③轨道的
交会点。已知神舟十七号载人飞船的引力势能大小的表达式为Ep=- GMm
R
，式中R为地心到飞船的距离，
M为地球的质量，m为神舟十七号载人飞船的质量，G为万有引力常量，地球表面的重力加速度为g。下
列判断正确的是（ ）
A．神舟十七号在②轨道上经过Q点的速度小于在③轨道上经过Q点的速度
B．神舟十七号先到③轨道，然后再加速，才能与天和核心舱完成对接
C．神舟十七号从①轨道转移到③轨道，飞船增加的机械能为mg R1(R2- R1)
2 R2
D．神舟十七号在②轨道上从P点运动到Q点的最短时间为π
2(
R1+ R2
R1 )√
R1+ R2
2g
【答案】ACD
【详解】A．②轨道相对于③轨道是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在两轨道切点Q 位置加速，即
神舟十七号在②轨道上经过Q点的速度小于在③轨道上经过Q点的速度，故A 正确；
B．根据上述可知，神舟十七号先到②轨道，然后在与③轨道交会点加速，才能与天和核心舱完成对接，
故B 错误；
C．神舟十七号在①轨道上有
G Mm
R1
2 =m v1
2
R1
，E机1= 1
2 m v1
2- GMm
R1
神舟十七号在③轨道有
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G Mm
R2
2 =m v2
2
R2
，E机2= 1
2 mv2
2- GMm
R2
在地球表明重力近似等于万有引力，则有
G Mm
R1
2 =mg
解得飞船增加的机械能为
E机2- E机1= mg R1(R2- R1)
2 R2
故C 正确；
D．神舟十七号在①轨道上有
G Mm
R1
2 =m 4 π
2 R1
T 1
2
结合上述解得
T 1=2π√
R1
g
根据开普勒第三定律有
R1
3
T 1
2 =(
R1+ R2
2 )
3
T 2
2
则神舟十七号在②轨道上从P点运动到Q点的最短时间为
t = T 2
2
解得
t = π
2(
R1+ R2
R1 )√
R1+ R2
2 g
故D 正确。
故选ACD。
三、解答题
19．我国自行研制的“天问1号”火星探测器于2021年5月19日成功着陆火星。设着陆前探测器对火星完
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成了“绕、着、巡”三项目标考查。如图所示，探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星
做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面
h的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G，火星的半径为R，
求：
（1）火星表面重力加速度；
（2）火星的质量及平均密度；
（3）探测器在火星近地圆轨道速度。
【答案】（1）2h
t
2 ；（2）2h R
2
Gt
2 ，
3h
2πGR t
2；（3）√2hR
t
【详解】（1）由自由落体运动得
h= 1
2 gt
2
解得
g= 2h
t
2
（2）设火星表面有一质量为m 的物体，则
G Mm
R
2 =mg
解得
M = 2h R
2
Gt
2
密度为
ρ= M
V
解得
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ρ=
3h
2πGRt
2
（3）探测器在近地圆轨道做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律
mg=m v
2
R
解得
v = √2hR
t
20．我国发射的“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了“天问一号”探测器探测之旅。假
定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为S，探测器与火星中心连线
扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t 小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，求：
（1）探测器的环绕周期；
（2）火星的质量；
【答案】（1）2πt
θ ；（2）s
3
Gθt
2
【详解】（1）探测器绕火星运动的角速度为
ω= θ
t
环绕周期为
T = 2π
ω
联立解得
T = 2πt
θ
（2）探测器贴近火星表面飞行，轨道半径为火星半径R，设火星质量为M 火，探测器质量为m，由题意有
S=Rθ
由万有引力提供向心力得
G M 火
❑m
R
2
=mω
2 R
联立解得火星的质量为s
3
Gθt
2
21．有一航天器围绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其质量为m，离地心的距离为r₁。已知地球的质量
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为 M，引力常量为G。
（1）求航天器做匀速圆周运动的动能。
（2）美国“星链”卫星曾近距离靠近我国航天器，为避免发生危险，要求航天器具有紧急变轨的能力。
已知质量为 m 的物体从距地心r 处运动到无穷远处，地球引力所做的功为 -G Mm
r
，（不考虑其他天体
对航天器的作用力）
a.航天器运行至圆轨道的 P 点时，发动机点火加速，使航天器的速率变为v0，此时恰能摆脱地球引力，远
离地球而去，求 v0的大小；
b.为使航天器能从半径为r₁ 的圆轨道变轨至半径为r2(r2>r1)的圆轨道运动，发动机做的功至少是多少？
【答案】（1）G Mm
2r1
（2）a. √
2GM
r1
；b.GMm
2 (
1
r1
- 1
r2)
【详解】（1）若航天器做匀速圆周运动，可得
G Mm
r1
2 =m v
2
r1
航天器此时的动能为
Ek= 1
2 m v
2=G Mm
2r1
（2）a.若恰能摆脱地球引力，根据动能定理可得
0- 1
2 mv0
2=-G Mm
r1
解得
v0=√
2GM
r1
b.与第（1）问同理，可得卫星在半径为r2 的圆轨道上运行时的动能
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E
'
k=G Mm
2r2
根据动能定理可得
E
'
k- Ek=-G Mm
r1
+G Mm
r2
+W
可得发动机做的功至少为
W = GMm
2 (
1
r1
- 1
r2)
22．如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀
速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力
常量为G。
（1）求星球A的周期T；
（2）求星球B的线速度大小v；
（3）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心
运行的周期记为T 1。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为
T 2。已知地球和月球的质量分别为m地=6×10
24kg和m月=7×10
22kg。求
T 2
2
T 1
2。（结果保留三位有效数
字）
【答案】（1）T =2π√
L
3
G( M +m)
；（2）v = M√
G
( M +m)L
；（3）T 2
2
T 1
2 =1.01
【详解】（1）由题意知A和B有相同的角速度和周期，设A、B的运行半径分别为rA、rB，则对A有
G Mm
L
2 = M 4 π
2
T
2 rA
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对B有
GMm
L
2
=m 4 π
2
T
2 rB
rA+rB= L
解得
rA=
m
M +m L
rB=
M
M +m L
解得
T =2π√
L
3
G( M +m)
（2）对B有
v = 2π rB
T
解得
v = M√
G
( M +m)L
（3）将地月系统看成双星系统，由（1）得
T 1=2π√
L
3
G(m地+m月)
常常认为月球绕地心做圆周运动，有
G m地m月
L
2
=m月
4 π
2
T 2
2 L
解得
T 2=2π√
L
3
G m地
则
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