文档内容
知识点29：万有引力定律及其应用（不考虑星球自转）
考点一：应用万有引力定律计算万有引力
题型一：均匀球体与均匀球体之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
（1）均匀球体与均匀球体之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
利用万有引力定律计算均匀介质球体之间的万有引力时，可以认为匀质球体质量集中于球
心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的连线。
（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法
在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补
法”解题主要体现了等效思想。
【典例1基础题】两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若
将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
【典例1基础题】【答案】D
【解析】由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量为原来的8倍，又r′＝2r，由万有引
力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确．
题型二：均匀球体与球体外质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
均匀球体与球体外质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
用万有引力定律计算均匀介质球体与球体外质点之间的万有引力时，可认为匀质球体的质
量集中于球心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的连线。
【典例2基础题】火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星
表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【典例2基础题】【答案】B
【解析】万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比
值为＝＝0.4，选项B正确．
题型三：均匀球体与球体表面质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
均匀球体与球体表面质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法
利用万有引力定律计算均匀介质球体与球体表面质点之间的万有引力时，可以认为匀质球
体的质量集中于球心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝G，引力的方向沿两球心的
连线。
【典例3基础题】据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现首颗系外“宜居”行星，
假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍，那么一个在地球表面能
举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g取
10 m/s2)( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
【典例3基础题】【答案】A
【解析】在地球表面，万有引力近似等于重力即＝mg，得g＝，因为行星质量约为地球质
量的6.4倍，其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的
1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为m＝＝ kg＝
40 kg，故A正确．
【典例3基础题对应练习】2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表
面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通
过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，
这表明他们( )
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【典例3基础题对应练习】【答案】C
【解析】航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用
力等于零，故C正确，A、B错误；根据F＝G 可知，他们在地球表面上所受引力的大
小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所
需向心力的大小，故D错误。
题型四：均匀球体与球体内质点之间万有引力的计算
【知识思维方法技巧】
计算均匀球体与球体内质点之间的方法：推论法
（1）推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即
∑F ＝0。（2）推论Ⅱ：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球
引
体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法
在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补
法”解题主要体现了等效思想。
【典例4基础题】理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴
2
学科网（北京）股份有限公司Ox，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到
的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图正确的是( )
【典例4基础题】【答案】A
【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝.由
于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝.根据题意有，质量分布
均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，故在深度为(R－r)的地球内部，受到地球的万有
引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′＝r，当rR后，g与r的平方成反比．即质量一定的小物体受到的引力大小F在地球内部与r成正
比，在外部与r的平方成反比．
【典例4基础题对应练习】如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心
的光滑隧道直达巴西．若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速
度( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【典例4基础题对应练习】【答案】D
【解析】设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有
引力F＝G·＝πGρmr，物体的加速度a＝＝πGρr，由题意可知r先减小后增大，故选项D
正确．
考点二：应用万有引力定律分析计算天体运动
【知识思维方法技巧】
解决天体圆周运动问题的两条思路：
（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝ma .
n
（2）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G＝
mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)
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学科网（北京）股份有限公司题型一：环绕中心天体运动各物理参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决天体环绕运动各物理量的比较解题思路：
（1）列出四个连等式：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
（2）导出四个表达式：a＝，v＝，ω＝，T＝。
结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，
只有T与r变化一致。
【典例1基础题】若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径
与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3 D．向心加速度大小之比为9∶4
【典例1基础题】【答案】C
【解析】轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万
有引力提供向心力有＝m，得 v＝，得＝＝，故 B错误；由万有引力提供向心力有＝
mω2r，得ω＝，得＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，得＝＝，故D错误．
题型二：中心天体质量和密度的计算
【知识思维方法技巧】
计算中心天体质量和密度的两个方法:
（1）卫星环绕法（“T、r”法）：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r和周期
T。
①由G＝mr，得中心天体M＝。
②若已知天体的半径R，则就能得到中心天体的平均密度ρ＝＝＝。特别是当卫星绕中心
天体表面运行时，则中心天体的平均密度ρ＝。
（2）重力加速度法（“g、R”法）：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由G＝mg，得天体质量M＝。天体密度ρ＝＝＝。
【典例2基础题】土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为
1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg
【典例2基础题】【答案】 B
【解析】 根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，
则G＝m2r，化简得到M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B.
【典例2基础题对应练习】（多选）探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设人
4
学科网（北京）股份有限公司类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周
运动时，测得其绕行速度为v，绕行一周所用时间为T, 已知引力常量为G，则( )
A．火星表面的重力加速度为 B．火星的半径为
C．火星的密度为 D．火星的质量为
【典例2基础题对应练习】【答案】BC
【解析】飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据v＝，得R＝，
故B正确；根据万有引力提供向心力，有G＝mR，得火星的质量M＝，根据密度公式得火
星的密度ρ＝＝＝，故C正确；根据M＝ρ·＝××3＝，可知D错误；根据重力等于万有引力
得，mg＝G，得g＝G＝，故A错误。
题型三：中心天体表面重力加速度的计算
【知识思维方法技巧】
计算天体表面重力加速度的方法：
不考虑地球自转时，地球表面处：由G＝mg，得g＝G，也适用于其他星体表面。
1 1
【典例3基础题】火星的质量和半径分别约为地球的 10 和 2 ，地球表面的重力加速度为
g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
【典例3基础题】【答案】B
【解析】星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = = 0.4，故
B正确。
【典例3基础题对应练习】宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同
时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面
已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g ；
月
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
【典例3基础题对应练习】【答案】 (1) (2) (3)
【解析】 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g t2
月
月球表面的自由落体加速度大小g ＝
月
(2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg
月
得月球的质量M＝
(3)月球的密度ρ＝＝＝.
考点三：应用万有引力定律分析计算地球卫星运动
题型一：地球卫星运动各物理参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决人造卫星圆周运动的两条思路：
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学科网（北京）股份有限公司（1）人造卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。人造卫星运动的向心力来源于地
球与人造卫星之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝ma .
n
（2）在地球表面或附近运动而又不涉及地球自转运动时，万有引力等于重力，即G＝
mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．（g表示地球表面的重力加速度）
类型一：地球一般卫星运行参量的计算
【典例1a基础题】（多选）质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G ，它在离
0
地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的( )
A．周期为4π B．速度为
C．动能为GR D．重力为G
0 0
【典例1a基础题】【答案】AC
【解析】由万有引力提供向心力，则有G＝m＝mr＝ma由题意可知，r＝2R。
质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G，根据万有引力等于重力得：GM＝gR2
0
＝R2解得：周期T＝4π ，则A正确；解得速度v＝ ，则B错误；动能为E ＝GR，则C
k 0
正确；由a＝，则重力为ma＝，则D错误。
类型二：地球近地卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
近地卫星运行参量计算的技巧：
（1）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径r＝
R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，
T＝85 min（人造地球卫星的最小周期）．
（2）在地球表面附近运动时，万有引力等于重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄
金代换．（g表示地球表面的重力加速度）
【典例1b基础题】空间站是一种在近地轨道(高度小于400 km，可看成圆轨道)长时间运行、
可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载人航天器．下列说法正确的是( )
A．只需要知道空间站的周期就可以测出地球的质量
B．空间站的运行周期可能与月球绕地球运行的周期相差不大
C．空间站的运行周期一定小于地球自转周期
D．在空间站工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
【典例1b基础题】【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由＝m()2r得M＝r3，要测出地球的质量，除需要知道空间站的周期，还需要知道
空间站的运行半径，A错误；由G＝m()2r得T＝，空间站在近地轨道上运动，它的运行半
径远小于月球绕地球运行的半径，故它的运行周期远小于月球绕地球运行的周期，B错误；
由于空间站的运行半径比同步卫星的小，故空间站的运行周期一定小于地球自转周期，C
正确；在空间站工作的宇航员处于完全失重状态，仍受重力作用，受力不平衡，D错误．
类型三：地球极地卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
极地卫星运行参量计算的技巧：
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内做匀速圆周运动的卫星，
由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。如极地气象卫星。
【典例1c基础题】北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球定位和卫星导航系统，
如图所示，是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、c三颗卫星均做匀速圆
周运动，轨道半径r＝r>r.其中a为地球同步卫星．下列说法正确的是( )
a b c
A．c在运动过程中可能会经过北京上空
B．b的周期可能大于地球的自转周期
C．a的动能一定等于b的动能
D．a、b的线速度大小不相等
【典例1c基础题】【答案】A
【解析】由题图可知，c为极地轨道卫星，所以c在运动过程中可能会经过北京上空，故A
正确；卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 G＝mr，整理得T＝，又因为r ＝
a
r ，a为地球同步卫星，所以b的周期等于地球的自转周期，故B错误；卫星的质量关系未
b
知，所以a的动能不一定等于b的动能，故C错误；卫星做匀速圆周运动，万有引力提供
向心力，有G＝m，整理得v＝，故a、b的线速度大小一定相等，故D错误．
类型四：地球同步卫星运行参量的计算
【知识思维方法技巧】
同步卫星的物理规律有“七个一定”的特点：
①不快不慢：具有特定的运行线速度v＝≈3.1×103 m/s、角速度和周期T＝24 h。
②不高不低：具有特定的位置高度h＝－R≈3.6×107 m和轨道半径。
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的
点运行，运行方向与地球自转方向一致。
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学科网（北京）股份有限公司覆盖全球信号只需三颗卫星：由数学知识及上面的数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于三
分之一的地球面积，所以，均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球。
【典例1d基础题】我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6 C”卫
星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止小轨道通信卫星，
假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动。已知地球的半径为R，地球表面的
重力加速度为g，万有引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．同步卫星运动的周期为2π
B．同步卫星运行的线速度为
C．同步轨道处的重力加速度为2g
D．地球的平均密度为
【典例1d基础题】【答案】C
【解析】地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，
有：＝m，在地球表面，重力等于万有引力，有：mg＝，故同步卫星运动的周期为：T＝
2π ，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：＝m，在地球表面，重力等于万有引力，
有：mg＝，解得同步卫星运行的线速度为：v＝ ，故B错误；根据万有引力提供向心力，
有：G＝mg′，在地球表面，重力等于万有引力，有：mg＝，解得g′＝2g，故C正确；由
mg＝得：M＝，故地球的密度为：ρ＝＝，故D错误。
类型五：地球人造卫星运行参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
解决人造卫星绕地球运行参量的比较解题思路：
（1）列出四个连等式：G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
（2）导出四个表达式：a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝ 。
结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，
只有T与r变化一致。
【典例1e基础题】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距
地球表面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
A. a、b的线速度大小之比是 ∶1 B. a、b的周期之比是1∶2
C. a、b的角速度之比是3 ∶4 D. a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【典例1e基础题】【答案】C
【解析】两卫星均做匀速圆周运动，由 ＝m 得 ＝ ＝ ＝ ，故A错
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学科网（北京）股份有限公司误．由 ＝mr( )2得 ＝ ＝ ，故B错误．由 ＝mrω2得 ＝ ＝
，故C正确．由 ＝ma 得 ＝ ＝ ，故D错误．
n
题型二：地球质量和密度的计算
【典例2基础题】2021年11月23日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十
七运载火箭成功发射“高分三号”02星。该卫星的成功发射将进一步提升我国卫星海陆观
测能力、服务海洋强国建设和支撑“一带一路”倡议。已知卫星绕地球做匀速圆周运动的
周期为T，线速度大小为v，引力常量为G，则地球的质量为( )
A. B. C. D.
【典例2基础题】【答案】C
【解析】设地球质量为M，卫星质量为m，卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为r，根据T
＝ ，可得r＝ ，根据万有引力提供向心力有G ＝m ，联立解得M＝ ，故C正
确，A、B、D错误。
题型三：地球重力加速度的计算
【知识思维方法技巧】
（1）地球表面某高度处重力加速度计算的方法：
地球上空高h处：由mg ＝G，得g ＝G＝g。
h h
（2）计算地球表面重力加速度的方法：
不考虑地球自转时，地球表面处：由G＝mg，得g＝G，也适用于其他星体表面。
（3）天体某深度处重力加速度计算的方法：用推论法
用推论法先计算天体某深度处的万有引力，再由mg ＝G，得g ＝G∝(R－d)，故g ＝g(g为
d d d
地球表面处重力加速度)．
【典例3基础题】一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭
中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则
此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A.倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【典例3基础题】【答案】 C
【解析】在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得F －mg′＝ma，
N
解得g′＝ m/s2＝，因为G＝g′，可得r＝4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径
R的3倍，选C.
【典例3基础题对应练习】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，
演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为h，地球质量为
M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
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学科网（北京）股份有限公司A．0 B． C． D．
【典例3基础题对应练习】【答案】B
【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。
10
学科网（北京）股份有限公司
