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2025 高考物理一轮复习能力提升专题复习（5）万有引力与航天
（一）开普勒定律的应用
1．【例题1】（单选）如图所示，霍曼转移轨道是以较低能耗从地球发送探
测器到火星的转移轨道，该轨道以太阳为焦点，近日点、远日点分别与地球轨
道、火星轨道相切。在地球上将火星探测器发射，探测器从地球轨道出发，在
太阳引力作用下，沿霍曼转移轨道无动力运行到达火星轨道。地球、火星的公
转轨道可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的1.5 倍，
则探测器从地球轨道运动至火星轨道用时约为（ ）
A．0.4 年 B．0.7 年 C．1 年
D．1.4 年
【答案】B【详解】霍曼地火转移轨道为椭圆，则其轨道半长轴r 约为地球公
转轨道半径
的n 倍，则
设，探测器经过转移轨道的时间为，则有
其中
解得
故选B。
（二）万有引力的计算
2．【例题2】（单选）密度均匀的球体半径为
、质量为
，现
从球体
中挖去直径为
的球体
，将球体
放置在距离球体
的球心
为
处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半
径为
的球体的体积为
，引力常量为
，则球体
剩余部分
对球体
的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】小球B 的质量为
挖去小球前，A 对B 的万有引力
挖去部分对
B 的引力为
则剩余部分对B 的万有引力
故ABC 错误，D 正确。故选D。
（三）万有引力与重力
3．【例题3】(单选)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天
宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分
布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有
由于地球的质量为
所以重力加速度的表达式可写成
质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径
等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度
所以有
根据万有引力提供向心力有G
＝ma“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝
所
1
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以
，
故选C。
4．【例题4】(单选）一质量为
的物体，假设在火星“两极”宇航员用弹簧测力计测得其所受的重力为
，在火星“赤道”上宇航员用同一弹簧测力计测得其所受的重力为
，通过天文观测测得火星的自转
角速度为
，设引力常量为
，将火星看成是质量分布均匀的球体。以下说法正确的是（ ）
A．则火星的密度为
B．则火星半径为
C．该物体在火星赤道上所受向心力为
D．该物体在火星赤道上所受向心力为
【答案】A【详解】CD．物体在火星“两极”时，万有引力大小等于重力大小，物体在赤道上所受向心
力大小等于万有引力减去重力，即
，选项C D 错误；
AB．在“两极”有
在“赤道”上有
联立解得
根据密度
公式
可得火星的密度为
A 正确，B 错误。故选A。
（四）万有引力定律的应用--计算中心天体的质量密度，分析环绕天体运行的物理量
5．【例题5】(单选)2019 年3 月10 日，长征三号乙运载火箭将“中
星6C”通信卫星（记为卫星Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、
东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通信与广播业务。在同平面
内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ它运动的每个周期内都有一段时间
t（t 未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上
总有一段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应
的圆心角为
。已知卫星Ⅰ对地球的张角为
，地球自转周期为
，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A.地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．题中时间t 不可能为
【答案】D【详解】A．设卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为R1和R2，因卫星Ⅰ为同
步卫星，则有
且有
其中R 为地球的半径，联立解
得
故A 错误；B．设卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度分别为
和
，如图所示
在三角形AOB 中，有
即
根据
可
得
故有
联立以上各式，有
故B 错误；C．根
可得
因卫星Ⅰ为同步卫星，则其周期为T0，设卫星Ⅱ的周期为T2，则有
整理得
故C 错误；D．若卫星Ⅰ和卫星Ⅱ均不运动，卫星
2
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Ⅱ对应为圆心角为2α，则有
但卫星之间是有相对运动的，所以时间不可能为
，故D 错误。故选D。
6．【例题6】(单选)“天问一号”从遥远的火星传来新春的大礼，2021 年2 月10 日
晚，“天问一号”探测器在火星附近的某点（称为“捕获点”）成功被火星引力
“捕获”实现变轨，开始在火星赤道所在面内绕火星运行，2 月15 日，“天问一
号”探测器实现了完美的“侧手翻”，将轨道调整为经过火星两极的环火星轨道。
将“天问一号”绕火星的运动看作匀速圆周运动，已知“天问一号”绕火星运动的
轨道半径为，“天问一号”相对于火星的张角为
，如图所示，火星的平均密度
为
，万有引力常量为G，则（ ）
A．“天问一号”要实现被火星引力“捕获”需要在“捕获点”加速
B．“天问一号”在“侧手翻”前瞬间的加速度大于“侧手翻”后瞬间的加速度
C．“天问一号”绕火星做圆周运动的周期为
D．火星表面的重力加速度为
【答案】C【详解】A．“天问一号”要实现被火星引力“捕获”需要在“捕获点”减速，减小需要的向心力
才能实现绕火星运动，A 错误B．火星对“天问一号”的万有引力为“天问一号”的合力，在“侧
手翻”变轨前后瞬间火星对“天问一号”的万有引力相同，根据牛顿第二定律，则加速度相同，B 错误
C．“天问一号”相对于火星的张角为
，根据几何关系可得火星半径为
设火星的质量为
，则
设“天问一号”的质量为
，周期为
，根据万有引力提供向心力，有
与
联立解得“天问一号”的周期
C 正确D．质
量为
的物体在火星表面，有
火星的质量为
两式联立解得火星表面的重力加速度
为
将火星半径为
代入上式解得火星表面的重力加速度为
D 错误故选
C。
7．【例题7】(单选)2021 年2 月10 日，天问一号探测器成功实现近火
制动开始绕火星运行，2 月15 日，天问一号探测器实现了完美的“侧
手翻”，将轨道调整为经过火星两极的环火星轨道。天问一号在绕火星
运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全
食现象，如图所示。已知天问一号绕火星运动的轨道半径为r，火星质
量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为
（用弧度制
表示），将天问一号环火星看作匀速圆周运动，天问一号、火星和太阳
的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光，则（ ）
A．火星表面的重力加速度为
B．火星的第一宇宙速度
为
C．天问一号每次日全食持续的时间为
D．天问一号运行的角速度为
3
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【答案】C【分析】本题以天问一号的成功制动为载体，考查了万
有引力定律、重力加速度、第一宇宙速度以及天体运动的知识，考
查了考生的推理能力和应用数学解决物理问题的能力，本题体现了
物理观念和科学思维和科学态度与责任的素养。【详解】A．天问
一号相对于火星的张角为
，根据几何关系可得火星半径为
质量为
的物体在火星表面，有
两式联
立解得火星表面的重力加速度为
选项A 错误；B．根
据质量为
的物体在火星表面运动时万有引力提供向心力，有
与
联立解得火星
的第一宇宙速度
选项B 错误；C．作出天问一号发生日全食的示意图，日全食持续的时间为
运行在
之间的时间，如图所示，根据几何关系可得三角形
与三角形
全等，则
平行于OA，则
同理可得
则发生日全食时天问一
号转过的角度为
设天间一号的周期为T，根据万有引力提供向心力，有
解得周期
发生日全食的时间为
选项C 正确；D．设天问一号的角速度为
，根据万有引力提供向心力，有
解得角速度为
选项D 错误。故选C。
8．【例题8】（多选）人类设想在赤道平
面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，
又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图
线A 表示地球引力对航天员产生的加速度
大小与航天员距地心的距离r 的关系，图线
B 表示航天员相对地面静止时而产生的向心
加速度大小与r 的关系。图乙中R（地球半
径），r0为已知量，地球自转的周期为T，
引力常量为G，下列说法正确的有（ ）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为0 B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为
D．随着r 的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
【答案】AB【详解】A．由图乙可知，太空电梯在r0时，航天员所受地球的引力完全提供其随地球自转
所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A 正确；
BC．太空电梯在r0时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为M，航天员的质量
为m，则
解得
由第一宇宙速度的表达式得
故B 正确，C 错误；D．随着r 的增加，航天员所需的向心力
逐渐增加，在
时，引
力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0，当
时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，
根据
解得
FN随着r 的增大而减小，当
时，电梯舱对航天员
4
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的弹力表现为指向地心的压力，此时
FN随着r 的增大而增大，故D 错误。故选AB。
（五）拉格朗日问题
9．【例题9】（多选）1772 年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三
体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平
面上有5 个特殊点，如图中
、
、
、
、
所示，人们称之为拉格
朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以
不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。已知太阳质量为地球质
量的33 万倍，日地距离为太阳半径的215 倍，
和
对称，且与太阳连
线的夹角为
，则下列说法正确的是（ ）
A.人造卫星在
和
的向心加速度不同 B．
距太阳中心的距离比
距太阳中心的距离大
C．
、
的公转线速度相同 D．
的旋转中心点在太阳内部
【答案】AD【详解】A．
和
的角速度相同，圆周运动半径不同，
根据
可知向心加速度大小不同。故A 正确。B．
和
到太阳
和地球公共质心的距离相等（此处可以将太阳和地球视为处于公共质心
的单一天体），则
到太阳的距离小于
到太阳的距离。故B 错误；
C．根据
可知5 个点角速度相同，当圆周运动半径相同时，线速
度相同。
和
的圆周运动半径不同，故其线速度不同。故C 错误；
D．对位于
的人造卫星受力分析，如图所示：其中
和
分别为太阳和地球对卫星的引力，其合力F
指向太阳和地球连线上的O 点。过点C 作水平线BC，有
为等边三角形，即
由
与
相似可得
即
假设太阳，地球，人造卫星的质量分别为M，m，
，日
地距离为R，则有
解得
R 而太阳半径为
R，即DO 小
于太阳半径，即O 在太阳内部，故D 正确。故选AD。
（六）赤道上的物体，近地卫星，同步卫星
10【例题10】．(单选)如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止
的物体随地球自转做匀速圆周运动，b 为在地球表面附近做匀速
圆周运动的人造卫星（轨道半径近似等于地球半径），c 为地球
的同步卫星，则以下说法中正确的是（ ）
A．a、b、c 的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa
B．a、b、c 的角速度大小关系为ωa>ωb>ωc
C．a、b、c 的线速度大小关系为va<vb<vc
D．a、b、c 的周期大小关系为Ta<Tb＜Tc
【答案】A【详解】对于放在赤道上的物体a 和同步卫星c，运
动周期相同，即Ta=Tc，根据
可知轨道半径大的同步卫星c 具有更大的向心加速度，即ac＞
aa
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根据
，可知赤道上的物体a 和步卫星c 的角速度相同，即ωa=ωc据
可知轨道半径大的同步
卫星c 具有更大的线速度，即vc＞va；对于近地卫星b 和同步卫星c，根据卫星做匀速圆周运动所需的向
心力由地球对卫星的万有引力提供，有
得卫星的向心加速度为
可知轨道半径大的同步
卫星c 的向心加速度小，即ac<ab；根据卫星做匀速圆周运动所需的向心力由地球对卫星的万有引力提
供，有
得卫星的角速度为
可知轨道半径大的同步卫星c 的角速度小，即ωc<ωb；
根据卫星做匀速圆周运动所需的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有
得卫星的线速度为
可知轨道半径大的同步卫星c 的线速度小，即vc<vb；根据卫星做匀速圆周运动所需的向心力由
地球对卫星的万有引力提供，有
得卫星的周期
可知轨道半径大的同步卫
星c 的周期大，即Tc>Tb。由以上分析可得ab＞ac＞aaωa＝ωc<ωbvb＞vc>vaTa＝Tc>Tb故选A。
（七）卫星发射的变轨问题
11【例题11】．（多选）“天问一号”从地球发射
后，在如图甲所示的P 点沿地火转移轨道到Q 点，再
依次进入如图乙所示在近火点相切的调相轨道和停泊轨
道，则天问一号（ ）
A．从P 点转移到Q 点的时间小于6 个月
B．在近火点实施制动可以实现从调相轨道转移到停泊
轨道
C．在停泊轨道运行的周期比在调相轨道上运行的周期
大
D．在相等时间内与火星球心的连线在停泊轨道上扫过的面积小于在调相轨道上扫过的面积
【答案】BD【详解】A．因P 点转移到Q 点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于
地球公转周期（1 年共12 个月），则从P 点转移到Q 点的时间为轨道周期的一半时间应大于6 个月，A
错误；B．天问一号在近火点实施制动，做近心运动，可以实现从调相轨道转移到停泊轨道，B 正确；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停
泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，C 错误；D．如图乙所示在近火点相切的调相轨道和停泊轨道上各
取极短时间
，在这段时间扫过的面积
又
得
得
在近火点调相轨道比停泊轨道的曲率半径大，所以在相等
时间内与火星球心的连线在停泊轨道上扫过的面积小于在调相轨道上扫过的面积。D 正确。故选BD。
12．（多选）我国已掌握“半弹道跳跃式高速再入返回技术”，为实现“嫦
娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图所示，假设与地球同球心的虚线球面
为地球大气层边界，虚线球面外侧没有空气，返回舱从a 点无动力滑入大气
层，然后经b 点从c 点“跳出”，再经d 点从e 点“跃入”实现多次减速，
可避免损坏返回舱。d 点为轨迹最高点，离地面高h，已知地球质量为M，
半径为R，引力常量为G。则返回舱（ ）
A．在d 点加速度小于
B．在d 点速度小于
C．虚线球面上c、e 两点离地面高度相等，所以vc和ve大小相等
D．虚线球面上a、c 两点离地面高度相等，所以va和vc大小相等
【答案】BC【详解】A．根据牛顿第二定律
解得
A 错误；B．在d 点，万有引
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力大于向心力，根据牛顿第二定律
解得
B 正确；C．从c 到d 到e 的过程没
有空气阻力，机械能守恒，所以
C 正确；D．由a 点到c 点，根据动能定理
解
得
D 错误。故选BC。
13【例题12】．(单选)在发射卫星时，往往先将卫星发送到一个椭圆轨道上，
再变轨到圆轨道。已知某卫星运行的椭圆轨道的近地点M 距地面
，远
地点N 距地面
，卫星进入该轨道正常运行时，通过M 点和N 点时的速
率分别为
和
，当某次卫星通过N 点时，启动卫星上的发动机，使卫星在短
时间内加速后进入离地面
的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，
这时卫星的速率为
。比较卫星在M、N、P 三点正常运行时（不包括启动发
动机加速阶段）的速率
和加速度大小
，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】根据万有引力提供向心力
得
由题可知
，所以
，当某次飞船通过N 点，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加
速后进入离地面340 km 的圆形轨道绕地球做匀速圆周运动，所以
；假设飞船在半径为
的圆轨道
上做匀速圆周运动，经过M 点时的速率为
，根据
得
又因为
，所以
，飞船在圆轨道M 点时需加速才能进入椭圆轨道，则
，故
。故选D。
14【例题13】．(单选)中国预计将在
2028 年实现载人登月计划，把月球作为
登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示
是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一
号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转
移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月
卫星。关于“嫦娥一号”下列说法正确的
是（ ）
A．发射时的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变
C．在轨道Ⅰ上运动时的速度小于轨道Ⅱ上任意位置的速度
D．绕月轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火加速
【答案】B【详解】A．第三宇宙速度，又叫逃逸速度，即能够脱离太阳系的最小发射速度，“嫦娥一
号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，可没有脱离地球的引力范围，因此发射时的速度应小
于第二宇宙速度，A 错误；B．在绕地轨道中，中心天体都为地球，由开普勒第三定律可得
，则有
公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，B 正确；C．设轨道Ⅰ上运动时的速度为v1，轨道Ⅱ上近
月点的速度为v2，轨道Ⅱ上远月点的速度为v3，若在轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道，
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其速度为v4，由卫星加速将会做离心运动，以及线速度与轨道半径的大小关系可知v2> v1v4> v3
由万有引力提供向心力，可得
由上式可知v1> v4因此可得v2> v1>v4> v3
因此在轨道Ⅰ上运动时的速度不是小于轨道Ⅱ上任意位置的速度，C 错误；D．由C 选项解析可知，绕月
轨道Ⅱ变轨到Ⅰ上需点火减速，D 错误。故选B。
15．(单选)2021 年6 月17 日，神舟十二号载人飞船
与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤
洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己
的空间站。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱
处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径
为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作
后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 点与天和核心舱对接。
则下列说法正确的是（ ）
A．神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上运动时经A、B 两点速率
B．神舟十二号飞船沿轨道Ⅱ运行的周期为
C．神舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
D．正常运行时，神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上经过B 点的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B 点的加速度
【答案】B【详解】A．根据开普勒第二定律得
解得
故A 错误；
B．根据开普勒第三定律得
又
联立解得
故B 正确；C．根据
得
可知神舟十二号飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行
的周期，故C 错误；D．根据
得
可知正常运行时，神舟十二号飞船在轨道Ⅱ上经过B
点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B 点的加速度，故D 错误。故选B。
16．(单选)我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活
动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径
为R，月球表面的重力加速度为
，飞行器在距月球表面高度为3R 的
圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨
道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则（ ）
A．飞行器在B 点处点火是让飞行器速度增大
B．由已知条件能求出飞行器在Ⅱ轨道上的运行周期
C．只有万有引力作用下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B 点的加速度大于在
轨道Ⅲ在B 点的加速度
D．飞行器在轨道Ⅰ上通过A 点的速度小于在轨道Ⅱ上通过A 点的速度
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【答案】B【详解】A．飞行器在B 点处点火减速进入轨道Ⅲ，A 错误；B．在轨道Ⅰ
由开普勒第三定律
又
联立得飞行器在Ⅱ轨道上的运行周
期为
B 正确；C．根据
得
距离相等，则加速度相等，C 错误；D．飞行
器在轨道Ⅰ上通过A 点时做匀速圆周，飞行器轨道Ⅱ上通过A 点时做近心运动，则飞行器在轨道Ⅰ上通
过A 点的速度大于在轨道Ⅱ上通过A 点的速度，D 错误。故选B。
（八）追击相遇问题
17【例题14】（多选）如图所示，有A、B 两颗行星绕同一恒星O 做圆周运
动，运行方向相同。A 行星的周期为T1，B 行星的周期为T2，在某一时刻两行
星相距最近，则（ ）
A．经过时间
，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间
（n=1，3，5，…），两行星相距最远
D．经过时间
（n=1，3，5，…），两行星相距最远
【答案】AC【详解】AB．当A、B 再次相距最近时，即A 比B 多运动一圈，设经过时间t 二者再次相距
最近，有
解得
故A 正确，B 错误；CD．当A、B 相距最远时，即A 比B 多运动
（
1，3，5，…）圈，设经过的时间为
，有
（
1，3，5，…）解得
（
1，3，5，…）故C 正确，D 错误。故选AC。
18．【例题15】(单选)如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫
星，其对地张角为
；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为
，
万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间为
【答案】A【详解】AC．设地球质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r 和R，卫星Ⅰ为同步卫星，周
期为
，近地卫星Ⅱ的周期为T。根据开普勒第三定律
由题图得
可得卫星Ⅱ的周期为
故C 错误；对于卫星Ⅱ
对于地球
联立以上各式，可得地球
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的平均密度为
故A 正确；B．对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得
所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
故B 错误；D．当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着
地球的区域内，其对应圆心角为
时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间
为t。若两卫星同向运行，则有
，
解得
若两卫星相向运行，则有
，
解得
故D 错误。故选A。
（九）双星，多星问题
19．(单选)2022 年1 月28 日，国务院新闻办公室发布我国第五部航天白皮书《2021 中国的航天》，白皮
书中提到将继续实施月球探测工程，发射“嫦娥六号”探测器、完成月球极区采样返回。若将地球和月
球看做一个双星系统，二者间距离为L，它们绕着二者连线上的某点做匀速圆周运动，运行周期为T；从
漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大。若引力常量为G，则下列说法正
确的是（ ）
A．当前月球和地球的动能相等B．当前该双星系统的总质量为
C．在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小
D．在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大
【答案】B【详解】A．设地球的质量为M，地球的轨道半径为
，月球的质量为m，轨道半径为
，故
有
由于
联立得
地球的动能为
月球的动能为
由于地球与月球的质量不同，故两者动能不同，A 项错误；
B．双星系统中，两天体之间的万有引力提供向心力，有
将轨道半径代入后整理得
将
代入整理得
B 项正确；
C．由
两天体质量减小，距离增大，故周期增大，C 项错误；D．由于两天体距离增大，万
有引力做负功，系统总动能减小，D 项错误；故选B。
20．【例题16】（多选）根据爱因斯坦的广义相对论，引力是由质量所
引发的时空扭曲所造成的，任何有质量的物体加速运动都会对周围的时空
产生影响，作用的形式就是引力波。美国普林斯顿大学的Russell A．
Hulse、Joseph H。Taylor 曾经发现脉冲双星而获得1993 年的诺贝尔物理
学奖，也为引力波的存在提供了间接证据。2015 年9 月14 日，通过
LIGO 计划，人类首次探测到由两个黑洞合并发出的引力波信号。如图为
两个黑洞A、B 组成的双星系统，绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示
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意图，若A 的轨道半径大于B 的轨道半径，两个黑洞的总质量M，距离为L，其运动周期为T。则
（ ）
A．A 的质量一定小于的质量B
B．A 的线速度一定小于B 的线速度
C．L 一定，M 越大，T 越小
D．M 一定，L 越大，T 越小
【答案】AC【详解】A．黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量为
和
，轨
道半径为
和
，角速度为
，则由万有引力提供向心力可知
且
联立可得
由图可知
则
选项A 正确；B．双星系统的角速度相同，即
又
根据
可知
选项B 错误；CD．根据万有引力提供向心力有
且
又
整理可得
由此可知，当L 一定时，M 越大T
越小；当总质量M 一定时，L 越大，T 越大。选项C 正确，D 错误。故选AC。
21．【例题17】(单选)宇宙中存在一些离其他恒星较
远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略
其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两
种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星
围绕中央星在同一半径为
的轨道上运行，如图甲所
示，周期为
；另一种是三颗星位于边长为
的等边
三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运
行，如图乙所示，周期为
。则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充
当向心力，则
解得
第二种形式下，三颗星体之间的距离均为
，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为
任一星体所受的合力充当向心力，即有
解得
则
故B 正确。故选B。
22．【例题18】(单选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星
组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四
星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L
的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确
的是（ ）
A．四颗星的向心加速度的大小均为
B．四颗星运行的线速度大小均为
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C．四颗星运行的角速度大小均为
D．四颗星运行的周期均为
【答案】B【详解】一个星体受其他三个星体的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形
对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径
，根据万有引力提供向心力，有
故B 正确，A、C、D 错误。故选B。
（十）巩固练习
23．(单选)如图，卫星在 P 点由椭圆轨道Ⅱ变轨到近椭圆形轨
道Ⅰ（可认为半径等于火星半径 R）。已知椭圆轨道Ⅱ上的远
火点 Q 到火星表面高度为 6R，火星表面重力加速度为 g0，引
力常量为G，下列说法错误的是（ ）
A．火星的平均密度为
B．卫星在轨道Ⅱ上由 Q 点运动到 P 点所用时间为
C．卫星在轨道Ⅱ上运动到 Q 点时的速度小于
D．卫星在轨道Ⅱ上经过 P 点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过 P 点时的加速度
【答案】B【详解】A．根据
火星质量
火星的平均密度为
故A 正确，不符合题意；B．由题意可知卫星在椭圆轨道上的半长轴为
设卫星在椭圆轨
道上的周期为T，卫星在近椭圆形轨道运行的周期为T0，根据开普勒第三定律可得
根据万有引力
提供向心力，有
，设卫星在椭圆轨道由P 点运动到Q 点所用时间为t，则
联立得
故B 错误，符合题意；C．设卫星做轨道半径为r=7R 的匀速圆周运动，根据
当在Q 点进入轨道Ⅱ时做近心运动，速度减小，所以卫星在轨道Ⅱ上运动到 Q 点时的
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速度小于
，故C 正确，不符合题意；D．根据
卫星在轨道Ⅱ上经过 P 点时的
加速度等于在轨道Ⅰ上经过 P 点时的加速度，故D 正确，不符合题意。故选B。
24．（多选）2019 年4 月10 日，天文学家召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。黑洞
是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸（光速为c）。若黑洞的质量为M，半径为R，
引力常量为G，其逃逸速度公式为
。如果天文学家观测到一天体以速度v 绕某黑洞做半径为r
的匀速圆周运动，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．该黑洞的最大半径为
D．该黑洞表面的重力加速度为
【答案】ACD【详解】AB．根据万有引力提供向心力得
得黑洞的质量
故A 正确，B 错误；C．根据逃逸速度公式
，得
则黑洞的最大半径
故C
正确；D．由万有引力等于重力
解得
故D 正确。故选ACD。
25．（多选）将空间站“天和”核心舱绕地球的运动视为匀速圆周运
动，分别对其运行周期T 以及对应的轨道半径r 取对数，得到
图
像如图所示，其中a 为已知量。引力常量为G。下列说法正确的是
（ ）
A．
图像的斜率为
B．
图像的斜率为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
【答案】BC【详解】AB．根据
有
两边取对数并整理可得
故
图像的斜率为
，故A 错误，B 正确；CD．设图像在纵轴上的截距为
，有
又
解得
故C 正确，D 错误。故选BC。
26．(单选)电影中的太空电梯非常吸引人。现
假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过
超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间
站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步
旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P
是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（
）
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A．太空电梯上各点线速度的平方与该点离地球球心的距离成反比
B．宇航员在配重空间站时处于完全失重状态
C．若从P 平台向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝P 点转动的方向向前运动一边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点
【答案】C【详解】A．太空电梯上各点具有相同的角速度，根据
可知，太空电梯上各点线速度与该点
离地球球心的距离成正比，故A 错误；B．配重空间站轨道半径大于同步轨道，由
知其线速度和向心
加速度均大于同步卫星；而由
知同步卫星的加速度大于配重空间站所在轨道的正常运行卫星的加
速度，所以配重空间站内的宇航员的加速度大于同轨道卫星的运行加速度，所以不是处于完全失重状态，故B
错误； C．若从P 平台向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝P 点转动的方向向前运动一边落向地球，
做近心运动，故C 正确；D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的
近地点，由于在近地点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故D 错误。故选C。
27(单选)．2022 年10 月31 日，“梦天实验舱”发射任务取得圆满成
功！中国空间空间站将形成三舱“T”字型基本构型。假定空间站在距
地面450km 高度处做理想的匀速圆周运动，某时刻“北斗”系统中的
中轨道卫星A 与空间站相距最近如图所示，该中轨道卫星A 距地面高
度为
，地球半径为
，卫星A 和空间站的运行轨道在
同一平面内且运行方向相同，则从图示位置往后开始计数（不包括图示
位置），在卫星A 运行一周时间内，空间站与A 相距最近的次数为（
）
A．7 次
B．8 次
C．9 次
D．14 次
【答案】A【详解】空间站的轨道半径
北斗卫星中轨道卫星A 的轨道半径
可得
根据开普勒第三定律
从而得出二者的周期之比为
从图示位置开始，二者转过的角度相差
，得
化简
在卫星A 运
行一周时间T2内，n 取值
，所以共7 次相距最近。故选A。
28．(单选)如图所示，“火星”探测飞行器P 绕火星做匀速圆周运动，
若“火星”探测飞行器某时刻的轨道半径为r，探测飞行器P 观测火星
的最大张角为β，下列说法正确的是（ ）
A．探测飞行器P 的轨道半径r 越大，其周期越小
B．探测飞行器P 的轨道半径r 越大，其速度越大
C．若测得周期和张角，可得到火星的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到探测器P 的质量
【答案】C【详解】A．根据
可得
因此轨道半径r 越大，周期越大，故A 错误；B．根据
可得
轨道半径r 越大，速度越小，故B 错误；C．若测得张角为
，如图
则可求出火星的半径
若测出飞行器P 运行的周期T，根据
可得火星的的质量
因此火星的密度
故C 正确；D．由ABC 中公式可知：探测器围绕火星
做圆周运动的表达式中，探测器的质量m 两边约去了，所以无法得到探测器P 的质量，故D 错误。故选
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C。
29．(单选)2021 年6 月17 日神舟十二号飞船搭载长征二号F 火箭成功升空，
进入预定圆轨道（离地约
）。此时，天宫空间站天和核心舱位于离地
约
的圆轨道上。神舟十二号飞船只需绕地球飞行4.3 圈，连续进行6 次
变轨（模拟如图所示），到达空间站后下方的位置，之后绕飞到空间站的正前
方，适当调整后就能跟核心舱前端接口成功对接，形成组合体。已知地球半径
，则下列说法正确的是（ ）
A．神舟十二号飞船搭载长征二号F 火箭的发射速度可能小于7.9
B．对接前，在各自预定圆轨道飞行时，神舟十二号飞船的环绕速度比天和核
心舱小
C．神舟十二号飞船从低轨道变轨与天和号核心舱对接时，需制动减速
D．神舟十二号飞船进入离地约
预定轨道后，最快大约需6.5h 就可与天和核心舱对接
【答案】D【详解】A．7.9
是第一宇宙速度，既是围绕地球做圆周运动的物体的最大环绕速度，也
是发射地球卫星的最小发射速度，所以神舟十二号飞船搭载长征二号F 火箭的发射速度不可能小于7.9
，故A 错误；B．根据
得
可知对接前，在各自预定圆轨道飞行时，神舟十二
号飞船的环绕速度比天和核心舱大，故B 错误；C．神舟十二号飞船从低轨道变轨与天和号核心舱对接
时，需要点火加速使神舟十二号飞船做离心运动才能与天和号核心舱对接，故C 错误；D．地球表面的物
体
根据
联立解得神舟十二号飞船的运行周期
代入数据得
则运行4.3 圈的时间
故D 正确。故选D。
30．（多选）如图所示，北斗卫星导航系统中的一颗卫星a 位于赤道上空，其
对地张角为
。已知地球的半径为R，自转周期为
，表面的重力加速度为
g，万有引力常量为G。根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．静止卫星的轨道半径为
C．卫星a 的周期为
D．a 与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为
【答案】BD【详解】A．在地球表面有
地球密度
解得
A 错误；B．对静止
卫星有
结合上述解得
B 正确；C．卫星a 的轨道半径
根据
解得
由于不能确定地球静止卫星的轨道半径，故C 错误；D．对近地卫星有
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解得
令a 与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为
，
则有
解得
D 正确。故选BD。
31．(单选)如图所示，假设在太空中有恒星A、B 双星系统绕点O 做顺时
针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为rA、rB，rA<rB，
C 为B 的卫星，绕B 做逆时针匀速圆周运动，周期为T2。忽略A 与C 之
间的引力，A 与B 之间的引力远大于C 与B 之间的引力。引力常量为
G，下列说法正确的是（ ）
A．若知道C 的轨道半径，则可求出C 的质量
B．若A 也有一颗轨道半径与C 相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星A 的质量为
D．设A、B、C 三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
【答案】D【详解】A．根据
解得
可知只能求中心天体B 的质量，不能求出环绕天体C
的质量，A 错误；C．双星系统的周期相等，均为T1，对A 恒星有
对B 恒星有
解得
，
C 错误；B．由于rA<rB根据上述可知
根据
解得
可知，公转周期不仅与轨道半径有关，还与中心天体的质量有关，根
据上述恒星A 的质量大于恒星B 的质量，则若A 也有一颗轨道半径与C 相同的卫星，则其运动周期小于T2，B 错误；D．
A、B、C 三星由图示位置到再次共线应满足
解
D 正确。故选D。
32．2020 年12 月17 日，嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆，探月工程取得圆满成功。
若已知月球质量为
，月球半径为
，地球质量为
，地球半径为
，月球中心与地球中心的距离
为L，引力常量为G。在以下问题的讨论中，将地球、月球均视为质量分布均匀的球体，不考虑月球和地
球自转的影响。
（1）嫦娥五号带回了月球样品，某样品在月球表面附近所受重力大小为
，在地球表面附近所受重力大
小为
，求比值
的表达式。
（2）若将月球绕地球的公转视为一个质点绕地球做匀速圆周运动，其公转周期为T。
a．请写出月球绕地球公转的向心加速度a 与T 之间的关系式。
b．经查阅资料，可知地球半径约为
，月球与地球中心的距离L 约为地球半径
的60 倍，
取地球表面附近自由落体加速度
。
牛顿在思考行星间的引力时，猜想“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，
最终他利用“月—地检验”证实了自己的猜想。根据牛顿的猜想，推导并写出月球受地球引力产生的加
速度
的表达式（用g、
、L 表示）；为确定牛顿的猜想是否正确，请写出还需查阅本题信息中哪个
物理量的具体数值。
【答案】(1) ；(2) a．；b．；还需查阅T 的值【详解】(1)样品在月球表面附近所受重力大小为在地球表
面附近所受重力大小为则比(2)a．月球绕地球公转的向心加速度a 与T 之间的关系式为b．由则可得物体
在地球表面时有可得联立可得为确定牛顿的猜想是否正确，由a 的结果可知，还需查阅本题中月球的公转
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周期T，即可验证。
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