文档内容
第五章 万有引力与航天
近5年考情分析
考题统计
考点要求 等级要求 2022 2021 2020 2019 2018
辽宁卷·T9
湖南卷·T8 甲卷·T18
开普勒定
广东卷·T2 乙卷·T18 卷Ⅰ·T15 Ⅱ卷·T14
律 万有引 卷Ⅰ·T20
Ⅱ 山东卷·T6 河北卷·T4 Ⅱ卷·T15 Ⅲ卷·T25
力定律及
乙卷·T14 湖南卷·T7 山东卷·T7
其应用
浙江6月卷·T6
Ⅲ卷·T16
人造卫星 北京卷·T5
Ⅱ 浙江1月卷·T8 广东卷·T2
宇宙速度 浙江7月卷·T7
江苏卷·T7
物理观念:
万有引力定律，及天体运动规律
科学思维:
核心素养
双星或多星模型
科学态度与责任：
万有引力定律在航天技术上的应用
以我国航空航天技术的发展成果为背景，以中心天体为模型，具体考查开普勒行星运动定律、重力
命题规律 与万有引力的关系、求中心天体的质量和密度、第一宇审速度、卫星运行中的各种运动参量与卫星
轨道半径的关系、卫星变轨时各参量的变化规律等热点问题。
在天体运动复习过程中要特别注意培养学生构建模型、科学推理与科学论证的素养，培养学生的运
备考策略 算能力和估算能力。掌握用比例法分析问题的技巧。练习过程中要多关注航空航天的新进展，因为
新信息常常被作为命题的背景。
【网络构建】专题 5.2 人造卫星 宇宙速度
【网络构建】
考点一 卫星运行参量的比较与计算
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心．
2．地球同步卫星的特点：六个“一定”3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即 G＝mg，整理得GM＝
gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝m＝mrω2＝m＝ma .
n
考点 二 宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m得v＝＝7.9×103 m/s.
1
方法二：由mg＝m得v＝＝7.9×103 m/s.
1
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最
短，T ＝2π≈85 min.
min
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动．
发
(2)7.9 km/s＜v ＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
发
(3)11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
发
(4)v ≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
发考点 三 近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
赤道上随地球
近地卫星 同步卫星
自转的物体
(r、ω、v、a) (r、ω、v、a)
1 1 1 1 2 2 2 2
(r、ω、v、a)
3 3 3 3
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
由G＝m得 由v＝rω得
线速度 v＝，故v＞v v＞v
1 2 2 3
v＞v＞v
1 2 3
由G＝ma得 由a＝ω2r得
向心
a＝，故a＞a a＞a
1 2 2 3
加速度
a＞a＞a
1 2 3
轨道半径 r＞r＝r
2 3 1
由G＝mω2r得
同步卫星的角速度与地球自转角
角速度 ω＝，故ω＞ω
速度相同，故ω
2
＝ω
3
1 2
ω＞ω＝ω
1 2 3
考点 四 双星及多星模型
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近．
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)多星系统的结构
类型 双星模型 三星模型
结构图
由两星之间的万有引力提供，故 运行所需向心力都由其余行星对
向心力
两星的向心力大小相等 其万有引力的合力提供
两星转动方向相同，周期、角速
运动参量 —
度相等
2.思维引导考点 五 卫星的变轨问题
人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运
动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v 、v ，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为
1 3
v 、v .因在A点加速，则v ＞v，因在B点加速，则v>v ，又因v>v，故有v >v>v>v .
A B A 1 3 B 1 3 A 1 3 B
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速
度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 、T 、T ，轨道半径分别为r 、r(半长轴)、r ，由
1 2 3 1 2 3
开普勒第三定律＝k可知T＜T＜T.
1 2 3
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为 E 、E 、
1 2
E，则E＜E＜E.
3 1 2 3
考点 六 卫星中的“追及相遇”问题
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合
的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，
若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 π的
整数倍时就是出现最近或最远的时刻．高频考点一 卫星运行参量的比较与计算
卫星运行参量的比较
例1、地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F ，向心加速度为a ，线速度为v ，角速度为
1 1 1
ω ；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F ，向心加速度为a ，线速度为
1 2 2
v ，角速度为ω ；地球的同步卫星所受的向心力为F ，向心加速度为a ，线速度为v ，角速度为ω ；地球
2 2 3 3 3 3
表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F＝F＞F B．a＝a＝g＞a C．v＝v＝v＞v D．ω＝ω＜ω
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
【答案】D
【解析】地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即 ω ＝ω ，根据关系式v＝ωr和a
1 3
＝ω2r可知，v ＜v ，a ＜a ；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心
1 3 1 3
力，即G＝mω2r＝＝ma可得v＝，a＝G，ω＝，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，
即v ＞v ，a ＞a ，ω ＞ω ；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，
2 3 2 3 2 3
即v ＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a ＝g；所以v＝v ＞v ＞v ，g＝a ＞a ＞a ，ω ＞ω ＝ω ，又
2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1
因为F＝ma，所以F＞F＞F.由以上分析可见，选项A、B、C错误，D正确．
2 3 1
同步卫星的运行规律分析
例2、如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球
同步卫星，则( )
A．卫星a的角速度小于c的角速度 B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度 D．卫星b的周期大于24 h
【答案】 A
【解析】 根据公式G＝mω2r可得ω＝ ，运动半径越大，角速度越小，故卫星a的角速度小于c的角速度，
A正确；根据公式G＝ma可得a＝，由于a、b的轨道半径相同，所以两者的向心加速度大小相同，B错误；
第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大环绕速度，根据公式G＝m可得v＝ ，半径越大，线速度
越小，所以卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，C错误；根据公式G＝mr可得T＝2π ，故轨道半径相同，周期相同，所以卫星b的周期等于24 h，D错误．
【变式训练】人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( )
A．卫星离地球越远，角速度越大
B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等
C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/s
D．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动
【答案】B
【解析】卫星所受的万有引力提供向心力，则G＝m＝mω2r，可知r越大，角速度越小，r相等时，线速度
相等，A错误，B正确.7.9 km/s是人造地球卫星的最大环绕速度，C错误．因为地球会自转，同步卫星只
能在赤道上方的轨道上运动，D错误．
高频考点二 宇宙速度的理解与计算
例3、登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于 2020年登陆火星．地球和火星的
公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比 ( )
行星 半径/m 质量/kg 公转轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【答案】AC
【解析】根据第一宇宙速度公式v＝(M指中心天体火星或地球的质量)得＝＝0.45，故A正确，B错误；根
据向心加速度公式a＝(M指中心天体太阳的质量)得＝＝＝0.43，故C正确，D错误．
【变式训练】美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳
系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大
约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是 ( )
A．该行星的公转角速度比地球大
B．该行星的质量约为地球质量的3.6倍
C．该行星第一宇宙速度为7.9 km/s
D．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可
【答案】 AB
【解析】该行星的公转周期约为37天，而地球的公转周期为365天，根据ω＝可知该行星的公转角速度比地球大，选项A正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：G＝mg，解得：g＝，这
颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.9倍，所以它的质量是地球的3.6倍，故B正确；
要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙速度，第一宇宙速度 v＝，R为星球半径，M
为星球质量，所以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的倍，而地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，故该星
球的第一宇宙速度为×7.9 km/s＝11.2 km/s，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度
至少要达到第三宇宙速度，故D错误．
高频考点三 近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
例4、地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v ，向心加速度为a ，地球赤道上的物体随地球自转的
1 1
向心加速度为a，地球的半径为R，第一宇宙速度为v，则下列比例关系中正确的是 ( )
2 2
A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝
【答案】AD
【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m ，地球赤道上物体的质量为m，根据向心加速度和角速度
1
的关系有a ＝ωr，a ＝ωR，又ω ＝ω ，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，G
1 2 1 2 1
＝m，解得＝，选项D正确．
【变式训练】如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C
为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、
运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是 ( )
A．v ＞v ＞v B．ω ＞ω ＞ω C．F＞F ＞F D．T＝T ＞T
B A C A B C A B C A C B
【答案】 AD
【解析】 A、C的角速度相等，由v＝ωr，可知v ＜v ，由人造卫星的速度公式：v＝，可知v ＜v ，因而
C A A B
v ＞v ＞v ，故A正确； A、C的角速度相等，根据ω＝知A的角速度小于B的角速度，故ω ＝ω <ω ，故
B A C A C B
B错误；由万有引力公式可知，F＝，即半径越大，万有引力越小，故F＜F ＜F ，故C错误；卫星A为
A B C
同步卫星，周期与C物体周期相等，又万有引力提供向心力，即：＝m()2r，T＝2π，所以A的周期大于B
的周期，故T＝T >T ，故D正确．
A C B
高频考点 四 双星及多星模型
双星模型
例5、双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星
球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为 L，两星球质量均为m，据
此
推测，暗物质的质量为 ( )
A．(n－1)m B．(2n－1)m C.m D.m
【答案】C
【解析】双星运动过程中万有引力提供向心力：G＝m()2，解得T ＝；设暗物质的质量为M′，对星球由
理论
万有引力提供向心力G＋G＝m()2，解得T ＝.根据＝，联立以上可得：M′＝m ，选项C正确．
观测
【变式训练】2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，
进入月球至地月拉格朗日L 点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L 、L 、L 、L 、L 所示，
2 1 2 3 4 5
人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同
步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)( )
A．“鹊桥”位于L 点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
2
B．“鹊桥”位于L 点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度
2
C．L 和L 到地球中心的距离相等
3 2
D．“鹊桥”在L 点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
2
【答案】ABD
【解析】“鹊桥”位于L 点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的
2
周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项 A正确；“鹊
桥”位于L 点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式
2
a＝r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如
果L 和L 到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L 点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所
3 2 2
以周期更短，故L 到地球中心的距离大于L 到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L 点离地球最
2 3 2
远，所以在L 点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确．
2
例6、如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R
的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则( )A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同
【答案】AD
【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F ＝＋＝，选项A正确；由对称性可知，
甲
甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项 B错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、
丙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C错误，D正确．
【变式训练】如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形
的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系
统，下列说法正确的是( )
A．三颗星的质量可能不相等 B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为 D．它们两两之间的万有引力大小为
【答案】 BD
【解析】 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合
力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗
星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万
有引力F＝G＝G＝，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．
高频考点 五 卫星的变轨问题
卫星参数变化分析
例7、据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的
物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速
度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首
先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
【答案】C
【解析】第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据G＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以
同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，
B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在 P点加速，所以在轨道Ⅰ上
卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即
轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道
Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．
【变式训练】2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，
对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运
行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
【答案】C
【解析】组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据＝m，可得v＝，可知与天宫二号单独运行时相
比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能
变大，C项正确；向心加速度a＝，不变，D项错误．
卫星变轨的能量分析
例8、登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )A．飞船在轨道上运动时，运行的周期T > T > T
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【答案】 ACD
【解析】 根据开普勒第三定律＝k可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T > T > T，选项A正确；
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则在轨道
Ⅰ上机械能小于在轨道Ⅱ的机械能，选项B错误，C正确；根据G＝mω2R以及M＝πR3ρ，解得ρ＝，即若
轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确．
【变式训练】2018年4月2日8时15分左右，遨游太空6年多的天宫一号，在中国航天人的实时监测和全
程跟踪下，作别太空再入大气层．天宫一号绝大部分器件在再入大气层过程中烧蚀销毁未燃尽部分坠落在
南太平洋中部区域．“天宫一号回家之路”简化为图示模型：天宫一号在远地轨道1做圆周运动，近地过
程先经过椭圆轨道2，然后在近地圆轨道3运行，最终进入大气层．巳知轨道1和3的轨道半径分别为R
1
和R，在轨道1的运行周期为T，质量为m的天宫一号与地心的距离为r时，引力势能可表示为E＝－，
2 p
其中G为引力常量，M为地球质量．则天宫一号在轨道2运行的周期和从轨道1到轨道3过程中机械能变
化量分别为 ( )
A.T，0 B.T，(－)
C.T，(－) D.T，(－)
【答案】 B
【解析】天宫一号在轨道2运行的轨道半径为r ＝，由开普勒第三定律可得＝，解得天宫一号在轨道2运
2
行周期T ＝T；由＝可知E ＝mv2＝，在轨道1上的机械能E ＝E ＋E ＝－，在轨道3上的机械能E ＝E
2 k 1 p1 k1 3 p3
＋E ＝－，从轨道1到轨道3过程中机械能变化量ΔE＝E－E＝(－)，故B正确，A、C、D错误．
k3 3 1
高频考点 六 卫星中的“追及相遇”问题
例9、小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的 3倍，某时刻，
航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，
经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽
略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为 g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )
A．10π －6π B．6π －4π
C．10π －2π D．6π －2π
【答案】B
【解析】当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有＝m，r
＝3R，则有T＝2π ＝6π .在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得 GM＝gR2，所以T＝6π ①，
登月器在椭圆轨道上运行的周期用T 表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T 表示，对登月器和航天站依
1 2
据开普勒第三定律有＝＝ ②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在
月球表面停留的时间t应满足t＝nT －T(其中n＝1、2、3、…) ③，联立①②③式得t＝6πn－4π(其中n＝
2 1
1、2、3、…)，当n＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t ＝6π －4π .
min
【变式训练】设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速
圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线
上，
这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌
日”，
假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t 年出现一次，则金星的公转轨道半径为 ( )
0
A.R B．R
C．R D．R
【答案】D
【解析】根据开普勒第三定律有＝，“金星凌日”每隔t 年出现一次，故(－)t ＝2π，已知T ＝1年，联立
0 0 地
解得＝，因此金星的公转轨道半径R ＝R，故D正确．
金
