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专题08 天体运动 宇宙航行
考点
考情
命题方向
考点1 万有引力定
律
2024 年高考广西卷
2023 年高考辽宁卷
2022 年重庆高考
2022 年新高考海南卷
1.万有引力定律与天体运动中
高考考查频率较高的知识主要
表现在：天体质量和密度的计
算；重力加速度的计算：第一
宇宙速度的计算等：
2.宇宙速度和航天中高考考查
的知识点主要有：宇宙速度，
卫星的运动，卫星的发射、变
轨和返回；天宫空间站；月球
深测、火星探测
3.宇宙速度的考查主要是对宇
宙速度的理解，第一宇宙速度
是发射绕地球运动的最小发射
速度；7.9km/s 是绕地球做匀
天体运动
2024 年全国理综新课程卷
2024 年高考江西卷
2023 年6 月高考浙江卷
2023 年高考山东卷
2023 年高考湖南卷
2022 年高考湖北物理
考点3 宇宙速度
2024 年高考江西卷
2024 年1 月选考浙江卷
2024 年高考甘肃卷
2023 年高考江苏卷
1
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2023 年全国高考新课程卷
2022 年山东物理卷
速圆周运动的最大环绕速度。
4.卫星绕地球勾速圆周运动，
万有引力提供向心力，其轨道
的圆心是地球球心。
5.空间站、月球探测、火星探
测涉及的知识点多，综合性
强，是高考热点。
考点4 航天
2024 年高考湖南卷
2022 年1 月浙江选考卷
2023 年高考北京卷
2022 年6 月浙江选考
题型一 开普勒三定律的理解和应用
[模型演练1] （多选）（2024 春•重庆期末）各行星绕太阳的运动可以近似看作匀速圆周
运动，其中火星的轨道半径约为2.3×1011m，地球的轨道半径约为1.5×1011m，忽略行星自转及
行星间引力，火星和地球绕太阳公转时，下列说法正确的是（ ）
A．火星周期大于地球周期
B．火星角速度大于地球角速度
C．火星线速度大于地球线速度
D．火星的向心加速度小于地球的向心加速度
【解答】解：根据G Mm
r
2 =m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r =ma，可得T =2π√
r
3
GM
，ω=√
GM
r
3 ，
v =√
GM
r
，a= GM
r
2 。因火星轨道半径大于地球轨道半径，可知火星周期大于地球周期；火星角
2
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速度小于地球角速度；火星线速度小于地球线速度；火星的向心加速度小于地球的向心加速度。
故AD 正确，BC 错误。
故选：AD。
[模型演练2] （2024 春•长寿区期末）对于开普勒第三定律的公式R
3
T
2 =k，下列说法正确
的是（ ）
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．公式中的T 为天体的自转周期
C．公式中的k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体公转的行星（或卫星）无关
D．若已知月球与地球之间的距离，则可以根据开普勒第三定律公式求出地球与太阳之间的距离
【解答】解：A、开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，
所以也适用于轨道是圆的运动，故A 错误；
B、公式中的T 为天体的公转周期，即环绕某一天体转动的周期，故B 错误；
C、公式中的K 是只与中心星体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星（或卫星）无关，故C 正
确；
D、式中的K 是与中心星体的质量有关，月球绕地球转动而地球绕太阳运动，二者不具有同一中
心天体，故公式不成立，所以已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，
故D 错误。
故选：C。
[模型演练3] （2024•庐阳区校级模拟）如图1 所示，质量为0.4kg 的物块在水平力F 的作
用下由静止释放，物块与足够高的竖直墙面间的动摩擦因数为0.4，力F 随时间t 变化的关系图
像如图2 所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。
在0～8s 时间内，下列判断正确的是（ ）
A．物块运动的最大速度为10m/s
B．物块一直向下运动，且速度不为0
C．t＝6s 时物块距离出发点最远
3
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D．0～4s 内摩擦力的冲量大小为32N•s
【解答】解：BC、以竖直向下方向为正方向。物块在竖直方向受重力mg、竖直向上的摩擦力
f；当物块受到的摩擦力与重力相等时，加速度大小为零，此时物块有最大速度，设此时对应的f
为f0、对应的F 为F0，则有mg＝f0＝μF0
解得：F0＝10N
a﹣t 图像如下，图线与时间轴围成的面积表示速度变化量。
0～2s 内，根据牛顿第二定律有mg﹣μF＝ma≥0，可知物块向下做加速度减小的加速运动；
t＝2s 时刻（图2），a＝0，物体速度达到最大值vmax；
2s～4s 内，根据牛顿第二定律有mg﹣μF＝ma≤0，物块向下做加速度增大的减速运动；
t＝4s 时刻，物块的速度为零；
4s～6s 内，mg≤f 静max＝μF，所以物块静止；
6s～8s 内，根据牛顿第二定律有mg﹣μF＝ma≥0，物块向下做加速度增加的加速运动；
t＝8s 时刻，物块速度再次达到最大值vmax；
所以，t＝8s 时，物块离出发点最远，故BC 错误；
A、令t2＝2s，0～2s 内，对物块由动量定理有：mgt2﹣μFt2＝mvmax﹣0
代入数据解得：vmax＝10m/s
故A 正确；
D、0～4s 内，根据f＝μF，结合图2，可知物体受到的摩擦力f 从0～8N 均匀变化，所以0～4s
内摩擦力的冲量大小为
I f 1= f 1t1= 0+8
2
×4 N ⋅s=16 N ⋅s
故D 错误。
故选：A。
题型二 万有引力定律的理解
1．万有引力定律的表达式：F＝G.
4
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2．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力
很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
3．万有引力公式的适用条件
(1)两个质点间．
(2)两个质量分布均匀的球体间，其中r 为两个球心间的距离．
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r 为球心到质点的距离．
4．引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力．
(2)引力常量测定的意义
卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，得到了G 的数值及验证了万有引力定律的正确
性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
5．不同位置的重力加速度
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
[模型演练4] （2024 春•佛山期末）苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄
语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月
亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700 万倍，
日地距离是月地距离的390 倍，以下说法正确的是（ ）
5
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A．海水在A 处受到太阳的引力比受到月球的引力小
B．海水在B 处受到太阳的引力比受到月球的引力小
C．同一质量的海水在A 处受到月球的引力比在B 处小
D．同一质量的海水在A 点受到太阳和月球引力的合力比B 处小
【解答】解：A.海水在A 处时，设海水的质量为m，到月球的距离为r，月球的质量为M，地球
半径为R，则海水受到月球的万有引力F 月A= GMm
r
2
设太阳的质量为M'，日地之间的距离为r'，由题意可知r'＝390r，水在此位置受到太阳的引力为
F
A
太= GM ' m
(r ' +2 R)
2
把r'＝390r 和M'＝2700×104M 代入可得F 太A= 3×10
4
169
⋅G Mm
r
2
所以F 太A＞F 月A，故A 错误；
B.海水在B 处时，万有引力为F 月B=
GMm
(r +2 R)
2 = GMm
r
2
F 太B= GM ' m
r '
2
= 3×10
4
169
⋅GMm
r
2
所以F 太B＞F 月B，故B 错误；
C.根据F 月= GMm
r
2
可知，海水在A 点比B 点距离月球距离小，则万有引力大，故C 错误；
D、海水在A 处比在B 处所受的太阳的引力近似不变，受到的月球的引力大，所以太阳和月球
引力的合力较小，即同一质量的海水在A 点受到太阳和月球引力的合力比B 处小，故D 正确。
故选：D。
[模型演练5] （2024 春•红桥区期末）质量不同的两个物体间的万有引力，下列说法正确
的是（ ）
A．质量大的物体受到的万有引力大
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B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的
C．两个物体间的距离越大，万有引力越大
D．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大
【解答】解：AC、根据万有引力定律知道两个物体间的万有引力大小为F= GMm
r
2
，可见，两个
物体间的万有引力大小与物体的质量和物体间的距离有关，在质量一定时，距离越大，万有引
力越小，质量大的物体受到的引力还受另外一个物体质量的影响，故AC 错误；
B、两个物体间的万有引力是一对相互作用力，总是大小相等，方向相反的，故B 正确；
D、万有引力定律适用于两个质点间的引力计算，当两个物体间的距离趋于零时，这两个物体就
不能看作质点了，万有引力定律不再适用，所以万有引力不是趋于无穷大，故D 错误。
故选：B。
[模型演练6] （2024 春•黄埔区期末）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构
物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列
问题：
（1）某行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，设太阳的质量为M，行星质量为m0，若行星在近日点与
太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小
之比；
（2）行星绕太阳运动轨迹可近似看作匀速圆周运动。设行星质量为m，绕太阳公转的周期为
T，行星的轨道半径为r，请根据开普勒第三定律（r
3
T
2 =k）及向心力的相关知识，证明太阳对
行星的作用力F 与r 的平方成反比。
【解答】解：（1）设行星的加速度为a，根据牛顿第二定律有GM m0
r
2
=m0a
解得a= GM
r
2
则行星在近日点和远日点的加速度大小之比为
a1
a2
= r2
2
r1
2
（2）行星绕太阳的运动轨迹非常接近园，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有
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F = m v
2
r
又有r
3
T
2 =k，v= 2πr
T
解得F= 4 km π
2
r
2
可知，太阳对行星的作用力F 与r 的平方成反比。
答：（1）行星在近日点和远日点的加速度大小之比为r2
2：r1
2；
（2）证明过程见解析。
类型2 不同天体表面引力的比较和计算
[模型演练7] （2024 春•高新区期末）在中国省会城市中，成都位置比较特殊，它不仅与
武汉、杭州和拉萨位于同一纬度（北纬30°）附近，还与兰州几乎位于同一经度（东经
103°）。下列有关这几座城市随地球自转103°描述正确的是（ ）
A．成都与武汉的角速度大小相等
B．成都与兰州的线速度大小相等
C．成都与拉萨的向心加速度相同
D．成都与杭州的向心加速度方向均指向地心
【解答】解：A.根据同轴转动物体的特点，各处的角速度大小相等，故A 正确；
B.成都纬度小于兰州纬度，绕地轴自转做匀速圆周运动时纬度越高则对应的半径越小，根据v＝
rω，兰州的半径小于成都的半径，可知成都和兰州的线速度大小不等，故B 错误；
C.成都和拉萨的纬度基本相同，则半径相等，根据a＝rω2可知，两地的向心加速度大小相等，
但方向不同，故C 错误；
D.成都和杭州的向心加速度方向都指向地轴上的同一位置，但不是地心，故D 错误。
故选：A。
[模型演练8] （2024 春•红桥区期末）2022 年6 月5 日，我国神舟十四号载人飞船成功发
射。已知飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G，当飞船离地面的
高度为h 时，飞船与地球之间的万有引力大小为（ ）
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A．G Mm
h
2
B．G Mm
R
2
C．G
Mm
( R+h)
2
D．G
Mm
( R -h)
2
【解答】解：当飞船离地面的高度为h 时，飞船与地球之间的万有引力大小为F，根据万有引力
定律得：
F =G Mm
r
2
根据题意可知：r＝R+h
联立解得：
F =G
Mm
( R+h)
2
故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
[模型演练9] （2024 春•南充期末）一行星质量为M，半径为R，已知万有引力常量为
G，不考虑行星自转的影响。
（1）求行星表面重力加速度大小g；
（2）若卫星绕行星做匀速圆周运动，卫星距行星表面的高度为h，求卫星的线速度大小v；
（3）若从行星表面以初速度v0竖直上抛一物体，求物体上升到最高点的时间t。
【解答】解：（1）假设把一个物体放在行星表面，则
G Mm
R
2 =mg
解得g= GM
R
2
（2）万引力提供向心力，则
G
Mm
( R+h)
2 =m
v
2
( R+h)
解得v =√
GM
R+h
（3）物体向上做匀减速直线运动，则
v0﹣gt＝0
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解得t = v0 R
2
GM
答：（1）行星表面重力加速度大小g 为GM
R
2 ；
（2）卫星的线速度大小v 为√
GM
R+h
；
（3）物体上升到最高点的时间t 为v0 R
2
GM
。
题型三 天体质量和密度的估算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω
2 r ＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g 表示天体表面的重力加速
度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
类型1 利用重力加速度求天体质量和密度
[模型演练10] （2024•河南模拟）2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载
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火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航
员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为v0 的初速度竖直上抛一物体（视为质
点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的
时间为（ ）
A．
2v0
3 πρGR
B．3 v0
πρGR
C．
3 v0
2πρGR
D．6 v0
πρGR
【解答】解：设月球表面的重力加速度为g0，根据物体在月球表面受到的重力近似等于其受到
的万有引力，则G Mm
R
2 =m g0
解得g0= GM
R
2 = G
R
2 × 4
3 π R
3 ρ= 4 πρGR
3
根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间t = 2v0
g0
=2v0×
3
4 πρGR =
3 v0
2πρGR
故C 正确。ABD 错误。
故选：C。
[模型演练11] （多选）（2024 春•烟台期中）月球的自转周期和公转周期十分接近，因此
月球始终以同一面朝向地球。一月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为m
的物体，弹簧秤示数分别为F1和F2。已知月球的自转周期为T，引力常量为G，则下列说法中
正确的是（ ）
A．月球的半径为( F1- F2)T
2
4 m π
2
B．月球的半径为( F1- F2)T
2
2√2m π
2
C．月球的质量为F2( F1- F2)
2T 4
16G m
2π
4
D．月球的质量为F1( F1- F2)
2T
4
16G m
3 π
4
【解答】解：AB、在月球赤道上，根据向心力公式可得：F1﹣F2＝mR4 π
2
T
2 ，解得月球的半径为
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R= ( F1- F2)T
2
4 m π
2
，故A 正确、B 错误；
CD、在月球极地，有：F1= GMm
R
2
，月球的质量为：M= F1( F1- F2)
2T
4
16G m
3 π
4
，故C 错误、D 正确。
故选：AD。
[模型演练12] （2024 春•滨海新区校级月考）假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球
表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，地球的半径是
（ ）
A．(g- g0)T
2
4 π
2
B．(g- g0)T
2
2π
2
C．(g0- g)T
2
4 π
2
D．(g0- g)T
2
2π
2
【解答】解：在两极地区，物体受到地球的万有引力，其大小为mg0，在赤道处，地球对物体的
万有引力大小仍为mg0，
万有引力的一个分力提供圆周运动的向心力有即有：
m（g0﹣g）＝m4 π
2
T
2 R，R= (g0- g)T
2
4 π
2
，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
类型2 利用天体的卫星来计算天体质量和密度
[模型演练13] （2024•坪山区校级模拟）2020 年11 月24 日，长征五号运载火箭将“嫦娥
五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。
已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h 高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为
R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（ ）
A．4 π
2 R
3
GT
2
B．GT
2
4 π
2 R
3
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C．
GT
2
4 π
2( R+h)
3
D．4 π
2( R+h)
3
GT
2
【解答】解：由题意可知，嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
G
Mm
( R+h)
2 =m 4 π
2
T
2 ( R+h)
整理变形解得：M = 4 π
2( R+h)
3
GT
2
，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
[模型演练14] （2024 春•海淀区校级期中）嫦娥五号是中国探月工程第六次任务，标志着
探月工程“绕、落，回”三步走的圆满完成。如图所示为“嫦娥五号”着陆月球前部分轨道的
简化示意图：Ⅰ是地月转移轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨
道。P，Q 分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点，椭圆轨道Ⅲ的半长轴为a，嫦娥五号在椭圆
轨道Ⅲ运行周期为T。圆轨道Ⅳ到月球表面的距离为h，月球半径为R，月球表面的重力加速
度为g，万有引力常量为G，不考虑月球的自转，则（ ）
A．嫦娥五号在Ⅱ轨道上稳定运行时经过P 点的加速度大于经过Q 点的加速度
B．嫦娥五号由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道，需要在P 处向后喷气加速
C．由题中已知条件，可以推知月球的密度
D．嫦娥五号在Ⅳ轨道上绕月运行的速度大小为g R
2
R+h
【解答】解：A、根据牛顿第二定律有G Mm
r
2 =ma，解得：a= GM
r
2 ，可知嫦娥五号在Ⅱ轨道上
稳定运行时经过P 点的加速度小于经过Q 点的加速度，故A 错误；
B、嫦娥五号由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道做近心运动，需要制动减速，需在P 处向前喷气，故B 错误。
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C、设月球表面有一个质量为m 的物体，不考虑月球的自转，在月球表面时，根据万有引力等于
重力，有G Mm
R
2 =mg
可得月球的质量为M = g R
2
G
月球的密度ρ= M
V =
g R
2
G
4
3 π R
3 =
3 g
4 πGR
可以推知月球的密度，故C 正确；
D、“嫦娥五号”在Ⅳ轨道上绕月运行时，根据万有引力提供向心力有G
Mm
( R+h)
2 =m
v
2
R+h
结合M = g R
2
G ，解得嫦娥五号的速度大小为v =√
g R
2
R+h
，故D 错误。
故选：C。
[模型演练15] （2024•广东二模）2023 年5 月，天舟六号货运飞船在长征七号遥七运载火
箭的喷薄托举下腾空九霄、进入太空，次日飞船成功完成与空间站核心舱后向对接，给空间站
运送物资。据悉天舟六号作为一艘货运飞船，其硬核能力——货物装载能力在航天史上首次突
破了7 吨。假设和空间站对接前飞船在某条轨道绕地球做匀速圆周运动，轨道离地面高度为
h，飞船运行周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，根据以上信息（ ）
A．可求得飞船的质量
B．可求得地球的半径
C．可求得地球与飞船间的万有引力
D．不能求得以上任一物理量
【解答】解：ABD．在地球表面物体受到的万有引力等于重力，即G M m0
R
2 =m0 g
设飞船的质量为m，根据万有引力提供向心力G
Mm
( R+h)
2 =m 4 π
2
T
2 ( R+h)
联立可得GM = 4 π
2
T
2 ( R+h)
3= g R
2
14
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则可求得地球的半径和质量，但不能求得飞船的质量，故AD 错误，B 正确；
C．根据F 万=G Mm
r
2 ，因为飞船质量未知，故不能求得地球与飞船间的万有引力，故C 错误。
故选：B。
题型四 卫星运行参量的分析
（1）．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
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类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
[模型演练16] （2024•南通三模）2024 年1 月17 日，搭载“天舟七号”货运飞船的运载火
箭在文昌航天发射场发射。次日凌晨，“天舟七号”货运飞船成功对接空间站“天和”核心舱，
如图所示。对接后，“天舟七号”与空间站组成组合体，运行在离地高度约为400km 的圆形
轨道上，下列说法正确的是（ ）
A．组合体的角速度小于地球自转的角速度
B．组合体的线速度大于地球同步卫星的线速度
C．组合体的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前与对接后的重力相等
【解答】解：A、地球同步卫星距离地面的高度大约是36000km，其角速度等于地球自转的角速
度。卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：GMm
r
2
=mrω2，解得：ω=√
GM
r
3
，所以组合体的角速度大于地球同步卫星的角速度，即大于地球自转的角速度，故A 错误；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：GMm
r
2
=mv
2
r
，解得：v=√
GM
r
，
所以组合体的线速度大于地球同步卫星的线速度，故B 正确；
C、根据牛顿第二定律可得GMm
r
2
=ma，解得a= GM
r
2 ，所以组合体的向心加速度大于地球同步
卫星的向心加速度，故C 错误；
D、根据万有引力可得：F= GMm
r
2
，“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前受到的地球引
力大于对接后受到的引力，所以“天舟七号”携带的一未开封货物，在发射前的重力大于对接
后的重力，故D 错误。
故选：B。
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[模型演练17] （2024•南明区校级二模）2024 年1 月9 日，我国在西昌卫星发射中心使用
长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫量发射升空并顺利送入预定轨道。探计卫星发射
简化过程如图3 所示。先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在a 点发动机点火加速，由轨道Ⅰ进入椭圆
轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ上的c 点再变轨到圆轨道Ⅲ。不考虑卫星质量的变化，则下列说法正确的是
（ ）
A．探针卫星在轨道Ⅱ上经过c 点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过c 点的加速度
B．探针卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．探针卫星在轨道Ⅰ上经过a 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过a 点的速度
D．探针卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能
【解答】解：A、根据牛顿第二定律可得GGMm
r
2
=ma
解得a= GM
r
2 ，可知卫星经过同一点加速度相同，所以探针卫星在轨道Ⅱ上经过c 点的加速度等
于在轨道Ⅲ上经过c 点的加速度，故A 错误；
B、轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，根据开普勒第三定律a
3
T
2 =k 知，探针卫星在轨道Ⅰ上运
行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B 正确；
C、探针卫星由圆轨道Ⅰ变轨进入椭圆轨道Ⅱ，必须在a 点加速，所以探针卫星在轨道Ⅰ上经过
a 点的速度小于在轨道Ⅱ上经过a 点的速度，故C 错误；
D、探针卫星由圆轨道Ⅰ变轨进入椭圆轨道Ⅱ，必须在a 点加速，机械能增加。探针卫星由椭圆
轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ，必须在c 点加速，机械能增加，而卫星在同一轨道运行时，机械能守恒，
所以探针卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故D 错误。
故选：B。
[模型演练18] （2024•南充模拟）我国2022 年发射的“夸父一号”卫星，它的运行轨道设
定在距地面高度约为h＝720km 的太阳同步晨昏轨道。已知地球的半径为R，地球极地表面重
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力加速度为g0，则下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”与地球同步卫星虽然运行高度不同，但运行周期相同
B．“夸父一号”的运行为线速度大小为v = R√
g0
R+h
C．太空中运行的航天器处于完全失重状态，所以“夸父一号”搭载的科学仪器不再受重力作用
D．“夸父一号”所处位置的重力加速度大小为R
R+h g0
【解答】解：A、根据开普勒第三定律可得r
3
T
2 =k，“夸父一号”与地球同步卫星运行高度不同，
运行周期也不相同，故A 错误；
B、根据万有引力提供向心力可得：GMm
( R+h)
2 =m v
2
R+h，根据万有引力和重力的关系可得：
GMm
R
2
=mg0
联立解得“夸父一号”的运行为线速度大小为v = R√
g0
R+h
，故B 正确；
C、失重时仍受重力作用，所以太空中运行的航天器处于完全失重状态，“夸父一号”搭载的科
学仪器仍受受重力作用，故C 错误；
D、根据万有引力和重力的关系可得：GMm
( R+h)
2 =mg
所以“夸父一号”所处位置的重力加速度大小为g=
R
2
( R+h)
2 g0，故D 错误。
故选：B。
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类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
[模型演练19] （2024 春•黄陂区期末）如图所示，甲、乙为两颗轨道在同一平面内的地球
人造卫星，其中甲卫星的轨道为圆形，乙卫星的轨道为椭圆形，M、N 分别为椭圆轨道的近地
点和远地点，P 点为两轨道的一个交点，圆形轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等。以下说法正
确的是（ ）
A．卫星甲的周期小于卫星乙的周期
B．卫星乙在M 点的动能小于在N 点的动能
C．卫星甲在P 点的加速度大于卫星乙在P 点的加速度
D．卫星甲在P 点的线速度大于卫星乙在N 点的线速度
【解答】解：A.由于圆轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等，由开普勒第三定律a
3
T
2 =k可知，卫星
甲的周期等于卫星乙的周期，故A 错误；
B.根据开普勒第二定律可知，卫星乙与地心连线在相等时间内扫过的面积相等，则卫星乙在M
点的线速度大于卫星乙在N 点的线速度，根据Ek= 1
2mv2可知，卫星乙在M 点的动能大于它在N
点的动能，故B 错误；
C.由牛顿第二定律得G Mm
r
2 =ma，得卫星的加速度a= GM
r
2 ，式中M 是地球的质量，r 是卫星到
地心的距离，a 与卫星的质量无关，可知，卫星甲在P 点的加速度等于卫星乙在P 点的加速度，
故C 错误。
D.乙卫星的轨迹是椭圆，在P 点的线速度大于在N 点的线速度，若其在P 点加速可进入卫星甲
的圆轨道稳定运行，所以卫星甲在P 点的线速度大于卫星乙在N 点的线速度，故D 正确。
故选：D。
[模型演练20] （2024 春•泉州期末）我国自主研发的天通一号卫星系统，实现国产手机的
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全球卫星通话功能。如图A、B、C 为天通一号卫星系统中的三颗卫星，其中A 与B 位于地球
同步圆轨道上，C 位于较低圆轨道上。关于这三颗卫星，下列说法正确的是（ ）
A．线速度大小vA＝vB＞vC
B．角速度大小ωA＝ωB＜ωC
C．向心加速度大小aA＝aB＞aC
D．向心力大小FA＝FB＜FC
【解答】解：A.根据G Mm
r
2 =mv
2
r
，得v =√
GM
r
，可知vA＝vB＜vC，故A 错误；
B.根据G Mm
r
2 =mrω2，得ω=√
GM
r
3 ，可知ωA＝ωB＜ωC，故B 正确；
C.根据G Mm
r
2 =ma，得a=G M
r
2 ，可知aA＝aB＜aC，故C 错误；
D.由于不知道卫星质量的大小关系，则无法比较向心力的大小，故D 错误。
故选：B。
[模型演练21] （2024 春•九龙坡区校级期末）新京报2021 年2 月10 日晚报道：经历200
余天的飞行，跋涉4.75 亿千米，在距离火星400 千米处成功的一脚刹车，中国自主研发的火星
探测器“天问一号”顺利进入火星轨道。与地球相比，火星半径约为地球的一半，质量约为地
球的1
9，公转半径约为地球的1.5 倍，下列说法正确的是（ ）
A．火星绕太阳公转的线速度约为地球绕太阳公转线速度的1.5 倍
B．火星绕太阳运行的公转周期约为地球绕太阳公转周期的1.8 倍
C．火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2 倍
D．火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1
4
【解答】解：AB、火星和地球均绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMm
r
2
=mv
2
r =
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mr4 π
2
T
2
解得v=√
GM
r
，T=√
4 π
2r
3
GM
火星绕太阳公转的线速度约为地球绕太阳公转线速度的√6
3 倍，火星绕太阳运行的公转周期约为
地球绕太阳公转周期的1.8 倍，故A 错误，B 正确；
CD、根据万有引力与重力的关系有GMm
R
2
=mg
解得g= GM
R
2
火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的4
9
根据牛顿第二定律有mg＝mv
2
R
解得v=√gR
则火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2√2
3
倍，故CD 错误；
故选：B。
类型3 宇宙速度
[模型演练22] （2024•越秀区校级模拟）2022 年10 月，我国成功将“夸父一号”卫星发射
升空。该卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，距地面高度约为720km。如图所示，“夸父一
号”随地球绕太阳公转过程中，其绕地球运动的轨道平面与地球公转轨道平面保持固定的取向，
使太阳光能照射到“夸太阳父一号”。下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”绕地球运动的轨道与地球公转轨道在同一平面内
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B．“夸父一号”绕地球转动的线速度小于地球的第一宇宙速度
C．“夸父一号”在任意时刻的加速度相同
D．“夸父一号”绕地球转动的周期大于地球自转的周期
【解答】解：A．根据题意可知“夸父一号”始终能接收到太阳光，如果“夸父一号”绕地球运
动的轨道与地球公转轨道在同一平面内，则某段时间，“夸父一号”会转到地球的阴影区二接
受不到太阳光，故A 错误；
BD．“夸父一号”绕地球运动，万有引力提供向心力由牛顿第二定律得：GMm
r
2
=m v
2
r
又v= 2πr
T
联立解得：v =√
GM
r
，T =√
4 π
2r
3
GM
可知卫星轨道越高，线速度越小，第一宇宙速度，是所有卫星的最大的线速度，则“夸父一
号”绕地球转动的线速度小于地球的第一宇宙速度，“夸父一号”轨道半径小于同步卫星的轨
道半径，“夸父一号”绕地球转动的周期小于同步卫星的周期，即小于地球自转的周期，故B
正确，D 错误；
C．“夸父一号”在任意时刻的加速度大小相等，但是方向不相同，加速度方向始终指向圆心，
所以“夸父一号”在任意时刻的加速度不一定相同，故C 错误。
故选：B。
[模型演练23] （2024 春•宁波期末）如图所示，牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，若
速度一次比一次大，落地就一次比一次远；抛出速度足够大时，即达到特定速度物体就不会落
回地面成为人造地球卫星。已知山顶高度为h，且远小于地球半径R，地球表面重力加速度为
g，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．轨迹为1、2 的两物体在空中运动的时间均为√
2h
g
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B．轨迹2 为抛物线
C．轨迹3 对应的抛出速度大小为7.9 km/s
D．物体以大于11.2km/s 的速度抛出将脱离太阳系
【解答】解：A、假设物体从从高山上水平抛出下落的过程中，重力加速度g 大小不变，物体在
竖直方向上做自由落体运动，则h= 1
2 gt
2，解得t =√
2h
g
。根据GMm
( R+h)
2 =mg知重力加速度随着
距离地面的高度增加而减小，所以轨迹为1、2 的两物体在空中运动的时间大于√
2h
g
，故A 错误；
B、轨迹2 的初速度较大，落地点与高山不在同一水平面，受万有引力的影响，轨迹2 的加速度
方向是在不断变化的，所以应该是变加速曲线运动，故B 错误；
C、当物体在地球表面绕地球做匀速圆周运动时，其运行速度等于第一宇宙速度，因为山顶高度
远小于地球半径R，可以认为物体就是近地卫星，其运行速度就等于第一宇宙速度，则轨迹3 对
应的抛出速度大小为7.9 km/s，故C 正确；
D、物体以大于16.7km/s 的速度抛出将脱离太阳系，故D 错误。
故选：C。
[模型演练24] （2024•沙坪坝区校级模拟）如图甲所示，太阳系中有一颗躺着的蓝色“冷
行星”一天王星，外围空间存在着环状物质。为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环
绕该行星的卫星群，“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质绕行星中心的运行速度
v 与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示（图中v0、v1均为已知值）。已知天王星的半径为
R，环状物质的宽度为d，引力常量为G，以下说法正确的是（ ）
A．环状物质是天王星的组成部分
B．天王星的自转周期为2πR
v0
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C．该行星的质量为M = v0
2 R
G
D．天王星的第一宇宙速度等于v1
【解答】解：AB．若环状物是天王星的组成部分，则环状物与星体同轴旋转，角速度相同，根
据角速度和线速度的关系v＝ωr
结合乙图可知，环状物不是星体的组成部分，星体的自转周期不能确定，故AB 错误；
C．若环状物是星体的卫星群，则其向心力由星体的万有引力提供，则G Mm
r
2 =m v
2
r
所以运行速度v
2= GM
r
结合图像可得GM = v0
2
1
R
= v0
2 R
所以中心天体质量满足M = v0
2 R
G
故C 正确；
D．根据万有引力提供向心力有G Mm
R
2 =m v1
2
R
所以天王星的第一宇宙速度为v1=√
GM
R = v0
故D 错误。
故选：C。
题型五 卫星变轨问题
1．当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原
来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减
小．
2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离
原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时
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增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
[模型演练25] （2024 春•辛集市期末）2021 年5 月15 日，“天问一号”着陆巡视器成功着
陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。登陆火星前，“天问一号”多次变轨示意图如图所示，
轨道上的P、Q、S 三点与火星中心位于同一直线上，P、Q 两点分别是椭圆轨道的远火星点和
近火星点。除变轨瞬间，“天问一号”在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确
的是（ ）
A．“天问一号”在P 点从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要进行点火加速
B．“天问一号”在轨道Ⅲ上的周期大于在轨道Ⅱ上的周期
C．“天问一号”在轨道Ⅲ上Q 点的加速度大于在轨道Ⅱ上S 点的加速度
D．“天问一号”从轨道Ⅲ上的Q 点到P 点运行过程中，线速度越来越大
【解答】解：A．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“天问一号”在P
点从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要进行点火减速，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律可得a3
3
T 3
2 = a2
3
T 2
2
由于轨道Ⅲ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，所以“天问一号”在轨道Ⅲ上的周期小于在轨道Ⅱ上
的周期，故B 错误；
C．根据牛顿第二定律可得GMm
r
2
=ma
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则有a= GM
r
2
由于Q 点离火星的距离小于S 点离火星的距离，则“天问一号”在轨道Ⅲ上Q 点的加速度大于
在轨道Ⅱ上S 点的加速度，故C 正确。
D．“天问一号”从轨道Ⅲ上的Q 点到P 点运行过程中，引力做负功，动能减小，线速度越来越
小，故D 错误。
故选C。
[模型演练26] （2024 春•朝阳区期末）2024 年3 月长征八号火箭成功发射，将鹊桥二号直
接送入预定地月转移轨道。如图所示，鹊桥二号进入近月点P、远月点A 的月球捕获轨道开始
绕月飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二号最终进入近月点P 和远月点B 的环月轨道。则鹊桥二
号（ ）
A．离开火箭时的速度大于地球的第二宇宙速度
B．在捕获轨道运行的周期等于在环月轨道运行的周期
C．在捕获轨道经过P 点时需点火加速才能进入环月轨道
D．在捕获轨道经过P 点时的加速度等于在环月轨道经过P 点时的加速度
【解答】解：A.鹊桥二号，离开火箭时的速度大于地球的第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，
故A 错误；
B.根据开普勒第三定律r
3
T
2 =k，捕获轨道的半长轴大于环月轨道的半长轴，可知在捕获轨道运行
的周期大于在环月轨道运行的周期，故B 错误；
C.鹊桥二号从捕获轨道变轨到环月轨道时，在P 点做向心运动，需要点火减速，故C 错误；
D.根据万有引力提供向心力有GMm
r
2
=ma，解得a= GM
r
2 ，所以在捕获轨道经过P 点时的加速度
等于在环月轨道经过P 点时的加速度，故D 正确。
故选：D。
[模型演练27] （2024 春•无锡期末）“嫦娥六号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，
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其中Ⅱ为圆轨道，Ⅲ为椭圆轨道，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．探测器在轨道Ⅱ上运动时需要火箭提供动力
B．探测器在轨道Ⅲ上运动时需要火箭提供动力
C．探测器在P 点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ必须加速
D．探测器在P 点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ必须减速
【解答】解：AB．探测器在轨道Ⅱ、轨道Ⅲ上运动时，不考虑摩擦阻力，只受万有引力，不需
要火箭提供动力，故AB 错误；
CD．探测器在P 点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ，卫星做近心运动，轨道高度降低，必须减速，使得在
变轨时万有引力要大于向心力，故C 错误，D 正确。
故选：D。
类型2 卫星的对接问题
[模型演练28] （2024 春•温州期末）2024 年4 月26 日，我国发射神舟十八号载人飞船与在
轨空间站完成自主快速交会对接，航天员要在空间站中工作6 个月。已知空间站组合体绕地球
做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．神舟十八号先进入空间站轨道再加速以实现对接
B．对接后组合体质量变大会导致其在轨运行周期变长
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C．在空间站中，航天员可以利用弹簧拉力器锻炼身体
D．组合体绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大于地球表面重力加速度
【解答】解：A.神州十八号进入空间站轨道要实现对接必须先减速后加速才能完成，故A 错误；
B.对接后组合体质量变大，根据G Mm
r
2 =mr4 π
2
T
2 ，轨道半径不变，运行周期也不发生变化，故B
错误；
C.在空间站环境中，物体处于完全失重状态，不能用弹簧测力计称量物体的重力，用弹簧拉力
器锻炼身体还是不受到影响，故C 正确；
D.根据牛顿第二定律G Mm
r
2 =ma，则a= GM
r
2 ，r 大于地球半径R，则加速度小于地球表面处的重
力加速度，故D 错误。
故选：C。
[模型演练29] （多选）（2024 春•龙岩期末）我国是世界上第一次首次探测火星就实现
“绕、落、巡”三项任务的国家。如图所示，“天问一号”火星探测器被火星捕获，从“调相
轨道”经过变轨进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。P 点、N 点分别为停泊轨道上的近火
点和远火点，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线在相同时间内扫过的
面积，下列说法正确的是（ ）
A．探测器在P 点的速度大于在N 点的速度
B．探测器在P 点的加速度小于在N 点的加速度
C．图中两阴影部分的面积相等
D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器需制动减速
【解答】解：A.停泊轨道是椭圆轨道，P 点和N 点分别对应退园轨道的近火点和远火点，根据椭
圆轨道上卫星的运动特点可知，探测器在近火点速度最大，远火点速度最小，故A 正确；
B.根据公式G Mm
r
2 =ma，得a= GM
r
2 ，可知r 越小，a 越大，故P 点加速度大于N 点加速度，故B
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错误；
C.根据开普勒第二定律，探测器在相等时间内和火星连线扫过相等的面积是指在同一个椭圆轨
道上，而图中是两个不同椭圆轨道，故C 错误；
D.从“调相轨道”进入到“停泊轨道”，需要探测器做向心运动才能完成，则探测器需要制动
减速，故D 正确。
故选：AD。
[模型演练30] （多选）（2024 春•九龙坡区校级期末）2022 年我国航天事业发生多件大事，
让世界瞩目。北京时间2022 年6 月5 日10 时44 分，神舟十四号载人飞船发射取得成功。北京
时间2022 年6 月5 日17 时42 分，成功对接于天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约7 小
时。北京时间2022 年11 月30 日7 时33 分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号3 名航天员顺利
进驻中国空间站，完成“太空会师”历史性大事件。2022 年12 月4 日20 时09 分，神舟十四
号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。假设返回舱从工作轨道Ⅰ返回地面的运动轨迹如图，
椭圆轨道Ⅱ与圆轨道Ⅰ、Ⅲ分别相切于P、Q 两点，返回舱从轨道Ⅲ上适当位置减速后进入大
气层，最后在东风着陆场着陆。下列说法正确的是（ ）
A．返回舱在Ⅰ轨道上P 需要向运动方向的反方向喷气进入Ⅱ轨道
B．返回舱在Ⅱ轨道上运动的周期小于返回舱在Ⅲ轨道上运动的周期
C．返回舱在Ⅲ轨道上Q 点的速度的大小大于Ⅱ轨道上P 点速度的大小
D．返回舱在Ⅰ轨道上经过P 点时的加速度等于在Ⅱ轨道上经过P 点时的加速度
【解答】解：A．返回舱从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，因此在Ⅰ轨道上P 点需要向运动方向的
同方向喷气，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律有R
3
T
2 =k
返回舱在Ⅱ轨道上的半长轴大于返回舱在Ⅲ轨道上的轨道半径，所以在Ⅱ轨道上的运动的周期
大于返回舱在Ⅲ轨道上运动的周期，故B 错误；
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C．根据万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v =√
GM
r
返回舱在Ⅰ轨道上的半径大于Ⅲ轨道的半径，则有v ⅢQ＞v ⅠP
又返回舱从Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，则有v ⅠP＞v ⅡP
所以有v ⅢQ＞v ⅠP＞v ⅡP
即返回舱在Ⅲ轨道上Q 点的速度的大小大于Ⅱ轨道上P 点速度的大小，故C 正确；
D．根据牛顿第二定律有G Mm
r
2 =ma
解得a= GM
r
2
返回舱在Ⅰ轨道上P 点时的半径等于返回舱在Ⅱ轨道上P 点时的半径，所以返回舱在Ⅰ轨道上
经过P 点时的加速度等于在Ⅱ轨道上经过P 点时的加速度，故D 正确。
故选：CD。
题型六 双星问题
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特
点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
[模型演练31] （2024 春•江岸区期末）在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以
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相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入
到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解”。天鹅座
X﹣1 就是一个由质量较小的黑洞和质量较大的恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某
一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的时间内，恒星和黑洞的距离可认为不
变，不考虑其他星体的引力作用，则在这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．恒星做圆周运动的角速度变小
B．黑洞的轨道半径变大
C．恒星与黑洞之间的万有引力将变大
D．恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和变小
【解答】解：A．假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且M＞m，两者
之间的距离为L，双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力
G Mm
L
2 = M ω
2 R =mω
2r
其中R+r＝L
解得恒星的角速度为ω=√
G( M +m)
L
3
恒星和黑洞的质量之和不变，恒星和黑洞的距离认为不变，则恒星做圆周运动的角速度不变，
故A 错误；
B．根据G Mm
L
2 = M ω
2 R =mω
2r
R+r＝L
可得r =
M
m+ M L
由于恒星和黑洞的质量之和不变，M 减小，m 增大，所以r 减小，故B 错误；
C．恒星与黑洞之间的万有引力为F =G Mm
L
2
由于恒星和黑洞的质量之和不变，M 减小，m 增大，由数学知识可得，万有引力增大，故C 正
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确；
D．线速度为v＝ωr
可
得
，
恒
星
与
黑
洞
做
圆
周
运
动
的
线
速
度
大
小
之
和
为
v恒+ v 黑=ωR +ωr =ω×
m
m+ M L+ω×
M
m+ M L=ωL
所以，恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和不变，故D 错误。
故选：C。
[模型演练32] （2024•城中区校级三模）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团
M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O
点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星A 与B 的距离为L，恒星B 的运行周期为T。引力常
量为G，则恒星A 与B 的总质量为（ ）
A．4 π
2 L
3
GT
2
B．2π
2 L
3
GT
2
C．4 π
2 L
2
GT
2
D．2π
2 L
2
GT
2
【解答】解：两恒星绕o 点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，它们做匀速圆周运动的周期
相等，设A、B 做圆周运动的轨道半径分别为rA、rB，设两恒星间的距离为L，则rA+rB＝L，由
牛顿第二定律得
G m1m2
L
2
=m1rA4 π
2
T
2
G m1m2
L
2
=m2rB4 π
2
T
2
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两式相加得：G(m1+m2)
L
2
=（rA+rB）4 π
2
T
2
G(m1+m2)
L
2
=L4 π
2
T
2
恒星A 与B 的总质量为：m1+m2= 4 π
2 L
3
GT
2
故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[模型演练33] （多选）（2024 春•北仑区校级期中）太空中存在一些离其它恒星较远的、
由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定
的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同
一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于
等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则
（ ）
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．此三星系统的运动周期为T＝4πR√
R
5GM
C．三角形三星系统中星体间的距离为L=
3√
12
5
R
D．三角形三星系统的线速度大小为1
2√
5GM
R
【解答】解：A、直线三星系统中甲星和丙星绕着乙星做匀速圆周运动，由于质量都相等，故直
线三星系统中甲星和丙星的线速度相等，但方向相反，不是相同，故A 错误；
B、三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力。
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Gm
2
R
2 + Gm
2
(2 R)
2 =m v
2
R
解之得：v =√
5Gm
4 R
T = 2πR
v
= 4 πR√
R
5Gm
故B 正确；
CD、另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行，
由万有引力定律和牛顿第二定律得：2 G m
2
L
2 cos30° =m
L
2cos30° ( 2π
T )
2
由于两种系统的运动周期相同，即T = 4 πR√
R
5Gm
故解得：L=
3√
12
5 R。
所以v= 2π
T ⋅
L
2cos30° ≠1
2√
5GM
R
，故C 正确，D 错误；
故选：BC。
题型七 天体追及相遇问题
若某时刻两卫星正好同时同向通过地面同一点正上方，经过一定的时间，两星又会相距最近和相距
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最远。
（1）两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)
（2）两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（3）若反方向转动的天体相距最近的条件：ωaΔt+ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（4）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。
[模型演练34] （2024•合肥三模）北斗三号由30 颗卫星组成，如图所示，中圆地球轨道卫
星A 与地球静止轨道卫星B 在同一平面绕地球做同方向的匀速圆周运动，此时恰好相距最近。
已知地球的质量为M、地球自转周期为T，中圆地球轨道卫星A 的轨道半径为rA，万有引力常
量为G，则（ ）
A．卫星A 的周期大于卫星B 的周期
B．卫星A 的机械能小于卫星B 的机械能
C．卫星A 的线速度和加速度均比卫星B 的小
D．经过时间
t =
2π
√
GM
r A
3 - 2π
T
，两卫星到下一次相距最近
【解答】解：A、根据开普勒第三定律可得r
3
T
2 =k，因为rA＜rB，故卫星A 的周期小于卫星B 的
周期，故A 错误；
B、因两卫星的质量关系不确定，故无法比较两卫星机械能的大小，故B 错误。
C、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：GMm
r
2
=mv
2
r ，解得线速度大小为
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v=√
GM
r
根据牛顿第二定律可得GMm
r
2
=ma，解得加速度大小为：a= GM
r
2
因为rA＜rB，故卫星A 的线速度大于卫星B 的线速度，卫星A 的加速度大于卫星B 的加速度，
故C 错误；
D、设卫星A 的周期为T0，对卫星根据万有引力提供向心力得：GMm
r
2
=mr4 π
2
T 0
2
解得：T0＝2π√
r A
3
GM
设再经时间t 两卫星到下一次相距最近，则有：t
T 0
- t
T =1
解得：
t =
2π
√
GM
r A
3 - 2π
T
，故D 正确。
故选：D。
[模型演练35] （2024•宁波模拟）如图甲所示，A、B 两颗卫星在同一平面内围绕中心天体
做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星之间的距离Δr 随时间t 的变化图像，t＝0
时刻A、B 两颗卫星相距最近。已知卫星B 的周期TB＝7t0，则A、B 两颗卫星运行轨道半径之
比为（ ）
A．1：7
B．1：4
C．1：
3√49
D．1：2
【解答】解：根据题图乙可知，在两次相距最近的0～t0时间内，A、B 两卫星转过的角度关系
为：
2π
T A
t0- 2π
T B
t0=2π
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又根据题意知：TB＝7t0
解得：TA= 7
8t0
根据开普勒第三定律有：
r A
3
T A
2 = rB
3
T B
2
联立可得A、B 两颗卫星运行轨道半径之比：rA：rB＝1：4，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
[模型演练36] （2024•太原一模）如图所示，A、B、C 是地球的三颗人造卫星，A 轨道半
径为地球半径的4 倍，B、C 为同轨道近地卫星，三者轨道位于同一平面内且绕行方向相同。
已知地球半径为R，表面重力加速度为g，A 先后飞越B、C 正上方所经历的最短时间t
= 16 π
21 √
R
g
，忽略地球自转，B、C 之间的劣弧长为（ ）
A．1
6πR
B．1
4 πR
C．2
3πR
D．1
2πR
【解答】解：忽略地球自转，在地球表面有mg= GMm
R
2
根据万有引力提供向心力可得：
对A 卫星，有GMm
(4 R)
2 =m⋅4 R⋅ωA
2
对B、C 卫星，有GMm
R
2
=mR ωB
2=mRωC
2
A 先后飞越B、C 正上方得最短时间间隔内有（ωB﹣ωA）t＝θ
联立解得：θ = 2
3 π
B、C 之间的劣弧长为s=θR = 2
3 πR，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
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题型八 天体自转稳定的临界问题
[模型演练37] 2021 年11 月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发
现了球状星团NGC6712 中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天
体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15 毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引
力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会
因为缺少引力束缚而解体，则以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A．1.3×1010kg/m3
B．3×1016kg/m3
C．3×1013kg/m3
D．3×1019kg/m3
【解答】解：星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需
的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，该星球密度为ρ，表面一物体质量为m，由牛顿第
二定律得：GMm
R
2
=m 4 π
2 R
T
2
又ρ= M
V
V = 4
3 π R
3
联立解得：ρ= 3 π
GT
2
代入数据得：ρ≈3×1016kg/m3，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
[模型演练38] （多选）脉冲星的本质是中子星，具有在地面实验室无法实现的极端物理性
质，是理想的天体物理实验室，对其进行研究，有希望得到许多重大物理学问题的答案，譬如：
脉冲星的自转周期极其稳定，准确的时钟信号为引力波探测、航天器导航等重大科学技术应用
提供了理想工具。2017 年8 月我国FAST 天文望远镜首次发现了两颗太空脉冲星，其中一颗星
的自转周期为T（实际测量为1.83s），该星距离地球1.6 万光年，假设该星球恰好能维持自转
不瓦解．地球可视为球体，其自转周期为T0，用弹簧测力计测得同一物体在地球赤道上的重
力为两极处的k 倍，已知引力常量为G，则下列关于该脉冲星的平均密度ρ 及其与地球的平均
密度ρ0之比正确的是（ ）
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A．ρ= 3 π
GT
2
B．ρ= 3 π
GT
C．ρ
ρ0
= (1-k )T 0
2
T
2
D．ρ
ρ0
=
T 0
2
(1-k )T
2
【解答】解：AB、星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，GMm
R
2
=mR4 π
2
T
2 ，解
得中心天体的质量为：M= 4 π
2 R
3
GT
2 ，又M＝ρ•4
3 π R
3，联立解得ρ= 3 π
GT
2，故A 正确，B 错误；
CD、设地球质量为M0，半径为R0，由于两极处物体的重力P 等于地球对物体的万有引力，即P
= G M 0m
R0
2
⋯①，
在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有P﹣kP＝mR0
4 π
2
T 0
2 ⋯②，
联立①②解得：M0=
4 π
2 R0
3
GT 0
2(1-k )
，
地球平均密度为：ρ0= M 0
V 0
=
3 π
(1-k )GT 0
2
所以有：ρ
ρ0
= (1-k )T 0
2
T
2
，故C 正确，D 错误。
故选：AC。
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