文档内容
第 13 讲 万有引力与宇宙航行
题型一 万有引力定律及应用
题型二 人造卫星 宇宙航行
题型三 卫星变轨问题
题型四 双星多星问题
课标要求 命题预测 重难点
1.理解开普勒行星运动定
律和万有引力定律，并会
用来解决相关问题。 生活实践类：地球不同纬度重
力加速度的比较
2.掌握计算天体质量和密
学习探究类：开普勒第三定律 （1）掌握计算天体质量和密度的方法。。
度的方法。
的应用，利用“重力加速度 （2）会比较卫星运行的各物理量之间的关
3.会比较卫星运行的各物 法”、“环绕法”计算天体的 系。。
理量之间的关系。 质量和密度，卫星运动参量的 （3）会分析天体的“追及”问题。
分析与计算，人造卫星，宇宙
4.理解三种宇宙速度，并 速度，天体的“追及”问题，
会求解第一宇宙速度的大 卫星的变轨和对接问题，双星
小。 或多星模型
5.会分析天体的“追及”
问题。
题型一 万有引力定律及应用
【典型例题剖析】
【例1】 (2023·广东清远市南阳中学检测)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F 、F 为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通
1 2
过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S 和S 。已知由M到N过程中，太阳的引
1 2
力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F 处
1
B．S>S
1 2
C．在M和N处，小行星的动能E >E
kM kN
D．在N和P处，小行星的加速度a >a
N P
【答案】 B
【详解】 已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳
位于焦点F 处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行
2
星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运
动时间，由开普勒第二定律可知S>S ，B正确；由动能定理，由M到N过程中，万有引力做正功，则
1 2
动能增大，即E r＝r
2 1 3
角速度 ω>ω＝ω
1 2 3
线速度 v>v>v
1 2 3
向心加速度 a>a>a
1 2 3
【跟踪变式训练】
【变式2-1】 (2023·山东卷·3)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间
(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，
地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
【答案】 C
【详解】 设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转，有
G＝m r，r＝60R，联立有T＝120π，故选C。
月
【变式2-2】 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。
已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】 C
【详解】 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G＝m，可得v＝，故v ∶v
火
＝1∶，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要 v ＝ km/s，故A错误，C正
地 火
确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g ＝
地
G，g ＝G，联立可得g >g ，故D错误。
火 地 火
【变式2-3】 (2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一
条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，
火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【答案】 B
【详解】 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律
有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相
距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引
力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球
表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω ＝，ω ＝，
火 地
要发生下一次“火星冲日”，则有(－)t＝2π，得t＝>T ，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年
地
12月8日之后，故D错误。
题型三 卫星变轨问题
【典型例题剖析】
【例3】(2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为
h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中
质量不变，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
【答案】 B
【详解】 卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得 G＝ma＝m，在地球表面附近由mg＝
G得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝()2g，线速度大小为v＝，故A错误，B正确；
卫星的线速度大小为v＝，卫星在圆轨道上运行的动能为E ＝mv2＝，可知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于
k
在轨道Ⅰ上的动能，故C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道
Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机
械能，故D错误。
【高考考点对接】
1．卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周
运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Gm，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v、v，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分
1 3
别为v 、v ，四个速度关系为v >v>v>v 。
A B A 1 3 B
(2)向心加速度
在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ＝a ，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度
ⅠA ⅡA
关系a ＝a ，A、B两点向心加速度关系a >a 。(均选填“>”“＝”或“<”)
ⅡB ⅢB A B
(3)周期卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T、T、T 的关系为T1
B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
【答案】 B
【详解】 设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r，Q做圆周运动的轨道半径为r，角
1 2
速度为ω，则有G＝m ω2r ，G＝m ω2r ，联立可得＝＝，由于r>r ，则k<1，故A错误；根据线速度
P 1 Q 2 1 2
与角速度之间的关系有v ＝ωr ，v ＝ωr ，r ＋r ＝L，则v ＋v ＝ω(r ＋r)＝ωL，可知，若P、Q的角
P 1 Q 2 1 2 P Q 1 2
速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据G＝m ，可
P
得v ＝＝，故C错误；根据G＝m r ，G＝m r ，可得T＝2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运
P P 1 Q 2
行的周期将变大，故D错误。【高考考点对接】
1．双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝mω2r，＝mω2r。
1 1 1 2 2 2
②两星的周期、角速度相同，即T＝T，ω＝ω。
1 2 1 2
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r＋r＝L。
1 2
【解题能力提升】
①＋＝ma
向
常见的三星模型
②×cos 30°×2＝ma
向
①×cos 45°×2＋＝ma
向
常见的四星模型
②×cos 30°×2＋＝ma
向
【跟踪变式训练】
【变式4-1】 (2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的
三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位
于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T ；另一种是
1三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为
T。若每颗星的质量都相同，则T∶T 为( )
2 1 2
A. B.
C. D.
【答案】 D
【详解】 第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则
G＋G＝mR，解得T ＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝，星体
1
A所受合力F ＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T ＝2πr，则T∶T ＝，故选
合 2 1 2
D。
【变式4-2】 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天
体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为 k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为
v，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
1
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】 地球的第一宇宙速度为v＝，则黑洞的第一宇宙速度为v＝，并且有v>c，
1 2 2
联立解得r<，
所以D正确，A、B、C错误。
【变式4-3】 (多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距
较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗
质量分别为m 、m 的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期
1 2
相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为L，质量之比为m∶m＝3∶2。则可知( )
1 2
A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．A与B做圆周运动的线速度大小之比为2∶3
C．A做圆周运动的半径为L
D．B做圆周运动的半径为L
【答案】 BC
【详解】 A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速度相等，
A项错误；A与B所需向心力大小相等，有 mω2r ＝mω2r ，即mr ＝mr ，因为A、B质量之比为
1 1 2 2 1 1 2 2
m∶m＝3∶2，则轨道半径之比r∶r＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为L，B做圆周运动的半径为L，C项
1 2 1 2正确，D项错误；根据v＝ωr可知，角速度相等，A与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之
比为2∶3，B项正确。
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】 C
【详解】 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；
火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定
律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，
故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在
相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
2．(2024·山东青岛市调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。
科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，近日点在
水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为11．86年，关于该小行星，下列说
法正确的是( )
A．在近日点加速度比远日点小
B．在近日点运行速度比远日点小
C．公转周期一定小于11.86年
D．在近日点的机械能比远日点小
【答案】 C
【详解】 根据G＝ma可知，该小行星在近日点加速度比远日点大，故A错误；根据开普勒第二定律，
该小行星在近日点运行速度比远日点大，故B错误；该小行星轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于
木星轨道半径，已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，根据开普勒第三定律可知，该小行星的公转周
期一定小于11.86年，故C正确；在同一轨道上，只有万有引力做功，机械能守恒，该小行星在近日点
的机械能等于远日点的机械能，故D错误。3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播
方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木
星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A． 年 B． 年
C． 年 D． 年
【答案】 A
【详解】 设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离R＝＝
设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有＝ ，T ＝1年，解得T＝ 年，
地
选项A正确，B、C、D错误。
4．(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
【答案】 AB
【详解】 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；根据G＝m＝mr可知，因地球同步卫星
的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B正确，C错误；我国发射的同步通信卫星不可以定点在
北京上空， D错误。
5．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星
与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
【答案】 C
【详解】 根据G＝ma ，可得a ＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因
n n
该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同。故选C。
6．(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和
神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是( )
A．它们的线速度都大于第一宇宙速度
B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度
C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度
D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期
【答案】 BD
【详解】 根据万有引力提供做圆周运动的向心力有＝m＝ma＝mr，可得v＝，a＝，T＝。因为第一宇
宙速度是近地卫星的运行速度，由v＝知它们的线速度都小于第一宇宙速度，且轨道半径大的线速度小，
故A、C错误；由a＝知轨道半径大的向心加速度小，故B正确；由T＝知轨道半径大的周期大，故D
正确。
7．(2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三
周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T，则( )
0
A．木卫一轨道半径为r
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T 之比为
0
D．木星质量与地球质量之比为n3
【答案】 D
【详解】 根据题意可得，木卫三的轨道半径为r＝nr。根据万有引力提供向心力有G＝m r，可得r
3 三 3 3
＝，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r ＝，木卫二轨
1
道半径为r ＝，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意
2
无法求出周期T与T 之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有G＝m nr，G＝m r，联立
0 三 月
可得＝n3，故D正确。
8．(2023·河南南阳市期中)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图
所示。天和核心舱处于半径为r 的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为r 的圆轨道Ⅰ上，运行周
3 1
期为T ，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船(
1
)
A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期B．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为T＝T
2 1
【答案】 D
【详解】 对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得T＝2π，由于r
