文档内容
2025年菁优高考数学解密之空间向量及其运算
一．选择题（共10小题）
1．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是
A． B． ， ， C． D． ， ，
2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点 ， 是它内切球球面上的两点， 为正四面体
表面上的动点，当线段 最长时， 的最大值为
A．2 B． C．3 D．
3．（2024•金安区校级模拟）正四面体 棱长为6， ，且 ，以
为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，则 的最小值为
A．24 B．25 C．48 D．50
4．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体 中， 为 与
交点， ，则 的长为
A． B． C． D．
5．（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
1A． B． C． ，4， D．
6．（ 2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模
，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长
为2的正四面体 中，则
A． B．4 C． D．
7．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量 ， ， ， ，则
A．3 B． C． D．21
8 ． （ 2024• 潮 阳 区 校 级 三 模 ） 已 知 平 行 六 面 体 中 ， ， ，
，则
A． B． C． D．
9．（2024•襄城区校级模拟）已知直线 过点 ， ， ，且方向向量为 ，则点 ，1，
到 的距离为
A． B． C． D．
10．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， 是空间中给定的 个不同的点，则使 成
2立的点 的个数为
A．1 B．
C．无穷多个 D．前面的说法都有可能
二．多选题（共5小题）
11 ． （ 2024• 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 边 长 为 2 ， 动 点 满 足
， ， ，则下列说法正确的是
A．当 时，则直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．当 ， ， 时， 的取值范围为
D．当 ，且 时，则点 的轨迹长度为
12．（2024•烟台模拟）已知空间向量 ， ，则
A．
B． 在 上的投影向量为 ，2，
C．若向量 ，则点 在平面 内
D．向量 是与 平行的一个单位向量
13．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是
A．对空间任意一点 与不共线的三点 ， ， ，若 ，其中 ， ， 且
，则 ， ， ， 四点共面
B．已知 ， ， 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
3C．若 ， 共线，则
D．若 ， 共线，则一定存在实数 使得
14．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且
它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点．若 ， ， ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
15．（2024•张家界二模）正六棱柱 的所有棱长均为2， 为棱上 中点，记
正六棱柱的12个顶点为 ，2， ， ，则 的值可以是
A．0 B． C．1 D．2
三．填空题（共10小题）
16．（2024•东湖区校级三模）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是 ．
17．（2024•太原三模）已知直线 过点 ，2， ，且直线 的一个方向向量为 ，则坐标原
点 到直线 的距离 为 ．
418．（2024•广州模拟）已知 ， ， 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则 的取值范
围是 ．
19．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体 的棱长为2，若球 与正四面体的每一条棱都相切，
点 为球面上的动点，且点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，则 的
取值范围为 ．
20．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量 ， ， 共面，则实数 ．
21．（2024•故城县校级模拟）已知向量 ， ， ，若 ， ， 三个向
量共面，则 ．
22 ． （ 2024• 红 河 州 模 拟 ） 如 图 ， 在 棱 长 均 相 等 的 斜 三 棱 柱 中 ，
， ，若存在 ， ，使 成立，则
的最小值为 ．
23．（2024•拉萨一模）已知 ， ，空间向量 ．若 ，则 ．
24．（2023•翠屏区校级模拟）两个非零向量 ， ，定义 ， ．若 ，0，
， ，2， ，则 ．
25．（2023•浦东新区三模）空间向量 ，2， 的单位向量的坐标是 ．
52025年菁优高考数学解密之空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是
A． B． ， ， C． D． ， ，
【答案】
【考点】空间向量的投影向量与投影
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用
【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．
【解答】解： ， ，
故向量 在向量 上的投影向量是： ．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
2．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3，点 ， 是它内切球球面上的两点， 为正四面体
表面上的动点，当线段 最长时， 的最大值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球
【分析】设四面体 的内切球球心为 ， 为 的中心， 为 的中点，连接 ， ，则
在 上，连接 ，根据题意求出内切球的半径，当 为内切球的直径时， 最长，再化简
可求得其最大值．
【解答】解：设正四面体 的内切球球心为 ， 为 的中心， 为 的中点，连接 ，
，则 在 上，连接 ，则 ．
6因为正四面体的棱长为3，所以 ，
所以 ，设内切球的半径为 ，
则 ， ，解得 ，
当 为内切球的直径时 最长，此时 ， ，
，
因为 为正四面体表面上的动点，所以当 为正四体的顶点时， 最长， 的最大值为
，所以 的最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于
中档题．
3．（2024•金安区校级模拟）正四面体 棱长为6， ，且 ，以
为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，则 的最小值为
A．24 B．25 C．48 D．50
【答案】
7【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】先由 ，再由 ，推出 ， ，
，再由向量的数量积的计算公式得到 ，结合基本不等式
即可求解结果．
【解答】解：法一：因为正四面体 的棱长为6，
所以 ，
同理可得 ， ，
又因为以 为球心且半径为1的球面上有两点 ， ， ，
所以 ，
由 ，
则 ，
，
，
，
，
，
因为 ，所以 ，
当且仅当 取等号，
此时 ，
所以 ．
8故 的最小值为50．
法二：由于 ，所以点 在平面 内，
所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
当点 为点 在平面 内的射影时， 最小，
由于棱长为6，
所以 ， ，
，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算
能力，属于中档题．
4．（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体 中， 为 与
交点， ，则 的长为
A． B． C． D．
9【答案】
【考点】空间向量的数乘及线性运算
【专题】整体思想；空间向量及应用；数学运算；综合法
【分析】由题意可知 ，再利用 ，结合空间向量的数量积运算求解．
【解答】解：由题意可知， ，
，
，
的长为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
5．（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是
A． B． C． ，4， D．
【答案】
【考点】空间向量的投影向量与投影
【专题】空间向量及应用；数学运算；综合法；转化思想
【分析】根据已知求出 ，即可根据投影向量的定义求出答案．
【解答】解：因为 ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为： ．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
6．（ 2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模
10，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长
为2的正四面体 中，则
A． B．4 C． D．
【答案】
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；空间向量及其线性运算
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算
【分析】根据题中条件确定 ，设底面△ 的中心为 ，则 平面 ，可求得
，又 的方向与 相同，代入计算可得答案．
【解答】解：由题意， ，
设底面△ 的中心为 ，连接 ， ，
则 平面 ，又 ， ， 平面 ，
故 ， ， ，
则 ，
，
11在△ 中， ，
则 ，
又 的方向与 相同，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量及其运算，考查三角形中的几何计算，属中档题．
7．（2024•番禺区校级二模）已知空间向量 ， ， ， ，则
A．3 B． C． D．21
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用；向量法；转化思想；数学运算
【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可求解．
【解答】解：由 ，可得 ，
由 ， ， ，
可得
．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属基础题．
8 ． （ 2024• 潮 阳 区 校 级 三 模 ） 已 知 平 行 六 面 体 中 ， ， ，
，则
12A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】数学运算；综合法；整体思想；空间向量及应用
【分析】利用空间向量的数量积运算求解．
【 解 答 】 解 ：
，
所以 ，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
9．（2024•襄城区校级模拟）已知直线 过点 ， ， ，且方向向量为 ，则点 ，1，
到 的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量的夹角与距离求解公式
【专题】空间向量及应用；整体思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解．
【解答】解： 点 ， ， ，点 ，1， ，2， ，
，
13又 直线 的方向向量为 ，
点 ，1， 到 的距离 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题．
10．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， 是空间中给定的 个不同的点，则使 成
立的点 的个数为
A．1 B．
C．无穷多个 D．前面的说法都有可能
【答案】
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算
【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点 的坐标，得到答案．
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ，
由 得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以满足条件的点 的个数为1个．
故选： ．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11 ． （ 2024• 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 边 长 为 2 ， 动 点 满 足
， ， ，则下列说法正确的是
14A．当 时，则直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．当 ， ， 时， 的取值范围为
D．当 ，且 时，则点 的轨迹长度为
【答案】
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法
【分析】由 时，得到 为 的中点，可判定 错误；在 上取点 ，得到求得 点
在 上，将平面 与平面 沿着 展开到同一平面内，可判定 正确；证得 平面
，求得 的最大值与最小值，可判定 正确；求得点 的轨迹在△ 内，根据题意得到
点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，且 ，可判定 错误．
【解答】解：对于 中，由于 时，则 ，此时 为
的中点，
在正方体 中，由 平面 ，所以直线 不会垂直平面 ，所以 错误；
对于 中，在 上取点 ，使 ，在 上取点 ，使 ，
因为 ，即 ，可得 点在 上，
将平面 与平面 沿着 展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，
连接 交 于 ，此时 ， ， 三点共线， 取到最小值即 的长，
由于 ，所以 ，则 ，
15所以 ，所以 ，
即此时 的最小值为 ，所以 正确；
对于 中，当 ， ， 时，可得点 的轨迹在平面 内（包括边界），
在正方形 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，又由 ，
所以 的取值范围为 ，所以 正确；
对于 中，当 时，可得点 的轨迹在△ 内（包括边界），
由于 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，可得 ，同理可证 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
设 与平面 交于点 ，由于 ，
△ 为边长为 的正三角形，则点 到平面 的距离为 ，
若 ，则 ，即 点落在以 为圆心， 为半径的圆上，
此时 点到△ 三边的距离均为 ，
即 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
16又由 ，其轨迹长度为3倍的弧长 ，所以 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2024•烟台模拟）已知空间向量 ， ，则
A．
B． 在 上的投影向量为 ，2，
C．若向量 ，则点 在平面 内
D．向量 是与 平行的一个单位向量
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用；向量法；数学运算；转化思想
【分析】进行向量坐标的数量积运算即可判断 的正误；
根据投影向量的计算公式即可判断 的正误；
根据共面向量基本定理判断 ， 是否共面，从而判断 的正误；
根据共线向量基本定理及单位向量的定义即可判断 的正误．
【解答】解： ， ， 正确；
， 4 ， ， 2 ， ， 在 上 的 投 影 向 量 为 ：
17， 正确；
若 ，即 ，0， ，2， ， ， ， ，方程组无解，
不共面，点 不在平面 内， 错误；
向量 是单位向量，且 ， 向量 是与 平行的一
个单位向量， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量加法的几何意义，共面和共线向量基本定理，单位向
量的定义，是基础题．
13．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是
A．对空间任意一点 与不共线的三点 ， ， ，若 ，其中 ， ， 且
，则 ， ， ， 四点共面
B．已知 ， ， 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
C．若 ， 共线，则
D．若 ， 共线，则一定存在实数 使得
【答案】
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算
【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断 、 、 、 的结
论．
【 解 答 】 解 ： 对 于 ： 由 于 ， 其 中 ， ， 且 ， 则
，
18整理得： ，故 ，所以 ， ， ， 四点共面，故
正确；
对于 ：由于 ， ， 与 的夹角为钝角，故 ，且 ，故 的取值范围为
， ， ，故 错误；
对于 ：若 ， 共线且方向相反时，则 ，故 错误；
对于 ：若 ， 共线，则一定存在实数 使得 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学
生的运算能力，属于中档题．
14．（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且
它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点．若 ， ， ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算
【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用
【分析】由题意可知， ，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个
判断各个选项即可．
19【解答】解：由题意可知， ，
对于 ， ，故 正确；
对于 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ， ，故 错误；
对于 ， ，故 错误；
对于 ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题．
15．（2024•张家界二模）正六棱柱 的所有棱长均为2， 为棱上 中点，记
正六棱柱的12个顶点为 ，2， ， ，则 的值可以是
A．0 B． C．1 D．2
【答案】
【考点】空间向量的数量积运算；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间向量及应用
【分析】根据正棱柱的结构特征与向量数量积的运算性质，算出当 在下底面的某个顶点处时，
；当 在上底面的某个顶点处时， ，进而可得正确答案．
【解答】解：若 与 重合，则 ；若 与 重合，则 ．
若点 在下底面的某个顶点处（不与 重合）时，根据 与底面垂直，可得 ，
20所以 ．；
同理可得点 在上底面的某个顶点处（不与 重合）时， ．
综上所述， 的值可以是 或1．
故选： ．
【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与运算性质、正棱柱的结构特征等知识，考查了计算能力、
概念的理解能力，属于中档题．
三．填空题（共10小题）
16．（2024•东湖区校级三模）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是 ， 0 ， ．
【答案】 ，0， ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】计算题；综合法；空间向量及应用；数学运算
【分析】由向量 在向量 上的投影向量为 ， ，计算即可求出答案．
【解答】解：向量 ， ，
则 ， ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为
， ，0， ，0， ，
故答案为： ，0， ．
21【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
17．（2024•太原三模）已知直线 过点 ，2， ，且直线 的一个方向向量为 ，则坐标原
点 到直线 的距离 为 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】数学运算；转化思想；空间向量及应用；转化法
【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可．
【解答】解：由题知，直线 过点 ，2， ，且直线 的方向向量为 ，点 ，0， ，
所以 ，
所以点 ，0， 到 的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查空间中点到直线距离公式，属于基础题．
18．（2024•广州模拟）已知 ， ， 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则 的取值范
围是 ， ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间向量及应用
【分析】根据正方体的性质可得 ， ，结合夹角的定义可得 ，可得其最
大值；根据数量积的运算可知 ，可得其最小值．
【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长 ，
则 ， ，故 ， ，
22而 ， ， ，故 ，
建立如图所示空间直角坐标系，
取 ，0， ，当 ， 重合为 ，1， 时，
则 ，1， ，1， ，取得最大值3；
由对称性，设 在下底面， ， ， ， ，
由 在下底面知 ， ， ，
当且仅当 ， 也在下底面时取等，此时 ， ， 共面，
设 中点为 ，则 ，
，
当且仅当 ， 重合时取等，
又因为 ，可得 ，
例如 ， ，0， ， ，1， ，
则 ，
所以 ， 不重合时， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题．
2319．（2024•中山市校级模拟）已知正四面体 的棱长为2，若球 与正四面体的每一条棱都相切，
点 为球面上的动点，且点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，则 的
取值范围为 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法
【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球 为正方体的内切球，设 为 的中点，结合向量数量
积的运算律将 转化为 ，结合四面体以及正方体和球 的切接问题，求出 的最大值以
及最小值，即可求得答案．
【解答】解：由题意知正四面体 的棱长为2，故可将该正四面体补成如图示正方体，
正方体棱长为 ，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，
由于球 与正四面体的每一条棱都相切，故球 为正方体的内切球，
球 的直径为正方体的棱长，则半径 ；
设 为 的中点，则 ，
则 ，
由于点 在正四面体面 的外部（含正四面体面 表面）运动，
24故点 位于 的中点处时， 最大，即为正方体内切球直径，
此时 取到最大值 ；
在正四面体 中，设 为 中点，连接 ， ，
则 ， ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，则球 的球心 在平面 内，
则 的内切圆即为球 的一个小圆，设该圆与 的交点为 ，
则 点和 都位于球 的同一个大圆所在的平面上，此时该大圆上劣弧 所对弦长 最短，
即 点位于 点时， 最小；
设 内切圆圆心为 ，则内切圆半径为 ，
，则 ，
中， ， ，故 ，
在 中 ，则 ，
即 的最小值为 ，故 的最小值为 ，
故 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点评】关键点睛：解答本题的关键是将正四面体补成为正方体，将球 转化为正方体的内切球问题，
结合多面体和球的切接问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024•黄浦区校级三模）已知空间向量 ， ， 共面，则实数 3
．
【答案】3．
25【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的共线与共面
【专题】数学运算；转化思想；空间向量及应用；转化法
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】解： ， ， 共面，
则存在实数 ， 使得， ，即 ，解得 ．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题．
21．（2024•故城县校级模拟）已知向量 ， ， ，若 ， ， 三个向
量共面，则 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量的共线与共面
【专题】数学运算；空间向量及应用；定义法；方程思想
【分析】根据向量共面定理求解．
【解答】解：由题意，设 ，
即 ，5， ， ， ，3， ， ， ，
所以 解得 ， ， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题．
22 ． （ 2024• 红 河 州 模 拟 ） 如 图 ， 在 棱 长 均 相 等 的 斜 三 棱 柱 中 ，
， ，若存在 ， ，使 成立，则
的最小值为 ．
26【答案】 ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用；转化思想；数学运算；综合法
【分析】设 ，根据 ，得 ，再利用基本
不等式求得最值．
【解答】解：设 ，
则由题意有 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，由 ， ，
可得： ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，考查基本不等式的应用，属中档题．
2723．（2024•拉萨一模）已知 ， ，空间向量 ．若 ，则 1 ．
【答案】1．
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【专题】平面向量及应用；数学运算；转化思想；计算题；逻辑推理；综合法
【分析】根据 ，从而可求出 ，即可求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，得 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查的知识要点：共线向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档
题．
24．（2023•翠屏区校级模拟）两个非零向量 ， ，定义 ， ．若 ，0，
， ，2， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】立体几何；整体思想；综合法；数学运算
【分析】根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正
弦值可求，最后直接代入定义即可．
【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ，
，0， ， ，2， ，
， ， ，
，
， ，
，
28．
故答案为： ．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，解答的关键是熟记向量的数量积公式，是新定义中的基础题．
25．（2023•浦东新区三模）空间向量 ，2， 的单位向量的坐标是 ．
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的共线与共面
【专题】向量法；空间向量及应用；数学运算；计算题；转化思想
【分析】得出 ，从而得出 的单位向量坐标为： ，然后进行向量坐标的数乘运算即
可．
【解答】解： ，
的单位向量的坐标为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运
算，考查了计算能力，属于基础题．
29考点卡片
1．平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做
数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用
表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如 、 ，…字母表示，用小写字母 、 ，…表示．有向
向量的长度为模，表示为| |、| |，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是 的长度（或称模），记作| |．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 共线的单位向量是 ）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
2．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
θ
（1） ＝ ＝| |cos ；
θ
（2） ＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
⇔
（3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |；
30特别地： ＝| |2或| |＝ （用于计算向量的模）
（4）cos ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
θ
（5）| |≤| || |
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律： ；
（2）数乘向量的结合律：（ ）• ＝ （ ）＝ •（ ）；
λ λ
（3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2±2 • + 2．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2﹣ 2．③ •
（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ ”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
⇒ ⇒
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”；
⑥“ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
31解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“ ”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误； ⇒ ⇒
∵| |≠| |•| |，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴ ”不能类比得到 ，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配律，故
“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故
“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；| |≠| |•| |，故“|m•n|＝|m|•|
⇒ ⇒
n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类
32比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能类比得到 ．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说
也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
3．数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量 与 不平行时，那
么它们就会有一个夹角 ，并且还有这样的公式：cos ＝ ．通过这公式，我们就可以求出两向
θ θ
量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60 ° ．
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝ +i与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（ ，1）与向量（ ，﹣1）的夹
角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方
说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
4．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
332．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为| |，| |
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作 ；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如 的相反向量记为﹣ ．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定 与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等
向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律： ．
343．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
λ
①当 ＞0时， 与 的方向相同；
λ
②当 ＜0时， 与 的方向相反；
λ
③当 ＝0时， ＝ ．
λ
④| |＝| |•| |
λ λ
的长度是 的长度的| |倍．
λ
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（ + ） ＝ +
λ μ
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算．
355．空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
λ
①当 ＞0时， 与 的方向相同；
λ
②当 ＜0时， 与 的方向相反；
λ
③当 ＝0时， ＝ ．
λ
④| |＝| |•| |
λ λ
的长度是 的长度的| |倍．
λ
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（ + ） ＝ +
λ μ
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算．
【解题方法点拨】
﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．
﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．
【命题方向】
﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．
366．空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量，记作 ． 与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量 、 （ ）， 的充要条件是存在实数 ，使得 ．
λ
（2）共面向量定理
如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，
y），使得 ．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ，使 成立，或充分利用空间向量的运算法则，
λ
结合具体图形，通过化简、计算得出 ，从而 ．
（2） 表示 与 所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，
解题过程中注意直线与向量的相互转化．
37（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使 ．满足这个
关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用
以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面 ，证明这些向量与平面 平行．
【命题方向】 α α
1，考查空间向量共线问题
例：若 ＝（2x，1，3）， ＝（1，﹣2y，9），如果 与 为共线向量，则（ ）
A．x＝1，y＝1 B．x＝ ，y＝﹣ C．x＝ ，y＝﹣ D．x＝﹣ ，y＝
分析：利用共线向量的条件 ，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵ ＝（2x，1，3）与 ＝（1，﹣2y，9）共线，
故有 ＝ ＝ ．
∴x＝ ，y＝﹣ ．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定
共面的是（ ）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理 ，说明M、A、B、C共面，判断选项的正
误．
解答：由共面向量定理 ，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
38故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
7．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量 、 ，在空间中任取一点O，作 ， ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，
记作＜ ， ＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 、 ，则| || |cos＜ ， ＞叫做向量 与 的数量积，记作 • ，即
• ＝| || |cos＜ ， ＞
（2）几何意义： 与 的数量积等于 的长度| |与 在 的方向上的投影| |cos 的乘积，或 的长度|
θ
|与 在 的方向上的投影| |cos 的乘积．
θ
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律： ＝ （ ）＝ •（ ）
λ
（2）分配律： ．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号 ，而不能用符号 ，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘
积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当 时，由 ＝0不能推出 一定是零向量，这是因为任一个与 垂直的非零向量 ，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
39利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点
的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的
模，利用公式| |＝ 求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断 时，须指明 ， ；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量
， ， 的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任
何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），则 • ＝ ﹣ 7
分析：通过2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），求出向量 的坐标，然后进行向量的数量积
的坐标运算．
解答：∵2 + ＝（2，﹣4，1），且 ＝（0，2，﹣1），
∴ ＝（1，﹣3，1），
40∴ • ＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
8．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量 ＝（a ，a ，a ）， ＝（b ，b ，b ），
1 2 3 1 2 3
cos＜ ＞＝ ＝
注意：
（1）当cos＜ ＞＝1时， 与 同向；
（2）当cos＜ ＞＝﹣1时， 与 反向；
（3）当cos＜ ＞＝0时， ⊥ ．
2．空间两点的距离公式
设A（x ，y ，z ），B（x ，y ，z ），则
1 1 1 2 2 2
d A，B ＝| |＝ ＝ ．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量 与 的夹角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
41分析：由题意可得： ，进而得到 与| |，| |，再由cos＜
， ＞＝ 可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以 ═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且| |＝3 ，| |＝ ，
所以cos＜ ， ＞＝ ＝ ，
∴ 的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数
量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点 A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则 A，B两点间的距离是
（ ）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以 ＝（﹣3，0，﹣4），所以 ＝ ＝5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．
429．空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量 在 上的投影是 ．
﹣投影长度：投影的长度为 ．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
【命题方向】
﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度．
10．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量 ， （ ≠0）， ∥ 存在 R，使 ＝ ．
共面向量定理 若两个向量 ， 不共线，则向量 与向量 ，b⇔共面λ存∈在唯一的λ有序实数
对（x，y），使 ＝x +y ．
⇔
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量 、 、c不共面，那么对空间任一向量 ，存在
有序实数组{x，y，z}使得 ＝x +y +z ．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一
的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
43二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） • ＝| || |cos＜ ， ＞；
（2） ⊥ • ＝0（ ， 为非零向量）；
⇔
（3）| |2＝ 2，| |＝ ．
2．向量的坐标运算
＝（a ，a ，a ）， ＝（b ，b ，b ）
1 2 3 1 2 3
向量和
+ ＝（a +b ，a +b ，a +b ）
1 1 2 2 3 3
向量差
﹣ ＝（a ﹣b ，a ﹣b ，a ﹣b ）
1 1 2 2 3 3
数量积
• ＝a b +a b +a b
1 1 2 2 3 3
共线
∥ a ＝ b ，a ＝ b ，a ＝ b （ R）
1 1 2 2 3 3
垂直 ⇒ λ⊥
a b
λ
+a b +a b
λ＝0 λ ∈
1 1 2 2 3 3
夹角 ⇔
公式
cos＜ ， ＞＝
11．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
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