文档内容
2025年菁优高考数学解密之空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共16小题）
1．（2024•上海）定义一个集合 ，集合元素是空间内的点集，任取 ， ， ，存在不全为0的
实数 ， ， ，使得 ．已知 ，0， ，则 ，0， 的充分条件是
A． ，0， B． ，0， C． ，1， D． ，0，
2．（2023•新乡模拟）已知点 、 、 、 为空间不共面的四点，且向量 ，向量
，则与 、 不能构成空间基底的向量是
A． B． C． D． 或
3．（2023•五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国
古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而
到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平
面向量的运算推广到 维向量，用有序数组 ， ， ， 表示 维向量，已知 维向量
，1，1， ， ， ，1，1， ， ，则
A． B．
C． D．存在 使得
4．（2023•德阳模拟）已知 ， ， 表示共面的三个单位向量， ，那么 的取值范围
是
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．（2023•滁州模拟）已知向量 ， ，若 ，则
1A． B．3 C． D．6
6．（2024•太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 1，活动弹
子 ， 分别在对角线 ， 上移动，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 中．正四面体 的顶点 ， 分别在 轴，
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．（2022•淮北一模）在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，1， ，则点 ，0， 到直
线 的距离为
A． B． C． D．
9．（2021•江苏一模）已知数组 ，1， ， ，2， ， ，则
A．1 B． C．2 D．
10．（2021•白银模拟）已知向量 ， ， 是空间中的一个单位正交基底．
规定向量积的行列式计算： ，
2， ，其中行列式计算表示为 ，若向量 ，则
A． ， ， B． ，4， C． ，8， D． ， ，
11．（2021•让胡路区校级三模）已知向量 ， ，若 ，则
A．10 B．2 C． D．
12．（2020•江苏模拟）若向量 ， ， 和 ， ， 满足条件 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2
13．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ，0， ，
，0， ， ，1， ， ，0， ，则此四面体在 坐标平面上的正投影图形的面积为
A． B． C． D．1
14．（2023秋•新华区校级期末）在空间直角坐标系中，若 ， ， ， ，则点 的坐标
为
A． ， ， B． ， ， C． ，1， D． ， ，
15．（2023秋•合肥期末）已知 ， ， ， ，2， ，则 等于
A． ， ， B． ，4， C． ，0， D． ，1，
16．（2023秋•百色期末）如图，在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，则 等于
3A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
17．（2024•高碑店市校级模拟）已知 是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个
基底的是
A． B． C． D．
18．（2024•江宁区校级二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，
点 满足 ，则下列说法正确的是
A．若 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则△ 面积的最小值为
D．若存在实数 ， 使得 ，则 的最小值为
19．（2024•船营区校级模拟）设三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序
实数组 ， ， ，使得： 成立．我们把 叫做基底，把有序实数组 ， ，
4叫 做 基 底 下 向 量 的 斜 坐 标 ． 已 知 三 棱 锥
．以 为坐标原点，以 为 轴正方向，
以 为 轴正方向，以 为 轴正方向，以 同方向上的单位向量 为基底，建立斜坐
标系，则下列结论正确的是
A．
B． 的重心坐标为
C．若 ，1， ，则
D．异面直线 与 所成角的余弦值为
三．填空题（共1小题）
20．（2023•西安模拟）空间四边形 中， 与 是四边形的两条对角线， ， 分别为线段
， 上的两点，且满足 ， ，若点 在线段 上，且满足 ，若向
量 满足 ，则 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•安徽模拟）一般地， 元有序实数对 ， ， ， 称为 维向量．对于两个 维向量
， ， ， ， ， ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模
，且 取最小值时， 称为 在 上的投影向量．
（1）求证： 在 上的投影向量为 ；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 、逻辑推理能力 、动手操作能力 进行测评，每
5门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量 ， ， 而不同岗位对于各个能力需求的比重各
不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ， ， ， 将 在
上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计
，2，
技工
，2，
推销员
，2，
售后维修员
，1，
（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为 ，7， ，试分析小明最适合哪个岗位．
（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位 的适合度分别为 ， ， ， ，2， ．若能根据
这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一
组基底．
22．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
， ， 分别为线段 ， 上的动点．
（1）若 为线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，试确定点 的位置．
23．（2022•象山区校级一模）如图，在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的重心，
为 的中点，试用基底 表示向量 和 ．
624 ． （ 2023 秋 • 乐 山 期 末 ） 已 知 斜 棱 柱 中 ， ，
．设 ， ， ．
（1）用基底 ， ， 表示向量 ，并求 ；
（2）求向量 与向量 夹角的余弦值．
25．（2023秋•保定期末）如图，在空间四边形 中， ， ， ， 为 的中点
在 上且 ．
（1）以 ， ， 为基底，表示 ；
（2） ， ， ， ， ，求 ．
72025年菁优高考数学解密之空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2024•上海）定义一个集合 ，集合元素是空间内的点集，任取 ， ， ，存在不全为0的
实数 ， ， ，使得 ．已知 ，0， ，则 ，0， 的充分条件是
A． ，0， B． ，0， C． ，1， D． ，0，
【答案】
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算
【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．
【解答】解：不全为0的实数 ， ， ，使得 ．
所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，
又因为 ，0， ，所以对于 三者不能构成一组基，
故不能推出 ，0， ，故 错误；
对于 ， ，0， ， ，0， ，且 ，0， ， ，0， 共线，
所以 ，0， 可以属于 ，此时三者不共面，故 错误；
对于 ，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出 ，0， ，故 正确；
对于 ，三者无法构成一组基，故不能推出 ，0， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查空间向量的基本定理的应用，充要条件的判断，是基础题．
2．（2023•新乡模拟）已知点 、 、 、 为空间不共面的四点，且向量 ，向量
，则与 、 不能构成空间基底的向量是
8A． B． C． D． 或
【答案】
【考点】 ：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】 ：空间向量及应用
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【解答】解： ，
与 、 不能构成空间基底；
故选： ．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
3．（2023•五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国
古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而
到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平
面向量的运算推广到 维向量，用有序数组 ， ， ， 表示 维向量，已知 维向量
，1，1， ， ， ，1，1， ， ，则
A． B．
C． D．存在 使得
【答案】
【考点】空间向量基底表示空间向量
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；推理和证明
【分析】类比平面向量的运算，计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：类比平面向量的运算， ，2，2， ， ， ，故
错误；
，故 错误；
， ， ，故 正确；
9假设存在 ，使得 ，则有 且 ，此时无解．
故选： ．
【点评】本题考查类比推理，考查运算求解能力，属中档题．
4．（2023•德阳模拟）已知 ， ， 表示共面的三个单位向量， ，那么 的取值范围
是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【专题】计算题；平面向量及应用
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值
域，即可计算得到．
【解答】解：由 ，则 ，
又 ， 为单位向量，则 ，
则
，
由 ，
则 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查
运算能力，属于中档题．
5．（2023•滁州模拟）已知向量 ， ，若 ，则
A． B．3 C． D．6
【答案】
【考点】空间向量数量积的坐标表示
【专题】数学运算；转化思想；转化法；空间向量及应用
10【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：向量 ， ，
则 ，2， ，2， ，0， ，
，
则 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
6．（2024•太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为 1，活动弹
子 ， 分别在对角线 ， 上移动，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间两点间的距离公式
【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；数学运算；数形结合；向量法
【分析】以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间
直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立
空间直角坐标系，
11则 ，0， ， ，0， ，
设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ，
， ， ， ，
则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 中．正四面体 的顶点 ， 分别在 轴，
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【考点】空间中的点的坐标
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体 的位置，则原点 在以 为直径的球面
上运动，
原点 到点 的最近距离等于 减去球的半径，最大距离是 加上球的半径．
【解答】解：
如图所示，若固定正四面体 的位置，则原点 在以 为直径的球面上运动，
12设 的中点为 ，则 ；
所以原点 到点 的最近距离等于 减去球 的半径，
最大距离是 加上球 的半径；
所以 ，
即 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，
是综合题．
8．（2022•淮北一模）在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，1， ，则点 ，0， 到直
线 的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间两点间的距离公式
【专题】数学运算；方程思想；定义法；空间向量及应用
【分析】求出 ， ，利用向量法能求出点 ，0， 到直线 的距离．
【解答】解： ， ， ， ，1， ，
，2， ，
，1， ，
13则点 ，0， 到直线 的距离为：
．
故选： ．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查向量法求点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．
9．（2021•江苏一模）已知数组 ，1， ， ，2， ， ，则
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【考点】空间向量数量积的坐标表示
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算
【分析】利用向量数量积公式直接求解．
【解答】解： ，1， ， ，2， ， ，
．
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查代数式求值，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2021•白银模拟）已知向量 ， ， 是空间中的一个单位正交基底．
规定向量积的行列式计算： ，
14， ，其中行列式计算表示为 ，若向量 ，则
A． ， ， B． ，4， C． ，8， D． ， ，
【答案】
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；数学运算
【分析】根据向量的坐标公式代入计算即可得出．
【解答】解：由题意得： ，8，
，
故选： ．
【点评】熟练掌握向量的坐标运算是解题的关键．
11．（2021•让胡路区校级三模）已知向量 ， ，若 ，则
A．10 B．2 C． D．
【考点】 ：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法； ：平面向量及应用；65：数学运算
【分析】可求出 ，然后根据 即可得出 ，解出 的值，然后
即可得出 的坐标，进而求出 的值．
【解答】解： ，且 ，
，解得 ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
1512．（2020•江苏模拟）若向量 ， ， 和 ， ， 满足条件 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2
【考点】 ：空间向量的数量积运算
【专题】 ：空间向量及应用；35：转化思想；49：综合法；65：数学运算
【分析】直接代入数量积求解即可．
【解答】解：因为 ， ， 和 ， ， 满足条件 ，
即 ；
故选： ．
【点评】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题．
13．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ，0， ，
，0， ， ，1， ， ，0， ，则此四面体在 坐标平面上的正投影图形的面积为
A． B． C． D．1
【考点】 ：空间向量运算的坐标表示
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法； ：空间向量及应用；64：直观想象
【分析】如图，此四面体在 坐标平面上的正投影图形是 ，由此能求出此四面体在 坐标平
面上的正投影图形的面积．
【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ，0， ， ，0， ，
，1， ， ，0， ，
如图，此四面体在 坐标平面上的正投影图形是 ，
此四面体在 坐标平面上的正投影图形的面积为：
．
故选： ．
16【点评】本题考查四面体在 坐标平面上的正投影图形的面积的求法，考查空间直角坐标系的性质等
基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2023秋•新华区校级期末）在空间直角坐标系中，若 ， ， ， ，则点 的坐标
为
A． ， ， B． ， ， C． ，1， D． ， ，
【答案】
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算；空间向量运算的坐标表示
【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用
【分析】利用空间向量的坐标运算求解．
【解答】解： ， ， ， ，
， ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
15．（2023秋•合肥期末）已知 ， ， ， ，2， ，则 等于
A． ， ， B． ，4， C． ，0， D． ，1，
【答案】
【考点】空间向量线性运算的坐标表示
【专题】定义法；对应思想；空间向量及应用
【分析】根据空间向量的线性运算，求出向量 的坐标即可．
17【解答】解： ， ， ， ，2， ，
， ， ，4， ．
故选： ．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
16．（2023秋•百色期末）如图，在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，则 等于
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】转化法；平面向量及应用；空间向量及应用；直观想象
【分析】在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，可得 ，
．即可得出．
【解答】解：在四面体 中， 是 的中点， 是 的中点，
则 ， ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
18二．多选题（共3小题）
17．（2024•高碑店市校级模拟）已知 是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个
基底的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面；平面向量的基本定理
【专题】数学运算；综合法；方程思想；逻辑推理；空间向量及应用
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断．
【解答】解：对于选项 ：因为 ，
所以 三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故 错误；
因为 是空间中不共面的三个向量，
对于选项 ：设 ，显然不存在实数 ， 使得该式成立，
所以 不共面，可以作为基底向量，故 正确；
对于选项 ：设 ，
则 ，方程无解，即不存在实数 ， 使得该式成立，
所以 不共面，可以作为基底向量，故 正确．
对于选项 ：因为 ，
所以 三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间向量基本定理的应用，属于基础题．
1918．（2024•江宁区校级二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、 的中点，
点 满足 ，则下列说法正确的是
A．若 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则△ 面积的最小值为
D．若存在实数 ， 使得 ，则 的最小值为
【答案】
【考点】球的表面积；空间向量线性运算的坐标表示
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算
【分析】根据长方体的外接球即可求解 ，建立空间直角坐标系，即可根据向量的坐标运算，结合模长
公式以及夹角公式即可求解 ，根据线面垂直的性质可得 在线段 上运动， ，即可根据面
积公式求解．
【解答】解：对于 ：由题意， 与 重合，
故三棱锥 的外接球与以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球相同，
故半径 ，表面积为 ，故 对；
对于 ：以 为原点建系， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，
，
由 ，所以 ，
， ，
20，故 错；
对于 ：由
得 ， ， ， ， ， ，
由 可得 ，
所以 ， ， ，
当 时， ，故 正确；
对于 ：由 得， 在线段 上运动，设 在底面 的投影为 ，连接 ， ，
由于 ，所以 ，故 ，
连接 ， 相交于 ，连接 ，
，当 ， 重合时取等号，故
错．
故选： ．
【点评】本题考查长方体的外接球，据向量的坐标运算，线面垂直的性质等相关知识，属于中档题．
2119．（2024•船营区校级模拟）设三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序
实数组 ， ， ，使得： 成立．我们把 叫做基底，把有序实数组 ， ，
叫 做 基 底 下 向 量 的 斜 坐 标 ． 已 知 三 棱 锥
．以 为坐标原点，以 为 轴正方向，
以 为 轴正方向，以 为 轴正方向，以 同方向上的单位向量 为基底，建立斜坐
标系，则下列结论正确的是
A．
B． 的重心坐标为
C．若 ，1， ，则
D．异面直线 与 所成角的余弦值为
【答案】
【考点】平面向量的基本定理；异面直线及其所成的角；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；计算题；空间向量及应用；综合法
【分析】根据新定义求出向量 的坐标，从而判断出 项的正误；求出 、 、 三点的坐标，结合
重心的坐标公式判断出 项的正误，根据向量的数量积是否等于0，判断出 项的正误；根据向量的夹角
公式加以计算，判断出 项的正误．
【解答】解：对于 ，根据 ， ，可得 ，
所以 ，故 项正确；
对于 ，根据 ， ，可得 ， ，
所以 ，0， ， ，0， ， ，1， ，
22的重心为 ，即 ，故 项正确；
对于 ，因为 ， ，
所以 ，
因此， 不成立，故 项错误；
对于 ，根据 ， ，可得 ， ，
设异面直线 与 所成角的为 ，由异面直线所成角的定义，
可知 ， ，故 项错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积及其运算性质、向量加减法的坐标表示、向量的夹角公式等知
识，属于中档题．
三．填空题（共1小题）
20．（2023•西安模拟）空间四边形 中， 与 是四边形的两条对角线， ， 分别为线段
， 上的两点，且满足 ， ，若点 在线段 上，且满足 ，若向
量 满足 ，则 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】数学运算；计算题；综合法；转化思想；逻辑推理；空间向量及应用
23【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：空间四边形 中， 与 是四边形的两条对角线， ， 分别为线段 ， 上
的两点，且满足 ， ，若点 在线段 上，且满足 ，
如图所示：
由 于 ， 故 ， 整 理 得
，
所以 ，
故 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：空间向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础
题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•安徽模拟）一般地， 元有序实数对 ， ， ， 称为 维向量．对于两个 维向量
， ， ， ， ， ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模
，且 取最小值时， 称为 在 上的投影向量．
24（1）求证： 在 上的投影向量为 ；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 、逻辑推理能力 、动手操作能力 进行测评，每
门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量 ， ， 而不同岗位对于各个能力需求的比重各
不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ， ， ， 将 在
上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计
，2，
技工
，2，
推销员
，2，
售后维修员
，1，
（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为 ，7， ，试分析小明最适合哪个岗位．
（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位 的适合度分别为 ， ， ， ，2， ．若能根据
这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一
组基底．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；
（2） 小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
证明过程见解答．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底
【专题】数学运算；综合法；转化思想；空间向量及应用
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 由 已 知 得 取 最 小 值 时 ， 为 在 上 的 投 影 向 量 ， 由 定 义 得
，根据二次函数最小值即可求得 ，进而证明；
25（Ⅱ） 分别求得小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求量”上的投影向量的模，根据
定义即可求解；
设岗位 的“能力需求向量”为 ， ， ，小红的测评结果为 ， ， ，列出方程组，分
析方程组解的情况即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）证明： 取最小值时， 为 在 上的投影向量，
，
是关于 的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质，
当且仅当 时， 取最小值，
在 上的投影向量为 ．
（2） 设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为 ， ，
， ，
则 ，
，
，
，
小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
证明：由题意，设岗位 的“能力需求向量”为 ， ， ，
小红的测评结果为 ， ， ，
26则 ，
则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于 ， ， 的三元一次方程组有唯一解，
记 ， ， ，则 ，
设 ， ， ，
则方程组变形为 ，
② ①得 ，
则方程组化简为 ，
消去 ，化简得 ⑥，
若 ，
则此时关于 的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符，
，
又方程有且仅有一解， ，即 ，
若 ，由向量的共线定理得 ，
使得 ，
则 ，与假设矛盾， 不成立，故 与 不共线，同理可知 与 不共线，
， ， 可以作为空间中的一组基底，
即会计、技工和岗位 的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
【点评】本题考查向量基本定理及空间向量的基底、投影向量、二次函数的性质等基础知识，考查运算
求解能力，是难题．
2722．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
， ， 分别为线段 ， 上的动点．
（1）若 为线段 的中点，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，试确定点 的位置．
【答案】（1）证明见解答；（2） 为 的三等分点处．
【考点】平面与平面垂直；空间向量运算的坐标表示
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解
【分析】（1）可证 平面 ，从而 ， ， 平面 ，进而可证平面
平面 ；
（2）以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，求平面 与平面 的法向量，利用向量法求 的值，可知定点 的位置．
【解答】（1）证明：由 底面 ，可得 ，又在正方形 中， ，
且 ，则 平面 ，有 ，
由 ， 为线段 的中点，可得 ，
又 ，则 平面 ，从而平面 平面 ；
（2）解：以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
28由（1）可知 ，0， 为平面 的法向量，
由 ，可知 ，设 ， ，则 ，1， ， ，0， ，
可得 ， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
解得 或 ，即 为 的三等分点处．
【点评】本题考查面面垂直的证明，以及利用面面角确定点的位置，属中档题．
23．（2022•象山区校级一模）如图，在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的重心，
为 的中点，试用基底 表示向量 和 ．
【答案】 ．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理
【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；平面向量及应用
【分析】根据向量的加，减，数乘公式，结合几何图形，即可用基底表示．
【解答】解：
29；
所以 ，
，
所以 ．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．
24 ． （ 2023 秋 • 乐 山 期 末 ） 已 知 斜 棱 柱 中 ， ，
．设 ， ， ．
（1）用基底 ， ， 表示向量 ，并求 ；
（2）求向量 与向量 夹角的余弦值．
【答案】（1） ； ；（2） ．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；综合法；平面向量及应用
【分析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果；
（2）利用向量的夹角运算求出结果．
【解答】解：（1）斜棱柱 中， ， ．设
， ， ，
故： ．
．
30（2） ，
．
．
．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生
的理解能力和计算能力，属于中档题．
25．（2023秋•保定期末）如图，在空间四边形 中， ， ， ， 为 的中点
在 上且 ．
（1）以 ， ， 为基底，表示 ；
（2） ， ， ， ， ，求 ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【专题】转化思想；综合法；数学运算；空间向量及应用
【分析】（1）利用空间向量的加减运算，即可求解；
（2）利用空间向量的数量积，即可求解．
【解答】解：（1）
．
31（2） ， ， ， ， ， ，
，
．
【点评】本题考查了空间向量的运算，属于基础题．
32考点卡片
1．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e 、e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对实数 、 ，使
1 2 1 2
λ λ
．
2、基底：不共线的e 、e 叫做平面内表示所有向量的一组基底．
1 2
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
2．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为 ．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为 ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
3．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′
和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围： （0， ]．
当 ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． θ∈
2、θ求异面直线所成的角的方法：
33求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
4．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
5．空间中的点的坐标
【知识点的认识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
34点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3 、 已 知 空 间 两 点 P （ x ， y ， z ） ， P （ x ， y ， z ） 则 线 段 P P 的 中 点 坐 标 为 （
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
）
6．空间两点间的距离公式
【知识点的认识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x ，y ，z ），Q（x ，y ，z ），
1 1 1 2 2 2
则两点的距离为 ，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为 ．
7．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为| |，| |
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作 ；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如 的相反向量记为﹣ ．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定 与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等
向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
35⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律： ．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
λ
①当 ＞0时， 与 的方向相同；
λ
②当 ＜0时， 与 的方向相反；
λ
③当 ＝0时， ＝ ．
λ
36④| |＝| |•| |
λ λ
的长度是 的长度的| |倍．
λ
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（ + ） ＝ +
λ μ
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算．
8．空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量，记作 ． 与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量 、 （ ）， 的充要条件是存在实数 ，使得 ．
λ
37（2）共面向量定理
如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，
y），使得 ．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 ，使 成立，或充分利用空间向量的运算法则，
λ
结合具体图形，通过化简、计算得出 ，从而 ．
（2） 表示 与 所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，
解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使 ．满足这个
关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用
以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面 ，证明这些向量与平面 平行．
【命题方向】 α α
1，考查空间向量共线问题
例：若 ＝（2x，1，3）， ＝（1，﹣2y，9），如果 与 为共线向量，则（ ）
A．x＝1，y＝1 B．x＝ ，y＝﹣ C．x＝ ，y＝﹣ D．x＝﹣ ，y＝
分析：利用共线向量的条件 ，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵ ＝（2x，1，3）与 ＝（1，﹣2y，9）共线，
故有 ＝ ＝ ．
38∴x＝ ，y＝﹣ ．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定
共面的是（ ）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理 ，说明M、A、B、C共面，判断选项的正
误．
解答：由共面向量定理 ，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
9．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
＝x +y +z ．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{ ，
， }表示．
3．空间直角坐标系
39在空间选定一点O和一个单位正交基底{ ， ， }，以点O为原点，分别以 ， ， 的正
方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量 ， ， 都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝ ，由空间
向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ＝ ．把x，y，z称作向量 在单位
正交基底 ， ， 下的坐标，记作 ＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结
合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数
、 使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
λ μ
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律
进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是
看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
10．空间向量基本定理及空间向量的基底
【知识点的认识】
空间向量基本定理
40如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 ＝x
+y +z ．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共
面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数 、
λ μ
使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
【命题方向】
﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．
11．空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 ＝x
+y +z ．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{ ，
， }表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共
41面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数 、
λ μ
使得 ，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
﹣基底表示：任何空间向量 都可以表示为基底向量的线性组合： 其中
是基底向量，c ，c ，c 是系数．
1 2 3
﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c ，c ，c ．
1 2 3
【命题方向】
﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．
12．空间向量单位正交基底及其表示空间向量
【知识点的认识】
1．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{ ，
， }表示．
2．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝ ，由空间向
量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ＝ ．把x，y，z称作向量 在单位正
交基底 ， ， 下的坐标，记作 ＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
42（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
2．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律
进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是
看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
【命题方向】
﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量．
13．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量 ， ，则
（1）
（2）
（3）
（4） ．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x ，y ，z ），B（x ，y ，z ），则
1 1 1 2 2 2
＝（x ，y ，z ）﹣（x ，y ，z ）＝（x ﹣x ，y ﹣y ，z ﹣z ）
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
3．空间向量平行的条件：
（1） ， R
⇔ λ∈
（2）若x y z ≠0，则
2 2 2
4．空间向量垂直的条件： ⇔
43x x +y y +z z ＝0
1 2 1 2 1 2
⇔
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵
坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若 ＝（x ，y ，z ）， ＝（x ，y ，z ），（ 为非零向量），则 ∥ （ R）．若
1 1 1 2 2 2
⇔ λ∈
时，必有 ∥ ，必要时应对 是否为 进行讨论．
（2） x x +y y +z z ＝0
1 2 1 2 1 2
⇔
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的
坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，
1），则第四个顶点D的坐标为
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得 ，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵ ， ＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得 ，∴ ，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
44例：已知 ＝（3，3，2）， ＝（4，﹣3，7）， ＝（0，5，1），则（ + ）• ＝ ．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于 ＝（3，3，2）， ＝（4，﹣3，7），则 + ＝（7，0，9）
又由 ＝（0，5，1），则（ + ）• ＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知 ， ，若 ∥ ，则 与 的值可以是（ ）
λ μ
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出 与 的值即可．
λ μ
解答：因为 ， ， ∥ ，
所以2 ﹣1＝0，解得 ＝ ， ，解得 ＝2或 ＝﹣3．
μ μ λ λ
所以 与 的值可以是： 或﹣3， ；
故选λA．μ
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
14．空间向量线性运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量 ， ，则
（1）
（2）
（3）
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x ，y ，z ），B（x ，y ，z ），则
1 1 1 2 2 2
45＝（x ，y ，z ）﹣（x ，y ，z ）＝（x ﹣x ，y ﹣y ，z ﹣z ）
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵
坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；
【命题方向】
﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算．
15．空间向量数量积的坐标表示
【知识点的认识】
空间向量的坐标运算规律：
．
【解题方法点拨】
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
【命题方向】
﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/4 16:24:06；用户：组卷36；邮箱：zyb036@xyh.com；学号：41418999
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