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专题七 万有引力与宇宙航行
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
第I 部分
一、单选题：本题共10 小题，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对4 分，
选错不得分。
1．（2023·浙江·统考高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为
。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r 的n 倍。月球绕地球公转周期为
，则
（ ）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为
C．周期T 与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
【答案】D
【详解】根据题意可得，木卫3 的轨道半径为
AB．根据万有引力提供向心力
可得
木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为
,可得木卫一轨道半径为
木卫二轨道半径为
1
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故AB 错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T 与T0之比，
故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有
联立可得
故D 正确。
故选D。
2．（2023·湖北·统考高考真题）2022 年12 月8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一
条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星
与地球的公转轨道半径之比约为
，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为
D．下一次“火星冲日”将出现在2023 年12 月8 日之前
【答案】B
【详解】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律
有
2
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可得
故A 错误；
B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向
相反，故此时两者相对速度最大，故B 正确；
C．在星球表面根据万有引力定律有
由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C 错误；
D．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有
要发生下一次火星冲日则有
得
可知下一次“火星冲日”将出现在2023 年12 月18 日之后，故D 错误。
故选B。
3．（2024·江西上饶·统考一模）北京时间2023 年12 月17 日15 时，我国在酒泉卫星发射中心使用双曲线
一号商业运载火箭成功将“迪迩一号”卫星顺利送入预定轨道。“迪迩一号”卫星、北斗地球同步卫星飞
行的轨道如图所示。下列说法正确的是（ ）
3
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A．“迪迩一号”卫星的角速度小于北斗地球同步卫星的角速度
B．“迪迩一号”卫星的角速度大于北斗地球同步卫星的角速度
C．“迪迩一号”卫星绕地球运行的线速度等于静止于赤道上的物体随地球自转的线速度
D．“迪迩一号”卫星绕地球运行的线速度小于静止于赤道上的物体随地球自转的线速度
【答案】B
【详解】AB．根据
得
“迪迩一号”卫星的的运动半径较小，则“迪迩一号”卫星的角速度大于北斗地球同步卫星的角速度，A
错误，B 正确；
CD．地球自转的角速度很小，则“迪迩一号”卫星绕地球运行的线速度大于静止于赤道上的物体随地球自
转的线速度，CD 错误。
故选B。
4．（2024·江西九江·二模）2023 年10 月26 日11 时14 分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F 遥十七
运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。17 时46 分，神舟十七号载人飞船与空间站组合体完成自主快速
交会对接。飞船的发射过程可简化为：飞船从预定轨道Ⅰ的A 点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨
道的远地点B 时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与变轨空间站实现对接。假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为
圆轨道，不计飞船质量的变化，空间站轨道距地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为
g。下列说法正确的是（ ）
4
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A．飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A 点的加速度比飞船在圆轨道Ⅰ经过A 点的加速度大
B．飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A 点的速度一定大于
C．飞船沿轨道Ⅱ由A 点到B 点的时间为
D．在轨道Ⅰ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积小于在轨道Ⅲ上飞船与地心连线单位时间内扫过
的面积
【答案】D
【详解】A.根据牛顿第二定律可得
解得
可知飞船在A 点点火加速后瞬间的加速度不变，故A 错误；
B.不知道飞船在轨道Ⅰ上的速度，飞船在A 点加速度后，速度与第一宇宙速度的大小关系不确定，故B 错
误；
C.飞船在Ⅲ轨道运行的周期根据万有引力提供向心力可得
解得
飞船在Ⅱ轨道上运行的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，故在轨道Ⅱ上由A 点到B 点的时间小于在轨道Ⅲ上的周
期的一半，故C 错误；
D.飞船与地心的连线单位时间内扫过的面积
轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，故在轨道Ⅰ上飞船与地心连线单位时间内扫过的面积小于在轨道Ⅱ上扫
过的面积，故D 正确。
故选D。
5．（2023·浙江·高考真题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运
5
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行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行
星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王
星
海王星
轨道半径
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365 天
B．火星800 天
C．天王星365 天
D．天王星800 天
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律有
解得
设相邻两次“冲日”时间间隔为，则
解得
由表格中的数据可得
故选B。
6．（2023·山东·统考高考真题）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间
6
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（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足
。已知地月之间的距离r 大约是地球半径的
60 倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有
月球绕地球公转有
r = 60R
联立有
故选C。
7．（2023·辽宁·统考高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图
所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k 倍，则地球
与太阳的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
7
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其中
联立可得
故选D。
8．（2023·广东·统考高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动。由于
P 的遮挡，探测器探测到Q 的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P 的公转周期相同。已
知Q 的质量为
，引力常量为G。关于P 的公转，下列说法正确的是（ ）
A．周期为
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
【答案】B
【详解】A．由图（b）可知探测器探测到Q 的亮度随时间变化的周期为
则P 的公转周期为
，故A 错误；
B．P 绕恒星Q 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
8
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解得半径为
故B 正确；
C．P 的角速度为
故C 错误；
D．P 的加速度大小为
故D 错误。
故选B。
9．（2023·北京·统考高考真题）2022 年10 月9 日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实
现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为
，运行
一圈所用时间约为100 分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳
公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法
正确的是（ ）
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
【答案】A
9
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【详解】A．因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面
平均每天约转动1°，故A 正确；
B．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，
故B 错误；
C．根据
可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C 错误；
D．“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的
距离，故D 错误。
故选A。
10．（2023·北京·统考高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可
伸长的轻绳一端固定于O 点，另一端系一待测小球，使其绕O 做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉
力为F，用停表测得小球转过n 圈所用的时间为t，用刻度尺测得O 点到球心的距离为圆周运动的半径R。
下列说法正确的是（ ）
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将
圈记作n 圈，则所得质量偏大
D．若测R 时未计入小球半径，则所得质量偏小
【答案】A
【详解】A．空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A 正确；
B．根据
解得小球质量
10
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故B 错误；
C．若误将n-1 圈记作n 圈，则得到的质量偏小，故C 错误；
D．若测R 时未计入小球的半径，则R 偏小，所测质量偏大，故D 错误。
故选A。
二、多选题：本题共4 小题，共16 分。有多项符合题目要求。全部选对的得4 分，选对但不全的得2 分，
有选错或不答的得0 分。
11．（2024·甘肃平凉·统考模拟预测）2023 年8 月31 日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火
箭，将遥感三十九号卫星成功发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若卫星在距离地面高度为h 的轨道上做
匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，则（ ）
A．卫星运行周期为
B．卫星运行周期为
C．卫星运行速率为
D．卫星运行速率为
【答案】AD
【详解】物体在地球表面时，重力等于万有引力
卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力
联立解得
故选AD。
12．（2024·湖北·校联考模拟预测）天体运动中有一种有趣的“潮汐锁定”现象：被锁定的天体永远以同
一面朝向锁定天体。如月球就被地球潮汐锁定，即月球永远以同一面朝向着地球。如太阳光平行照射到地
球上。月球绕地球做匀速圆周运动且环绕半径为r。已知地球半径为R，地球表面加速度为g。由上述条件
可以求出（ ）
11
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A．月球绕地球运动的角速度
B．在月球绕地球一周的过程中，月球上正对地球的点被照亮的时间
C．月球的自转周期
D．月球的质量
【答案】ABC
【详解】A．根据万有引力提供月球向心力可得
在地球上有
上述方程联立可得
故A 正确；
BC．根据环绕周期与角速度的关系可得公转周期
潮汐锁定的结果使月球总是“一面正对地球”，即月球绕地球公转一圈，也同时自转一圈，即公转周期与
自转周期相同。因为太阳光平行照射到地球上，则月球上正对地球的点被照亮的时间范围如下图所示
设阴影部分对应的圆心角为
，则
12
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月球上正对地球的点被照亮的时间为
故BC 正确；
D．因为月球作为地球的环绕天体，在万有引力提供向心力的公式中都会把月球质量消掉，所以无法求出
月球质量。故D 错误。
故选ABC。
13．（2024·辽宁·一模）如图所示，星球P 和星球Q 组成稳定的双星系统，星球P 绕O 点做匀速圆周运动
的轨道半径为
，星球Q 绕O 点做匀速圆周运动的半径为
，两星球的质量之和为M，引力常量为G，星
球P、Q 均可视为质点，不考虑其他天体对两星球的作用，下列说法正确的是（ ）
A．星球P 的质量为
B．星球Q 的速率为
C．两星球的周期为
D．两星球的角速度为
【答案】AD
【详解】AD．根据
又
得星球P 的质量为
两星球的角速度为
13
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AD 正确；
B．星球Q 的速率为
B 错误；
C．两星球的周期为
C 错误。
故选AD。
14．（2023·重庆·统考高考真题）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T 的
，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。
时刻，卫星恰好经过地球赤道上P 点正上方。地球的质量为
M，半径为R，引力常量为G。则（ ）
A．卫星距地面的高度为
B．卫星与位于P 点处物体的向心加速度大小比值为
C．从
时刻到下一次卫星经过P 点正上方时，卫星绕地心转过的角度为
D．每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多
【答案】BCD
【详解】A．由题意，知卫星绕地球运转的周期为
14
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设卫星的质量为
，卫星距地面的高度为，有
联立，可求得
故A 错误；
B．卫星的向心加速度大小
位于P 点处物体的向心加速度大小
可得
故B 正确；
CD．要想卫星再次在P 点的正上方，则只能是题中两个轨道的交点，因此要实现出现在正上方，第一种情
形是经过一段时间都回到了当前点，即各自转动整数圈，最小公倍数为3，此时卫星转动10 圈，即转动角
度为
，第二种情形是都转动整数圈加半圈，此时无解，而经过1.5 天，卫星转动五圈，此时相距最
远，转动角度相差7π，故CD 正确；
多7π。故D 正确。
故选BCD。
第Ⅱ部分
三、计算题：本题共5 小题，共44 分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后
答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
15．（2021·福建·统考高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在
动力减速阶段，探测器速度大小由
减小到0，历时
。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为
15
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的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的
，火星质量约为地球质量的
，地球表面重力加速度大小取
，探测器在动力减速阶段的运动视为竖
直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为
，末速度大小为
，加速度大小为
a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为
、
和
，地球的质量、半径和表面重力加
速度大小分别为
、
和
由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m 的物体有
⑤
⑥
式中G 为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为
，由力的平
衡条件有
16
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⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为
。
16．（2024·福建漳州·统考二模）2022 年12 月17 日凌晨，“嫦娥五号”探测器圆满完成我国首次月球无
人采样任务，携带样品返回地球。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，月球表面的重力加
速度约为地球表面重力加速度的
，月球半径为
。
（1）求地球表面重力加速度大小g；
（2）求月球的第一宇宙速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设探测器质量为m，在地球表面，由万有引力定律得
解得
（2）在月球表面，由万有引力定律得
又
解得
17．（2024·四川凉山·统考一模）我国计划在2030 年前后完成载人登月计划，若宇航员登月后站在一斜坡
17
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上，从P 点沿水平方向以初速度v0抛出一小石块，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角为
α，已知月球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小石块做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
根据几何关系有
月球表面的重力加速度为
（2）根据万有引力与重力的关系
月球的质量为
（3）根据万有引力提供向心力
月球的第一宇宙速度为
18
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18．（2023·北京·统考高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R 的球体内，
球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做
匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相
似性和相关力学知识，求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 随r 的变化关
系图像，如图所示，根据在
范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（
）存
在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在
内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有
19
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解得
（3）对处于R 球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
19．（2022·全国·统考模拟预测）利用金星凌日现象，我们可以估算出地球与太阳之间的平均距离。日地
平均距离也被定义为1 个天文单位（1A．U.），是天文学中常用的距离单位。
金星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、金星、太阳恰在一条直线上，这时从地球上可以看到金
星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，如图甲所示，天文学称之为“金星凌日”。在地球上的不同
地点，比如图乙中的A、B 两点，它们在同一时刻观察到的金星在日面上的位置是不同的，我们分别记为
、
。
（1）人类在此之前就观察到金星绕日公转的周期是0.62 年。据此估算金星与太阳的平均距离大约是多少
个天文单位；
（2）设金星与太阳的距离为k 倍日地距离，即kA．U.可测得地球上A、B 之间的距离为l，估算
、
在
太阳表面的真实距离；
（3）在A、B 两地分别同时拍摄金星凌日的照片，然后将其重合起来观察，如图丙所示。发现太阳的直径
是两列轨迹之间距离n 倍。若已知太阳直径对地面观察者的张角（亦称视直径）为
，
为很小的角，可
认为：
，请写出日地距离的表达式（用l、k、n、
表示）。
20
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由开普勒第三定律
金星与太阳的距离为
（2）在图乙中，设
，由于
很小，
与
的长度可近似表达为
，
则
得
（3）两列轨迹之间的距离，就是
与
之间的距离，可得太阳直径为
则日地距离
21
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22
