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2024 高考物理疑难题精讲（26）
物理思维方法
【高考题】
【典例1】（2023 年高考北京卷第20 题）．（12 分）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在
半径为R 的球体内，球体外仅有极少的恒星．球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有
恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G．
（1）求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相
似性和相关力学知识，求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 随r 的变化关
系图像，如图所示，根据在
范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（
）存
在一种特殊物质，称之为暗物质．暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量
．
【名师解析】（1）由万有引力定律和向心力公式，
，
解得：v=
1
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（2）在r≤R 内部，星体质量M0=
由万有引力定律和向心力公式，
，
解得：v=
（3）对处于R 球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式，
，
对处于r=nR 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式，
，
联立解得得：M’=（n-1）M
【典例2】．（2022 高考北京卷第19 题·10 分）
利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为，在远日点速度为
。求从近日点到
远日点过程中太阳对行星所做的功W。
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（
）及向心力相关知识，证明恒星对行星
的作用力F 与r 的平方成反比。
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2 倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16 倍。设想地球“流
浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为
，绕此恒
星公转的周期为
，求
。
【命题意图】此题考查万有引力定律、牛顿运动定律、开普勒定律及其相关知识点。
【名师解析】
2
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（1）根据动能定理有
（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。
恒星对行星的作用力F 提供向心力，
则
运动周期
根据开普勒第三定律
，k 为常量。
得
即恒星对行星的作用力F 与r 的平方成反比。
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r 的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量
为
。以恒星为球心，以r 为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量
。
设地球绕太阳公转半径为
，在新轨道上公转半径为
。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，
必须满足P 不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16 倍，
得
设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T。
万有引力提供向心力
得
由于恒星质量是太阳质量的2 倍，
3
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得
【典例3】（2021 高考北京卷第19 题）.19．（10 分）
类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力
（k 为常量）的作用。其速率v 随时间t 的变化规律可用方程
（①式）描
述，其中m 为物体质量，G 为其重力。求物体下落的最大速率
。
（2）情境2：如图1 所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为R。闭合开关S，发
现电路中电流I 随时间t 的变化规律与情境1 中物体速率v 随时间t 的变化规律类似。类比①式，
写出电流I 随时间t 变化的方程；并在图2 中定性画出I - t 图线。
（3）类比情境1 和情境2 中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
物体动能的增加量
电阻R 上消耗的电能
【解题思路】
（1）当物体下落速度达到最大速度
时，
得
（2）a．
b．如答图2
（3）
4
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情境1
情境2
电源提供的电能
线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械
能
【典例4】（2021 高考北京卷第20 题）.（12 分）
秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为
m，人蹲在踏板上时摆长为
，人站立时摆长为
。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）如果摆长为
，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T 的大小。
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。
a．人蹲在踏板上从最大摆角
开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的
最大摆角为
。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明
。
b．实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某
个最大摆角
后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平
面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能
应满足的条件。
【解题思路】（1）根据牛顿运动定律
得
（2）a．设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得
已知v1 = v2，得
因为
，得
所以
b．设“摆球”由最大摆角
摆至最低点时动能为
，根据功能关系得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为
5
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根据牛顿运动定律得
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得
得
【高考模拟题】
1.（曲线运动问题的方法探究|2023·北京市北京交通大学附属中学6 月模拟）应用恰当的方法可以对一些
问题进行深入分析，比如，研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，每小段都可
以看作圆周运动的一部分，此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径p，用来描述这一点的弯曲程度，如图
甲所示，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理。如图乙
所示，有人设计了一个光滑的抛物线形轨道，位于平面直角坐标系
的第二象限内，末端恰好位于坐标
原点O，且切线沿水平方向，质量为m 的小滑块从轨道上的A 点由静止开始下滑，滑到轨道末端时速度大
小为
，轨道对其支持力大小为
，之后小滑块离开轨道做平抛运动。已知轨道曲线与小滑块做平抛
运动的轨迹关于坐标原点O 对称，重力加速度为g。
（1）求轨道末端的曲率半径
。
（2）小滑块做平抛运动时经过B 点（图中未出），若由A 点运动到O 点与由O 点运动到B 点经过相同路程，
用
表示小滑块由A 点运动到O 点过程的动量变化量，用
表示小滑块由O 点运动到B 点过程的动量变
6
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化量，通过分析比较
与
的大小。
（3）轨道上的C 点距x 轴的距离为
，求小滑块经过C 点时受到的支持力大小
。
【名师解析】
（1）小滑块运动到O 点时，根据牛顿第二定律
，
解得
。
（2）设A 点距x 轴的距离为
，小滑块由A 点运动到O 点的过程中
根据动能定理
小滑块由O 点运动到达B 点过程中，下落距离也为
，则
根据动量定理
，解得
，因此，
与
的大小相等。
（3）如图所示，小滑块经过C 点时受到重力、支持力作用，C 点处的曲率半径为
根据牛顿第二定律有
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从C 点运动到O 点过程中，根据动能定理有
由于轨道曲线与平抛轨迹关于坐标原点O 对称，所以在平抛轨迹上有对称点D，其曲率半径为
，距x 轴
的距离为
，小滑块运动到D 点时速度为
在D 点时，
，
从O 点运动到D 点过程中，根据动能定理有
联立可得
。
2.（2023·北京东城区二模）利用物理模型对问题进行分析，是重要
科学思维方法。如图所示，长为L
的均匀细杆的一端固定一个小球，另一端可绕垂直于杆的光滑水平轴O 转动。已知小球质量为m1，杆的质
量为m2。小球可视为质点。
（1）若杆的质量与小球质量相比可以忽略。把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放。
a．当杆转动至与水平方向成
角时（
），求小球的角速度ω。
b．若只增加杆的长度，小球由静止开始运动到最低点的过程中，所用时间是变长还是变短，通过分析定
性说明。
（2）若杆的质量与小球质量相比不能忽略。已知杆在绕O 点转动时，其动能的表达式为
。
a．请你利用单位制的知识，判断α、β、γ 的数值。
b．把杆拉到水平位置后，将小球无初速度释放，当杆转动至与水平方向成θ 角时（
），求小球的
角速度ω'。
【名师解析】
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（1）a．设当杆由水平位置转动至与水平方向成
角时（
）由线速度与角速度的关系公式
和动能定理可得
解得小球的角速度
。
b．小球由静止开始运动到最低点的过程中，可类似看做单摆运动，由单摆的周期公式可知，摆长越长周
期越大，因此若只增加杆的长度，小球由静止开始运动到最低点的过程中，所用时间是变长。
（2）a．杆的动能的表达式为
，
由动能的计算公式
和线速度与角速度的关系公式
可知，
、
、
。
b．由线速度与角速度的关系公式
和动能定理可得
解得
。
3．（10 分）（2023 北京朝阳一模）
密立根油滴实验将微观量转化为宏观量进行测量，揭示了电荷的不连续性，并测定了元电荷的数值。实验
设计简单巧妙，被称为物理学史上最美实验之一。
该实验的简化装置如图甲所示。水平放置、间距为d 的两平行金属极板接在电源上，在上极板中间开一小
孔，用喷雾器将油滴喷入并从小孔飘落到两极板间。已知油滴带负电。油滴所受空气阻力
，式
中η 为已知量，r 为油滴的半径，v 为油滴的速度大小。已知油的密度为ρ，重力加速度为g。
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（1）在极板间不加电压，由于空气阻力作用，观测到某一油滴以恒定速率缓慢下降距离L 所用的时间为
，
求该油滴的半径r；
（2）在极板间加电压U，经过一段时间后，观测到（1）问中的油滴以恒定速率缓慢上升距离L 所用的时
间为
。求该油滴所带的电荷量Q；
（3）实验中通过在两极板间照射X 射线不断改变油滴的电荷量。图乙是通过多次实验所测电荷量的分布
图，横轴表示不同油滴的编号，纵轴表示电荷量。请说明图中油滴所带电荷量的分布特点，并说明如何处
理数据进而得出元电荷的数值。
【名师解析】：
（1）板间未加电压时，油滴的速度为
，根据平衡条件有
其中
得
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（2）板间加电压时，油滴的速度为
，根据平衡条件有
其中
得
（3）电荷量的分布呈现出明显的不连续性，这是量子化的表现。
根据图中数据分布的特点，可将电荷量数值近似相等的数据分为一组，求出每组电荷量的平均值；再对各
平均值求差值。在实验误差允许范围内，若发现各平均值及差值均为某一最小数值的整数倍，则这个最小
数值即为元电荷的数值。
4.（2023 北京东城一模）（10 分）
平行板电容器是一种常用的电学元件。
（1）如图甲所示，电源与平行板电容器，定值电阻，开关组成闭合电路。已知平行板电容器的电容为C，
电源电动势为E，内阻不计，不考虑极板边缘效应，请在图乙中画出充电过程中电容器两板电压u 随其所
带电荷量q 变化的图像，并类化直线运动中由
图像求位移的方法，求充电完毕时电容器储存的电能
。
（2）如图丙所示，M、N 是平行板电容器的两个极板，板间距离为d。用绝缘细线把一个质量为m，电荷
最为q 的带电小球悬挂在两极板问，已知开关S 闭合后，且小球静止时，绝缘细线与竖直方向夹角为
，
电源电动势为E，内阻不计。三个定值电阻的阻值分别为
、
、
，重力加速度为g，忽略小球的电荷
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量对极板间电场的影响。
a.求夹角
与定值电阻阻值的关系式；
b.若某时刻烧断细线，同时断开开关S，通过分析定性说明小球在两极板间可能出现的运动情况（假设小球
的电荷量保持不变，且始终未与极板发生碰撞）。
【名师解析】.（10 分）
（1）
图像如图所示
充电完毕时电容器两端电压等于电源电动势E，电容器所带电荷量为Q
图线与横轴所围面积即为电容器储存的电能
联立可得
（2）a.小球在电场中静止时受到重力、电场力及细线的拉力
小球所受电场力
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两极板之间电场强度
根据闭合电路欧姆定律，两极板间的电势差
根据平衡条件
联立可得
b.某时刻烧断细线，同时断开开关，细线对小球的拉力为零。在竖直方向上，小球只受重力作用，加速度
不变，做匀加速直线运动；在水平方向上，小球只受电场力作用，由于平行板电容器会通过电阻放电，使
得小球所受电场力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动。若放电时间比较长，小球做加速度减小
的曲线运动。若放电时间比较短，在放电完毕前，小球做加速度减小的曲线运动；放电完毕后，小球只在
重力作用下做匀变速曲线运动。
5.（16 分）（2023 江苏重点高中联考）如图所示，在水平地面上方固定一足够长水平直杆，质量为M=3m
的滑块套在直杆上，长为H 的轻绳一端固定在滑块底部O 点，另一端连接质量为m 的小球，O 点到地面的
高度为2H。现将小球拉至与O 点等高处，轻绳伸直后由静止释放。不计小球与滑块所受到的空气阻力，
重力加速度大小为g。
（1）若滑块固定，求轻绳转动30°时重力的瞬时功率P；
（2）若滑块不固定，与杆之间无摩擦，小球摆到最低点时，轻绳恰好被拉断，求小球落地时与滑块的距
离s；
（3）若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）设轻绳转过30°时，小球的速度为v，根据机械能守恒定律有
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2 分
重力的瞬时功率为
2 分
所以
1 分
（2） 设小球摆到最低点时速度大小为
，滑块速度大小为
，根据水平方向系统动量守恒，有
1 分
根据系统机械能守恒，有
1 分
剪断轻绳后，滑块做匀速运动，小球做平抛运动，经时间t 落地，有
1 分
小球落地时与滑块间的水平距离为
1 分
小球与滑块之间的距离
1 分
1 分
（3）设轻绳转过θ 时，小球的速度为
，轻绳中拉力为F，则
由牛顿第二定律，有
得
水平方向恰好不滑动
2 分
求得
1 分
方法（一）导数求极值
令
，求导数得：
当
时，
对应
∴
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方法（二）判别式△求极值
令
整理得：
∴
∴
所以动摩擦因数的最小值为
。 2 分
6．如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏转电场，并从另一侧
射出。已知电子质量为m，电荷量为e，加速电场电压为U0。偏转电场可看做匀强电场，极板间电压为U，
极板长度为L，板间距为d。
(1)忽略电子所受重力，求电子射入偏转电场时初速度v0和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离
Δy；
(2)分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决(1)问时忽略了电子所受重力，请利用下
列数据分析说明其原因。已知U＝2.0×102 V，d＝4.0×10－2 m，m＝9.1×10－31 kg，e＝1.6×10－19 C，g＝10
m/s2。
(3)极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势φ 的定义式。类比
电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”φG的概念，并简要说明电势和“重力势”的共同特点。
【名师解析】：(1)根据功和能的关系，有eU0＝mv0
2
电子射入偏转电场的初速度v0＝
在偏转电场中，电子的运动时间Δt＝＝L
偏转距离Δy＝a(Δt)2＝。
(2)考虑电子所受重力和电场力的数量级，有
重力G＝mg～10－29 N
电场力F＝～10－15 N
由于F≫G，因此不需要考虑电子所受重力。
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(3)电场中某点电势φ 定义为电荷在该点的电势能Ep与其电荷量q 的比值，
即φ＝
由于重力做功与路径无关，可以类比静电场电势的定义，将重力场中物体在某点的重力势能EG与其质
量m 的比值，叫做“重力势”，即φG＝。
电势φ 和重力势φG都是反映场的能的性质的物理量，仅由场自身的因素决定。
答案：(1) (2)(3)见解析
7. 某同学将质量
的篮球从距地面高度
处由静止释放，篮球与地面碰撞后反弹高度
。设篮球始终在竖直方向做一维运动，不计空气阻力，取重力加速度
。
（1）假设篮球每次与地面碰撞损失的机械能相同，篮球通过在地面多次碰撞反弹，反弹高度会越来越低，
最终停下来。求由静止释放到最终停下来，篮球与地面碰撞的次数
；
（2）实际上篮球每次因碰撞损失的机械能会随着碰前动能的减小而减小，假设篮球每次与地面碰撞前后
的动能之比不变。为了使篮球反弹得高一些，可以通过拍球来实现。
a．当篮球第一次与地面碰撞后反弹至
时，该同学向下拍球，要使篮球落地后反弹的高度仍为
，求该同学在拍球过程中需要对篮球所做的功
；
b．在拍球过程中，可以通过改变拍球的作用力大小而改变拍球的节奏，我们会发现不管是篮球的下落还
是上升，有一段过程篮球好像粘在手上一样。这是因为球开始下落的同时向下拍球，手通过接触会对球施
加一向下的动力
；当球反弹上升至某一高度时，手通过接触对球施加一向下的阻力
，使球和手一起
向上运动至最高点。若拍球过程中篮球最大高度始终为
，手对球的两次作用力均视为恒力，且在上
升和下降过程中，球与手作用的距离均为
。请推导
大小与
大小之间的关系式，并在图中画
出
图线，标出图线与横轴交点的横坐标。
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【参考答案】（1）5；（2）a．1.8J；b．
，
【名师解析】
（1）篮球与地面发生一次碰撞损失的机械能为
①
根据能量守恒定律可得篮球与地面碰撞的次数为
②
（2）a．篮球每次与地面碰撞后瞬间与碰撞前瞬间的动能的比值为
③
同学向下拍球后，对篮球下落过程，根据动能定理有
④
篮球与地面碰撞后反弹，对篮球上升过程，同理有
⑤
联立③④⑤解得
⑥
b．当拍球过程中分别施加作用力F1和F2后，设篮球在与地面碰撞前、后瞬间的动能分别为
、
，
17
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则对篮球下落和上升过程根据动能定理分别有
⑦
⑧
由题意可知
⑨
联立⑦⑧⑨解得
⑩
作出
图线如图所示。
18
