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2024 高考物理疑难题精讲（一）
带电粒子在非匀强磁场中的运动
【高考题】
【典例1】（2023 年6 月浙江选考第20 题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所
示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在
磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ
的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°
的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象
限的离子数与总离子数之比η。
【疑难点分析】（1）相邻两磁场大小不同，且在两磁场边界入射速度与边界的夹角未知，导
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致思维受阻。
（2）区域II 的磁感应强度随坐标轴均匀增大，而随入射速度方向减小，高中物理中没有定量
处理过非匀强磁场中带电粒子运动问题，导致思维受阻。
【解析】（1）画出离子恰不进入区域II 的轨迹，由轨迹图中几何关系得
sin30°=
，
解得r1=2L。
由洛伦兹力提供向心力，qv1B1=m
，
解得v1=
运动轨迹所对圆心角为θ=2π/3
离子在区域II 中运动时间t=
=
（2）解法一：常规法
画出离子恰好运动到y=L/2 处的运动轨迹，如图。
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速度为v2的离子在区域I，由洛伦兹力提供向心力，qv2B1=m
，
解得r2=
速度为v2的离子在区域II，由洛伦兹力提供向心力，qv2B2=m
，
解得r2’=
=
= r2/2
在区域II，离子运动轨迹恰好与y=L/2 水平线相切，r2’- r2’cosα=L/2，即r2- r2cosα=L，
解得：cosα=
在区域I，r2cosα-r2cos60°=L，即r2·
-r2cos60°=L，
解得：r2=4L，
由
= r2/2=2L，解得v2=
解法二：等效法。
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若B2=2B1，由r=mv/qB
可知离子在区域I 运动轨迹半径为r2=r’1/2，
可以等效为B2=B1时离子恰好运动到y=0 处。
由图中几何关系可得：sin30°=
，
解得r1’=4L。
离子在区域I 磁场中运动，qv2B1=m
，
解得v
2=
解法三。动量定理+微元法
画出离子恰好运动到y=L/2 处的运动轨迹，如图。我们可以通过微元法，利用动量定理解答。
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对离子进入磁场到恰好运动到y=L/2 处的过程，沿y 轴方向的微元时间△t，运用动量定理，
-qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v
方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v
注意到Σvy1△t=L，Σvy2△t=0.5L，Σ△v=-v2sin30°
可得 -2qB1L=0.5m v2
解得：v2=
（3）解法一：等效法
画出B2=
图像，如图。
区域II 中磁场可等效为匀强磁场B1/2 的匀强磁场，若把区域II 中磁场等效为匀强磁场B1，则
磁场宽度则为L/2。画出恰好能够进入第四象限的离子运动轨迹，如图。
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由轨迹图中几何关系得
sin30°=
，
解得r3=3L。
由洛伦兹力提供向心力，qv3B1=m
，
解得v3=
即速度大于v3=
的离子都能够进入第四象限，
进入第四象限的离子数与总离子数之比为
η=
×100%=60%
解法二：动量定理+微元法
画出B2=
图像，如图。
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区域II 中磁场可等效为匀强磁场B1/2 的匀强磁场，
对离子进入磁场到恰好运动到x 轴的过程，沿y 轴方向的微元时间△t，运用动量定理，-
qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v
方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v
注意到Σvy1△t=L，
ΣB2vy2△t=Σ
vy2△t =
Σvy2△t =
L，
Σ△v=-v2sin30°
可得
qB1L=
m v2
解得：v3=
即速度大于v3=
的离子都能够进入第四象限，
进入第四象限的离子数与总离子数之比为
η=
×100%=60%
【高考模拟题】
1. （2023 南京三模）如图所示，空间有垂直于
平面向里的两个匀强磁场，
空间的磁感应强度
大小为B，
空间的磁感应强度大小为
。原点O 处有一个粒子源，同时射出两个速度大小均
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为
、比荷均为
的同种带正电粒子。沿y 轴负方向的粒子记为A 粒子，沿与x 轴正方向的夹角为
的粒子记为C 粒子。不考虑粒子之间的碰撞和其他相互作用。求：
（1）A 粒子发射后，第二次经过x 轴时距原点O 的距离；
（2）C 粒子发射后，经过x 轴射向
空间运动所用的时间；
（3）A、C 两粒子均经x 轴射向
空间时恰好相遇所对应的k 值。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）7
【名师解析】
（1）A、C 两粒子运动轨迹如图。
A 粒子在y<0 空间做匀速圆周运动
解得圆周运动的半径
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同理在y>0 空间做匀速圆周运动，
所以A 粒子第二次穿过x 轴时
（2）C 粒子在y<0 空间运动的周期
同理在y>0 空间运动周期
C 粒子一个周期内在粒子在y<0 空间运动
圆周，在y>0 空间
圆周
则C 粒子运动的周期为
所以C 粒子发射后，经过x 轴射向
空间运动所用的时间
，其中n=1、2、3……
（3）A 粒子每个周期走过的位移为
时间为
C 粒子每个周期走过的位移为
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时间为
由于
所以两粒子相遇的条件是
即
解得
2．（2023 山东滕州质检）如图所示，平面直角坐标系中，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场
，第
四象限有垂直纸面向里的匀强磁场
，两磁场宽度
，磁场上下区域足够大，在第二象限内存在着
沿x 轴正方向的匀强电场，一带电粒子从x 轴上的M 点
以速度
平行于y 轴正方向射
入电场中，粒子经过电场偏转后从y 轴上的P 点
进入第一象限，经过一段时间后刚好垂直x 轴进
入第四象限磁场中，再次偏转后从磁场右边界上Q 点（图中未画出）离开磁场，粒子质量
，
电荷量
，不计粒子的重力，试求：
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（1）电场强度E 的大小；
（2）第一象限内磁感应强度
的大小；
（3）若
，则粒子从M 点进入电场到从磁场右边界Q 点离开磁场，运动的总时间。
【参考答案】．（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有
解得
（2）粒子进入磁场
时的速度大小为v，方向与y 轴成
角，则有
得
由几何关系得，粒子在磁场
中做圆周运动的半径
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由洛伦兹力提供向心力有
得
（3）粒子进入磁场
时，半径
粒子离开磁场
时，其半径与x 轴夹角为
，由几何关系有
得
粒子在磁场中运动的周期
得
粒子从M 点进入电场到从磁场右边界Q 点离开磁场，运动的总时间
3. （2023 云南昭通巧家县一中模拟） 一束电子束射入如图所示的组合磁场中，其中磁场I 的磁感应强度
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为B，方向向里，磁场横向宽度为d，纵向延伸至无穷；磁场II 的磁感应强度为B，方向向外，磁场横向宽
度为3d，纵向延伸至无穷．以粒子进入磁场点处为原点，射入方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．
同时为了探测电子的位置，在磁场I 的左侧边界铺设了荧光屏．已知电子的比荷为K．忽略电子间的相互作
用与重力作用．求：
（1）求粒子能够进入磁场II 的最小速度V1与进入区域II 时的坐标．
（2）当V1满足（1）小题所给值时，当粒子速度为V2=5/3V1时离开磁场I 时的坐标．
（3）当V1满足（1）小题所给值时，若运动的带电粒子能使荧光屏发光，已知放射源放出的粒子速度为
3V1＞V＞0.5V1，那么荧光屏发光的坐标范围是多少？
【参考答案】（1）v1=KBd；其进入磁场II 坐标为（d，-d）
（2）（d，-d/3）（3）（0，-2d）到（0，4
R-4R）
【名师解析】
（1）进入磁场II 的最小速度情况如图所示：
由洛伦兹力提供向心力得：ev1B=mv1
2/d
得v1=KBd 其进入磁场II 坐标为（d，-d）
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（2）电子以速度v 在磁场I 中运动，其运动半径r=v/KB．
当v2=5/3v1时，其轨迹半径r2=5/3r1
其运动情况如图所示：
由几何关系可知，粒子偏转角θ=37°
所以离开磁场I 时，粒子水平方向位移x=d，竖直方向的位移y=-（5/3d-4/3d）-d/3
离开磁场I 时的坐标为（d，-d/3）
（3）当0.5v1＜v＜v1时，临界情况如图所示．
亮线范围是（0，-2d）到（0，-d）
当v1＜v＜2v1时，临界情况如图所示．
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粒子达到荧光屏距离原点距离y=4
R-4R
亮线范围
（0，-2d）到（0，4
R-4R）
当2v1＜v＜3v1时，粒子穿出区域二右边界，不能打到荧光屏上．
综上，亮线坐标范围为（0，-2d）到（0，4
R-4R）
点睛：本题考查了带电粒子在磁场中偏转，需要学生理解题目情境中
临界条件，结合相关知识求解．需
要学生在题目条件的基础上分析粒子偏转的实际情况，着重考查了问题分析能力．
4. （2022 河北石家庄二中模拟）如图所示，厚度不计的光滑绝缘板
、
间距为
，板长为
，
板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
。两板的上边界连线
及其上方和下边界连线
及其下方的空间都存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一个质量为
的带电的
粒子，电量为
，从
的中点S 与板成
角垂直于磁场射入板间，在磁场作用下经
点垂直于
边
界并恰好能无碰撞地射入上部磁场区域，轨迹如图所示，不计粒子重力。
（1）求粒子从S 点射入板间的速度
的大小；
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（2）若该粒子射入上部磁场区后，又恰好能从
点无碰撞地返回板间磁场，运动过程中与绝缘板相碰时
无能量损失且遵循反射定律，经过一段时间后该粒子能再回到S 点（回到S 点的运动过程中与板只碰撞一
次），求粒子从S 点出发到再回到S 点的时间；
（3）若其他条件均不变，
板不动，将
板从原位置起向右平移，且保证
区域内始终存在垂
直纸面向里的匀强磁场
，若仍需让粒子回到S 点（回到S 点的运动过程中仍然与板只碰撞一次），则
到
的垂直距离
应满足什么关系？（用
来表示
）
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
，（
）或
，（
）
【名师解析】
（1）
、
间距离，
且S 为中点，根据几何关系
有
，
，
从S 点射入速度
（2）由对称性，粒子将打到
中点并反弹，再次回到S 点的轨迹如图。从图知，粒子从
点进入
磁
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场后做半个圆周再次进入
，所以在
中，
，在
中，
又
，
解得
，
，
故粒子在
场中时间
粒子在
场中时间
（3）如图所示，由粒子运行的周期性以及与板碰撞遵循反射定律，有如下结果：
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，（
）或
，（
）
5.（2023 河北九师联盟质检） 如图所示，厚度非常薄的铅板MN 的上方、下方分别分布有垂直纸面向外、
磁感应强度分别为2B、B 的有界匀强磁场，一比荷为k、电量为q 的粒子（不计重力）从a 点射入第一个
磁场，经过铅板的b 点射入第二个磁场，从c 点射出第二个磁场，紧接着进入虚线PJ（与MN 平行）下方
的与MN 垂直的匀强电场，粒子到达d 点时速度正好与PJ 平行。已知两个圆弧轨迹的圆心均在铅板的O 点，
Oa＝R、∠aOb＝∠cOb＝60°，粒子与铅板的作用时间忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A. 该粒子带正电
B. 粒子从a 到c 的运动时间为
C. 粒子与铅板的碰撞生热为
D. c 点与d 点的电势差为
【参考答案】BD
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【名师解析】
由左手定则可知该粒子带负电，选项A 错误；
粒子从a 到c 的运动时间为
结合
，综合计算可得
选项B 正确；
分析可知粒子在两个磁场中运动的圆弧轨迹半径相等，设为R，由洛伦兹力充当向心力可得
综合可得
由能量守恒，粒子与铅板的碰撞生热为
结合
，综合计算可得
选项C 错误；
分析可知粒子从c 点到d 点做类斜抛运动，粒子在c 点的速度与PJ 的夹角为30°，把粒子在c 点的速度分别
沿着PJ 和电场线的方向分解，沿着PJ 方向的分速度为
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粒子到达d 点时沿电场线方向的分速度为0，由动能定理
结合
综合解得
选项D 正确。
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