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2024 高考物理疑难题精讲（8）
带电粒子在电磁场中运动+极值
【高考题】
【典例1】（2023 江苏卷第14 题）14. 如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离
的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点
飞出电场，并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
【参考答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【名师解析】
（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
1
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根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
2
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已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在
该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最
长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
【典例2】（2023 山东卷第17 题）. 如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、
场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的
3
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带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【参考答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【名师解析】
（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
4
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根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
由sinθ=
=0.8，解得
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有，
沿y 方向上有，
其中根据牛顿第二定律有
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联立以上各式解得
，
，
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
【高考模拟题】
1. (2023 鄂东南省级示范性高中教育改革联盟5 月模拟)如图所示，有一个正方形区域ABCD，在内部某一
区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为
的矩形匀强磁场。一个质量为m、电量为q（
）
的带电粒子从CD 的中点以速度v 垂直于CD 射入正方形区域，从BC 边的中点垂直于BC 飞出该正方形区域，
不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
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A. 该粒子在磁场里运动的时间
B. 该粒子在磁场里运动的时间
C. 该矩形区域磁场的最小面积
D. 该矩形区域磁场的最小面积
【参考答案】AD
【名师解析】
根据题意可知带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示
洛伦兹力提供向心力，则有
又
解得
，
该粒子在磁场里转过的角度为
，则运动的时间为
故A 正确，B 错误；
该矩形区域磁场的最小面积如图所示，由几何知识可知该矩形区域磁场的最小面积为
，故C 错误，D 正确。
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2、（14 分）（2023 江苏名校质检）如图，在xOy 坐标系中的第一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场，
第二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度B
的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。
一粒子源固定在x 轴上M（L，0）点，沿y 轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y 轴
上的N 点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON 的距离
，不考虑电子的
重力和电子间的相互作用，求：
（1）第一象限内所加电场的电场强度；
（2）若磁场充满第二象限，电子将从x 轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
（3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x 轴时，与y 轴负方向的夹角为30°，求圆
形磁场区域的最小面积。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）在第一象限内，做类平抛运动
，
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子射入磁场时，速度方向与y 轴夹角的正切值
速度大小
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
得：
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根据几何关系
该点的坐标为
（3）根据题意，作出轨迹图如下
电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半径
最小面积
解得
3.(12 分)(2022 湖南长郡中学二模)如图所示,位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy 的第一象限虚线上方(包
含虚线)存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E;第三象限某个区域(未画出)存在垂直于纸面向里的匀强
磁场,磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q 的粒子以相同的初速度v0水平射入电场,均经
过O 点进入磁场,最后离开磁场进入第四象限,粒子在第三象限的运动均在磁场中,忽略粒子的重力及相互间
的作用。
(1)求匀强电场边界的方程(粒子入射点的坐标y 和x 间的关系)。
(2)粒子进入电场的位置记为P(x,y),其中0<y≤y0,0<x≤x0,若y0
x0
= 1
2
,求磁场区域的最小面积。
【参考答案】 (1)y=
Eq
2m v0
2
x2 (2)(
m v0
qB )
2
【名师解析】 (1)对从(x,y)点射入电场的粒子,在电场中做类平抛运动,有
x=v0t
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y=1
2 · Eq
m
t2
解得y=
Eq
2m v0
2
x2。
(2)设粒子从O 点射入磁场时,速度v 与x 轴负方向的夹角为θ,位移与x 轴负方向的夹角为α,可得粒子在磁场
中的速度大小v= v0
cosθ
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有qvB=m v
2
r
解得r=mv
qB
根据几何关系可得,粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为d=2rcos θ
解得d=2mv0
qB
所以d 为定值,即所有粒子从磁场中射出时与y 轴的交点一定,所有粒子的轨迹经过的区域如图所示
根据类平抛运动的规律有tan θ=2tan α=2 y0
x0
=1
则θ=45°,进入磁场最大的速度v1=√2v0
当粒子从O 点以最大速度v1=√2v0入射时,其轨迹与y 轴所围的面积为S1=1
4 π r1
2- 1
2 r1
2
当粒子从O 点以最小速度v2=v0入射时,其轨迹与y 轴所围的面积为S2=1
2 π r2
2,其中r2=d
2
磁场的最小面积为Smin=S2-S1=(
m v0
qB )
2。
4.（14 分）（2022 山东名校质检）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于坐标平面的
匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q 的带电粒子从第三象限
无初速度释放后，经电压为U 的电场加速后从P（
L， 0）点垂直x 轴进入第二象限，然后从A（0，
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2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x 轴上的M 点（图中未画出）垂直于x 轴进入第四象限。已知磁
场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M 点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
【名师解析】
（1）设粒子从
点进入电场的速度大小为
，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示
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由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则有
由几何关系可知粒子偏转
，则
点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，
如图所示。
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由几何关系可知粒子偏转
，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
5. （2023 江西部分重点高中联考）如图所示，以O 点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，Oa、cd 是两个
线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为
，粒子的质量
为
，其中Oa 发出的所有粒子初速度为零，cd 发出的所有粒子初速度均为
，
方向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。曲线ob 的方程为
，在曲线Ob
与放射源Oa 之间存在竖直向上、场强E 大小为
的匀强电场；第一象限内、虚线eb 的上方有
垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场I；第二象限内以O 为圆心、L 长为半径的四分之一圆形区域内
有垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场II。图中的Oe、ab、Oc、eb、ed 的长度均为L。观察发现：
Oa 发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，cd 发出的所有粒子在匀强磁场II 的作用下也汇聚于同一点，
即该点可接收到两个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）粒子放射源Oa 发出粒子进入匀强磁场I 时的最大速度；
（2）匀强磁场I、II 的磁感应强度
、
的大小；
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（3）Oa、cd 两个放射源中点M、N 发出的粒子在磁场中的运动时间之比。
【参考答案】（1）
（2）
，
（3）
【名师解析】（1）粒子在电场中受电场力而加速
得
由
，代入可得
（2）粒子在磁场
中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由
又因为
，可得
x 接近于0，r 也接近于0，可知粒子均汇聚于e 点，所以
得到
所以
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在磁场
中运动的粒子也汇聚于e 点，可知
得到
（3）粒子在磁场中圆周运动
，
得
由几何关系可知，M 点射出的粒子在磁场I 中偏转半周，运动时间为
设N 点射出的粒子在磁场II 中偏转
得
则运动时间为
则Oa、cd 两个放射源中点M、N 发出的粒子在磁场中的运动时间之比为
6. 如图所示，在xOy 坐标平面的第二象限内有沿x 轴正方向的匀强电场，在第一象限的等腰直角三角形
MON 内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，MO 长为4L。在x 轴上坐标为（-L，0）的P 点，沿y 轴正方向射
入一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，粒子从P 点射出的初速度大小为v0，粒子刚好从MO 的中点
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Q 进入磁场，粒子经磁场偏转后，沿x 轴正向射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子在电场和磁场中运动的总时间为多少；
（3）通过改变磁感应强度大小，使粒子能第二次进入电场，则改变后的匀强磁场的磁感应强度最小值为
多少。
【参考
答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）设匀强电场的电场强度大小为E，根据题意有
解得
（2）设粒子进磁场时的速度大小为v，根据动能定理有
解得
由此可知，粒子进入磁场时速度方向与y 轴正向夹角为45°，粒子经磁场偏转后以沿x 轴正向射出磁场，根
据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的半径
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运动的弧长为
因此粒子在电场和磁场中运动的总时间为
（3）由于粒子能第二次进入电场，因此粒子经磁场偏转后经过y 轴再次进入电场，即粒子不可能从x 轴或
MN 边射出磁场，若粒子的轨迹刚好与MN 相切，则粒子在磁场中做圆周运动的半径为
此时粒子做圆周运动的圆心离x 轴的距离为
即此时粒子会从x 轴射出，不能再次进入电场，当粒子的运动轨迹与x 轴相切，设此时粒子做圆周运动的
半径为r2，根据几何关系
解得
由此可知，要使粒子能第二次进入电场，粒子在磁场中做圆周运动的半径
由牛顿第二定律
解得
即磁感应强度的最小值为
。
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