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高考电学压轴题模型解读与针对性训练
专题3 带电粒子在交变电磁场中的运动模型
【带电粒子在交变电磁场中的运动模型解读】
1.交变场的常见的类型
（1）电场周期性变化，磁场不变；
（2）磁场周期性变化，电场不变；
（3）电场、磁场均周期性变化.
2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
3.解题关键和应注意的问题
(1)这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁
场周期的关系。
(2)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动
能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相
同。
【高考真题】
【典例】．（ 2021 高考重庆卷）在如图1 所示的Oxy 竖直平面内，原点O 处有一粒子源，
可沿x 轴正方向发射速度不同，比荷均为q
m的带正电的粒子.在x≥L 的区域仅有垂直于平
面向内的匀强磁场；x＜L 的区域仅有如图2 所示的电场，0～t0时间内和2t0时刻后的匀强
电场大小相等，方向相反（0～t0时间内电场方向竖直向下），t0～2t0时间内电场强度为0.
在磁场左边界x＝L 直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）.0 时刻发射的A 粒子
在t0时刻经过磁场左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在t0
3 时刻以与A 粒子相同
的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为（L，－4 L
9 ）；C 粒子在t0时刻发
射，其发射速度是A 粒子发射速度的1
4 ，不经过磁场能被收集器收集.忽略粒子间相互作用
力和粒子重力，不考虑边界效应.
图1 图2
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若2t0时刻发射的粒子能被收集器收集，求其所有可能的发射速度大小.
答案 （1）Lm
qt0
2 （2）2m
5qt0
（3）L
3t0
、L
2t0
、（❑√6+1）L
5t0
解析 （1）设A 粒子发射速度为v，分别画出三个粒子的运动轨迹如图甲所示.根据题述可
知L＝vt0
图甲
对B 粒子沿y 轴方向有
4 L
9 ＝1
2a（2t0
3 ）2＋a2t0
3 ·t0
3
又qE＝ma
联立解得E＝Lm
qt0
2 .
（2）设收集器的位置坐标为（L，y1），在电场中的运动过程
对C 粒子有L＝0.25v·4t0，y1＝1
2a（3t0）2
对A 粒子有L＝vt0，y2＝1
2at0
2
A 粒子进入磁场时沿x 轴方向分速度为
vx＝v＝L
t0
沿y 轴方向分速度为vy＝at0＝L
t0
A 粒子进入磁场时与x 轴夹角为θ
tanθ＝v y
v x
＝1
2rcosθ＝y1＋y2＝5at0
2＝5L
解得A 粒子在磁场中的轨迹半径为r＝5 ❑√2 L
2
A 粒子进入磁场时的速度vA＝❑√2v
由洛伦兹力提供向心力有qvAB＝mv A
2
r
解得B＝2m
5qt0
.
（3）设2t0时刻发射的粒子在电场中运动的时间为nt0（n＞0），则粒子在电场中的偏转位
移为
y3＝1
2a（nt0）2＝L
2 n2
①若y3＝y1，即粒子不进入磁场直接打在坐标（L，9
2L）处，解得：n＝3
故粒子的入射速度v1＝L
nt0
＝L
3t0
②若y3＜y1，则粒子要进入磁场运动一段圆弧后打在坐标（L，9
2L）处被收集，其运动轨
迹如图乙所示，由运动的合成与分解有v'x＝L
nt0
＝1
nv，v'y＝a·nt0＝nv
则粒子刚进入磁场时的速度大小为
v'＝❑√v 'x
2＋v 'y
2＝❑√
1
n
2 ＋n
2v＝kv
设此时的速度方向与x＝L 的夹角为α，即
sinα＝v 'x
v ' ＝1
nk
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r1，根据牛顿第二定律有qv'B＝mv '
2
r1
解得r1＝mv '
qB ＝kmv
qB ＝5 L
2 ·k
粒子要被收集，则必满足
2r1sinα＝y1－y3＝L
2 （9－n2）
化简即有n3－9n＋10＝0
变形可得（n－2）（n2＋2n－5）＝0
Ⅰ.当n－2＝0 时，则n＝2，即粒子的入射速度
v2＝L
nt0
＝L
2t0
Ⅱ.当n2＋2n－5＝0，则n＝❑√6－1[n＝－（❑√6＋1）＜0 舍去]时，即粒子的入射速度
v3＝L
nt0
＝
L
（❑√6－1）t0
＝（❑√6+1）L
5t0
综上所述，在t＝2t0时刻沿x 方向射入的粒子，能够被粒子收集器收集的粒子速度有：L
3t0
、
L
2t0
、（❑√6+1）L
5t0
.
【针对性训练】
1. 如图甲所示，竖直边界分别为PM 和QN 的区域宽度为4L，其内部分布着垂直纸面向
里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场，电场随时间变化的关系如图乙所示，E
＞0 表示电场方向竖直向上.在t＝0 时，一带电荷量为＋q、质量为m 的带电微粒从边界P
上的A 点处水平射入该区域，先沿直线运动到某点，再经历一次完整的半径为L 的匀速圆
周运动，最后沿直线运动从边界QN 上的B 点处离开该区域，重力加速度为g.求：
（1）图乙中的E0；
（2）微粒刚进入磁场时的速度v0的大小及磁场的磁感应强度的大小B；
（3）电场变化周期T 的范围.
答案 （1）mg
q （2）❑√2 gL m
qL
❑√2gL （3）（1＋π）❑√
2 L
g
≤T≤（3
2＋π）❑√
2 L
g
解析 （1）由带电微粒做匀速圆周运动可得qE0＝mg
解得E0＝mg
q
（2）由带电微粒做直线运动可知Bqv0＝mg＋qE0
由带电微粒做匀速圆周运动可得Bqv0＝mv0
2
L
由上述两式解得v0＝❑√2gL
B＝m
qL
❑√2gL
（3）①如图a 所示，当O 点为AB 中点时，所对应的周期为最小周期
设带电微粒从A 点处运动至O 点处所需要的时间为t1
t1＝x AO
v0
＝2 L
❑√2gL＝❑√
2 L
g
设带电微粒做匀速圆周运动的周期为t2
t2＝2π L
v0
＝π❑√
2 L
g
则最小周期Tmin＝t1＋t2＝（1＋π）❑√
2 L
g
.
②如图b 所示，当圆轨迹与右边界QN 相切时，所对应的周期为最大周期
设带电微粒从A 点处运动至O 点处所需要的时间为t'1
t'1＝x AO
v0
＝3 L
❑√2 gL＝3
2
❑√
2 L
g
设微粒做匀速圆周运动的周期为t'2，t'2＝2π L
v0
＝π❑√
2 L
g
则最大周期Tmax＝t'1＋t'2＝（3
2＋π）❑√
2 L
g
综上所述，电场变化周期T 的范围是
（1＋π）❑√
2 L
g
≤T≤（3
2＋π）❑√
2 L
g
.
2. 在如图甲所示的正方形平面Oabc 内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变
化规律如图乙所示.一个质量为m、所带电荷量为＋q 的粒子（不计重力）在t＝0 时刻沿Oc
边从O 点射入磁场中.已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定磁场向外的方向
为正方向.
（1）求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0.
（2）若带电粒子不能从Oa 边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T 的最大值.
（3）要使带电粒子正好从b 点沿着ab 方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化
的周期T 及粒子射入磁场时速度的大小v0.
答案 （1）2π m
q B0
（2）5 π m
3q B0
（3）π m
q B0
q B0 L
nm （n＝2，4，6，…）
解析 （1）由qvB0＝mv
2
r ，T0＝2π r
v
，解得T0＝2π m
q B0
（2）如图甲所示为带电粒子不能从Oa 边界射出磁场的临界情况，由几
何关系可知sinα＝1
2，解得α＝30°
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为
150°，运动时间为
t＝5
12T0＝5 π m
6q B0
而t＝T
2 ，所以磁感应强度的变化周期T 的最大值为5 π m
3q B0
（3）如图乙所示为带电粒子正好从b 点沿着ab 方向射出磁场的一种情况.
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为2β，
其中β＝45°，即T
2 ＝T 0
4
所以磁场变化的周期为T＝π m
q B0
弦OM 的长度为s＝
❑√2 L
n
（n＝2，4，6，…）
带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R＝s
❑√2＝L
n
由qv0B0＝mv0
2
R
，解得v0＝q B0 L
nm （n＝2，4，6，…）.
3. (2024·湖北武汉高三联考)如图(a)所示的xOy 平面处于变化的匀强电场和匀强
磁场中，电场强度E 和磁感应强度B 随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，
y 轴正方向为E 的正方向，垂直于纸面向里为B 的正方向。t＝0 时刻，带负电
粒子P(重力不计)由原点O 以速度v0沿y 轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周
期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P 第一次离x
轴最远时的坐标为。求：
(1)粒子P 的比荷；
(2)t＝2t0时刻粒子P 的位置；
(3)带电粒子在运动中距离原点O 的最远距离L。
答案 (1) (2) (3)v0t0
解析 (1)0～t0时间内粒子P 在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的
纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P 第一次离x 轴的
最远距离等于轨道半径R，即R＝，又qv0B0＝m
代入＝ ，解得＝ 。
(2)设粒子P 在磁场中运动的周期为T，则T＝
联立解得T＝4t0
即粒子P 做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后
做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0
＝ ，y1＝at
其中加速度a＝
解得y1＝＝R
因此t＝2t0时刻粒子P 的位置坐标为，如图中的b 点所示。
(3)分析知，粒子P 在2t0～3t0时间内，静电力产生的加速度方向沿y 轴正方向，
由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x 轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0
时间内粒子P 沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如(2)中图所示，由
图可知，带电粒子在运动中距原点O 的最远距离，即O、d 间的距离L＝2R＋
2x1
解得L＝v0t0。
4 .如图1 所示，在xOy 平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随
时间周期性变化，B 的变化周期为4t0，E 的变化周期为2t0，变化规律分别如图
2 甲、乙所示。在t＝0 时刻从O 点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大
小为v0，方向沿y 轴正方向，在x 轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定
垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y 轴正方向为电场强度的正方向，v0、
t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足＝；粒子的比荷满足＝。求：
图1
图2
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x 轴的最大距离；
(3)粒子运动至A 点的时间。
答案 (1) (2)1.5v0t0＋ (3)32t0
解析 (1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qv0B0＝mr1＝m
解得T＝2t0，r1＝＝
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，粒子的位置坐标为。
(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所
示。
则v＝v0＋t0＝2v0
运动的位移y＝t0＝1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动
半径r2＝＝2r1＝
故粒子偏离x 轴的最大距离
h＝y＋r2＝1.5v0t0＋。
(3)粒子在xOy 平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右
运动的距离
d＝2r1＋2r2＝
AO 间的距离为＝8d
所以粒子运动至A 点的时间t＝32t0。
5 .如图甲所示，在坐标系xOy 中，y 轴左侧有沿x 轴正方向的匀强电场、电场
强度大小为E；y 轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场，磁感应强度大小B0
已知，磁场方向垂直纸面向里为正。t＝0 时刻，从x 轴上的P 点无初速度释放
一带正电的粒子，粒子(重力不计)的质量为m、电荷量为q，粒子第一次在电场
中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等，且粒子第一次在磁场中做圆
周运动的轨迹为半圆。求：
(1)P 点到O 点的距离；
(2)粒子经一个周期沿y 轴发生的位移大小。
答案 (1) (2)
解析 (1)设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为t0，P 点到O 点的距离
为x，有x＝at
又qE＝ma，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
qv0B＝
T＝
由题意知t0＝＝
联立解得x＝。
(2)如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为R1和R2
R1＝，R2＝，又由动能定理得qEx＝mv，粒子每经一个周期沿y 轴向下移动
Δy，Δy＝2R2－2R1＝。
