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第 80 讲 带电粒子在交变电或磁场中的运动
1．（2021•浙江）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为 d的中间有小孔的两平
行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口．以金属板N的中心O为坐标原
点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴，M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正
方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的
分量B 和B 随时间周期性变化规律如图乙所示，图中B 可调．氙离子（Xe2+）束从离子源小孔
x y 0
S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经
电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v ．已知单个离子的质量为m、电荷量
0
为2e，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v。
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节B 值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面
0
P射出，求B 的取值范围；
0
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期 T，单位时间从端面P射出的离子数为
√2mv
n，且B = 0，求图乙中t 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
0 0
5eL一.知识回顾
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉
及的物理过程比较复杂。粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子
进入场的时刻有关。
周期性变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。
所以最好画出粒子的运动轨迹草图，并把粒子的运动分解成多个阶段分别列方程联立求解。
二.典型例题
题型一：交变磁场
例1．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小
孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设
垂直纸面向里为磁场的正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正
离子质量为m、电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都
为T ，忽略粒子间的相互作用力和离子的重力。
0
（1）求磁感应强度B 的大小；
0
（2）若正离子在T 时刻恰好从O′孔垂直于N板射出磁场，求该离子在磁场中的运动半径；
0
（3）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时速度v 的大小。
0
题型二：交变电场+交变磁场
例2．如图甲所示，一对平行金属板C、D，O、O 为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧存在上下
1范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，MN、GH是磁场的左、右
边界。现有质量为m、电荷量为+q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计。
（1）C、D板间加恒定电压U，C板为正极，板相距为d，求板间匀强电场的场强大小E和粒子
从O运动到O 的时间t；
1
（2）C、D板间加如图乙所示的电压，U 、T为已知量。t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保
0
证粒子到达O 孔具有最大速度，求粒子到达O 孔的最大速度v 和板间d应满足的条件；
1 1 m
πm
（3）磁场的磁感应强度B随时间t′的变化关系如图丙所示，B 为已知量，周期T = 。t′
0 0 qB
0
＝0时刻，粒子从O 孔沿OO 延长线O O 方向射入磁场，始终不能穿出右边界 GH，求粒子进
1 1 1 2
入磁场时的速度v应满足的条件。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，两板长L，在CD间加如图乙所示交变
电压（U 是已知量，T是不确定的未知量）．平行板右侧是两个紧邻的有界匀强磁场区，磁感
0应强度大小B ＝B ＝B ，磁场方向都垂直于纸面并相反，磁场边界 MM′、NN′、PP′垂直
1 2 0
于极板．质量m、电量﹣e的电子以相同的速度不断从左侧沿两板中线 OO΄射入极板间，不计
电子所受重力作用．
（1）若t＝0时刻在O点进入电场的电子能在0﹣T/2时间段内某时刻穿出极板间，求电子射入
初速度v和交变电压周期T应该满足的条件．
3v T
（2）若电子射入初速度v 和交变电压周期T满足条件：L= 0 ，所有从O点射入电场的电
0
2
子恰好都能够穿出C、D极板，求电子射入的初速度v ．
0
T
（3）不考虑电场边缘效应，在（2）的情景下，t= 时刻射入电场的电子穿出极板间电场后又
2
进入磁场运动，电子经过磁场的偏转又恰好从O′返回板间电场，求图甲中两磁场区宽度l 和l
1 2
满足的条件．
2. 如图甲所示，在xOy坐标平面y轴左侧有一速度选择器，速度选择器中的匀强电场方
向竖直向下，两板间的电压为U，距离为d；匀强磁场磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向
里．xOy坐标平面的第一象限（包括x、y轴）内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于xOy
O
平面且随时间做周期性变化的匀强磁场，如图乙所示（磁场方向垂直xOy平面向里的为正）．一束比荷不同的带正电的粒子恰能沿直线通过速度选择器，在 t＝0时刻从坐标原点O垂直射
入周期性变化的磁场中．部分粒子经过一个磁场变化周期 T 后，速度方向恰好沿x轴正方向．
O
不计粒子的重力，求：
（1）粒子进入周期性变化的磁场的速度”；
（2）请用三角板和圆规作出经一个磁场变化周期T 后，速度方向恰好沿x轴正方向，且此时纵
O
q
坐标最大的粒子的运动轨迹，并求出这种粒子的比荷上 ；
m
（3）在（2）中所述的粒子速度方向恰好沿x轴正方向时的纵坐标y．
3. 如图（a）所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷
q π
=106C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过时间 ×10-5s以后，电荷以v ＝
0
m 15
1.5×104m/s的速度通过 MN进入其上方的均匀磁场，磁场与纸而垂直，磁感应强度 B按图
（b）所示规律周期性变化，图（b）中磁场以垂直纸面向里为正，以电荷第一次通过MN时为t＝0时刻。求：
（1）匀强电场的电场强度E；
4π
（2）图（b）中t= ×10-5s时刻电荷与O点的水平距离；
5
（3）如果在O点正右方43.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到
挡板的时间。
4. 如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，M、
N间电压U 的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U 、周期为T ，M、N两侧为相同的
MN 0 0
匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为 B，当t＝0时，将一带正电的
粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的
周期也为T 。两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，也不考虑粒子所受
0的重力。
q
（1）求该粒子的比荷 ；
m
（2）求粒子第1次和第3次到达磁场区域Ⅰ的左边界线N的两位置间的距离Δd；
5
（3）若粒子的质量增加到原来质量的 倍，电荷量不变，t＝0时，将其在A处由静止释放，求
4
t＝2T 时粒子的速度大小v。
0
5. 如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向
内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，
在t＝0时刻沿x轴正方向从坐标原点 O射入磁场。图乙中 T 为未知量，不计粒子的重力
0
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。2
（1）若粒子射入磁场时的速度为v ，求0～ T 时间内粒子做匀速圆周运动的半径；
0 5 0
（2）若粒子恰好不能从Oy轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期T ；
0
（3）若使粒子能从坐标为（d，√3d）的D点平行于Ox轴射出，求射入磁场时速度大小。
6. 如图甲所示，在xOy平面的第一象限内（含x轴和y轴的正半轴）存在周期性变化的
磁场，规定垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．某质量
为m、电荷量为+q的粒子，在t＝0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场．图乙中T 为未
0
πm
知量．已知B ＝K ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：
0
q2
（1）0～ T 时间内粒子做匀速圆周运动的角速度 ；
0
5
ω
（2）若粒子不能从y轴正半轴射出磁场，磁感应强度变化周期的最大值T m；
0
（3）若粒子能沿x轴正方向通过坐标为（3d，4d）的D点，其射入磁场时速率v．
