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高考电学压轴题模型解读与针对性训练
专题24 带电粒子在交变电场中的运动
【带电粒子在交变电场中运动模型解读】
1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性
变化（如方波）的情形.
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，
沿电场方向的分运动具有周期性.
2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿
第二定律正确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子
运动的末速度、位移等.
3.注重全面分析（分析受力特点和运动规律）：抓住粒子运动时间上的周期性
和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与运动过
程相关的临界条件.
4.对于锯齿波和正弦波类电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，
带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动.
5.交变电场中的直线运动处理方法
U－t 图像
v－t 图像
轨迹图
【高考真题】
【典例1】． （2025 年高考甘肃卷第7 题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，
其工作原理如图1 所示。从离子源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加
速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为
l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置在距
极板L 处，样品中
心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说
法正确的是（ ）
A.
的最大值
B. 当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C. 若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D. 在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】C
【解析】粒子在电场中加速，由动能定理，
在偏转电场中做类平抛运动，
解得，
， A 错误；
，解得
，B 正确；
根据
若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需减小
，C 错误；
由图2 可知，在
时刻所加的向上电场电压小于t2 时刻所加的向下的电场的电压，则t1
时刻射入
的离子，打到A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，D 错误。
【典例2】.[2023 浙江1 月/多选]如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY'、水平
方向偏转电极XX'和荧光屏组成.电极XX'的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY'极板
间电压为零，电子枪加速电压为10U.电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿
OO'方向进入偏转电极.已知电子电荷量为e，质量为m，则电子（ D ）
A.在XX'极板间的加速度大小为eU
m
B.打在荧光屏时，动能大小为11eU
C.在XX'极板间受到电场力的冲量大小为❑√2meU
D.打在荧光屏时，其速度方向与OO'连线夹角α 的正切tanα＝l
20d
解析 XX'极板间的电场强度大小为E＝U
d ，电子所受的电场力大小为F＝eE＝eU
d ，由牛
顿第二定律得a＝F
m＝eU
dm ，A 错误；电子在加速电场中运动时电场力做的功为W1＝
e·10U，电子沿OO'方向进入偏转电极，若能打在荧光屏上，在XX'极板间沿电场力方向的
位移x≤d
2 ，则电场力做的功W2≤1
2eU，对全过程由动能定理得Ek＝W1＋W2≤21
2 eU，B 错
误；电子刚好从XX'极板的边缘离开时，电子在XX'极板间受到的电场力做的功为W2'＝1
2
eU，故在XX'极板间受到电场力的冲量大小I≤❑√2W 2' m＝❑√meU，C 错误；电子离开加
速电场时有e·10U＝1
2mv0
2，电子在XX'极板间的加速度大小为a＝eU
dm ，则离开XX'极板间
时电子在垂直XX'极板方向的速度大小为vy＝at，沿OO'方向有l＝v0t，联立解得tan α＝v y
v0
＝l
20d ，D 正确.
【针对性训练】
1. .如图甲所示，A、B 是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T 的交变电压，A 板
的电势φA＝0，UBA随时间的变化规律如图乙所示.现有一电子从A 板上的小孔进入两板间的
电场区域，设电子的初速度和重力的影响可忽略，则（ AB ）
图甲 图乙
A.若电子是在t＝0 时刻进入的，它将一直向B 板运动
B.若电子是在t＝T
8 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后打在B 板
上
C.若电子是在t＝3
8T 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后打在B
板上
D.若电子是在t＝T
2 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动
【答案】AB
解析 根据题意及电子进入电场后的受力情况和运动情况，作出如图所示的4 个图像.
由图4 可知，当电子在t＝0 时刻进入电场时，电子一直向B 板运动，A 正确；若电子在T
8
时刻进入电场，则由图4 知，电子向B 板运动的位移大于向A 板运动的位移，因此最后仍
能打在B 板上，B 正确；若电子在3T
8 时刻进入电场，则由图4 知，在第一个周期内电子即
返回至A 板，从A 板射出，C 错误；若电子在T
2 时刻进入电场，则它一靠近小孔便受到排
斥力，根本不能进入电场，D 错误.
2 . 如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子（不计重力），两板间距离足够大.当
两板间加上如图乙所示的交变电压后，选项图中反映电子速度v、位移x 和加速度a 随时间
t 的变化规律图像，可能正确的是（ AD ）
【答案】AD
解析 在平行金属板之间加上题图乙所示的交变电压时，电子在平行金属板间所受的电场
力大小始终不变，F＝U0e
d
，由牛顿第二定律F＝ma 可知，电子的加速度大小始终不变，
电子在第一个T
4 内向B 板做匀加速直线运动，在第二个T
4 内向B 板做匀减速直线运动，在
第三个T
4 内向A 板做匀加速直线运动，在第四个T
4 内向A 板做匀减速直线运动，所以a－t
图像应如D 项所示，v－t 图像应如A 项所示，A、D 正确，C 错误；又因匀变速直线运动
位移x＝v0t＋1
2 at2，所以x－t 图像应是曲线，B 错误.
3. [2024 四川泸县四中月考]如图甲所示，在xOy 坐标系中，两金属板平行放置，OD 与x
轴重合，板的左端与原点O 重合，板长L＝2m，板间距离d＝1m，紧靠极板右侧有一足够
大荧光屏.两金属板间电压UAO随时间的变化规律如图乙所示，变化周期为T＝2×10－3s，
U0＝5×103V，t＝0 时刻一带正电的粒子从左上角A 点附近，以v0＝1000m/s 的速度平行于
AB 边射入两板间，最终打到荧光屏上.已知粒子带电荷量q＝1×10－5C，质量m＝1×10－
7kg，不计粒子所受重力，求：
（1）粒子在板间运动的时间；
（2）粒子打到屏上的速度；
（3）若A 处的粒子源以v0＝1000m/s 的速度平行于AB 边连续不断发射相同粒子，求荧光
屏上的光带长度是多少？若向右移动荧光屏，屏上光带位置和长度如何变化（写出结论，
不要求计算过程）.
答案 （1）2×10－3s （2）大小为500❑√5m/s，方向与v0的夹角θ 满足tanθ＝1
2
（3）0.5m 光带位置下移，长度不变
解析 （1）粒子在板间沿x 轴方向做匀速运动，运动时间为t，根据L＝v0t0
代入数据解得t0＝2×10－3s
（2）设t＝0 时刻射入板间的粒子射到荧光屏上时沿y 轴方向的分速度为vy，合速度为v，v
与v0的夹角为θ，有
vy＝a·T
2
根据牛顿第二定律有a＝F
m＝qU 0
md
粒子打到屏上的速度v＝❑√v0
2＋v y
2，tanθ＝v y
v0
代入数据解得v＝500❑√5m/s，tanθ＝1
2
（3）粒子在t＝2n×10－3s（其中n＝0，1，2，3，…）时刻射入两板，射到荧光屏上时有
最大侧移ymax，有
打入ymax＝1
2
U 0q
md （T
2 ）2＋U 0q
md （T
2 ）2＝0.75m
粒子在t＝（2n＋1）×10－3s（其中n＝0，1，2，3，…）时刻射入两板，射到荧光屏时有
最小侧移ymin，有
ymin＝1
2
U 0q
md （T
2 ）2＝0.25m
光带长度ΔL＝ymax－ymin＝0.5m
若向右移动荧光屏，光带位置下移，长度不变.
4.（2024 年10 月黑龙江名校联考）中科院高能物理研究所利用电场约束带电粒子的
运动，其简化模型如图1 所示，在
平面内的第一象限和第四象限加一沿
轴
正方向的匀强电场
（未知），一粒子发射源固定在坐标原点
，该装置可以
沿轴正方向发射质量为
、电荷量为
的粒子
，粒子的初速度均为
，
刚好能过第一象限内的
点，已知
点的横坐标为，不计重力及粒子间的相
互作用。
（1）已知粒子
过
点时速度为
，求匀强电场的场强大小
和
点的纵坐
标；
（2）若将原来的匀强电场替换为另一交变电场，如图2 所示，场强为正值时表
示电场方向沿
轴正方向，题干中其他条件均不变，
时刻从坐标原点射出
的粒子
仍能过
点，求图2 中
与
的比值；
（3）如图3 所示，在
处放置一垂直于轴、可吸收带电粒子的挡板，并在
第一和第四象限内加如图2 所示的交变电场，图3 中两条虚线的纵坐标为
在
至
时间内从坐标原点
沿轴正方向连续发射粒子
，粒
子的初速度均为
，求在哪个时间范围内发射出的粒子
，运动轨迹始终在图3
中两条虚线之间（含虚线），并求出这些粒子落在挡桩上的纵坐标范围。
【答案】（1）
； （2）
； （3）
【解析】（1）粒子
在电场中做类平抛运动，将粒子
运动到
点时的速度正
交分解，其沿轴方向的上分速度为
，根据勾股定理其沿
轴方向的分速度
(1 分)
根据动力学，
（4 分）
联立可得
(1 分)
(1 分)
（2）换成交变电场后，粒子
运动至
点的运动时间仍为
(1 分)
结合题图2 可知，交变电场在此期间经历了两个周期，粒子
沿
轴的分速度随
时间变化的
图像如图甲所示，所以整个运动过程其在
轴方向运动的距离为
(2 分)
又知道
可解得
(1 分)
故
(1 分)
（3）设
时刻发射出的粒子
恰好能运动至虚线
，结合粒子
沿
轴的
分速度随时间变化的
图像如图乙所示，根据匀变速运动规律可知
(2 分)
可解得
由图乙可知在
时刻射出的粒子
最终打在挡板上时的纵坐标为
设
时刻发射出的粒子
恰好能运动至虚线
，结合运动图像如图丙所示，
根据匀变速运动规律有
(2 分)
解得
由图丙可知在
时刻射出的粒子
最终打在挡板上时的纵坐标为
综上所述，在
时间范围内射出的粒子
运动轨迹始终在题图3 中两
虚线之间。(2 分)
这些粒子落在挡板上范围为
(2 分)
5 . (2024 湖北名校联考)如图甲所示，质量为m，电荷量为-q（q>0）的电子由电子枪连续
发出，初速可忽略不计，经U 的电压加速后，沿中心线垂直进入偏转电场，两极板长为
L，间距为d。足够大的荧光屏中心为O，离极板距离为l。不计电子重力及电子间相互作
用，整个装置置于真空中。
（1）若偏转电压U2恒定，电子能射出平行板，求U 的最大值U2max；
（2）若偏转电压U2随时间变化规律如图乙所示，其最大值为U0（U0<U2max），变化周期
为T。求电子打在荧光屏上的位置范围。（U2的变化周期T 远远大于粒子穿越电场的时
间）
【答案】（1）
；（2）位置范围为О 点上下方各
【解析】
（1）对电子，加速有
偏转有
能出射
解得
（2）当
时，出偏转场后匀速
解得
位置范围为О 点上下方各
6．（2024 河南漯河重点高中期末）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属
板长为2d，两金属板间加如图乙所示的电压（
时上金属板带正电），其中
。
一粒子源连续均匀发射质量为m、电荷量为
的带电粒子（初速度
，重力忽略不
计），该粒子源射出的带电粒子恰好从上板左端的下边缘水平进入两金属板间，若粒子碰
到两金属板即被吸收不再反弹且对极板的电量几乎无影响，则（ ）
A．能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为T
B．
时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出
C．能从极板右侧飞出的粒子电场力对其做功一定为0
D．能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数的25%
【答案】．AC
【解析】能从板间飞出的粒子，水平方向做匀速直线运动，则有
, 故A 正确；
假设
时刻进入两极板间的粒子能够从极板右侧飞出，则它在竖直方向上先加速向下，
经过
时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过
时间，竖直分速度减为零，
则有
由牛顿第二定律，可得
联立，解得
则假设不成立，
时刻进入两金属板间的粒子将打在金属板上。故B 错误；
根据对称性，能从极板右侧飞出的粒子在电场中运动时间为T，则出电场时竖直速度一定
为零，则电场力对其做功为零，故C 正确；
考虑
射入的粒子，当粒子射出位置最低时，可以假设释放的时间为
，在释放
后的
时间内，竖直位移应恰好为d，
解得
随后的
内，由于
竖直上升高度为
假设成立，此为一临界位置；
当粒子射出位置最高时，根据对称性可知从
时刻射入粒子恰好从上边缘射出，此为一临
界位置，则能从极板右侧飞出的粒子数占入射粒子总数
故D 错误。
7. （2024 年7 月广东深圳期末物理） 医用质子肿瘤治疗仪示意图如图甲所示，由质子放
射源S、加速电压为U 的加速电场区、MN 板间电压产生的偏转电场区，以及边界为圆形的
匀强磁场区组成。其中，水平放置的平行金属板M、N 长为L、间距为d，磁场方向垂直于
纸面。S 持续释放质量为m、电荷量为e 的质子，质子从小孔
飘入加速电场，其初速度
可视为零。加速后的质子沿中线
从
点垂直于电场方向射入偏转电场区，质子通过
偏转电场后进入匀强磁场区。所有质子均打在圆心正下方磁场边界上的P 点。M、N 板间
电压随时间变化关系如图乙所示，图中
。
时质子射入偏转电场，恰好能
从N 板的右边缘水平飞出。不考虑质子之间的相互作用力、重力和空气阻力，忽略MN 板
边缘外电场的影响。
（1）求质子进入偏转电场时速度
的大小；
（2）求偏转电压
的大小；
（3）己知分别从M、N 板右边缘飞出的两个质子在磁场中运动的圆心角之和为180°，这
两个质子运动到P 点时速度方向的夹角为60°，求磁场区磁感应强度的大小和方向。
【答案】（1）
；（2）
；
（3）
，方向垂直纸面向外
【解析】（1）在加速电场中，根据动能定理有
解得
（2）所有质子均打在圆心正下方磁场边界上的P 点，可知质子离开偏转电场的速度沿水平
方向，
。
时质子射入偏转电场，恰好能从N 板的右边缘水平飞出，根
据类平抛运动规律有
同时满足
（n=1，2，3…）
解得
，（n=1，2，3…）
（3）质子带正电，经过磁场后偏向P 点，则磁场垂直纸面向外；从M、N 板右边缘飞出的
两个质子在磁场中运动的圆心角之和为180°，这两个质子运动到P 点时速度方向的夹角
为60°，根据几何关系可知磁场区域半径与质子运动轨迹半径相等，且均为d，根据洛伦
兹力提供向心力有
解得
8.（12 分）（2024 年2 月江西新八校联考）如图甲所示，带电量q=-2.0×10-4C、质量
M=0.3kg 的物块放在足够大的绝缘粗糙水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2；长
=2m 的轻质细线上端固定，下端系着一质量m=0.1kg 的绝缘小球。以O 为原点，水平向
右为x 轴建立坐标。O 点右侧空间有一水平电场，电场强度E 随位置x 的变化关系如图乙
所示，规定水平向右为场强正方向。现给小球一个初速度，运动至最低点O 时与物块发生
弹性正碰，碰后恰好可以做完整的圆周运动。设物块在碰撞和滑行过程中电荷量保持不变，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，小球与物块均视为质点。g 取10m/s2，求：
（1）碰撞前瞬间细线对小球的拉力和碰撞后瞬间物块的速度大小；
（2）物块最终停止的位置坐标。
【解析】（1）对小球碰撞后可以做完整的圆周运动有最高点
，
（1 分）
从最低点到最高点由动能定理有
（1 分）
对碰撞过程中
（1 分）
解得
（1 分）
碰前瞬间细线对小球的拉力为
，
有
（1 分）
联立代入数据解得:T=21N，v2=10m/s（1 分）
（2）碰后瞬间，物块的动能大小
（1 分）
此后运动过程中物块受到最大电场力
摩擦力大小
内，电势差等于图像与坐标轴围成的面积，则
，根据电场力做功与电势
的关系可知
（1 分）
摩擦力做功
（1 分）
合外力对物块做功
（1 分）
此后按该规律可知物块到达
处速度为0，此时
，物块将反向运动，令物
块在速度再次为0 处受到的电场力为
，反向运动的位移为
，则
（1 分）
解得
，可知物块速度再次为0 时所在处电场强度为0，所以物块最终停止的位置坐标
（1 分）
9．（18 分）（2024 江西宜春宜丰中学期末）如图甲所示，在水平面C 的上方，存在竖直
平面内周期性变化的匀强电场，电场方向未知，变化规律如图乙所示。把一质量为m =
1kg、带q = ＋1C 电荷的小球在t = 0 时从A 点以10J 的初动能水平向右抛出，经过一段
时间后，小球以大小为40J 的动能竖直向下经过B 点，随后小球第一次经过A 点正下方，
且经过A 点正下方时电场刚好第一次反向。已知AB 之间的高度差为2m，水平距离为
1m，A 点到水平面C 的竖直距离为240m，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）AB 两点间的电势差；
（2）匀强电场的场强E0的大小和方向；
（3）小球到达水平面C 时与A 点的水平距离。
【答案】（1）10V；（2）
，方向与水平方向成45°角斜向左下；（3）
【解析】（1）AB 的水平距离为h = 1m，AB 的竖直距离为2h = 2m，从A 到B 的过程根据
动能定理有
解得AB 两点之间的电势差
（2）小球从A 点以动能10J 水平向右抛出，经过一段时间后，到达B 点速度竖直向下，为
40J，说明水平方向上减速运动，水平方向有
解得
方向水平向左；竖直方向有
解得
方向竖直向下。所以匀强电场的场强
方向与水平方向成45°角斜向左下。
（3）根据题意建立如图所示的坐标系
已知小球第一次经过A 点正下方D 点时电场刚好相反，可知A 到D 的运动时间为T，小球
在水平方向运动时间具有对称性，即A 到B 和B 到D 所用时间相同
小球从A 到B，在y 轴上有
解得
到达D 点时小球沿y 轴方向的分速度为
则A 到D 沿y 轴方向的位移为
小球第一次经过y 轴的D 点后电场反向，沿与x 轴方向成45°指向右上方，小球在y 轴上受
力平衡，以
的速度做匀速直线运动。沿x 轴方向先匀减速后匀加速，根据运动的对称性
可知恰好在2T 时刻第二次经过A 点正下方的E 点，此过程沿y 轴的位移为
经过E 点后，2T ~ 3T 时间内电场再次反向，小球沿y 轴以
的初速度做匀加速直线运动，
3T 时刻第三次经过y 轴，此时沿y 轴的分速度为
2T ~ 3T 时间沿y 轴的位移为
以此类推，从0 时刻开始，每经过一个时间间隔T，小球就经过一次y 轴，沿y 轴的运动均
为匀加速直线运动与匀速直线运动交替运动。3T ~ 4T 时间沿y 轴的位移为
4T ~ 5T 时间沿y 轴的位移为
以此类推，可得小球第n 次经过y 轴的总位移为
令
，解得
可知小球在第5 次经过y 轴后从到达水平面，当
时
则小球在第5 次经过y 轴位置到水平面的距离为
小球在第7 次经过y 轴之前竖直方向经历了3 次匀速直线运动和4 次匀加速直线运动，第7
次经过y 轴时沿y 轴的分速度
小球在第7 次经过y 轴后沿y 轴做匀速直线运动，从第7 次经过y 轴到水平面经历时间为
与
对比可得
小球在第7 次经过y 轴后沿x 轴负方向做匀减速直线运动，其位移为
由A 到B 的过程中，沿水平方向有
解得
小球到达水平面
时与A 点的水平距离
。
