文档内容
微专题 5 带电粒子在交变场中的运动
命题规律 1.命题角度：(1)带电粒子在交变电场中的运动；(2)带电粒子在交变电、磁场中
的运动.2.常用方法：图像法.3.常考题型：选择题、计算题．
考点一 带电粒子在交变电场中的运动
处理带电粒子在交变电场中运动的问题时，先画出粒子在电场方向的 v－t图像，结合图像
去分析粒子的运动情况，在v－t图像中，图线与t轴所围面积表示沿电场方向粒子的位移．
带电粒子在交变电场中运动常见的v－t图像如图所示．
例1 (多选)(2022·天津市模拟)如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板
P、Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U 的周期性变化的电压，在两板左
0
侧紧靠P板处有一粒子源A，自t＝0时刻开始连续释放初速度大小为v、方向平行于金属板
0
的相同带电粒子，t＝0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T
＝，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则( )
A．在t＝0时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为v
0
B．粒子的电荷量为
C．在t＝T时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了mv2
0
D．在t＝T时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场
答案 AD
解析 粒子进入电场后，在水平方向做匀速运动，则t＝0时刻进入电场的粒子在电场中运
动时间t＝，此时间正好是交变电场的一个周期；粒子在竖直方向先做加速运动后做减速运
动，经过一个周期，粒子在竖直方向速度为零，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度
v ，选项A正确．在竖直方向，粒子在时间内的位移为，则＝()2，可得q＝，选项B错误．
0在t＝时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的位移为 y＝2×a(T)2－2×a()2＝，故
静电力做功为W＝·＝Uq＝mv2，即电势能减少了mv2，选项C错误．在 t＝时刻进入的粒
0 0 0
子，在竖直方向先向下做加速运动，然后向下做减速运动，再向上加速，向上减速，由对称
性可知，此时竖直方向的位移为零，故粒子从P板右侧边缘离开电场，选项D正确．
考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
1．此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周
期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间
段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电
粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题．
2．解题思路
例2 如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度 E和磁感应强度
B随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B
的正方向．t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v 沿y轴正方向射出，它恰
0
能沿一定轨道做周期性运动．v 、E 和t 为已知量，图(b)中＝，在0～t 时间内粒子P第一
0 0 0 0
次离x轴最远时的坐标为.求：
(1)粒子P的比荷；
(2)t＝2t 时刻粒子P的位置；
0
(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L.
答案 (1) (2) (3)vt
00
解析 (1)0～t 时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标
0
相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径
R，即R＝又qvB＝m
0
代入＝解得＝
(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则
T＝，则可得T＝4t
0
即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度 v 垂直电场方向进入电场后做类平抛运
0
动，设t～2t 时间内水平位移和竖直位移分别为x、y，则x＝vt＝
0 0 1 1 1 00
y＝at2
1 0
其中加速度a＝
解得y＝＝R
1
因此t＝2t 时刻粒子P的位置坐标为(vt，0)，如图中的b点所示．
0 00
(3)分析知，粒子P在2t ～3t 时间内，静电力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系
0 0
知，在3t 时刻速度方向为x轴正方向，位移
0
x＝x＝vt
2 1 00
在3t～5t 时间内粒子P沿逆时针方向做半径为R的匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，
0 0
由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L＝2R＋2x
1
解得L＝vt
00
(2022·湖南岳阳市二模)如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定
磁场垂直纸面向里的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．质量为m、
电荷量为＋q的粒子，在t＝0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场．图乙中T 为未知量，
0
不计粒子的重力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若粒子射入磁场时的速度为v，求0～T 时间内粒子做匀速圆周运动的半径；
0 0(2)若粒子恰好不能从y轴射出磁场，求磁感应强度变化的周期T；
0
(3)若使粒子能从坐标为(d，d)的D点平行于x轴射出，求射入磁场时速度大小．
答案 (1) (2) (3)(n＝1,2,3，…)
解析 (1)根据洛伦兹力提供向心力有qv·3B＝m，解得r＝
0 0 1
(2)要使粒子恰好不从y轴射出，轨迹如图所示，
在前T 内粒子的运动半径为r＝
0 1
在后T 内粒子的运动半径为r＝
0 2
由几何关系知sin θ＝＝0.6
解得θ＝37°
在0～T 时间内粒子做圆周运动的周期为T＝
0
则T＝T
0
解得T＝
0
(3)要想使粒子经过 D 点且平行 x 轴射出，则粒子只能从 nT 时刻经过 D 点，其中 n＝
0
1,2,3，…，则可能的运动轨迹如图所示
设粒子射入磁场的速度大小为v，
由(2)可得r＝r
2 1
由几何关系可知
n(2rcos 30°＋2rcos 30°)＝2d
1 2
又qv·3B＝m
0
解得v＝(n＝1,2,3，…)．
专题强化练
1．(多选)如图甲所示，长为L的两块正对金属板A、B水平放置，两板接上如图乙所示随时
间变化的交流电压U ，电子流沿中心线OO′从O点以初速度v ＝射入板间，电子都不会
AB 0碰到极板．已知两金属板间距为d，且电子的质量为m、电荷量为e.下列说法正确的是(
)
A．两板间距d>T
B．电子在t＝0时刻从O点射入时一定从中心线离开电场
C．电子在t＝时刻从O点射入时一定从中心线离开电场
D．电子无论在哪一时刻从O点射入，离开板间电场时的速率一定是v
0
答案 ACD
解析 任何一个电子离开电场所用的时间均为＝T，当电子在t＝k(k＝0,1,2，…)时刻从O点
射入，射出电场时电子离开中心线的距离最大为h＝2×··()2，h<，得d>T，A正确；电子在
t＝0时刻从O点射入时，电子离开电场时与中心线间的距离最大，不会从中心线离开电场，
B错误；电子在t＝时刻从O点射入后，在电场中的运动轨迹如图，根据对称性可知电子从
中心线离开电场，C正确；设电子从t＝－Δt时刻从O点射入电场，则沿电场方向的分速度
v＝aΔt－aΔt－(－Δt)a＋a(－Δt)＝0，离开电场时只有沿中心线方向上的速度，大小为v，D
y 0
正确．
2．(2022·山东省高三检测)如图甲所示，粒子源能源源不断地产生一种比荷为的带正电粒子，
带电粒子从粒子源飞出时的速度可忽略不计．带电粒子离开粒子源后进入一电压为 U 的加
0
速电场，之后进入长为L、两板间距离为d＝L的平行金属板，金属板间有一偏转电场，带
电粒子从两板正中间射入并恰好从下极板的边缘射出偏转电场，然后进入边界为 MN、PQ
的均匀交变磁场中，磁场宽度也为L，边界PQ为一感应挡板，交变磁场的变化规律如图乙
所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向．在t＝0时刻进入磁场的带电粒子在磁场中的运
动时间为交变磁场的一个周期，并且射出磁场时垂直打在挡板PQ上．(不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，电场、磁场的边界均为理想边界)求：
(1)带电粒子进入偏转电场时的速度大小；
(2)偏转电场的电场强度；
(3)交变磁场的磁感应强度大小．答案 (1) (2)，方向竖直向下 (3)
解析 (1)由动能定理有qU＝mv2
0 0
可得v＝
0
(2)设偏转电场的电场强度大小为E，粒子在偏转电场中做类平抛运动，有
a＝
L＝vt
0
＝at2
且d＝L
联立可得E＝
方向竖直向下
(3)设粒子离开偏转电场时的速度为v，与水平方向夹角为α，则有
tan α＝＝
可得α＝30°
有v＝
可得v＝
若粒子在t＝0时刻进入磁场，由题意可得粒子进入磁场中运动的轨迹如图所示，
粒子在磁场中做圆周运动，结合题图乙，由几何关系可得
∠OO C＝60°
1
∠COD＝30°
2
则有＝sin 30°
可得r＝
由牛顿第二定律有qvB＝
则可得B＝.
3．(2022·天津市市区重点中学一模)如图甲所示，边界为L 、L ，宽度为d的竖直狭长区域
1 2
内，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向的电场(图中未画出)．电场的电场强度做周期
性变化的规律如图乙所示，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微
粒从左边界L 上的N 点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆
1 1
周运动，再沿直线运动到右边界L 上的N 点．Q为线段N N 的中点，重力加速度为g，上
2 2 1 2
述d、m、v、g和图像中的E 均为已知量．
0(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；
(2)求电场变化的周期T；
(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．
答案 (1) (2)＋ (3)
解析 (1)根据题意，微粒做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，重力与静电力平衡，则
mg＝qE
0
开始时微粒水平向右做直线运动，则竖直方向所受合力为0，则
mg＋qE＝qvB
0
联立得q＝
B＝
(2)设微粒从N 运动到Q的时间为t，做圆周运动的周期为t，则
1 1 2
＝vt
1
qvB＝m
2πR＝vt
2
联立解得t＝
1
t＝
2
电场变化的周期T＝t＋t＝＋
1 2
(3)若微粒能完成题述的运动过程，
则要求d≥2R
由(1)(2)中的式子联立解得R＝
所以当d＝2R时，微粒在N Q段直线运动时间最短，
1
设N Q段直线运动的最短时间为t ，得
1 1min
t ＝，
1min
因t 不变，T的最小值
2
T ＝t ＋t＝.
min 1min 2
4．如图甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律
分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度
的正方向)．在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v 、方向沿y轴正方向的带正电粒
0
子，粒子的比荷＝，v、B、E、t 均为已知量，不计粒子受到的重力．
0 0 0 0(1)求在0～t 内粒子运动轨迹的半径；
0
(2)求t＝2t 时，粒子的位置坐标；
0
(3)若粒子在t＝25t 时首次回到坐标原点，求电场强度E 与磁感应强度B 的大小关系．
0 0 0
答案 (1)
(2)
(3)E＝B
0 0
解析 (1)粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，
则有qvB＝，又＝
0 0
联立解得r＝
(2)若粒子在磁场中做完整的圆周运动，
则其周期T＝
解得T＝2t
0
则在0～t 时间内，粒子在磁场中转动半周，
0
t＝t 时粒子位置的横坐标
0
x＝－2r＝－
在t～2t 时间内，粒子在电场中沿y轴负方向做匀加速直线运动
0 0
y＝－vt－t2
00 0
解得y＝－vt－
00
故t＝2t 时，粒子的位置坐标为
0
(3)如图所示，带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r＝r＝
1
当t＝2t 时，粒子的速度大小为v＝v＋t
0 0 0
2t～3t 时间内，粒子在x轴下方做圆周运动的轨道半径r＝＝
0 0 2
由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足n(2r－2r)＝2r(n＝1,2,3，…)
2 1 1
当t＝25t 时，n＝6，解得E＝B.
0 0 0
