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专题11 电偏转模型中的分解与能量
目录
模型一 带电粒子(体)在电场中的偏转
模型二 带电粒子在交变电场中的运动
模型三“等效重力法”在电场中的应用
模型一 带电粒子(体)在电场中的偏转
1．偏转的一般规律
2．两个重要推论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角、偏移距离总是相
同的。
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点 O为粒子水平位移的中点，若电场宽
度为l，O到电场边缘的距离为 。
3．一般解题方法
运动的分解法 一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动
功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qU y ＝ mv2－ mv 0 2，其中U y ＝ y，指初、末位置间的
电势差
模型二 带电粒子在交变电场中的运动
1．两条分析思路
一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系(机械能守恒定律、动能
定理、能量守恒定律)。
2．两个运动特征
分析受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过
程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。
3.交变电压与v-t图像
例：如图甲所示，在平行板电容器A、B两极板间加上如图乙所示的交变电压，t＝0时刻A板电势比B板
高，两板中间静止一电子，设电子在运动过程中不与两板相碰，而且电子只受静电力作用，规定向左为正
方向，则下列叙述正确的是( )
A．在t＝0时刻释放电子，则电子运动的v-t图像如图丙图线一所示，该电子一直向B板做匀加速直线运动
B．若t＝ 时刻释放电子，则电子运动的v-t图像如图线二所示，该电子一直向 B板做匀加速直线运
动
C．若t＝ 时刻释放电子，则电子运动的v-t图像如图线三所示，该电子在2T时刻在出发点左边
D．若t＝ T时刻释放电子，在2T时刻电子在出发点的左边
模型三“等效重力法”在电场中的应用
1．等效重力法
把电场力和重力合成一个等效力，称为等效重力。如图所示，则F 为等效重力场
合
中的“重力”，g′＝ 为等效重力场中的“等效重力加速度”；F 的方向等效为“重
合
力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。
2．物理最高点与几何最高点
【模型演练1】（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存
在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0 的相
同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为 ；平行M板向下的粒子，刚好从N板下
端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度
D．粒子从N板下端射出的时间【模型演练2】．（2023·安徽淮北·统考一模）如图甲所示，长为 、间距为d的平行金属板水平放
置，O点为两板中点的一粒子源，能持续水平向右发射初速度为 、电荷量为 、质量为m的粒
子。在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力，以下判断正确的是（
）
A．能从板间射出的粒子的动能均相同
B．粒子在电场中运动的最短时间为
C． 时刻进入的粒子，从 点的下方射出
D． 时刻进入的粒子，从 点的上方射出
【模型演练3】．（2022·全国·统考高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正
电荷的小球自电场中Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点
均取在Р点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【模型演练4】（2024上·福建泉州·高三统考期末）如图甲，竖直平面中有平行于该平面的匀强电场，长
为 的绝缘轻绳一端固定于 点，另一端连接质量为 、带电量为 的小球，小球绕
点在竖直面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。图中 为水平直径， 为竖直直径。从
A点开始，小球动能 与转过角度 的关系如图乙所示，已知重力加速度大小为 ，则（
）
A． 为电场的一条等势线 B．该匀强电场的场强大小为
C．轻绳的最大拉力大小为 D．轻绳在 两点拉力的差值为一、单选题
1．（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）质子（质量数和电荷数均为1）和 粒子（质量数为4、
电荷数为2）垂直进入某一平行板间的匀强电场中，又都从另一侧离开电场。若两粒子在通过平行板时动
能的增量相同，不计粒子重力，则下列判断正确的是（ ）
A．质子和 粒子射入时的初动量之比为2：1
B．质子和 粒子射入时的初动能之比为1：2
C．质子和 粒子射入时的初速度之比为1：1
D．质子和 粒子在平行板间的运动时间之比为1：4
2．（2023上·河南南阳·高三统考期中）在水平向右的匀强电场中，质量为m的带正电小球以初速度v0 竖
直向上抛出，经过时间t末小球的速度达到最小值v，则（ ）
A．小球在最高点的速度大小为
B．小球所受合外力的大小为
C．时间t内合力对小球做功为
D．时间t内合外力对小球的冲量大小为
3．（2024·广西·统考一模）如图，空间中有一匀强电场，大小为 ，方向与水平方向成
角，现有一光滑绝缘大圆环固定在竖直平面内，O点为环心，将质量为m、带电荷量为 的小圆环套
在大圆环的M点并同时给小圆环一个向右的水平初速度，小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，
重力加速度为g，则小圆环（ ）
A．从M点到Q点动能减小
B．在M点和N点的电势能相等
C．从M点到Q点电场力做负功
D．动能最大处的电势低于动能最小处的电势二、多选题
4．（2024上·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）如图所示，空间分布着匀强电场，竖直方向
的实线为其等势面，一质量为m，带电量为+q的小球从。点由静止开始恰能沿直线p运动，且到达p点时
的速度大小为v，重力加速度为g（规定。点的电势为零），下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小 B．p点的电势
C．p点的电势能 D．小球机械能的变化量为
5．（2024上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）如图所示，abc是竖直面内的光滑固定
轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点，整个轨道处于水平向右的
匀强电场中，电场范围足够大，电场强度 。质量为2m带电量为 的小球，由a点从静止
开始向右运动到距水平面高度为R的位置时，其动能的增量可能为（已知重力加速度大小为g，不考虑小
球与地面碰撞后的运动）（ ）
A．0.5mgR B．mgR C．2mgR D．3mgR
6．（2024上·广西·高三校联考专题练习）如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、
Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0 且周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一
粒子源A，自t＝0时刻开始连续释放初速度大小为v0 、方向平行于金属板的相同带电粒子，t＝0时刻释
放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T＝ ，粒子质量为m，不计粒子重力及
相互间的作
用力，则（ ）A．在t＝0时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为v0
B．粒子的电荷量为
C．在t＝ T时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了 mv02
D．在t＝ T时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场
7．（2024·全国·模拟预测）如图甲所示，xOy平面内存在着平行于y轴方向的匀强电场，电场强度随时间
的变化如图乙所示。 时刻，一带电粒子从y轴上的P点以大小为 的初速度沿x轴正方向进
入电场。已知O、P两点之间的距离为L，粒子在 时刻从Q点以与x轴正方向成 的角度
第一次穿过x轴， 时刻粒子所在位置的y坐标也为L，粒子在电场中运动时仅受电场力作用。下列
说法正确的是（ ）
A．Q点的坐标为
B．图乙中
C． 时刻，粒子的速度大小为
D． 时刻，粒子的位置坐标为
8．（2024·湖南邵阳·统考一模）如图所示，有一匀强电场平行于平面 ，一个质量为m的带电粒
子仅在电场力作用下从O点运动到A点，粒子在O点时速度 沿y轴正方向，经A点时速度沿x轴正
方向，且粒
子在A点的速度大小是它在O点时速度大小的2倍。关于该粒子在OA这一过程的运动情况，下列说法正
确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子在A点的电势能比在O点的电势能小
C．这段运动过程中粒子的最小动能为D．电场力方向与 轴正方向之间夹角的正切值为
9．（2024上·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考期末）真空中的某装置如图所示，竖直放置平行金属板
A、B和水平放置的平行金属板C、D上均加有电压，M为荧光屏。现有质子（ ）、氘核（
）和 粒子（ ）均从A板上的O点由静止开始被加速，经过一段时间后，均打在荧光屏上。
中子从O点水平射出，将打在荧光屏上的 点，不计粒子所受重力，不考虑平行金属板外的电场，下
列说法正确的是（ ）
A．质子、氘核和 粒子均打在荧光屏上的同一位置
B．质子、氘核和 粒子从B板运动到荧光屏经历的时间相同
C．质子、氘核和 粒子打在荧光屏上时的速度方向相同
D．平行金属板C、D间的电场力对质子、氘核和 粒子做的功之比为1 1 2
10．（2024·四川绵阳·统考二模）如图所示，在真空中两水平平行板P、Q正对，电容为C，板长为L，板
∶ ∶
间距为d，充电后与电源（未画出）始终相连，一带正电的粒子从左侧中央以水平初速度v0 正对屏上的O
点
射入，在板间做直线运动；现保持P板不动，将Q板向上平移 d，稳定后，将该粒子仍从左侧同一
位置以相同初速度射入，粒子打在屏上M点（未标出）。已知粒子质量为m，电荷量为q，平行板右端到
屏距离也为L，重力加速度为g。则（ ）
A．P板电势高于Q板
B．Q板平移前平行板电容器所带电荷量为
C．点O、M间距离为
D．点M与O重合
【答案】BD
【详解】A．带正电的粒子在电容器中受到重力和电场力平衡，故电场力向上，上极板带负电，则P板电
势低于Q板，故A错误；B．Q板平移前由平衡可知
其中有
电容器的定义式
联立解得
故B正确；
CD．Q板平移后，板间电场强度
根据牛顿第二定律
解得
在两板间做类平抛运动，有
，
解得
出板间时竖直方向的速度
出板间后做斜抛运动，竖直方向的位移为
水平方向
解得
所以在电容器内和出电容器后在竖直方向的位移为
所以点M与O重合，故C错误，D正确。
故选BD。11．（2023·河北衡水·河北武邑中学校考三模）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在
电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将
该小球从电场中A点以初速度 竖直向上抛出，经过最高点B后回到与A在同一水平线上的C点，已
知
sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（ ）
A．小球所受的电场力为 B．小球在最高点B的动能为
C．小球在C点的机械能比在A点多 D．小球在C点的动能为
12．（2024·四川凉山·统考一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，整个空间存在平行xoy
平面与y轴正方向成45°角的匀强电场E。质量为m的带电小球从坐标原点O沿x轴的正方向以速度v水
平抛出，经过一段时间小球以 v的速度穿过y轴正半轴某点（图中未画出），不计空气阻力，则
（ ）
A．小球可能带负电
B．小球所受电场力的大小为 mg
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度等于竖直速度
13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直平面内，整个空间存在
着与圆形轨道平面平行且沿水平方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）
静止在轨道上的P点，P点与轨道圆心O的连线和竖直方向的夹角为 。若在P点给小球一沿轨道切
线方向的初速度v，小球恰好沿轨道做完整的圆周运动。已知重力加速度为g， 。下列说法
正确的是（ ）
A．电场强度大小为 ，方向水平向右B．轨道内侧任意两点间的电势差的最大值为
C．小球静止在P点时对轨道的压力大小为
D．速度v的大小为
14．（2024上·内蒙古包头·高三统考期末）如图所示，地面上方某区域存在方向水平向左的匀强电场，电
场强度 ，将一质量为m，带正电荷q的小球自电场中P点以初速度 水平向右
射出。与P点在同一竖直面内右下方有一半径为R的光滑固定圆孤轨道ABC，B为轨道最低点，小球运动
过程中恰好经过A点，沿圆弧切线方向进入圆轨道，且在A点速度大小仍为 ，重力势能和电势能的
零点均取在P点。下列说法正确的是（ ）
A．在空中运动过程中，小球速度的水平分量先增大后减小
B．
C．小球在B点的速度大于
D．小球沿轨道从A运动到B的过程中，对轨道的最大压力为
15．（2024上·天津·高三天津市宝坻区第一中学校联考期末）如图所示， 为有界的竖直向下的
匀强电场（边界上有电场），电场强度 ，ACB为光滑竖直固定的半圆形轨道，轨道半径为
，A、B为圆水平直径的两个端点， 为 圆弧，一个质量为 ，电荷量为
的带电小球，从A点正上方高为 处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道，
不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的受力及运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．小球在 部分做匀速圆周运动
B．小球到达 点时对轨道压力大小为
C．适当增大 ，小球沿轨道到达 点的速度可能为零D．若 ，要使小球沿轨道运动到 ，则应将 至少调整为
三、解答题
16．（2023上·陕西西安·高三校考期末）空间存在电场强度方向垂直向上的匀强电场，如图所示，一质量
为 、电量为q的带正电小球，从水平地面上方一定高度处水平抛出，经时间t小球落地，落地时速
度方向与水平方向之间的夹角为 ，已知落地点到抛出点的水平距离为d，重力加速度大小为g，空
气阻力不计，求：
（1）小球抛出点与落地点的高度差h；
（2）落地点与小球抛出点间的电压大小。
17．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图所示，匀强电场水平向右，将一带正电的小球从A点竖直上
抛，小球经M点后运动至B点。M为轨迹最高点，A、B两点在同一水平线上。小球抛出时动能为
2024J，在M点动能也为2024J，不计空气阻力。求：
（1）小球水平位移 与 的比值；
（2）小球从A点运动到B点过程中的最小动能 。
18．（2024上·广西·高三校联考期末）如图所示， 、 两竖直线相距为 ，其间以水平
线 为界， 上方电场 竖直向下， 下方电场 竖直向上，在电场左边界
上的 、 两点相距为 。一电荷量为 、质量为 的粒子从 点以初
速度 沿水平方向射入匀强电场 中，通过 上的某点 进入匀强电场 后，从
边上的 点水平射出，其轨迹如图，若 、 两点的距离为 ，不计粒子的重
力。求：
（1） 上方的电场强度大小 与 下方的电场强度大小 ；
（2）带电粒子先后经过两电场所用的时间之比。19．（2024上·安徽亳州·高三统考期末）如图所示，距离水平地面 处有水平方向的匀强电场，电
场的宽度为d，长度足够长。有一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在电场的下边界处以某一初速度
竖直向上抛出，小球从电场的上边界离开电场，再次进入电场时开始做直线运动，直线运动的轨迹与水平
方向的夹角为53°，小球最终落至水平地面上。已知重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空
气阻力，求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）小球从竖直向上抛出到落地过程的时间t。
20．（2024上·河南周口·高三西华县第一高级中学校考阶段练习）如图所示，A、B接在电压大小恒为U
的交变电源上，质量为m、电荷量为 的离子，以初速度 进入直线加速器第1个金属圆
筒左侧的小孔，离子在每个筒内均做匀速直线运动，时间均相等，在相邻两筒间的缝隙内被电场加速，加
速时间不计。离子从第3个金属圆筒右侧出来后，立即由M点射入转向器，转向器中有辐射状电场，离
子沿着圆弧虚线（等势线）运动，并从N点射出，离子射出时速度方向与矩形区域CDQP内有界匀强电
场的电场强度方向垂直，最终离子恰好打在Q点。已知第3个金属圆筒的长度为l，转向器虚线MN处电
场强度的大小为E， 、 。求：
（1）离子在每个金属圆筒内运动的时间；
（2）离子在转向器中做圆周运动的半径；
（3）矩形区域CDQP内电场强度的大小。21．（2024上·陕西汉中·高三统考期末）如图甲所示，带有等量异种电荷的平行金属板M、N竖直放置
（板N上有一小孔），M、N两板间的距离d=0.8m，现将一质量 、电荷量
的带正电小球从两极板上方的A点以v0=4m/s的初速度水平抛出，A点距离两板上端的高
度h=0.45m。小球恰好从靠近M板上端B处进入两板间且沿直线运动。设匀强电场只存在于两板之间，不
计空气阻力，g取10m/s2 。
（1）求M、N两板间的电压UMN ；
（2）求小球到达C点时的动能Ek ；
（3）若将平行金属板M、N水平放置，如图乙所示，将带电小球从板N小孔正上方高H处由静止开始下
落，穿过小孔到达板M时速度恰为零，空气阻力忽略不计。则H为多大？（结果用分式表示）
22．（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）实验室的粒子分析装置由粒子发射
源、加速电场、静电分析器、偏转电场四部分组成。如图所示，在平面直角坐标系 中，第二象限
内有竖直向下的匀强电场，第一象限内有一静电分析器，分析器中存在电场线沿半径方向指向圆心
的均匀幅向电场。自 点沿与 轴夹角为 的方向发射一个初速度为 、带正电的粒子，
粒子会沿平行于 轴的方向从 点进入静电分析器，且恰好在分析器内做匀速圆周运动，运动轨
迹处的电场强度大小为 。若带电粒子质量为 ，电荷量为 ，不计粒子重力。求：
（1） 间的距离；
（2）第二象限匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子在静电分析器中运动的时间 。
23．（2024上·天津蓟州·高三统考期末）如图所示为一种质谱仪的简化原理图。位于第Ⅱ象限的静电分析
器，其通道为以O为圆心的四分之一圆弧，内有方向指向坐标原点O的均匀辐向电场，半径为R＝0.6m
的虚线MN为通道的中心线，中心线处的电场强度 大小为 。位于第Ⅰ象限的挡板
OP与x轴夹角为θ＝45°，挡板OP与y轴之间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为 。比
荷是 的离子从离子源飘出（初速度近似为0），经过电压为U的加速电场加速后，以
速度 进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，从N点垂直y轴射出后进入电场 中，最后离子恰好垂直打在挡板OP上，不计离子重
力和离子间相互作用，求：
（1） 的大小；
（2）加速电场电压U的大小；
（3）电场强度 的大小。
24．（2024上·天津宁河·高三统考期末）如图所示，在第Ⅰ象限内有沿 轴负方向的匀强电场，场强
为 ；第Ⅱ象限内放置静电分析器，静电分析器中电场的方向沿半径指向圆心（原点）；第
Ⅲ象限内有沿 轴负方向的匀强电场， ，在 处有一足够大平行于 轴
的荧光屏；质量为 、电荷量为 的粒子从第Ⅰ象限内 点 由静止释放，进入
第Ⅱ象限的静电分析器恰好做匀速圆周运动，之后进入第Ⅲ象限，打在荧光屏上 点，粒子重力忽略
不计。求：
（1）粒子由 点运动到 轴正半轴时的速度 ；
（2）第II象限场强 与 的大小之比 ；
（3）粒子打在 点处的位置坐标；
（4）粒子打在 点时的速度大小 。
25．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）如图所示是一个示波管工作原理示意图。电子经电压U1 加速后
垂直进入偏转电场，离开电场时的偏转量为h，板长为L。已知电子质量为m，电荷量为e，初速度不计。
求：（1）电子进入偏转电场时速度的大小v；
（2）电子在偏转电场中运动的时间t；
（3）电子在通过偏转电场的过程中动量变化的大小∆p。
的大小
26．（2024上·北京丰台·高三统考期末）利用带电粒子（不计重力）在电场或磁场中的运动可以研究很多
问题。
（1）如图所示，在间距为d、长度为l的两块平行金属板上施加电压U，让带电粒子沿两极板的中心线以
速度v进入电场，测得粒子离开电场时偏离中心线的距离为y。利用上述方法可以测量带电粒子的比荷（
），请推导粒子比荷的表达式；
（2）保持其他条件不变，撤掉问题（1）中两极板间的电压，在两极板间施加一垂直纸面的匀强磁场。将
磁感应强度的大小调节为B时，带电粒子恰好从极板的右侧边缘射出。
a．利用上述方法同样可以测量带电粒子的比荷，请推导粒子比荷的表达式；
b．带电粒子在磁场中偏转时动量发生变化，使提供磁场的装置获得反冲力。假设单位时间内入射的粒子
数为n，单个粒子的质量为m，求提供磁场的装置在垂直极板方向上获得的反冲力大小。
27．（2024·全国·高三专题练习）电子被电压为U的电场加速后，垂直于场强方向飞入一个偏转电场，飞
入时动能为 ，飞出时动能加到飞入时的2倍。如果加速电场的电压增为4U，此电子飞出同一偏转
电场时的动能变为多少？
28．（2024·重庆·统考一模）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有
较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，如图。来自质子源的质子（初速度为零）经加速电场加速后，沿图中
四分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P点竖直向上进入存在水平向右的匀强电场的圆形区域，最终轰击
处在圆上Q点的肿瘤细胞。已知四分之一圆弧虚线处的场强大小为 ，方向沿半径指向圆心O，圆
O′与OP相切于P点， ，圆形区域的半径为R，Q点位于OP上方 处，质子质量为m、
电量为e．不计质子重力和质子间相互作用，求：
（1）质子在P点处的速度大小v；
（2）加速电场的加速电压U；
（3）圆形区域中匀强电场的场强大小 。29．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）水平地面上有匀强电场如图所示，电场方向水平向右。一个质
量
为m、电荷量为 的小球，从距地面高h处由静止释放，落地速度大小 ，重力加速度
为g。
（1）求电场强度E的大小。
（2）若将小球以初速度v从距地面高h处竖直向上抛出，求经过多长时间，小球的速度最小，最小速度
是多大？
（3）若将小球以初速度v从距地面高h处竖直向上抛出，求小球的最高点距地面的高度以及小球在最高
点时的速度大小。
30．（2023·陕西·校联考一模）有一水平方向的匀强电场，场强 ，一带正电的微粒以
竖直向上的初速度从A点射入电场，一段时间后从B点离开电场，A、B两点在同一条水平
直线上。已知带电微粒质量 ，所带的电荷量 ，重力加速度
，微粒向上运动过程中未冲出电场。求
（1）带电微粒在竖直方向上的最大位移；
（2）A、B两点的电势差；
（3）带电微粒在电场中运动速度的最小值。
31．（2024上·四川内江·高三统考期末）如图所示，一条绝缘的轻质细线，上端固定于O点，下端拴一质
量为m的带电小球，将它置于电场强度为E的匀强电场中，电场的方向水平向右，当细线与竖直位置的
偏角为 时，小球处于平衡状态，重力加速度为g．求：
（1）小球所带的电荷量；（2）如果使细线的偏角由 增大到 ，然后，将小球由静止开始释放，则 应为多大，才能
使在细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零。
32．（2024上·福建漳州·高三统考期末）如图，竖直平面内有水平向右的匀强电场，电场强度的大小为
，场中有一根长为 的绝缘细线，一端周定在 点，另一端系着质量为 的带正电小
球，初始时小球静止于电场中的 点，此时细线与竖直方向夹角为 ，已知重力加速度大小
为 ， ， 。
（1）求 、 两点间电势差 ；
（2）求小球的带电量 ；
（3）现给小球一个方向与细线垂直的初速度，让小球恰能绕 点在竖直平面内做完整的圆周运动，
求小球运动的最小速度 。
33．（2024上·广东惠州·高三统考期末）在电场中有着类似于重力场中秋千往返运动的现象，图是其模型
简图，ABC是半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧轨道，轨道竖直放置，O为圆心，A、B、C分别位于轨
道内最高点、中点和最低点。轨道所在空间中有水平向右的匀强电场。一质量为m、带电量为＋q的小球
（小球直径远小于R）从A处由静止释放，恰好能够沿着圆弧轨道在AC间做往返运动，已知重力加速度
为g。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）CB之间的电势差 ；
（3）小球沿着圆弧轨道运动到B点时，受到轨道的支持力大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）依题意得小球到达C点的速度为0，从A点到C点，由动能定理得解得
（2）从C点到B点，可得
解得
（3）从A点到B点，由动能定理得
得
由重力与电场力的合力为
在B处可得
联立可得，小球运动到B点时受到轨道的支持力大小为
34．（2023上·广东梅州·高三广东梅县东山中学校考阶段练习）如图所示，BCDG是光滑绝缘的 圆
形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左
的匀强电场 中。现有一质量为m、带电量为 的小滑块（可视为质点）置于水平轨道
上，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g， 。
（1）若滑块从水平轨道上距离B点 的A点由静止释放，求滑块到达B点的速度；
（2）在（1）的情况下，求滑块到达B点时对轨道的压力；
（3）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求滑块在圆轨道上滑行过程中的
最小速度大小。
35．（2023上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）如图所示，竖直平面内有一固定绝缘轨道ABCDP，由半
径r=0.5m的圆弧轨道CDP和与之相切于C点的水平轨道ABC组成，圆弧轨道的直径DP与竖直半径OC
间的夹角θ=37°。质量 的不带电绝缘滑块以初速度 沿轨道向右运动，与静止在B点的带正电小球发生弹性正碰，小球质量 、电荷量 ，碰后小球沿轨道运
动，小球的右侧空间存在水平向右的匀强电场。小球到达P点时恰好和轨道间无挤压且所受合力方向指向
圆心。小球和滑块均视为质点，碰撞过程中小球的电荷量不变，不计一切摩擦。（取 ，
sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求碰后瞬间小球的速度大小 ；
（2）求匀强电场的电场强度大小E及小球到达P点时的速度大小 ；
（3）求B、C两点间的距离x。
