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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.11 讲 带电粒子在交变电磁场中的运动
【知识点精讲】
带电粒子在交变电磁场中的运动问题分类
1. 交变磁场＋恒定电场
2. 交变电场＋恒定磁场
3. 交变磁场＋交变电场
【方法归纳】
解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
【典例剖析】 如图甲所示，虚线MN 的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)。
一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球(视为质点)以大小为v0的水平初速度沿PQ 向右做直线运动。若小
球刚经过D 点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，
使得小球再次通过D 点时的速度方向与PQ 连线成60°角。已知D、Q 间的距离为(＋1)L，t0小于小球在磁
场中做圆周运动的周期，重力加速度大小为g。
(1)求电场强度E 的大小；
1
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(2)求t0与t1的比值；
(3)小球过D 点后将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求此时磁感应强度的大小B0及运动的
最大周期Tm。
[审题指导]
题中信息
吹“沙”见“金”
沿PQ 向右做直线运动
小球受力平衡，通过平衡条件，可求出电场强
度的大小
小球再次通过D 点速度与PQ 成60°角
画出运动轨迹，找出直线运动位移大小与匀速
圆周运动轨迹半径的关系
求运动的最大周期
当小球运动轨迹最长，圆弧轨迹与MN 相切时
小球运动周期最大
【最新高考题精练】
1. （2012·海南物理）图（a）所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy 平面(纸面)
垂直，磁感应强度B 随时间t 变化的周期为T，变化图线如图（b）所示。当B 为+B0时，磁
感应强度方向指向纸外。在坐标原点O 有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于
。不计重力。设P 在某时刻t0以某一初速度沿y 轴正方向自O 点开始运动，将它经过时
间T 到达的点记为A。
（1）若t0=0，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？
（2）若t0=T/4，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？
（3）为了使直线OA 与x 轴的夹角为π/4，在0< t0< T/4 的范围内，t0应取何值？是多少？
④⑤
2．（2010 山东理综）如图3 所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的
图3
2
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水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量为m、带电量
+q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀
加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动。已知粒子第二
次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推。求
（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1。
（2）粒子第n 次经过电场时电场强度的大小En。
（3）粒子第n 次经过电场所用的时间tn。
（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零。请画出从粒子第一次射入磁场至第
三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标
明坐标刻度值）。
【最新模拟题精练】
1. （2023 山东聊城三模）. 如图（a），空间直角坐标系
中，有一长方体区域，四边形
是边长
为L 的正方形，
长度为
，其顶点分别是a、b、c、d、O、
、
、
，其中
、
、
在坐标
轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。
时刻，一质量为
、电荷量为
的带正电粒子，以初速
度
从a 点沿
方向射入区域，不计粒子重力。
（1）若区域内仅分布着沿y 轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从
点离开区域，求电场强度
的大小；
（2）若区域内仅分布着方向垂直于平面
匀强磁场，则粒子能从
连线上距d 点
的点离开区
域，求磁感应强度
的大小；
（3）若区域内仅交替分布着方向沿x 轴负方向的磁场
和沿y 轴正方向的磁场
，且磁感应强度
和
的大小随时间周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从平面
离开，且离开时速度方向
与平面的
夹角为60°，感应强度
大小的可能取值。
3
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2.(2023 湖北天门考前冲刺) 某学习小组设计了一个装置测量磁感应强度B。如图甲所示，比荷为
，带正电的粒子以水平速度
从平行间距为
、长度为
金属板MN 间中线
连续射入电场中，MN 板间接有如图乙所示的随时间t 变化的电压
，
电压变化周期
，两板间电场均匀分布，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的待测
匀强磁场和足够大、可向右平移的荧光屏，粒子重力忽略不计。
（1）求当荧光屏紧邻金属板右侧时，荧光屏上发光的长度；
（2）现将荧光屏从紧邻金属板右侧向右缓慢平移，发现当荧光屏向右移动
时，荧光
屏上发光的长度刚好减为零，求磁感应强度B 的大小；
（3）在（2）的条件下，在将荧光屏从紧邻金属板右侧向右缓慢平移，求此过程中荧光屏上发光长度的最
大值（结果保留2 位有效数字）。
4
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3. （2023 安徽江淮十校5 月联考） 如图甲所示，在直角坐标系
中
四个点为四边形的四个顶点，四
边形（包括边界）中存在匀强磁场，在
范围内磁场的磁感应强度B 随时间变化的图像如图乙所示
（图像中T 为未知量），设垂直纸面向外为正方向；
内的匀强磁场与
内的磁场总是大小相等、
方向相反。在ab 边正上方、ad 边左侧、bc 边右侧、cd 边正下方，分别存在着大小相等的匀强电场，其方
向分别与四边形区域的边界垂直且指向正方形内部（未画出）。质量为m、电荷量为q 带正电的粒子某一
时刻射入磁场，已知粒子在电场内做直线运动，重力不计，忽略粒子运动对电、磁场的影响。
上述L、m、q、B 为已知量。
（1）若
时刻粒子从点
沿
方向以大小为v（未知）的速度射入磁场，且磁感应强度B 与速
度v 之间满足
，粒子刚好在
时刻离开磁场，经过一段时间后，又第一次回到点a，求粒子在
电场中运动的最短路程；
（2）若
时刻粒子从点
沿
方向以大小为v（未知）的速度射入磁场，且磁感应强度
B 与速度v 之间满足
，粒子刚好在
时刻离开磁场，经过一段时间后，又第一次回到点e，
求粒子从出发到第一次回到点e 的最短时间；
（3）粒子在
内从点
沿Ob 方向以某一速度射入磁场，此后在
平面内做周期性运动，若
电场强度大小为E，粒子在电场中做直线运动，且每当磁场发生变化时粒子恰好从电场射入磁场，求粒子
初速度的所有可能值及对应的磁场变化的周期T。
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4（2023 湖南押题卷） 如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系
的x 轴水平，在y 轴的右侧存在方向竖
直向下的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向水平向左的匀强电场和方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。一
质量
、电荷量
的带负电粒子以大小
的初速度从x 轴负半轴上
到坐标原点O 的距离
的A 点进入第Ⅱ象限，沿与x 轴正方向夹角
的方向做直线运动，当
粒子经过P 点时，在y 轴的右侧加上一个交变磁场（图甲中未画出），粒子进入y 轴右侧后做匀速圆周运
动，规定垂直坐标平面向里为正，从粒子经过P 点开始计时，交变磁场的磁感应强度随时间变化的规律如
图乙所示。取重力加速度大小
，不计空气阻力。求：
（1）第Ⅱ象限内匀强磁场的磁感应强度大小
；
（2）y 轴右侧匀强电场的电场强度大小与第Ⅱ象限内匀强电场的电场强度大小之比
；
（3）粒子经过P 点后第一次到达x 轴的时间t。
5. （2023 江苏南京市中华中学一模）如图1 所示，有一对垂直纸面水平放置的平行金属板，板长为
，
6
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两板间距为
，金属板右侧有一个半径为
的圆形匀强磁场区域，圆心O 位于平行金属板正中间的水
平线上，磁场方向垂直纸面向里。金属板左侧的电子枪不断地沿正中间的水平线发射质量为
、电荷量为
的电子，发射电子的初速度恒定。若在两金属板上加上如图2 所示的交变电压
，周期为
，电子在
金属板内运动时间恒为
，最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出。电子进入圆形磁场区域后均从磁场边
界P 点飞出，P 点为竖直线与圆形磁场边缘的交点。不计电子间相互作用和重力，忽略金属板区域外的电
场及交变电场产生的磁场。求：
（1）发射电子的初速度
大小及两板电压
；
（2）磁感应强度
的大小；
（3）从平行金属板正中间射出的电子和从上极板边缘射出的电子在磁场区域运动的时间之比。
6. （2023 辽宁铁岭六校期末联考）如图甲所示，长方形MNPQ 区域（MN=PQ=3d），MQ 与NP 边足够
长）存在垂直纸面向里的磁感应强度大小为B 的匀强磁场。长为5d、厚度不计的荧光屏ab，其上下两表面
均涂有荧光粉，ab 与NP 边平行，相距为d，且左端a 与MN 相距也为d。电子枪一个一个连续地发射出电
子（已知电子质量为m、电荷量为e、初速度可视为零），经电场加速后，沿MN 边进入磁场区域，电子
打到荧光屏就会发光（忽略电子间的相互作用）。
（1）若加速电压为U，求：电子进入磁场时的速度；
（2）改变加速电压，使电子不断打到荧光屏上，求：荧光屏能发光区域的总长度；
（3）若加速电压按如图乙所示的图像变化，求：从t=0 开始一个周期内，打在荧光屏上的电子数相对总电
子数的比例。（电子经加速电场的时间远小于周期T）
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7. (2023 湖南怀化名校联考)在如图
所示的正方形平面oabc 内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应
强度的变化规律如图
所示．一个质量为m、带电量为
的粒子不计重力，在
时刻平行于oc
边从o 点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为
求：
带电粒子在磁场中做圆周运动的周期
；
若带电粒子不能从oa 边界射出磁场，磁感应强度B 变化周期T 的最大值；
要使带电粒子从b 点沿着ab 方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T 及粒子磁场时的
速度
．
8.(2020·河北省衡水模拟)如图甲所示，在xOy 平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随
时间周期性变化，B 的变化周期为4t0，E 的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0 时刻
从O 点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y 轴正方向，在x 轴上有一点A(图中未
8
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标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y 轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0
为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x 轴的最大距离；
(3)粒子运动至A 点的时间。
9. （2023 河北衡水中学一模）如图甲所示，三维坐标系中yOz 平面的右侧存在平行于z 轴且呈周期性变化
的磁场（图中未画出）和沿y 轴正方向的匀强电场。将一质量为m、电荷量为q 的带正电液滴从xOy 平面
内的P 点沿x 轴正方向水平抛出，液滴第一次经过x 轴时恰好经过O 点，此时速度大小为
，方向与x 轴
正方向的夹角为45°。已知电场强度大小
，从液滴经过O 点时为t=0 时刻，磁感应强度随时间的变
化关系如图乙所示（当磁场方向沿z 轴负方向时磁感应强度为正），
，重力加速度大小为g。求：
（1）抛出点P 的坐标。
（2）液滴从第一次经过x 轴到第二次经过x 轴所用的时间
。
（3）液滴第n 次经过x 轴时的x 坐标。
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